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Research Collection
Doctoral Thesis
Stochastische Betrachtung von Modellen für vorgespannte
Zugelemente
Author(s):
Thoma, Karel Hermann
Publication Date:
2004
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-004858156
Rights / License:
In Copyright - Non-Commercial Use Permitted
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Dissertation ETH Nr. 15660
Stochastische
für
Betrachtung von Modellen
vorgespannte Zugelemente
Abhandlung
zur
Erlangung
des Titels
Doktor der Technischen Wissenschaften
der
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZÜRICH
vorgelegt von
Karel Hermann Thoma
dipl. Bauingenieur
geboren
Bürger
von
am
ETH
26. Juli 1968
Reichenbach im Kandertal BE
angenommen auf Antrag
Prof. Dr. Peter
Prof. Dr. Michael
Marti,
von
Referent
Faber, Korreferent
2004
Vorwort
Die
vorliegende
Promotionsarbeit entstand während meiner Zeit als wissenschaftlicher Mitarbei¬
ter bei Prof. Dr. Peter Marti
am
Institut für Baustatik und Konstruktion. Die Arbeit
in das
Ziel
abgestütze
Theorie für das
ckeln. Die im Rahmen dieses
einer
tischen
Ergänzung
der
Verformungsvermögen
bereits
Projekts
früheren, primär
Untersuchungen beitragen,
deren
um
Massivbautragwerken
und noch
zur
Beschreibung
d.h. die natürliche
wie
einige
sches
dieser Theorie auf das
der
am
sollen
notwendigen
Zuggurtmodell
Streuung
der
Stahl-
Eingangsvariab¬
Anforderungen
an
in theoretischer
anspruchsvoll
mathematischen Hilfsmittel
darzustellen und
von
einzuführen, die
Möglichkeiten aufzuzeigen,
Institut für Baustatik und Konstruktion entwickelten Modelle in ein stochasti-
FEM-Programm implementiert werden könnten.
Mein
aufrichtiger Dank gilt
möglichte
und mir bei der
Prof. Dr. Peter
Ausarbeitung
der
Dr. Michael Faber danke ich herzlich für die
anstösse und die
Allen
Kolleginnen
anregenden
Janine
Marti, der mir die Durchführung des Doktorats
vorliegenden Arbeit
Begleitung
dieser
geht
und
an
Kollegen
für ihre
Zuneigung,
bedanke ich mich für die
Birgit Schilling
möglich
Arbeit, seine konstruktiven Denk-
angenehme
Arbeitsumfeld.
für die gute Zusammenarbeit und die
innigster
Dank
an
meine Partnerin
ihre Ausdauer und ihren Rückhalt. Bei Andreas
Übersetzung
der
Kurzfassung.
Christina''' und Beat Thoma, ohne deren
meinen Eltern
grosse Freiheit lies. Herrn Prof.
des Instituts danke ich für das
Albin Kenel und
Fachdiskussionen. Schliesslich richtet sich mein
Régnault
er¬
Übernahme des Korreferats.
Besonderer Dank
nicht
entwi¬
sicherzustellen.
des Verhaltens
stellen aber hohe
das Niveau der Information über die Basisvariablen und sind sehr
Anwendung
zum
Tragsicherheit ausgerichteten, plastizitätstheore¬
berücksichtig. Zuverlässigkeitsberechnungen
Hinsicht. Ziel dieser Arbeit ist es, die
zu
geplanten Arbeiten
langfristige praktische Anwendung
Spannbetontragwerken sind deterministisch,
len wird nicht
von
durchgeführten
auf die
Alle bisher erarbeiteten mechanischen Modelle
und
sich
Forschungsprojekt "Verformungsvermögen
Massivbautragwerken" ein,
hat, eine widerspruchsfreie, auf klaren physikalischen Grundlagen basierende und experi¬
mentell
zu
gliedert
welches
von
Und
vor
grosse
Schellenberg
allem bedanke ich mich ich bei
Unterstützung meine Ausbildung
gewesen wäre.
Zürich, im Juli
2004
Karel Thoma
Kurzfassung
Kommen für die
Dimensionierung
stochastische
Tragwerken
von
Bemessungsmethoden
zur
An¬
sind zwei wesentliche Aspekte zu beachten: Das mathematische bzw. mechanische
Modell, mit welchem das Verhalten der untersuchten Struktur beschrieben wird, sowie Informati¬
wendung,
onen
der dabei verwendeten
bezüglich
Eingangsvariablen,
welche oft eine natürliche
Streuung
aufweisen. Inhalt dieser Arbeit ist einerseits die Diskussion der Modelle für vorgespannte
Zuge¬
lemente und der dabei verwendeten stochastischen Werkstoffmodelle und andererseits die Zu¬
sammenstellung
der mathematischen
Hilfsmittel, die der stochastischen Bemessung zugrundelie¬
genden.
Im ersten Teil der Arbeit werden die für die
sammengestellt.
Aufbauend auf den Axiomen und
wird die Theorie der stochastischen
ken
dex
folgenden Kapitel notwendigen Grundlagen
Rechenregeln
Bemessung vorgestellt.
Ist
zu¬
der Wahrscheinlichkeitstheorie
man
nicht
an
Simulationstechni¬
interessiert, kann die Versagenswahrscheinlichkeit bzw. der verallgemeinerte Sicherheitsin¬
mit
den
Algorithmen
"first-
and
second-order
Von zentraler
erfolgen.
-
methods"
reliability
Bedeutung
-
sind dabei die
den
FORM-
und
SORM-
speziellen Eigenschaften
des
Standard-Normalraums und die Transformationen der Basisvariablen in diesen Raum, welche
vertieft behandelt werden. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird
Modell für vorgespannte
kann. Dies erfordert die
Betonzugelemente
Einführung
lationskoeffizienten zwischen zwei
aufgezeigt,
dass das betrachtete
als stochastisches finites Element
der stochastischen
aufgefasst
werden
Felder, wobei der Berechnung des Korre-
gemittelten Festigkeitsgrössen
eine zentrale
Bedeutung
zu¬
kommt.
Im zweiten Teil der Arbeit werden die stochastischen Werkstoffmodelle
den die klassischen Werkstoffmodelle des ideal
stoffs und die Faserbündel
anspruchsvoll
Information über die
Anfang
des
vorgestellt. Zuverlässigkeitstheoretische Berechnungen
in theoretischer
Werkstoffmodelle
Hinsicht, sie stellen auch hohe Anforderungen
und welche Probleme
ung und der Korrelation zwischen den
widmet. Dabei wird zwischen
den Einfluss des Weibull-Effekts
angeordneten Drähten)
Berücksichtigung
Es wird
werden
von
Verteilungstyp,
auf die
von
dem
am
Mittelwert, der Streu¬
Zugelemente
klassischen Werkstoffmodelle
und des Daniels-Effekts
Festigkeit von Spannkabeln
Spannkabeln
von
ge¬
von
es,
paral¬
diskutieren. Ebenfalls wird der
Rede,
der
gelingt
(Redundanz
auf den Sicherheitsindex der
ohne Verbund die
Kabelfestigkeit
zu
Kabelfestig¬
wird abschliessend die Ab¬
Verbundtragwirkung
untersucht.
der stochastischen Modelle für reale Werkstoffe und aufbauend auf dem
wird ein stochastisches Modell für vorgespannte
Betonzugelemente vorgestellt.
dass das resultierende Modell als ein stochastisches finites Element
gezeigt,
aufgefasst
kann, welches nicht auf dem in der Theorie der finiten Elemente oft verwendeten Weg-
grössenverfahren,
sondern auf dem
Kraftgrössenverfahren
aufbaut. Wesentlich ist
le der am Institut für Baustatik und Konstruktion entwickelten Modelle
haltens
werden müssen, wird
Modellen für vorgespannte
vorgestellten
(Längeneffekt)
des Sicherheitsindexes der
Zuggurtmodell
zum
begrenzten Querschnittsverlustes
keit untersucht. Ist zuerst
Unter
berücksichtigt
Spannkabel und vorgespannten Betonzugelementen unterschieden.
Mit Hilfe der im zweiten Teil der Arbeit
hängigkeit
nur
Kenngrössen der Werkstoffe angegeben.
Der letzte Teil dieser Arbeit ist der Diskusion
Einfluss eines lokal
sind nicht
das Niveau der
über die realen Werkstoffe diskutiert. Anschliessend sind für die Werkstoffe
Beton, Betonstahl und Spannstahl Informationen
lel
an
Basisvariablen, die als Eingangsdaten auftreten. Wie moderne stochastische
aufgebaut sind,
Kapitels
aufgearbeitet. Es wer¬
des
Werkstoffs,
spröden
ideal-plastischen Werk¬
von
Entwicklung
Stahl- und
Parameterstudien des
gelemente
zur
Beschreibung
des Ver¬
und somit die
zugänglich sind,
FEM-Programms für Stahlbeton-Stabtragwerke möglich
Spannbeton
eines stochastischen
ebenfalls diesem Ansatz
dabei, dass vie¬
Zuggurtmodells
schliessen die Arbeit ab.
wäre.
und des stochastischen Modells für vorgespannte Betonzu¬
Abstract
Two
important aspects
sign
methods:
a
firstly
structure and
the mathematical
secondly
ten these variables
for
In
must be considered when structures
are
or
scattered
on
and second order
niques
can
be
objective
the
together
probability theory's
reliability
methods
The
of this dissertation is to discuss models
design
employed.
probabilities
special properties
are
of great
significance
prestressed
theory,
introduced.
are
at the
beginning
about the distribution type, the
material parameters
on
given
are
Post-tensioning
the
previously
of the
are
present¬
concrete tension elements
can
fields,
averaged strength properties
material,
not
only are
the ideal
more
mean
chapter concerning
Furthermore, the
strength
is
plastic
Spe¬
material and
demanding
with respect
investigated.
fluence of the bond
prestressed
on
strength
the
information
safety
steel.
prestressed
tension el¬
distinguished. By
are
models, the size effect (Weibull effect) and the
(Daniels effect)
locally
prestressing
concrete tension elements
on
post-tensioning
limited loss in cross-section
Unbonded tendons
on
to be considered
Subsequently,
the discussion of models for
prestressed
strands
or
problems
value, the variance and the coefficient of correlation between
introduced classical material
consequences of a
are
real materials.
for concrete, reinforced concrete and
cables and
of parallel wires
redundancy
cable
simulation tech¬
the review of stochastical material models.
Reliability calculations
The third part of this work concentrates
using
first
but also with respect to the information level about basic variables needed in the calcu¬
explained
ements.
as
in this respect and
lations. The structure of modern stochastical material models and the
are
well
the introduction of stochastical
requires
the classical material models of the ideal brittle
the fibre bundle
to
of stochas¬
theory
generalized safety indexes,
as
are
importance.
The second part of the dissertation focuses
cifically,
presented.
of the standard normal space and the transforma¬
stochastical finite element. This
as a
or
where the calculation of the coefficient of correlation between two
of central
collected and
are
axioms and mathematical rules the
ed in detail. It is shown that the considered model for
regarded
the behaviour of
investigate
(FORM and SORM algorithms)
tions of the basic variables into this space
be
stochastical de¬
with associated stochastical material models.
necessary for stochastical
is introduced. To determine failure
design
using
part of this study basic principles needed in the remainder of the dissertation
Based
gathered.
mechanical model used to
nature. The
by
prestressed
addition, the mathematical tools
tical
dimensioned
the accessible information about the variables used in those models. Of¬
concrete tension elements
In the first
are
are
first
on
cables
the
safety
examined, followed by
index of the cable
strength.
are
a
explained.
index of the
study
of in¬
A stochastical model for
concrete tension elements is introduced. This model is based
on
the tension chord
model and takes into account the stochastical models for real materials. It is then shown that the
resulting
model
can
be
regarded
the force method and not
importance
on
the
as a
more
stochastical finite element. This finite element is based
commonly
that many of the reinforced and
of Structural
Engineering
used
displacement method.
prestressed concrete
models
It is of considerable
developed at the
of the Swiss Federal Institute of Technology follow
Hence, this would allow the development of a stochastical finite element
concrete frame structures. The final section focuses
model and the stochastical model for
prestressed
on
on
a
similar
Institute
approach.
program for reinforced
parameter studies of the tension chord
tension concrete elements.
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
1
1.2
Problemstellung
Zielsetzung
1.3
Übersicht
2
1.4
Abgrenzung
3
1.1
2
Grundlagen
2.1
Übersicht
2.2
Typologie
2.3
Stochastische
6
2.3.1
Bemessung
Allgemeines
6
2.3.2
Zuverlässigkeit von Komponenten
7
2.3.3
Der Standard-Normalraum
10
2.3.4
Transformationen in den Standard-Normalraum
12
2.3.5
FORM-und
14
2.3.6
Zuverlässigkeit
2.4
2.5
3
5
der Unsicherheiten
5
SORM-Näherungen
von
Systemen
15
Stochastische Prozesse
18
2.4.1
Grundbegriffe
2.4.2
Beschreibung
2.4.3
Methoden
2.4.4
Die
2.4.5
Die Durchschnitt-Methode
zur
18
von
stochastischen Prozessen
Diskretisierung
stochastischer Felder
Mittelpunkt-Methode
Zusammenfassung
18
19
20
20
23
Stochastische Werkstoffmodelle
3.1
Übersicht
25
3.2
Klassische Werkstoffmodelle
25
3.3
3.4
4
1
3.2.1
Ideal
spröde
Werkstoffe
3.2.2
Ideal
plastische
3.2.3
Faserbündel
Werkstoffe
25
29
31
Reale Werkstoffe
35
3.3.1
Allgemeines
3.3.2
Beton
37
3.3.3
Betonstahl
41
35
3.3.4
Spannstahl
42
3.3.5
Geometrische Grössen
44
Zusammenfassung
Stochastische
Festigkeit
4.1
Übersicht
4.2
Spannkabel
4.2.1
Spannkabel
4.2.2
44
Spannkabel
von
Zugelementen
47
47
ohne Verbund
48
im Verbund
52
4.3
4.4
5
Stochastische
Festigkeit vorgespannter Betonzugelemente
54
4.3.1
Mechanisches Modell
54
4.3.2
Stochastisches Modell
57
4.3.3
Parameterstudie
am
deterministischen und
am
stochastischen Modell
Zusammenfassung
Zusammenfassung
60
69
und
Folgerungen
71
5.2
Zusammenfassung
Folgerungen
5.3
Ausblick
74
5.1
73
Anhang
A
B
C
D
E
h
Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
75
A.l
Ereignisse
75
A.2
Axiome
77
A.3
Wahrscheinlichkeiten
77
A.4
Rechenregeln
78
A.5
Zufallsvariablen
80
A.6
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsfunktion
81
A.7
Funktionen
83
A.8
Momente und
A.9
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Eigenschaften
von
Zufallsvariablen
Erwartungswerte
für
Zufallsvariablen
stetige
Zufallsvariablen
der
B.l
Normalverteilung
Univariate Normal Verteilung
B.2
Multivariate
B.3
Bedingte Normalverteilung
Eigenschaften
von
der
86
88
88
Normalverteilung
89
90
logarithmischen Normalverteilung
logarithmische Normalverteilung
C. 1
Univariate
C.2
Multivariate
C.3
Bedingte logarithmische Normalverteilung
logarithmische Normalverteilung
Zuggurtmodell
Last-Dehnungsbeziehung
84
92
92
92
93
95
eines vorgespannten
Betonzugelements
99
Literatur
105
Bezeichnungen
113
Lebenslauf
119
1
Einleitung
1.1
Problemstellung
Die Stochastik ist für den
statistische Verfahren
wendung
statistischer
werden. Es besteht eine
schreibung
natürliche
von
Seit 1990 sind
Inkonsistenz
Systemen
immer exakter in die
am
"Verformungsvermögen
wird, unberücksichtigt bleiben.
verschiedene
Massivbautragwerken"
von
des
und
Trag-
Bestandteil bei der Ausarbeitung
keit der
von
an
Verformungsvermögens
von
und
Festlegung
der Modell¬
Versuchsresultaten sowie die Diskussion der
Abhängig¬
im Normalfall anhand
Modellvorhersage von
Modellparametern.
erfolgt
Parameterstudie, wobei diese nicht nur für die deterministische Modellvorhersage sondern
Letzteres
Versagenswahrscheinlichkeit
werden sollte. Sowohl die
durchgeführt
bzw. den Sicherheitsindex der
Kalibrierung
der
Modellparameter
Modellvorhersage
mit Hilfe der bewer¬
tenden Statistik als auch die Parameterstudie setzen demnach eine stochastische
Modells voraus; mit den Methoden der stochastischen
te bei der
Modellfindung
Mit den stochastischen
einfliessen
zu
Bemessungsmethoden
umgänglich,
Bemessung können somit wichtige Aspek¬
Streuung
ist
man
in der
der verwendeten
lassen. Damit diese Verfahren
da die
Formulierung des
diskutiert werden.
chanischen Modelle als auch die
Lage, sowohl die modernen
Eingangsgrössen
Anwendung finden,
notwendigen Berechnungen
sehr
ist deren
zeitaufwändig
in die
me¬
Berechnung
Programmierung
un¬
sind.
Zielsetzung
Eines der
sung
Mo¬
Stahl-
welche i.A. deterministisch formuliert sind. Ein wich¬
mechanischen Modellen ist die
den
auch für die
1.2
wider¬
physikalischen Grundlagen basierende und experimentell abgestütze
parameter, die Kalibrierung derselben
einer
Bemessung einfliessen, dass aber die
Institut für Baustatik und Konstruktion der ETH Zürich im Rahmen des For¬
Spannbetontragwerken entwickelt worden,
tiger
er
eine vertiefte An¬
darin, dass der Kraftfluss und die mechanische Be¬
gegen die bemessen
Belastung,
Beschreibung
zur
Zwar verwendet
um
der verwendeten Werkstoffe und der daraus berechneten Bauteilwiderstände
aufklaren
spruchsfreie,
delle
Bedeutung.
bemüht sich aber i.A. nicht
zu
gewisse
sowie die Variabilität der
schungsprojekts
Daten
statischen
Streuung
traditionell ohne grosse
Bauingenieur
analysieren,
Methoden, weil die Bauwerke nach determinstischen Gesetzen bemessen
um
Hauptziele
benötigten
dieser Arbeit ist das Zusammenstellen
stochastischen Werkstoffmodelle. Eine zentrale
kommt der
Berechnung
dimensionale
der
dieser
über
Volumenintegrale
nannten FORM- und
Bedeutung
Versagenswahrscheinlichkeit
Volumenintegrale
zum
Neben den Methoden der numerischen
rechnung
von
bei der stochastischen Bemes¬
mathematischen Hilfsmitteln sowie das Zusammenstellen und Diskutieren der
Teil
bei der stochastischen
von
Systemen
kompliziert berandete
Integration
zu.
Bemessung
Dabei müssen mehr¬
Bereiche berechnet werden.
und den Simulationstechniken kann die Be¬
mit den "first- and second-order
SORM-Algorithmen, durchgeführt
reliabilty methods",
den soge¬
werden. Diese beiden Methoden sollen
ausführlich diskutiert werden.
1
Einleitung
Im Weiteren sollen stochastische Modelle für
tiert
vorgespannte Zugelemente erarbeitet und disku¬
werden, wobei die Entwicklung eines stochastischen Modells für vorgespannte Betonzugele¬
mente im
steht.
Vordergrund
Grundlage
stochastischen Modell soll
zu
für das
zu
entwickelnde stochastische Modell ist das
Eine Paramterstudie sowohl
gurtmodell [4,70,71,106,107].
Zug¬
deterministischen als auch
am
einem tieferen Verständnis des Verhaltens
von
am
vorgespannten Be¬
tonzugelementen beitragen.
Schliesslich soll
am
Beispiel
des
Zuggurtmodells
ein
Weg aufgezeigt werden, wie die
titut für Baustatik und Konstruktion entwickelten Modelle
formungsverhaltens
Stahl- und
von
zur
Beschreibung
Spannbetonkonstruktionen
zu
des
Ins¬
am
Trag- und
Ver¬
einem stochastischen Finite-
Element-Modell erweitert werden können.
1.3
Übersicht
Im ersten Teil der Arbeit werden die für die
mengestellt.
die Theorie der stochastischen
scheinlichkeit bzw. des
der
tung
dabei
-
die
Rechenregeln
zusam¬
der Wahrscheinlichkeitstheorie wird
Bemessung vorgestellt. Die Berechnung der Versagenswahr¬
verallgemeinerten
reliability methods"
sind
folgenden Kapitel notwendigen Grundlagen
Aufbauend auf den Axiomen und
Sicherheitsindexes kann mit den "first- and second-or¬
den FORM- und
speziellen
SORM-Algorithmen
Eigenschaften
des
-
erfolgen.
Von zentraler Bedeu¬
Standard-Normalraums
und
die
Transformationen der Basisvariablen in diesen Raum, welche vertieft behandelt werden. Im wei¬
teren Verlauf der Arbeit wird
gelemente
dass das betrachtete Modell für vorgespannte Betonzu¬
als stochastisches finites Element
rung der stochastischen
zwei
aufgezeigt,
aufgefasst werden kann. Dies erfordert die Einfüh¬
Felder, wobei der Berechnung des Korrelationskoeffizienten zwischen
gemittelten Festigkeitsgrössen
eine zentrale
Bedeutung
zukommt.
Im zweiten Teil der Arbeit werden die stochastischen Werkstoffmodelle
werden die klassischen Werkstoffmodelle des ideal
sowie das Modell der Faserbündel
stochastische Werkstoffmodelle
berücksichtigt
spruchsvoll
aufgebaut sind,
werden müssen.
in theoretischer
formation über die
vorgestellt.
Drähten oder
Berücksichtigung
2
von
an
moderne,
Zusammenhang
sind nicht
nur
an¬
das Niveau der In¬
Modellen für vorgespannte
Zugelemente
ge¬
Spannkabel und vorgespannten Betonzugelementen unterschieden.
den Einfluss des Weibull-Effekts
gurtmodell
und welche Probleme in diesem
sie stellen auch hohe
Mit Hilfe der im zweiten Teil der Arbeit
angeordneten
ideal-plastischen
Dafür
Werkstoffs
Darauf aufbauend wird diskutiert wie
Hinsicht,
Anforderungen
Basisvariablen, die als Eingangsdaten auftreten.
widmet. Dabei wird zwischen
aufgearbeitet.
Zuverlässigkeitstheoretische Berechnungen
Der letzte Teil dieser Arbeit ist der Diskusion
lel
spröden
und des
vorgestellten
(Längeneffekt)
klassischen Werkstoffmodelle
und des Daniels-Effekts
Litzen) auf die Festigkeit
von
(Redundanz
Spannkabeln
zu
gelingt
von
diskutieren. Unter
der stochastischen Modelle für reale Werkstoffe und aufbauend auf dem
wird ein stochastisches Modell für vorgespannte
es,
paral¬
Betonzugelemente vorgestellt.
Zug¬
Abgrenzung
Abgrenzung
1.4
Es ist nicht Absicht dieser
Arbeit, alle Aspekte der Stochastik bei der Modellfindung
spannten Zugelementen
berücksichtigen.
folgt,
welche
delle
zu
zu
unbedingt notwendig sind,
gewährleisten (grau hinterlegt
Speziellen
Es werden
um
eine saubere
in Bild
das Gebiet der bewertenden Statistik
den, d.h. auf eine Darstellung der Methoden
von
nur
jene
von
vorge¬
Gebiete der Stochastik weiterver¬
Formulierung
der stochastischen Mo¬
Das ganze Gebiet der Statistik und im
1.1).
(Inverenzstatistik) kann nicht berücksichtigt wer¬
zur
Bestimmung
der statistischen Parameter anhand
Versuchsresultaten wird verzichtet.
Im
Vordergrund
dieser Arbeit stehen stochastische
kussion stochastischer
Im
Übrigen
Belastungen
Belastungsmodelle
werden
sowie
Festigkeitsmodelle,
weshalb auf eine Dis¬
verzichtet wird.
Entfestigungsprozesse, Entlastungsvorgänge, zyklische
Langzeiteffekte
ausdrücklich
von
den
und
dynamische
Betrachtungen ausgeklammert.
MocnasuK.
Angewandte
Stochastische
Wahrscheinlichkeits-
Prozesse
Statistik
lehre
Wahrschemlichkeitstheoretische
Grundlagen
Stichproben¬
Gesamtheits- bzw.
Zeitreihen¬
analyse
Strukturanalyse
analyse
Beschreibende
Korrelations- und
Statistik
Spektralanalyse
Verteilungs¬
funktionen
Bild 1.1
-
Bewertende
Stochastische
Angewandte
Statistik
Bemessung
Zeitreihenanalyse
Übersicht über das Gebiet der Stochastik, sowie berücksichtige Aspekte bei der Mo¬
dellfindung
für vorgespannte
Zugelemente (grau hinterlegt).
3
Einleitung
4
2
Grundlagen
2.1
Übersicht
Eine stochastische
Bemessung beinhaltet die Berechnung der Versagenwahrscheinlichkeit
Komponenten und/oder Systemen.
Versagenswahrscheinlichkeit
und
SORM-Algorithmen,
tistisch
steht
die
dergrund.
Bestimmung
Die hier
•
reliability methods",
den FORM-
der Korrelationskoeffizienten diskreter lokaler Durchschnitte im Vor¬
basieren
hauptsächlich
auf den
Unterlagen
von
Der
[68], Melchers [75], Rackwitz [93], Spaethe [110] und Vanmar-
Beurteilung
Unsicherheiten
Aleatorische,
der Unsicherheiten
der
zu
vom
Epistemische,
Zuverlässigkeit
Bauteilen und
von
Zufall
erkenntnistheoretische Unsicherheiten.
gilt
von
die dem
Phänomen
physikalischen
Materialkennwerten oder
Unsicherheiten versteht
man
diejenigen Unsicherheiten,
Messwerten entstehen.
men
reduziert werden. Weil menschliche Fehler ebenfalls durch
können, gehören
zifischen Unsicherheiten
berücksichtigen
sie
zu
Epistemische
den
hang g(x, 0)
©
komplexe physikalische
g(x, ©)
verbindet eine Anzahl
=
(Ql,Q2, ...)T.
von
=
der
Unterdrückte
Modellparameter
Auswertung
Modellparameter kann
Ansatzes
Kenntnis des
von
Massnah¬
geeignete
Massnahmen reduziert
Folgenden
werden die spe¬
stochastischen Modellen
Phänomene beschrieben
zur
Anwendung.
zu
0 sind
=
(xx,x2, ...)T
mit den
fehlende oder falsche
ungenügende
mögliche Quellen
Betrachtung
werden, kommen
Der funktionale Zusammen¬
von
Anzahl
von
von
(u.a.
Box und Tiao
Messresul¬
Modellunsicherhei¬
verfeinerten oder verbesserten
(vgl.
u.a
Schätzung
Plate
Maximum-Likelihood-Methode oder mit Hilfe des
werden
Modellpa¬
funktionale
weiteren Messresultaten reduziert werden. Die
mit den bekannten Methoden der Statistik
[36] begründeten
durchgeführt
von
x
Variablen,
im mathematischen Modell oder eine
Schätzung
Modellen und der
0
Basisvariablen
ten. Diese Unsicherheiten können durch die
Fisher
geeignete
Unsicherheiten. Im
diskutiert, welche bei der Formulierung
Müssen
Zusammenhänge
von
Unsi¬
epistemischen
mangelhafte
Unsicherheiten können durch
epistemischen
mathematische Modelle der Form
der
ändern. Unter
von
sind:
Modellfehler:
zur
Diese Art
Phänomens, notwendige Modellvereinfachungen, Messfehler und eine geringe An¬
von
taten
zu
welche durch
zahl
rametern
inhärente, natürliche Va¬
Belastungen.
cherheit kann nicht beeinflusst werden ohne das Phänomen selbst
werden
mit zwei Arten
man
Unsicherheiten.
abhängige
Als aleatorische Unsicherheit
untersuchten
hat
Tragwerken
rechnen:
riabilität wie z.B. die Variabilität
•
interessiert, kann die
bestimmt werden. Sind die Zufallsvariablen räumlich verteilt und sta¬
Madsenetal.
Typologie
Bei der
•
Simulationstechniken
an
[118].
2.2
von
nicht
präsentierten Grundlagen
Kiureghian [28,29],
cke
man
können sie mit Hilfe eines stochastischen Feldes beschrieben werden. Dabei
abhängig,
v.a.
Ist
mit den "first- and second-order
von
[91]), der
Bayes'schen
[20]).
5
Grundlagen
Statistische Unsicherheiten: Diese Unsicherheiten entstehen im Prozess der Parameterschät¬
•
zung
Kenngrössen, welche eine inhärente Variabilität aufweisen. Statistische Unsicher¬
von
heiten resultieren
Sammeln
von
klein,
menge
den. Die
der beschränkten Anzahl
aus
von
Daten und könnten durch das
zur
stehende Daten¬
Verfügung
müssen die statistischen Parameter selbst als unsichere Grössen behandelt
mit den
Parameterschätzung erfolgt
Modellparameter.
bezüglich
•
v.a.
zusätzlichen Daten reduziert werden. Ist die
Alternativ kann eine
der statistischen Parameter
Messfehler: Messungen
von
gleichen
Methoden wie bei der
Sensitivitätsanalyse
der
wer¬
Schätzung
der
Zuverlässigkeitsberechnung
durchgeführt werden.
Kraft- oder
im Feld oder im Labor sind immer mit
Weggrössen
Messfehlern behaftet. Messfehler können mit verfeinerten Messmethoden oder überbestimm¬
Messungen reduziert werden.
ten
•
Menschliche Fehler: Während des
Tragwerken
zung
von
nen
Fehler
ist
es
unvermeidbar, dass durch die
werden.
gemacht
Entwurfs, der Bemessung, der Ausführung und der Nut¬
Die
Mehrheit
Sorglosigkeit, Fahrlässigkeit, mangelhafte
verursacht. Eine
an
dieser
den Prozessen
Fehler
Fachkenntnisse oder
werden
beteiligten
durch
Unterschätzung
Ignoranz,
von
Diskussion dieses Problemkreises wurde
Perso¬
Einflüs¬
Schneider
von
eingehende
[102] durchgeführt. Bessere Ausbildung der Fachleute und eine gut organisierte Qualitätssi¬
sen
cherung
verkleinern das Risiko
plett vermieden
von
unerkannten, groben Fehlern. Sie können aber nicht kom¬
werden.
Modellfehler, statistische Fehler und Messfehler werden i.A. in den stochastischen Modellen
berücksichtigt.
Es
gibt
auch
Ansätze, die menschlichen Fehler mathematisch
die stochastischen Modelle einfliessen
zu
lassen, wofür
Melchers
u.a.
zu
erfassen, und in
[75] einige Hinweise
an¬
gibt.
2.3
Stochastische
2.3.1
Allgemeines
Bei der stochastischen
Bemessung
Bemessung
Bauteilen und
von
Systemen
konfrontiert: einerseits mit dem mathematischen bzw.
Aspekten
ist
man
mit zwei wesentlichen
physikalischen Modell,
welches
das Verhalten der untersuchten Struktur
beschreibt, und andererseits mit der Information bezüg¬
lich der für die
Eingangsvariablen.
ten
Bemessung
(vgl. Kapitel 2.2)
werden
genden
wendeten
mathematischen
von
Bauteilen oder
Eingangsvariablen
Im Normalfall
ren
sollten in einer stochastischen
die
wahrscheinlichkeit
verwendeten
Grössen
ab,
als
zufallige
hängt der Zustand
eines
die in einem Vektor X
Bemessung berücksichtigt werden.
Hilfsmittel
Tragwerken
Grössen
bereitgestellt,
bestimmt werden
angesehen
Tragwerks
von
Die darin auftretenden Unsicherhei¬
Versagens¬
kann, wobei die dabei ver¬
von
einer Reihe
zusammengefasst
Der Vektor X wird als Vektor der Basisvariablen bezeichnet. Zudem hat
einen deterministischen Parametervektor 0. Im
stände eines
Tragwerks betrachtet:
sowie der Bruch- bzw.
ser
X=
ist
(XVX2,
nennt
6
als
man
der
Versagenszustand.
Widerstand.
...,Xn)T
Folgenden
werden
der gebrauchsfähige bzw.
Das
im sogenannten
ist
Das
dann
Versagensbereich
Zustandsfunktion, g(x, 0)>O
bezeichnet die
nur
man
von
der
in der
Regel
noch
die zwei wesentlichen Zu¬
wenn
Fall,
unsiche¬
werden können.
uneingeschränkt verfügbare
Tragwerk versagt,
immer
Im Fol¬
die
werden.
oder Bauteils
Zufallsvariablen
damit
die
Zustand
Beanspruchung grös¬
wenn
sich
der
realisiert.
Vektor
{g(x,0)<O}
g(x,&)
intakten, volle Gebrauchsfahigkeit geV=
Stochastische
währleistenden
genszustände.
Zustände, g(x, 0)
sigkeitstheorie
Fx(x)
P/
Das
Tragwerk
=
hängen
von
g(x, 0)
<0 die Versa¬
einem weiteren Parameter, z.B.
{xe V} das Versagensereignis, und eine Hauptaufgabe der Zuverläs¬
darin, die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis zu berechnen, wenn X
besteht
bzw.
P(F)
=
0 den sogenannten Grenzzustand und
Weder der Vektor^noch der Vektor 0
der Zeit ab. Dann ist F
nach
=
Bemessung
ix(x)
=
verteilt ist.
jdF^x)
=
jfx(x)dx
(2.1)
oder Bauteil versagt somit bei
Erstbelastung
mit Wahrscheinlichkeit
Pf. Pf
heisst
Versagenswahrscheinlichkeit (probability of failure), und die Gegenwahrscheinlichkeit zur Versa¬
genswahrscheinlichkeit
ist die Überlebenswahrscheinlichkeit
lässigkeit (reliability) Pr
lässigkeitstheorie deutlich:
=
mehrdimensionale
1
-
Pf.
Aus
Gleichung (2.1)
(survival probability) oder
wird eines der
Hauptprobleme
Da der Vektor der Basisvariablen oft hochdimensional
Volumenintegrale
über
Teil
zum
kompliziert
Zuver¬
der Zuver¬
ist,
müssen
berandete Bereiche berechnet
werden.
Zuverlässigkeit
2.3.2
von
Komponenten
Im einfachsten Fall kann der Widerstand eines Bauteils durch die Zufallsvariable R und die Bean¬
spruchung
durch die Zufallsvariable S beschrieben
werden, womit das Versagen des Bauteils
durch das Versagensereignis F
{r<s} festgelegt ist. Sind R>0 und S>0 und nach fRS(r,s)
verteilt, kann die Versagenswahrscheinlichkeit mit
=
P/
=
P(R<S)
=
J jfRS(r',s')dr'ds'
(2.2a)
r<s
oo
=
f FR(s'\s')fs(s')ds'
(2.2b)
oo
=
berechnet werden.
wahrscheinlichkeit
{
Entsprechend
Pf
überlappenden
Pf entspricht
Zuverlässigkeitsberechnung
(2.2a) bis (2.2c)
Bild 2.1 besteht ein
und den sich
Zufallsvariablen R und S.
der
(2.2c)
(l-Fs(ry)fR(r'))dr'
Zusammenhang
zwischen der
Versagens¬
Flächen der Wahrscheinlichkeitsfünktion der
aber nicht dieser Fläche. Dieses fundamentale Problem
wurde erstmals
von
müssen normalerweise numerisch
denen Simulationstechniken und numerischen
Freudenthal
gelöst
werden.
[40] diskutiert. Die Integrale
Einige
Integrationsverfahren
sind
Hinweise
u.a.
zu
verschie¬
in Melchers
[75]
zu
finden.
(a)
Bild 2.1
(b)
-
Interpretation des Integrals der Versagenswahrscheinlichkeit P^ für statistisch
hängige Zufallsgrössen R und S: (a) Gleichung (2.2b); (b) Gleichung (2.2c).
unab¬
7
Grundlagen
Einen anderen
Ähnliche
jedoch
ten
kaum
wurden auch
von
und deshalb auch wenig Einfluss auf die nachfolgenden Be¬
Konzept des Sicherheitsindexes ermöglicht es, die Sicherheit verschiede¬
Beachtung fanden,
trachtungen hatten
Das
Komponenten, Bauteile oder Tragwerke
ner
zu müssen
mit der Einführung des Sicherheitsindexes ßc
Mayer [74] und Basler [11] aufgezeigt, deren Arbei¬
Weg eröffnete Cornell [25]
Gedankengange
Betrachtet
man
vergleichen
zu
ohne die
Integrale
in
(2 2) berechnen
die Zufallsvanable
M=R-S
mit dem
(2 3)
zugehörigen Versagensereignis
F
=
{M< 0}, folgt für die Versagenswahrscheinlichkeit
(2 4)
P/=P(M<0)
Gemäss Cornell
[25] heisst die Zufallsvanable
M
Sicherheitsabstand, und die Definition des Si¬
cherheitsindexes lautet
ßc
Hc
=
M
(25)'
V
D[M]
E[M] bezeichnet dabei den Mittelwert und D[M] die Standardabweichung
eine
geometrische Interpretation
von
Sind die Zufallsvanablen R und
von
M Bild 2 2
zeigt
ßc
^normalverteilt, kann der Sicherheitsindex nach Cornell (2 5)
mit
Vr-Vs
E[/q-E[,S]
pC
(26)
=
JVar[R] + Var[S]-2pRSD[R]D[S]
JaR2 as2-2PRÉoRas
+
bestimmt werden
Versagen
—»-«—
nicht
Versagen
E[M]
m
ßCD[M]
Bild 2.2
-
Geometrische
Interpretation des Sicherheitsindexes ßc nach Cornell [25]
Ist der Grenzzustand durch
allgemeine
=
a0
gebracht werden,
=
mm
=
+
kann der Sicherheitsabstand
aTX
in
die
(2 7)
und für normalverteilte X nimmt der Sicherheitsindex die Form
^£ely]
4a
an
Ebenengleichung gegeben,
Form
M=g(X)
ßc
eine
xxa
Hier bezeichnet ELY] den Vektor der
fallsvanablen X Ist
(28)
Erwartungswerte und 'Lxx die Kovananzmatnx der Zu¬
die Grenzzustandsfünktion g(x) nichthnear, kann sie mit Hilfe einer Taylor-
Stochastische
reihenentwicklung
lung
im
linearisiert werden. In den 50er und 60er Jahren wurde diese Reihenentwick¬
Erwartungswert \ix
E[M]
_
E[X] vorgenommen, wodurch der Sicherheitsindex die Form
=
g(Hx)
_
D[M]
(2.9)
>/(fo)ZxxVg(fe)
bekam. Der wohl einschneidendste Nachteil dieser
Sicherheitsindexes
M=
der
von
\n(R)-\n(S) oder
M< 0
Versagen
abhängig
speziellen
M= R/S-l
sind
eintritt. Man sollte aber
ist. Cornell
Grenzzustandsgleichung
die Definition M
=
R-S
zu
Betrachtungsweise
mathematischen
von
einfachen mathematischen
von
schlug
henentwicklung
der
lungspunkt
die
g(x)
des
liegt darin,
so zu
=
aus
der
spricht
und der
PHL
Bestimmungsgleichung Cov[Z,Z]
$HL
T
g(z)
auf
ßc gegenüber äquivalenten
dass der
Entwicklungspunkt der Taylorrei¬
naheliegend,
den Entwick¬
=
von
Hasofer und Lind
Zufallsgrössen
ACov[X,X]
=/
Z
=
[48] vorgeschla¬
A(X-E[X\), wobei
=
0, und
es
A
berechnet werden muss, ent¬
z
=
0
gilt:
1/2
[(z z)
min
ßc prinzipiell
nach Hasofer und Lind dem kürzesten Abstand zwischen
Grenzzustandsgleichung g(z)
=
der
wählen, dass der Sicherheitsindex ein Minimum annimmt.
die Basisvariablen X in die
der Sicherheitsindex
es un¬
Sicherheitsabstandes bzw.
0 nicht erfüllt. Es ist
Diese Definition für den Sicherheitsindex wurde erstmals
man
können, dass
deshalb vor, den Sicherheitsindex
Bedingung g(x)
Linearisierung
gen. Transformiert
weil in beiden Fällen für
zulässige Alternativen,
einem Sicherheitsmass erwarten
Umformungen
des
Abhängigkeit
beziehen.
der Grenzzustandsfunktion
von
ist die
des Sicherheitsabstandes.
Formulierung
Die Ursache für die fehlende Invarianz des Sicherheitsindexes
Umformungen
Bemessung
(2.10)
]
0
=
Im Raum der Basisvariablen X nimmt der Sicherheitsindex die Form
%r
an, und
[(x-E[X])TCov[X,X] \x-E[X])]
min
=
g(x)
=
entspricht
der kürzesten Distanz zwischen dem
standsgleichung g(x)
Darstellung
(2.11)
0
=
0
.
Der Punkt z* heisst
Erwartungswert ELY] und der Grenzzu¬
Bemessungspunkt.
Bild 2.3
eine
zeigt
graphische
des Sicherheitsindexes nach Hasofer und Lind.
Transformation
Versagen
g(Zl,Z2)=0
s*
nicht
Tangentialebene
Versagen
nicht
(E[Xi], E[Z2])
Bild 2.3
-
Geometrische
Darstellung
ß(Zl,Z2)
Versagen
des Sicherheitsindexes
$HL,
aus
Madsen et al.
[68].
9
Grundlagen
Obwohl der Sicherheitsindex nach Hasofer und Lind im Normalfall eine gute
die Sicherheit
von
und
Komponenten
Tragwerken ergibt,
sind Fälle
Aussage
über
welche eine Erwei¬
denkbar,
terung des Konzepts des Sicherheitsindexes erfordern. Das klassische Beispiel für einen solchen
Fall ist in Bild 2.4
dargestellt.
Obwohl der Sicherheitsindex
des Bauteils B, ist offensichtlich die
ß^
des Bauteils^ grösser ist als jener
Versagenswahrscheinlichkeit
P^
des Bauteils A wesentlich
grösser als jene des Bauteils B. Dieser Mangel des Sicherheitsindexes nach Hasofer und Lind ist
darin
dass die
begründet,
rücksichtigt
Krümmung der Grenzzustandsfünktion
im
Bemessungspunkt nicht
be¬
wird. Ein weiteres Problem stellen Grenzzustandsfunktionen mit mehreren lokalen
Minima dar.
Bild 2.4
-
Illustration einer
$HL,
Diese
aus
Madsen
Unzulänglichkeit
Unzulänglichkeit
et al. [68].
des Sicherheitsindexes nach Hasofer und Lind
des Sicherheitsindexes nach Hasofer und Lind
beseitigte
Ditlevsen
[31] mit der Einführung des verallgemeinerten Sicherheitsindexes
=0-1(l-Pf)
ß
=
-0"1(Pf)
vf'
(2.12)
0(P^ )
bezeichnet dabei die Inverse der
rechnung
des
rechnet
verallgemeinerten
werden,
was zur
Standard-Normalverteilung
Sicherheitsindexes
Entwicklung
ß
verschiedenster
die
O
.
zur
Berechnungsmethoden
Berechnung
verwendet und ausführlich diskutiert. Eine wesentliche
gorithmen ist,
dass sie Gebrauch
von
den
muss zur
Versagenswahrscheinlichkeit
Verlauf dieser Arbeit werden ausschliesslich die sogenannten FORM- und
(first- und second-order reliability methods)
Somit
der
P^
Be¬
be¬
führte. Im weiteren
SORM-Algorithmen
Versagenswahrscheinlichkeit
Eigenschaft
der FORM- und SORM-Al¬
speziellen Eigenschaften
des Standard-Normalraums
machen, welche im nächsten Kapitel vorgestellt werden.
2.3.3
Der
U
=
Der Standard-Normalraum
Standard-Normalraum
( Ul,..., Un)
<P„(")
111
verteilt sind.
10
der
durch
die
standard-normalverteilten
Zufallsvariablen
definierte «-dimensionale Raum, welche nach
=
(2t0
ist
n/2
II
expl--|w|
(2.13)
Stochastische
Mit den
•
von
fällt mit dem
Ursprung
T
u
zur
im
0 hat
=
Quadrat der
Ursprung
malenvektor
vom
ß-a
Auf der Flache
vom
•
folgenden Eigenschaften
im
(2 13)
Distanz
im
u*
zu
(p„(w)
Quadrat exponentiell
Grenzzustandsflache
radialer
in
Bemessungspunkt
exponentiell
G(u)
ß
ab
0, und
=
a
rotationssymmetnsch
ist
u*
Richtung
ßa
=
ein
und
ab
Maximum und
bezeichnet die kürzeste Distanz
ist der nach
aussen
genchtete
Nor¬
Bemessungspunkt
Die Wahrscheinlichkeit des
Normalverteilung O(-ß)
P(ß-ar«<0)
für die FORM- und
Bedeutung
Die «-dimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
fallt mit der Distanz
•
gemäss Bild 2 5 sind die
Bezeichnungen
SORM-Berechnung
Bemessung
J
=
ß-a
Versagensereignisses
F
=
{ß-a
T
m
<0} kann
mit der Standard-
gemäss
(p„(«*)
du'
=
O(-ß)
(2 14)
«<0
berechnet werden
Wird die lineare Grenzzustandsfünktion
standsfunktion
G(u)
sagensereignisses F
=
G(u)
$-un + Q.52_,1 i%,u,
{ G(u)
0}
<
Breitung [21] entwickelten und
mit der exakten
von
P(G(«) <0)
j (p„(«)
du
O(-ß)IT -jf
-
G(k)<0
berechnet
werden,
wonn
V|/(ß)
=
(p(ß)/<D(-ß)
mungen der Grenzzustandsfünktion
entspricht
einer in
tat Rackwitz
mit
g(u)
im
ß asymptotischen Losung,
[93] gibt
Gleichung (2 15)
an, dass bei
für
ß > 0 gute
so
Losung
-
Der
+
von
Tvedt
[116] oder
Grenzzu-
mit der
von
Näherung [53]
(2 15)
¥(ß)X,
ist
%; bezeichen dabei die n-\ Hauptkrum-
Bemessungspunkt
d h fur
Resultate erzielt
ist die
Standard-Normalraum,
parabolische
1
ß
—>°°
u*.
liefert
Beziehung (2 15)
(2 15) das exakte Resul¬
Die
werden, bei positiven (zum Ursprung hin
Ergebnisse unabhängig
von
ß jedoch
schnell schlecht
asymptotische Näherung ausgezeichnet
cpn(«)=
Bild 2.5
durch die
negativen (vom Ursprung weg genchteten) Krümmungen
werden die
genchteten) Krümmungen
Sind die Krümmungen klein,
u
Hohenbichler und Rackwitz verbesserten
«-1
=
ß-a
ersetzt, kann die Wahrscheinlichkeit des Ver-
=
=
=
aus
Der
konst
Kiureghian [29]
11
Grundlagen
2.3.4
Transformationen in den Standard-Normalraum
Um die
speziellen Eigenschaften
die Zufallsvariablen X
=
variablen U
Un)T
(Uv
=
...,
(Xv
des Standard-Normalraums nutzen
...,Xn)T(Basisvariablen)
zu
der Konelationsstruktur R
enten zwischen
Xx
dard-Normalraum
und X
wird
Jux= [du/dx]. Jx
(vgl. Anhang A.7).
modellen
=
u
es
notwendig,
in die standard-normalverteilten Zufalls¬
=
[dx/du]
Ju
.Yab. p
Ex(x)
von
der
als auch
bezeichnet dabei den Konelationskoeffizi-
Die Transformation der Basisvariablen in den Stan¬
.
bezeichnet, und die zughörige Jacobi-Matrix mit
u(x)
=
bzw. der Wahrscheinlichkeitsfünktion
von
1,...,«
=
u
fx(x)
[p ]
=
i,j
mit
können, ist
transformieren. Die Art der Transformation hängt sowohl
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
von
zu
x
ist die Jacobi-Matrix der Transformation
Es wird im Wesentlichen zwischen vier Arten
x
=
x(u)
multivariaten
von
Verteilungs¬
unterschieden, deren Transformation in den Standard-Normalraum im Folgenden be¬
schrieben ist:
•
Multivariat normalverteilte
ten M
=
(Hj,...,
[i„)T,
Konelationsmatrix R
der
Zufallsvariablen:
Diagonalmatrix
[p ]
=
multivariat
Sind die Zufallsvariablen X mit den Mittelwer¬
der
Standardabweichung
D
diag[G;]
=
und der
normalverteilt, kann die Transformation in den
Standard-Normalraum mit der linearen Funktion
u
=
L~lD~\x-M)
durchgeführt
werden. L ist die untere Dreiecksmatrix der
gung ist für linear
onsmatrix R
(2.16)
in
unabhängige
diesem
Fall
Zerlegung
Zufallsvariablen X immer
définit
positiv
ist.
Die
R
=
durchführbar,
zughörige
LL
T
.
Diese Zerle¬
weil die Konelati¬
Jacobi-Matrix
dieser
Transformation ist
JUX
=
L1D1.
Die Transformation
trix L kann mit der
•
Statistisch
statistisch
den
(2.17)
x
=
M+LDu hat die Jacobi-Matrix
Cholesky-Zerlegung
unabhängige,
unabhängig
=
u
LD
.
Die untere Dreiecksma¬
berechnet werden.
nicht normalverteilte
mit den
Jx
Zufallsvariablen:
Sind die Zufallsvariablen X
Marginal-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen fx(x;)
Marginal -Wahrscheinlichkeitsfunktionen Ex(xt),
bzw.
hat die Transformation der Basisvaria¬
blen X in den Standard-Normalraum die Form
ut
=
0"1(F(x!)).
Diese Transformation ist
(2.18)
eindeutig, solange Ex{x1)
die im
Anhang
A.6
aufgeführten
Bedin¬
gungen für die Wahrscheinlichkeitsfunktionen erfüllt. Für nicht normalverteilte Zufallsvaria¬
blen ist die Transformation
Ju,x
=
dia£
gegeben.
"fr/*,)"
(2.19)
<P(",)
Die inverse Transformation xx
werden. Die
12
(2.18) nichtlinear. Die Jacobi-Matrix ist durch
zugehörende
Jacobi-Matrix
=
F
(0(m;))
entspricht
muss
meistens numerisch berechnet
der Inversen
von
(2.19).
Stochastische
Statistisch
abhängige Zufallsgrössen
riablen X besitzt eine
zt
=
O
(F(Xj))
Nataf-Verteilung:
mit einer
multivariat normalverteilt sind
Zmit
R0
[p0 ],
wobei p0
relationskoeffizient p0
=
(A.56) eine Funktion
von
Zufallsva¬
...,Zn)T
(Zv
von
p
und Z
Zx
mit
Abhängigkeit
[p ] beschrieben, diejenige
der Konelationskoeffizient zwischen
ist gemäss
Menge
Die lineare
(vgl. Anhang A.9).
der Zufallsvariablen X wird mit der Konelationsmatrix R
=
Eine
falls die Zufallsvariablen Z=
Nataf-Verteilung,
Bemessung
von
ist. Der Kor¬
In diesem Fall kann die
.
Transformation in den Standard-Normalraum mit
*
U
=
(2.20)
Lr
<*>
berechnet
Die
Ju,x
(Fx^i))
(Fr(*„))
werden, worin L0 die
zugehörige
Lo dia£
=
Cholesky-Zerlegung
von
R0
ist.
(2.21)
<p(z,)
Diese Transformation wurde
Nataf
untere Dreiecksmatrix der
Jacobi-Matrix lautet
von
Liu und Der
Kiureghian [66]
basierend auf einer Idee
von
[86] entwickelt.
Statistisch
abhängige,
nicht normalverteilte
Zufallsvariablen:
multivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
bedingten
bedingten
der
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Zufallsgrössen
geschrieben
f.
xix
Gemäss
x
Anhang
X als
werden.
A.9 kann die
Produkt
Ausgehend
(xJ*i, •••,*!_i)
und der
von
von
n
der
zugehörigen
Wahrscheinlichkeitsfünktion
Fx,|X...X, XXl\Xl> >Xl-l)
-
\
fx,|X...X, SX1
entwickelten Hohenbichler und Rackwitz
u,
=
®
Fl'
(2.22)
•••>X;-l)«X;
[49] die Transformation
(2.23)
(px,\x:1...x,_1(.x,\xi>->x,-i))-
Diese Transformation basiert auf einer Arbeit
von
Rosenblatt
[98] und ist dementsprechend
unter dem Namen Rosenblatt-Transformation bekannt. Die Jacobi-Matrix dieser Transforma¬
tion hat die Elemente
J
Für i<j
"
X,|Xj...Xn\X\XV 'Xn>
gilt [Ju x]
=
(2.24)
0. Die Jacobi-Matrix
numerischen Aufwand bei der
Berechnung
untere
Dreiecksmatrix,
der Inversen erleichtert. Für normal- und
misch normalverteilte Zufallsvariablen sind in
gen für
(2.24) ist eine
Anhang
B bzw.
Anhang
C
was
den
logarith¬
algebraische
Lösun¬
(2.23) angegeben.
13
Grundlagen
FORM- und
2.3.5
Mit Hilfe der
SORM-Näherungen
Transformationen der Basisvariablen .Yin die standard-normalverteil-
vorgestellten
ten Zufallsvariablen U sowie den
die "first- and second-order
nun
des Standard-Normalraums können
speziellen Eigenschaften
reliability
Im Standard-Normalraum kann die
methods"
(FORM und SORM) formuliert werden.
Versagenswahrscheinlichkeit mit
\y„(u')du'
Pf=
(2.25)
G(k)<0
berechnet
werden, worin G(u)
g(x(u)) die Grenzzustandsfünktion
=
VG(w)
normalverteilten Variablen Uist. Existiert der Gradient
eine
Näherung
=
in
malraums ist die
=
a
=
2.6
Kapitel
Näherung
(2.26)
2.3.3
erster
aufgezeigten speziellen Eigenschaften
Ordnung
der
mit
(2.27)
worin
-VG/|VG|
ß
a
=
w* die kürzeste Distanz
den normierten
negativen
vom
Ursprung
Gradienten im
(a) zeigt die verschiedenen Elemente der Lösung.
Bemessungspunkt
im Raum der Basisvariablen x*
scheinlichkeitsdichte
linear,
des Standard-Nor¬
Versagenswahrscheinlichkeit (FORM)
0(-ß)
gegeben,
entlang
befindet sich der
sind. Grosse
=
Bemessungspunkt
x*
zur
Grenzzustandsfünktion ist und
Bemessungspunkt
Ist die Transformation
u* bezeichnet. Bild
linear, entspricht der
dem Punkt mit der höchsten Wahr¬
x(u*)
der Grenzzustandsfünktion
höchsten Wahrscheinlichkeitsdichte. Die
Krümmungen
kann
indem die In¬
G(u*) + VG(u-u*)
ersetzt wird. Mit den in
V'
[dG/dul, ...,dG/dun],
=
berechnet
werden,
Ordnung
Versagenswahrscheinlichkeit
(2.25) durch die im Bemessungspunkt u* linearisierte Gleichung
erster
tegrationsgrenze
G(u)
der
in Funktion der standard-
g(x)
=
in der näheren
0
.
Ist die Transformation nicht¬
Umgebung
des Punktes mit der
FORM-Näherung ergibt gute Lösungen,
der Grenzzustandsfünktion
0 im
wenn
die
u* nicht allzu gross
G(u)
Bemessungspunkt
Krümmungen können durch eine stark nichtlineare Grenzzustandsfünktion oder
=
durch eine nichtlineare Transformation der Basisvariablen in den Standard-Normalraum
sacht werden. Eine
Fehlerabschätzung
für die
FORM-Näherung
(a)
verur¬
existiert nicht.
(b)
i
Pf
\
y»y
ß/
SORM
^'^J^7^
U2
Bild 2.6-
Eine
Berechnung der Wahrscheinlichkeit Pf von
SORM-Näherungen: (a) FORM; (b) SORM.
Verbesserung
entwicklung
14
FORM-Näherung
der Grenzzustandsfünktion
Dieser Ansatz wird
tion im
der
dementsprechend
Entwicklungspunkt
als
F
kann erreicht
G(u) der
{G(w)<0} mit den FORM- und
werden, indem bei der Tayloneihen-
Term zweiter
SORM-Näherung
u* nimmt die Form
=
Ordnung berücksichtigt
wird.
bezeichnet. Die Grenzzustandsfünk¬
Stochastische
G(«)
=
Durch
J(h-«*)Vg(h-m*)
VG(h-h*) +
V2G
an, worin
[d G/dutdu] die
=
geeignete
ß darstellen,
(2.28)
womit die in
asymptotische Näherung (2.15)
verwendet werden
(2.28)
Matrix der zweiten
«X«
Transformationen lässt sich
des Sicherheitsindexes
tion und die
Bemessung
zur
Ableitungen
von
G(u) bezeichnet.
in Funktion der
Kapitel
2.3.3
der
Berechnung
können, siehe Bild 2.6 (b). (2.28) ist
Hauptkrümmungen %; und
angegebene Grenzzustandsfünk¬
nur
Versagenswahrscheinlichkeit Pf
mögliche Form, die Grenzzu¬
eine
standsfünktion durch einen Paraboloid darzustellen. In der Literatur sind verschiedenste
keiten
zur
des Paraboloids
Festlegung
angegeben (siehe
u.a.
Der
Kiureghian [29],
Möglich¬
Fiessler et al.
[38], Madsenetal. [68]).
Der
eine grosse
|w|
=
des
Bestimmung
Bedeutung
min mit der
zu.
Das
Problem
Nebenbedingung G(u)
Punkten gemäss der
von
u* kommt in den FORM- und
Bemessungspunktes
Regel uk+l
=
.
Die meisten
'kkdk,
+
uk
0
=
worin
dk
weite des k-ten Schrittes sind. In den meisten effizienten
Gradienten der Nebenbedingung. So wird
Fiessler et al.
von
dk
[38]
'VG(uk)
VG(uk)\
bestimmt.
m(uk)
Xk folgt
muss
im
k
der
aus
signifikanten Beitrag
eine FORM- resp.
folgt
von
wird im nächsten Abschnitt
zur
Zuverlässigkeit
nes
Seriensystems
F
von
Parallelsystem
durch die
n
[48] vorgestellten und
z.B. mit
in den
Seriensystems.
zu
verschiede¬
Die
auftreten. In diesem Fall führt
massgebenden Bemessungspunkten durch,
Berechnung
von
Serien- und
ge¬
Parallelsystemen
Systemen
Komponente unterteilt den Ereignisraum
V. Die
Vereinigung
der
Parallelsystems
definiert. Somit
^n
Die ansonsten frei wählbare Funktion
Versagenswahrscheinlichkeit
Nicht-Versagensbereich
eines
=
eine Funktion des
nichtlinear, können mehrere lokale Bemessungspunkte
trennt den
sagensereignis
dk
Folge
die Schritt¬
Kiureghian [67] angegeben.
Versagensbereich Vn
brauchsfähigkeit gewährleistenden Zustände.
1,..., N
=
ist
Xk
vorgestellt.
Die Grenzzustandsfünktion einer
n
Algorithmen
und
ein
^
SORM-Berechnung
der Berechnung eines
reich Fund einen
Suchrichtung
u* ein lokales Minimum aufweisen. Hinweise
sind in Liu und Der
man
2.3.6
die
Hasofer und Lind
Bedingung m(uk+l)<m(uk).
Ist die Grenzzustandsfünktion stark
mit einem
Algorithmen konstruieren
\VG(uk)\v\) VG(«fe)
Bemessungspunkt
Suchalgorithmen
nen
von
Algorithmus
)VG(uk)
G(uk)
-,u
=
in dem
dk
verbesserten HL-FR
SORM-Algorithmen
Lösung der Optimierungsaufgabe
der
entspricht
gilt
Gemäss
Komponente
Anhang
vom
A.l ist das
Einzelereignisse FSerien
für die
Versagensbe¬
Komponenten-Grenzzustandsfunktion g„(x),
der «-ten
durch
in einen
den
Durchschnitt
Bereich der volle Ge¬
Versagensereignis
=
tem
uFn
der
Versagenswahrscheinlichkeit
ei¬
und das Ver¬
Einzelereignisse
P^ eines
Serien¬
systems
f
P
=
P
f,Seriensystem
und die
(2.30)
Ug„(x)<0
V/
=
l
Versagenswahrscheinlichkeit eines Parallelsystem
(
P
\
N
f, Parallelsystem
=
P
V
N
\
ng„(x)<o
n=
kann durch
(2.31)
1
ausgedrückt werden.
15
Grundlagen
Für die
den
einer
Berechnung
tems müssen die
FORM-Näherung
entsprechenden Bemessungspunkten
«
*
wobei
ß„
ß,
=
Für die
v
(v1;
=
Analog
u*.
a
min[||«|||G/(«/)=
Berechnung
zur
und B
=
malverteilt mit Mittelwert
keit eines
Seriensystems
(
p
p
=
f,Seriensystem
(
u
des FORM-Sicherheitsindexes
=
gilt
0 in u* ersetzt,
auch hier
werden die Zufallsvariablen v;
(ß1; ...,$N)T eingeführt.
T
a
u
Die Zufallsvariable
v
=
und die Vektoren
ist multivariat
eins und Konelationsmatrix R
=
nor¬
[p ] mit
kann mit
N
Uß,-«/ u<0
p
^
n
Uß,<v;
)
\
l-p
=
V;
=
)
l
l-Ow(B,i?)
=
berechnet werden.
(2.33)
N
(
Analog
kann die
FORM-Näherung
der
Versagenswahrscheinlichkeit eines
Pa¬
zu
f,Parallelsy stem
(2.34)
Ow(-B,i?)
=
werden. Die multinormale Wahrscheinlichkeitsfunktion
Melchers
Ow(B,i?)
muss
i.A.
nume¬
werden, wofür in der Literatur verschiedenste Algorithmen angegeben sind (vgl.
risch berechnet
u.a.
Sys¬
1, ...,N in
=
(2.32)
V!=l
hergeleitet
i
J
=
rallelsystems
0,
=
(i,j= l,...,N). Die FORM-Näherung der Versagenswahrscheinlich¬
a
at
=
Gt(u)
Tangentialebenen ß,-a;
null, Standardabweichung
T
den Elementen p
=
0].
folgenden Ausführungen
...,vN)T
eines
Versagenswahrscheinlichkeit
im Standard-Normalraum linearisiert werden. D.h.
die Grenzzustandsfünktionen werden durch die
=
für die
TVKomponenten-Grenzzustandsfunktionen g,(x)
[75]).
Für den Fall N
=
2, d.h. für ein System bestehend
zwei
aus
Komponenten,
kann die binormale Wahrscheinlichkeitsfünktion mit
02(ß1,ß2,p12)
=
0(ß1)0(ß2)
+
j
( a2
1
:exp
^ttVÏV
0
ßt
+
^
a2
AA
ß2-2pß1ß2
2(1-p2)
)
(2.35)
dp
numerisch berechnet werden.
Ein
allgemeines System
kann gemäss
Anhang
parallelgeschaltete Seriensysteme dargestellt
keiten der
werden.
Versagensereignisse
Zerlegt
ge, minimale
man
das
kann die
kann die
Parallelsysteme
entsprechenden
Versagenswahrscheinlichkeit
Versagensereignis
Ereignismengen,
A. 1 immer durch
werden. Mit den
eines
des
in Serie oder
Wahrscheinlich¬
Systems
berechnet
beliebigen Systems inMpaarweise unabhängi¬
Versagenswahrscheinlichkeit mit
M
f, System
=
IP«
berechnet werden.
(2.36)
Pm entspricht der Versagenswahrscheinlichkeit eines Parallelsystems. Sind die
Ereignismengen nicht paarweise unabhängig, muss der Durchschnitt der einzelnen
Versagensereignisse berücksichtigt werden. Bild 2.7 (a) zeigt ein einfaches Beispiel einer solchen
minimalen
16
Stochastische
Möchte
Zerlegung.
auf Simulationstechniken
man
stehende Methode für die
Abschätzung
von
verzichten, ist die beste, heute
die
P^ System
Angabe
von
Bemessung
Verfügung
zur
Wahrscheinlichkeitsschran¬
ken. Die oft benutzte Wahrscheinlichkeitsschranke
f
M
^
Pj+
m
wurde
ra-ten
max
\
-M~
1
«=
Ditlevsen
von
-max
'
m
(2.37)
P„
2
=
[32] entwickelt. Pm entspricht dabei der Versagenswahrscheinlichkeit des
Parallelsystems
und des «-ten
.
f, System
2
=
M
<p
und
dem Durchschnitt der
Pmn
Für eine
des ra-ten
Versagenswahrscheinlichkeiten
Pmn mit (2.34) be¬
Entspricht
beliebige System
Seriensystem,
Pm mit (2.27) und
Pmn mit (2.35) ermittelt werden. Die Nummerierung der Versagenswahrscheinlichkeiten Pm hat
einen Einfluss auf die Schranken in (2.37). Ordnet man die P; in abnehmender Reihenfolge,
Parallelsystems.
stimmt werden.
FORM-Berechnung
das
können
einem
und
Pm
kann
grenzt (2.37) die Versagenswahrscheinlichkeit des Systems im Normalfall sehr gut ein. Eine Zu¬
sammenfassung
gen
Systemen
(a)
Methoden
von
ist in
Song
zur
und Der
Bestimmung
von
Kiureghian [108]
Wahrscheinlichkeitsschranken
zu
von
beliebi¬
finden.
U\
J
/Gx
G2^
G4
FORM
A^
Ml* \
ßl\
^-
/
"23*
ßi^/
1—
\
/
—
P4 /\
Bild 2.7
-
Versagenswahrscheinlichkeit von beliebigen Systemen: (a) Individuelle und gemein¬
same ß-Punkte des Versagensereignisses Fs
Flu(F2nF3r^F4); (b) Unter¬
tem
schied zwischen FORM- und SORM-Näherung der Versagenswahrscheinlichkeit für
=
FSystem
Die
=
FinFj-
SORM-Näherung
Systemen
basiert auf den
für die
auch mit den in
Pmn
Kapitel
erfordert die
2.3.5
Ursprung
nen.
SORM-Berechnung
der
beliebigen
Komponenten-
Komponenten-Versagenswahrscheinlichkeit Pm kann deshalb
angegebenen Methoden berechnet werden. Die SORM-Näherung
Linearisierung
der Grenzzustandsfunktionen
Gm(u)
und
Gn(u)
im ge¬
.
SORM-Näherung
nächsten
Bild 2.7
(a)),
um
von
Pmn.
Die Grenzzustandsfunktionen werden dabei in dem
gemeinsamen Bemessungspunkt umn*
in Serie werden für die einzelnen
(siehe
die
von
Bemessungspunkt umn* Anschliessend kann Pmn mit den in diesem Kapitel einge¬
Beziehungen berechnet werden. Bild 2.7 (b) illustriert den Unterschied zwischen der
FORM- und der
zum
Versagenswahrscheinlichkeit
Die
meinsamen
führten
der
gleichen Überlegungen wie
Versagenswahrscheinlichkeit.
von
Berechnung
Parallelsysteme
anschliessend die
Auf eine detaillierte mathematische
Hinweise sind in Hohenbichler et al.
die
linearisiert. Für
Versagenswahrscheinlichkeit
Beschreibung
[51,52]
zu
Parallelsysteme
gemeinsamen Bemessungspunkte
der
des
Systems
bestimmt
zu
berech¬
SORM-Näherung wird hier verzichtet.
finden.
17
Grundlagen
2.4
Stochastische Prozesse
2.4.1
Grundbegriffe
Ist eine Zufallsvariable X von der Zeit
als
eine
X(t,s)
Menge
und/oder der Raumkoordinate
s
abhängig,
wird sie formal
(X(t,s),te T,se S) -vereinfacht geschrieben
als
betrachtet. Eine solche
-
ter t und
t
Zufallsvariablen
von
s
Menge von Zufallsvariablen heisstZufallsprozess. Die Parame¬
Zufallsvariablen, weshalb ein Zufallsprozess als eine Familie von paramet-
sind keine
risierten Zufallsvariablen verstanden werden kann. Ist eine Zufallsvariable
hängig, spricht
Raumkoordinaten s, handelt
terscheidung
nur von
der Zeit
t
ab¬
einem stochastischen Prozess; ist die Zufallsvariable eine Funktion der
man von
es
sich
ein stochastisches Feld. Üblicherweise wird auf eine Un¬
um
der Parameter verzichtet, und alle stochastischen Prozesse werden mit
X(t) bezeich¬
net.
2.4.2
Beschreibung
stochastischen Prozessen
von
gelten
die in
der Wahrscheinlichkeitstheorie. Für
jeden
(X(tx),X(t2), ...,X(tn))T
durch
Stochastische Prozesse lassen sich ähnlich beschreiben wie
Anhang
A
zusammengestellten
festen Wert t
=
Gesetze und
Regeln
tv t2,..., tn ist ein stochastischer Prozess
Zufallsvariablen, und
X(t)
=
es
seine mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion
Fx(x;0
vollständig
zu
Fx(x1;
=
...,x„;
tx,...,tn)
=
beschrieben. Existieren die
P((X1<x1)n
...
(2.38)
n(Xn<xn))
entsprechenden partiellen Ableitungen,
so
ist in
Analogie
(A.35)
^X;t)
=
dxldxl..dx^'-X"'J^--^
(239)
die «-dimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion des Prozesses
Die umfassende
Charakterisierung
X(t).
eines stochastischen Prozesses durch die Gesamtheit seiner
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und Wahrscheinlichkeitsfünktionen
Man beschränkt sich deshalb
bestimmte
wichtige
den auch hier die Momente
deutung
häufig darauf,
numerische
ist auch hier der
statt der mehrdimensionalen
Kenngrössen
eingeführt,
die
Erwartungswert
zu
jetzt
betrachten. Wie bei den
aber Funktionen
von t
ist sehr
aufwändig.
Verteilungsfunktionen
Zufallsvariablen,
wer¬
sind. Von besonderer Be¬
resp. die Mittelwertfünktion
oo
E[X(0]
=
MO
j
=
(2.40)
xt^x\t)dx
—oo
und die Varianzfunktion
Var[X(0]
=
4(0
=
j~(x-Lix(0)2fx(x;0 dx.
(2.41)
—oo
Da diese Grössen
noch
nur
von t
und nicht
von
Xabhängen,
sind sie keine stochastischen sondern
normale Funktionen. Für die zwei Punkte tl und t2 wird die Kovarianzfunktion als das
zweite Zentralmoment
Rxxitvt2)
=
CovLY^XX^)]
oo
=
18
=
EiWtJ-MtJXXitJ-Mh))]
oo
j j
—oo
gemischte
definiert, d.h.
—oo
(xl-[ix(tl))((x2-[ix(t2))fx(xl,x2;tl,t2))dxldx2.
(2.42)
Stochastische Prozesse
Die mittels der
Pxx(h,h)=
heisst in
Ry%'%\
Analogie
=
pxx(h,t2)
=
(2-43)
Cx(^l)Cx(^2)
zu
sche Funktionen der
Rxx(^2)
normierte Kovarianzfünktion
Standardabweichung
(A.53) Konelationsfunktion. Die letzten beiden Funktionen sind symmetri¬
und t2
Argumente tl
.
Es
gilt
Rxx(Mi)
(2-44)
pxx(t2,tl)
(2.45)
Ein stochastischer Prozess heisst stationär oder
tur
unabhängig
von
der
homogen,
wenn
die Wahrscheinlichkeitsstruk¬
Lage des Ursprungs ist. Die Wahrscheinlichkeitsfünktion nimmt dann die
Form
fx(x;t)
fx(xl,...,xn;tl,...,tn)
=
=
fx(xl,...,xn;tl
+
(2.46)
t0,...,tn + t0)
Bei einem stationären stochastischen Prozess sind die Mittelwert- und die Varianzftinktion
an.
konstant, die Kovarianz- und die Konelationsfunktion sind
Dann sind
gig.
Rxx(-x)
Pxx(-^)
=
=
und pxx
Rxx
gerade
von
der Differenz
T
=
t2
-
tx abhän¬
Funktionen
Rxx(x)
(2.47)
Pxx(«,
(2-48)
und die Kovarianzfünktion ist nie grösser als die Varianz
Rxx(-T) < Rxx(0)
pxx(-T)<pxx(0)
2.4.3
Methoden
Die in
Kapitel
den,
die
=
zur
2.4.2
tinuierlich. Für viele
so
=
Var[X]
=
(2.50)
l.
Diskretisierung
Anwendungen müssen
die
ist,
Beanspruchungen
Problem besteht
grundsätzliche
W(t) durch eine Zufallsvariable
sodass die statistischen
X
=
(Xv
nun
folgenden Betrachtungen
W^t]), ...,Wn(tn) normalverteilt,
von
von
Zufallprozesse
Berechnung,
bei der
diskretisiert
es
wer¬
notwendig ist,
über das Elementvolumen konstant
darin,
...,Xn)T
Eigenschaften
Konelationsfunktion) bestmöglich
Die
die kontinuierlichen
z.B. für eine stochastische Finite-Element-Modell
nehmen. Das
und
stochastischer Felder
stochastischen Felder sind für jeden Wert des Parameters t kon¬
eingeführten
Materialparameter und/oder
stant
(2.49)
ox
anzu¬
das kontinuierliche stochastische Feld
abzubilden, welche über das Element kon¬
W(t) (Mittelwertfünktion, Varianzftinktion
der Zufallsvariablen X erfasst werden.
beschränken sich auf Gauss'sche
wird der stochastische Prozess
Zufallsprozesse.
Sind alle
W(t) als Gauss'scher Zufalls-
prozess bezeichnet. Gauss'sche Prozesse sind stationär und durch die Mittelwertfunktion
die Varianzftinktion
Kapitel
zesses
2.4.2
(2.40),
(2.41) und die Korrelationsfünktion (2.43) komplett definiert. Wie schon in
erwähnt, ist die Mittelwertfünktion und die Varianzftinktion eines stationären Pro¬
konstant, die Konelationsfunktion aber eine Funktion des Abstandes
Es existieren verschiedene
Ansätze, die Diskretisierung eines stochastischen Feldes W(t) in
die Zufallsvariable X durchzuführen;
geben.
einige
davon sind in Sudret und Der
Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden die
Methode
T.
Kiureghian [109]
Mittelpunkt-Methode
ange¬
und die Durchschnitt-
angewendet.
19
Grundlagen
W(h,t2)
Bild 2.8
-
Zweidimensionales stochastisches Feld.
Die
2.4.4
Mittelpunkt-Methode
Das stochastische Feld
W(t), welches durch die Mittelwertfunktion \lw(t), die Varianzftinktion
2
<5w(t) und die Kovarianzfünktion Rww(x) definiert ist, wird bei dieser Methode durch die dis¬
krete Zufallsvariable X
Schwerpunkt mit
wobei
angenähert,
den Koordinaten
Xx
über das z-te Element konstant
ist, und dessen
tcl zugeordnet wird. Es gilt
(2.51)
X,= W(tCI),i=l,...,n.
Setzt
man
tcl in (2.40), (2.41)
resp.
(2.42) ein, folgt
M*,
=
M'C;)>/
=
!.-.«
(2-52)
cx,
=
<M'C/)>
=
I,---,«
(2.53)
Cov[XpXy]
=
i
Der Konelationskoeffizient p
sich mit Hilfe
P»/
Die
(2.54)
Rww(xl}) ,i,j=l,...,n.
von
zwischen den beiden diskreten Zufallsvariablen
und X lässt
(2.43) bestimmen:
i,j
=
Mittelpunkt-Methode
=
(2.55)
l,...,n
überschätzt gemäss Sudret und Der
Kiureghian [109]
diskreten Zufallsvariablen X, weil sie die Statistik des stochastischen Feldes
des betrachteten Elements
lässigt.
Xx
abbildet,
die Kovarianz der
nur
im
Schwerpunkt
die Variabilität der Grössen über das Element aber vernach¬
Diese Variabilität wird bei der
nachfolgend beschriebenen
Durchschnitt-Methode mit ein¬
bezogen.
2.4.5
Im
Die Durchschnitt-Methode
Gegensatz
zur
Mittelpunkt-Methode berücksichtigt
Durchschnitt-Methode für die
Diskretisierung
die
von
Vanmarcke
[118] entwickelte
des kontinuierlichen stochastischen Feldes dessen
Variabilität über das gesamte Element.
Ein
eindimensionales, stationäres stochastisches Feld W(t), welches durch die Mittelwert2
fünktion \\,w, die Varianzftinktion ow und die Konelationsfunktion
pww(x)
definiert
ist, wird
bei der Durchschnitt-Methode durch die diskrete Zufallsvariable X angenähert, indem den Kom¬
ponenten Xx der Durchschnitt von W(t) über die Elementlänge
20
/; zugeordnet wird:
Stochastische Prozesse
t-l/2
Xx
'
f\
=
t, Jt + l./2
W(Z>)dZ>,i=l,...,n
Der Mittelwert [lw wird durch die
die Varianz
wohingegen
von
(2.56)
Berechnung
durch diese
Xx
des Durchschnitts nicht verändert
Operation
([lx
=
\lw),
verkleinert wird. Mit dem Varianzfaktor
J(l) gilt
Var[XJ=G^
=
J(l,)cw2,
i
(2.57)
l,...,n.
=
j(l)
stellt ein Mass für die Reduktion der Varianz ow
dung
dar. Weiter ist
nügen
muss.
eine
j(l)
Sie kann wie
gerade
folgt
Funktion die den
als
Folge
und
Bedingungen y(/)>0
der Konelationsfunktion
aus
der lokalen Durchschnittsbil¬
pww{i)
y(0)
1 ge¬
=
des stochastischen Feldes
W(t) berechnet werden:
y(/)
=
l\ {l-]jPivw(^d^
Der Korrelationskoeffizient p
der Merkmalsachse
gen
Lx
(2.58)
zwischen den zwei lokalen Durchschnitten
sein
beliebig angeordnet
und der Hilfsfunktion
A(l)
=
l
2
j(l)
können,
und X
Xx
kann mit den in Bild 2.9
,
welche auf
angegebenen
Län-
durch
Cov([X; ,X1)
P„
=
cXcx,
(2.59)
E(-lfA(Z,)
k=0
2[A(/,)A(/,)]
ausgedrückt
i,j
1/2
werden. Es ist
zu
l,...,n
=
beachten, dass die Abstände Lx in Bild 2.9 positiv definiert sind.
ÜberschÜberschneiden sich die beiden lokalen Durchschnitte Xx und
X
,
wechseln
L0
und
L3
das Vor-
zeichen.
Mit diesen
Beziehungen
ist
man
in der
Lage, die Konelationsmatrix R beliebig angeordneter
lokaler Durchschnitte eines eindimensionalen stochastischen Feldes
und p
ist die
notwendige
zu
berechnen. Mit [ix,ox
Statistik der diskreten Zufallsvariablen X gegeben.
W(t)
h
h
-*
Lo
-A
Li
L2
L3
-t
Bild 2.9
-
Definition der
effizienten
benötigten Längen
von
—>-
1
und Abstände
zur
Berechnung
der Korrelationsko¬
X für ein eindimensionales stochastisches Feld.
21
Grundlagen
Das zweidimensionale stationäre stochastische Feld
W(tv t2)
wird über die Fläche
Ax gemit-
telt und durch die diskrete Zufallsvariable Xmit den Elementen
X,
=
TJ
(2.60)
W(t)dA„i =l,...,i
llxl2x entspricht der Fläche des z'-ten rechteckigen stochasti¬
schen Elements mit den Seitenlängen lu und l2x. Der Mittelwert bleibt durch die Bildung des
Durchschnitts unverändert ([lx
\lw), wohingegen die Varianz von Xx durch diese Operation
verkleinert wird. Var[XJ kann mit Hilfe des Varianzfaktors y^/j,^) zu
näherungsweise
beschrieben.
Ax
=
=
Var[XJ
=
q\
=
angegeben werden,
Yd •/2)
und
X
=
A(/j,/2)
=
,yXj
=
y(llx,l2x)G2w,
i
(2.61)
\,...,n
=
wobei
V20^(1-^)(1-f)p^i:)rfClrfC2'
+
x2
(siehe Bild 2.8). Mit den
(lil2)2y(li,l2)
(2.62)
in Bild 2.10
angegebenen Bezeichnungen
kann der Korrelationskoeffizient p
und
zwischen zwei lokalen Flächen¬
durchschnitten X, und X, durch
X X (-l)k(-lf(A(Lu,L2J)
k=0m=0
P„
(2.63)
=
,1/2
4[A(/1/,/2/)A(/1,,/2/)]1
ausgedrückt werden,
womit die Statistik
von
X komplett ist.
Eine ausführliche Diskussion dieser Thematik ist in Vanmarcke
ti
[118]
zu
finden.
Ll3
Ll2
1
L-\-\\
*
T
*"!
h
),
o
i
r
Ai
ht
Bild 2.10 -Definition der
effizienten
22
x
benötigten Längen
von
t\
un
und Abstände
zur
Berechnung
X für ein zweidimensionales stochastisches Feld.
der Konelationsko-
Zusammenfassung
Zusammenfassung
2.5
Bei der
Beurteilung
schen zwei Arten
der
Zuverlässigkeit
Unsicherheiten: den
von
Bauteilen und
von
aleatorischen,
unterscheidet
Tragwerken
vom
Zufall
abhängigen
man
und den
zwi¬
episte¬
mischen,
erkenntnistheoretischen Unsicherheiten. Aleatorische Unsicherheiten können nicht be-
einflusst
werden, ohne das Phänomen selbst
zu
ändern; epistemische Unsicherheiten hingegen
können durch Zusatzinformation verkleinert werden. Bei der stochastischen
i.A. die
tieren
Bemessung werden
Modellfehler, die statistischen Unsicherheiten und die Messfehler berücksichtigt. Es exis¬
Ansätze,
um
auch menschliche Fehler in die stochastischen Modelle
zu
integrieren.
Die Grenzzustandsfünktion und der Sicherheitsindex haben bei der stochastischen
eine zentrale
Bedeutung.
Die Grenzzustandsfünktion unterteilt den
Ereignisraum
Bemessung
in zwei Berei¬
che, wobei der eine die Versagensereignisse umfasst, und der andere die intakten, volle Ge-
brauchsfahigkeit gewährleistenden
Versagenswahrscheinlichkeit
dener Bauteile
heitsindexes
sprüngliche,
$HL
on
bezüglich
bezüglich
von
P^
ihrer
Cornell
Tragwerks,
Zuverlässigkeit.
andererseits erlaubt
Auf Grund eines
er
den
Vergleich
verschie¬
des Sicher¬
Invarianzproblems
[48] die ur¬
[25] aufgestellte Theorie. Der Sicherheitsindex nach Hasofer und Lind
wird als kürzeste Distanz
gemeinerung
eines
der Grenzzustandsfünktion erweiterten Hasofer und Lind
in einem normierten Raum
Sicherheit eines
Zustände. Der Sicherheitsindex ist einerseits ein Mass für die
Tragwerks
vom
Ursprung des Koordinatensystems
aufgefasst,
dar. In
dieser Definition
gewissen
notwendig:
Fällen ist gemäss Ditlevsen
ßg
die Transformation der Basisvariablen in den
Versagenswahrscheinlichkeit
P^.
zur
Grenzzustandsfünkti¬
und stellt in den meisten Fällen ein gutes Mass für die
=
O
(1
-Pf)
Die
[31] jedoch eine Verall¬
Berechnung
von
ßg
erfordert
Standard-Normalraum, sowie die Berechnung der
Mit Hilfe der
Rosenblatt-[49] und der Nataf-Transformation
[66] können auch nicht normal verteilte, korrelierte Zufallsvariablen in den Standard-Normalraum
transformiert werden. Ist
wahrscheinlichkeit
Pf
SORM-Algorithmen,
wahrscheinlichkeit
man
riable
muss
an
Simulationstechniken
mit den "first- and second-order
berechnet werden. Mit diesen
von
Systemen
Stochastische Prozesse
Dazu
nicht
und deren
spielen
reliability methods",
Algorithmen
ist
es
zu
eine grosse Rolle bei der stochastischen
näherungsweise
den FORM- und
möglich,
Komponenten näherungsweise
das kontinuierliche stochastische Feld
dargestellt werden,
interessiert, kann die Versagens¬
die
Versagens¬
bestimmen.
FEM-Berechnung.
durch eine diskrete Zufallsva¬
welche die Statistik des stochastischen Feldes
bestmöglich
beschreibt.
So können die Konelationskoeffizienten zwischen zwei Mittelwerten für ein- und zweidimensio¬
nale stochastische Felder berechnet werden. Die
diskrete Zufallsvariable ist eine
Darstellung
wichtige Grundlage
stellten stochastischen Modells für vorgespannte
für die
des stochastischen Feldes als eine
Formulierung
des in
Kapitel
4 vorge¬
Betonzugelemente.
23
Grundlagen
24
3
Stochastische Werkstoffmodelle
3.1
Übersicht
Im ersten Teil dieses
sich dabei
werden drei klassische Werkstoffmodelle
Kapitels
die Modelle des ideal
um
und des ideal
spröden
plastischen
Es handelt
vorgestellt.
Werkstoffs sowie
um
das
Modell des Faserbündels.
Zuverlässigkeitstheoretische Berechnungen
scher
sondern auch
Hinsicht,
gangsdaten
an
stellen nicht
nur
hohe
das Niveau der Information über die
Anforderungen
in theoreti¬
Basisvariablen,
die als Ein¬
auftreten. Aufbauend auf den klassischen Werkstoffmodellen wird ein hierarchisches
stochastisches Modell für reale Werkstoffe
vorgestellt.
Anschliessend werden
der Literatur für die Werkstoffe Beton, Betonstahl und
Schwerpunkt liegt
dabei auf Informationen
zu
den
einige Angaben aus
Spannstahl zusammengefasst.
Verteilungsfunktionen,
Der
dem Mittelwert und der
Streuung
der Basisvariablen sowie der Konelation zwischen den einzelnen Basisvariablen. Zu¬
dem sind
einige
Hinweise
et al.
[68].
zu
Die
Information
zu
den
Querschnittsabmessungen von
den klassischen Werkstoffmodellen findet
grundlegenden
Gedanken
zu
3.2
Klassische Werkstoffmodelle
3.2.1
Ideal
Ideal
spröde
[55]
in Johnson
[56] und Madsen
entnommen.
Werkstoffe
spröde Werkstoffe
zeichnen sich dadurch aus, dass keine
plastische
können. Entweder sind keine Gleitlinien oder Gleitlinienbänder
nismen
angegeben.
den stochastischen Modellen realer Werkstoffe sind
dem JCSS Probabilistic Model Code
hauptsächlich
man u.a.
Bauteilen
Deformationen auftreten
vorhanden, oder andere Mecha¬
fehlen, mit welchen mechanische Energie dissipiert werden kann, vgl.
Schulze
[9]. Eingeprägte Energie
Erweiterung
Setzt
bestehender oder die
man
Festigkeit
wird
einen
neuer
Fehlstellen
homogenen Spannungszustand
eines ideal
Fehlstellen im
demzufolge
Bildung
spröden Werkstoffes
Probenkörper
von
reversibel
der
voraus,
welche direkt
von
der
so
stellte Weibull
Bedingungen eintreten,
nur
und
durch die
[119] fest, hängt die
Grösse, der Dichte und der Konzentration der
ab. Wird eine kritische Konzentration
Probengrösse abhängt:
Bargel
gespeichert,
(Risse) dissipiert werden.
von
Fehlstellen
nehmen die Fehlstellen eine kritische Grösse an, tritt Bruch ein. Die statistische
welcher diese kritischen
u.a
und kann
eneicht, oder
Erwartung, mit
bestimmt die Wahrscheinlichkeit für den
Je kleiner die
Bruch,
Probe, desto kleiner ist die Wahr¬
scheinlichkeit, kritische Bedingungen vorzufinden. Der Massstabeffekt ist demzufolge auch ein
Merkmal
spröder Werkstoffe, vgl.
Das statistische
Kettengliedes.
der
/ auf die
Modells
Bolotin
[19] und Freudenthal [42].
Modell, welches den ideal spröden Werkstoffen zugrunde liegt, ist das Modell
des schwächsten
Probenlänge
u.a
geht hingegen
Um 1880 benutzte
Zugfestigkeit
auf Peirce
von
Chaplin [23]
Drähten
zu
dieses
Modell,
beschreiben. Die erste
um
den Einfluss
Formulierung
des
[90] zurück, der sich mit der Festigkeit von Wollfäden beschäf-
25
Stochastische Werkstoffmodelle
(a)
(b)
(c)
kT
1
2
Vo
kTo
To
m-\
3
m
1
To
Bild 3.1
Statistisches
-
Modell
(b) Übertragung
Festigkeit.
tigte.
In der
plications
Im
nach
Weibull:
Bauteile; (c)
of a test
strength
Folgenden
wird angenommen, dass alle
=
•
stetig, langsam
Epstein [34] gibt folgende Eigenschaften
ER(x)
F0(x)
der
ER(x)
Der Term
m
nimmt die
verteilten
streng
fR(x)
Festigkeit ER(x),
muss
der
Erwartungswert der
monoton fallen.
dER(x)
=
ist linksschief.
dx
Standardabweichung
von
ER(x)
mit zunehmendem
m
1
-
exp
T
beansprucht
ist. Mit dem Referenzvolumen
V0
und der
Referenzfestigkeit R0 kann aus (3.1) die Wahrscheinlichkeitsfunktion
spröden Körpers berechnet werden. Es gilt:
des ideal
£log(l-F0(x))
v
(3.2)
o
log(l -F0(x)) kann für kleine Argumente durch
fx-x0\k
log(l-F0(x))«-(
1 ,x>xn
v
26
für das Modell des schwächsten
(b) zeigt einen isotropen, ideal spröden Körper mit dem Volumen V, welcher durch
Festigkeit
=
Damit kann die
ab.
homogenen Spannungszustand
nach
Kettenglieder gleich.
an:
F0(x) normalverteilt,
Bild 3.1
ausgesetzt sind. Weiter ist die nach
(3.1)
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
den
ha¬
der Kette
Existiert die Wahrscheinlichkeitsfünktion der
Ist
T
FR(x)=l-(l-F0(x))"
Festigkeit E[R] mit zunehmendem
•
Kettenglieder die gleiche Referenzlänge l0
ebenfalls für alle
werden.
Kettengliedes
m
(a) der gleichen Beanspruchung
Referenzfestigkeit R0
Wahrscheinlichkeitsfünktion der Festigkeit
angegeben
Bauteil- bzw. Probenvolumen auf die
von
is that of its weakest element of length, ...".
specimen
verteilte
P(X<x)
(a) Modell des schwächsten Kettengliedes;
Einfluss
zu [90] schrieb er treffend: "It is a truism, of which the mathematical im¬
interest, that the strength of a chain is that of its weakest link. It is equally
of little
ben und gemäss Bild 3.1
F0(x)
logifn
to
Einleitung
are
true that the
auf
y
Vo
x„
(3.3)
Klassische Werkstoffmodelle
ersetzt werden.
ER(x)
einer
was
1
=
Eingesetzt
exp
(3.2) resultiert daraus
(x-Xq
y
-
in
V
0'
Extremwert-Verteilung Typ
sitive Konstanten, und eine
werden. Diese
(3.4)
X>X,
Xc
3 kleinste Werte
Mindestfestigkeit
Verteilungsfunktion
von
entspricht. xc
und k bezeichnen dabei po¬
R kann mit der Konstanten x0
wurde erstmals
von
Fisher et al.
berücksichtigt
erwähnt. Der Erwar¬
[37]
tungswert und die Varianz der Festigkeit R können mit
E[R]=x0 + xcT{l
+
l)(P~1/k
(3.5)
kJ\V,
bzw.
Var[Ä]
=
-2/k
n.+!M.+i
xc
(3.6)
bestimmt werden. Diese Resultate wurden
gungen basierend entwickelt. Eine
des
Weibull
[119] für x0
=
0 auf empirischen
Vergrösserung des Probenvolumens
vom
kleiner der Wert
von
ist durch die
Spannung s(x,y,z)
Fi?(r)
=
man
kann durch
s(x,y,z)
i.A. die maximale
w(x, y,z)
von
in
=
Verkleinerung
und
eines
w(x,y,z)eine
R
von
R0 (d.h. je
(c).
Spannungsvolumens
werden,
s
in
1
(x,y,z) wirkende
dimensionslose Funktion. Ein¬
(3.2) ergibt
(3.7) ein und
V*f
-
exp
V*
bezeichnet eine Re¬
(3.7)
l-expf^jlog(l-F0((rw(x,y,z)))dV
(3.3)
=
Einführung
sw(x,y,z) dargestellt
Spannung
setzt
man
x0
=
Spannungszustand beanspruchten Körpers
FR(r)
von
3.1
darstellbar. Die im Punkt
äquivalenter, homogener Spannungszustand
ferenzspannung,
Setzt
=
k) desto ausgeprägter ist der Massstabeffekt, siehe Bild
inhomogener Spannungszustand
als ein
setzen
Für x0
des Massstabeffektes bestimmt. Je grösser der Variationskoeffiezient
Ausprägung
Ein
zur
Folge.
V hat eine
0 ist der Variationskoeffizient
Überle¬
unabhängig
Probenvolumen, womit der Variationskoeffizient der Referenzfestigkeit D[i?0]/E[i?0] die
Erwartungswertes E[R]
nen
von
r
0, ist die Festigkeit R des durch einen inhomoge¬
nach
\k
(3.8)
Vo^rc
verteilt, worin
V*
das
=
\w{x,y,z)kdV
(3.9)
Spannungsvolumen bezeichnet, vgl.
wird in der Literatur als
Modul.
Einige
Werkstoff
k
Tabelle 3.1
[39]. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (3.8)
Weibull-Verteilung [119] bezeichnet,
Werte für k sind in Tabelle 3.1
Beton
12-20
-
Frankel
[14, 120]
Glas
2-3
[46]
und die Konstante k als Weibull-
angegeben.
SiC
4-10
[46]
A1203
8-20
[46]
Gusseisen
38
[46]
Weibull-Moduli verschiedener Werkstoffe.
27
Stochastische Werkstoffmodelle
Hoori
[54]
wertete eine grosse Anzahl
von
Biegezugversuchen
te, dass (3.8) für Beton anwendbar ist. Basierend auf der
geben Zech
und Wittmann
den Bereich k
zum
=
Zeitpunkt
bewehrten
In der
12-20
des Bruches
nachfolgend
Systems
Betonprismen
aus
[120] sowie Bazant und Novak [14] für den Weibull-Modul
an.
Fehlstelle im
Ist die
und
zeig¬
Beton
von
massgebende
Vergleich
Bauteilabmessung
klein, ist gemäss Bazant [13] die Berechnung der Festigkeit von un-
Betontragwerken mit
des statischen
an
Auswertung eigener Biegezugversuche
den
zur
vorgestellten Beziehungen zulässig.
beschriebenen Parameterstudie wird der Einfluss der
auf die
Biegezugfestigkeit
ist |i0 der Mittelwert und G0 die
der
eines Standardversuchs
Zugfestigkeit
V ist durch V*
und
untersucht. Dabei
entsprechenden Systems
Standardabweichung
V0.
die Konstante rc und der
Erwartungswert der Träger-Biegezugfestigkeit E[R] berechnet werden.
E[i?jj]
(3.5)
und
Beanspruchung
mit dem Probenvolumen
bezeichnet den
Mit
des
(3.6) (
gemäss (3.9)
zu
ersetzen) kann
Erwartungswert der Biegezugfestigkeit des statischen Systems
II
gemäss
Bild 3.2. Bild 3.2
(a) zeigt den Einfluss des Variationskoeffiezienten C(/|a0 auf den Erwartungs¬
der Biegezugfestigkeit E[i?n] Mit zunehmendem Variationskoeffizient ist ein deutlicher
wert
(a)
.
(b)
1.5
2c_ J_
J_
1.5
0.4,0.2,0.1,0.05
=
J_
~
10
/
'
15
'
20
E[fln]
[-]
[-]
0.5
Mo
(c)
0.3
2c
[-]
"[-]
2
Ê-
[mm]
\2
I
3
Q=1UUU
\e
>
I
Ie
/r
4
1/2
1/2
I
^
,
I
1/31/3,1/3,
1/3
I
1/3
I
1/3
I
4
III
VI
I I i V ii i ^31
1/2
1i
4—^
IV
1/2
ß
Iß
4
4-
i
4
VII
Iß
\
HHH fTT
/T
1/3,1/3,
,1/3,1/3,1/3,
Bild 3.2
-
1/3
,
Massstabeffekt
spröder Biegezugzonen: (a), (b) normierte Biegezugfestigkeit für
System II in Abhängigkeit des Variationskoeffizienten O(/|l0 und der Schlankheit
(2c)// ; (c) Einfluss von Beanspruchung und Lagerung auf E[i?J nach Johnson [56].
N.B.: Berechnungsparameter siehe Bild.
,
28
Klassische Werkstoffmodelle
Massstabeffekt bezüglich
E[i?n]
erkennbar. Der Einfluss der
fällt für in der Praxis übliche Grössen eher
gering
ten, dass das Volumen V des Trägers nicht
b des betrachteten
für die
nur von
(a) und (b).
Es ist
der Schlankheit sondern auch
Querschnitts abhängt. Die Aussage
Trägerschlankheit gilt
zur
auf
Trägerschlankeit (2c)//
aus, siehe Bild 3.2
von
zu
E[i?n]
beach¬
der Breite
demnach auch
Trägerbreite.
Bild 3.2
(c) zeigt den Einfluss verschiedener Lagerungs- und Belastungsarten auf den
tungswert der
spruchten
Biegezugfestigkeit.
einfachen Balken
Erwar¬
Normiert auf den mit einem konstanten Moment M bean¬
I in Bild
(System
3.2), kann die Biegezugfestigkeit des
z'-ten
Systems
aus
E[/?j]
(i/*Vl/k
v-:
E[/y
V^i*V
,i
=
(3.10)
I,..., VII
bestimmt werden. Der Unterschied in der
kann beträchtlich
wurde. Dies
Trägergeometrie,
3.2.2
sein,
entspricht
Ideal
Biegezugfestigkeit
obwohl die maximale
der bekannten
sondern auch
plastische
von
Spannung
Feststellung,
der
Lagerungs-
dass die
bzw.
für verschiedene statische
für alle
Systeme gleich
Biegezugfestigkeit
nicht
nur von
der
Körper
stan-ideal
der
Beanspruchungsart abhängt.
Werkstoffe
Prager [92] verdeutlicht das Verhalten ideal plastischer Werkstoffe (Körper) mit Hilfe
matischen Modellen.
Systeme
hoch angesetzt
Liegt
die
stan. Eneicht G
Spannung
den Wert
plastischen Körpers (Bild
f
G
,
unterhalb einer kritischen
tritt
plastisches
Spannung,
kine¬
Fliessen ein. Dies ist das Modell des
(a)). Erweitert man dieses Modell
3.3
so
von
verhält sich
um
eine elastische Fe¬
der, resultiert das Modell des linear elastisch-ideal plastischen Körpers, siehe Bild 3.3 (b). Das
Verformungsvermögen des Körpers
ist bei beiden Modellen
(a)
unbegrenzt.
(b)
fy
-OO
-fy
00-<-
Bild 3.3
-
00-<-
Kinematische Modelle ideal
(b)
linear elastisch-ideal
Die statistischen
Eigenschaften
begrenzte Verformungsvermögen
fläche A
R
=
=
-«-00
Y,"= XAX, kann die
YJa,A,fy,„i=
plastischer Körper: (a)
plastischer Körper.
ideal
plastischer Werkstoffe
bestimmt. Formuliert
Festigkeit
Axf
x.
sind durch das vorausgesetzte
Gleichgewicht
un¬
über eine Kontroll¬
(3.11)
I,-,«
Der
plastischer Körper;
dieser Kontrollfläche mit
berechnet werden. Die Konstante ax bezeichnet einen
chenden Kraft
man
stan-ideal
möglichen
Erwartungswert und die Varianz
von
inneren Hebelarm der entspre¬
R sind durch
29
Stochastische Werkstoffmodelle
E[R]
=
^[R1]
,J
=
(3.12)
l,...,n
bzw.
Var[Ä]
XZCov[i?pJRy]
=
'
gegeben.
Ist
n
,/j
(3.13)
l,...,n
j
gross und die Konelation der
scheinlichkeitsfunktion
ER(r)
beziehung (3.11)
kann auch in
ausreichend
Festigkeiten Rx
klein, strebt die Wahr¬
gemäss dem zentralen Grenzwertsatz gegen eine
mit dem Mittelwert E[R] und der
R
=
Standardabweichung D[R]
integraler
=
J\ar[R]
.
Normalverteilung
Die
Gleichgewichts¬
Form
js(x,y)dA
=
formuliert
(3.14)
werden, mit der im Punkt (x,y) wirkenden Spannung s(x,y)
Erwartungswert und die Varianz
E[R]
=
von
R lassen sich
nun
=
a(x,y) -f (x,y).
Der
mit
JE[s(x,y)]dA
(3.15)
bzw.
\ar[R]
j|Cov[5(x1,j1),5(x2,j2)]tM1<i42
=
(3.16)
AA
berechnen.
(a)
i
I
Aq
\^\
Bild 3.4
30
-
/q
=
50
=
100
mm
._
^._
=
FR(r)
mlo
=
l-(l-FR.(r))"
mm
+
Modellierung eines Zugelementes: (a) normierter Erwartungswert der Zugfestigkeit;
(b) normierte Standardabweichung der Zugfestigkeit, nach Madsen et al. [68]. N.B:
Berechnungsparameter siehe Bild.
Klassische Werkstoffmodelle
folgenden Beispiel
Im
schnittsfläche A
=
wird das Verhalten eines ideal
und der
nA0
l
Länge
=
mit der
plastischen Zugelements
ml0 bezüglich
der Variation
von m
und
n
Quer¬
diskutiert.
Dabei ist |i0 der Mittelwert und c0 die
eines
Standard-Zugversuchs
normalverteilte
Fff(r')
E[R']
|i0 und gemäss
=
statisch bestimmten
mit
=
.
Systems
tritt
ein, sobald die Tragfähigkeit seines schwächsten Querschnitts
(3.1) bestimmt werden, wobei F0(x) durch ER,(r')
schnittsbildung
sert sich
Querschnittsfestigkeit R' hat gemäss (3.12) einen Mittelwert von
(3.13) eine Standardabweichung von D[R']
Oç/Jn Versagen eines
ist. Somit kann die Wahrscheinlichkeitsfunktion der
erschöpft
ER(r)
Standardabweichung der normalverteilten Zugfestigkeit
Querschnittsfläche A0 und der Probenlänge /0. Die nach
mit der
der Fehlstellendichte
(gemittelt
über den
zu
des
Zugfestigkeit
ersetzen ist.
Zugelements
Infolge
der Durch¬
Querschnitt des Zugelementes) verbes¬
gemäss Bild 3.4 (a) der Erwartungswert der Zugfestigkeit des Zugelements E[R] mit
nehmendem
n.
Gleiches
gilt
für die
Standardabweichung
des
D [R]
Zugelements,
zu¬
siehe Bild
3.4(b).
3.2.3
Faserbündel
Daniels
(a)
3.5
[26] begründete
aus
Bild 3.5
gehend
n
1945 die Theorie der Faserbündel. Ein Faserbündel besteht
parallel angeordneten Komponenten,
welche
zusammen
den
(b) zeigt vier mögliche Spannungs-Dehnungsbeziehungen, welche
behandelt
werden,
wobei die
Spannungs-Dehnungsbeziehungen
gemäss Bild
Querschnitt bilden.
in diesem
aller
Kapitel
ein¬
Komponenten ei¬
n
Bündels als identisch vorausgesetzt werden. Wird ein Faserbündel durch eine Last T bean¬
nes
erfahren alle
sprucht,
bedeutet nicht
wird die
Komponenten die gleiche Verlängerung A.
notwendigerweise
Beanspruchung
nommen,
was
nicht
das
des Bündels
gleichbedeutend
Dieses Verhalten ist unter dem
Der Bruch einer
Versagen des Systems. Versagt eine der
von
sein
den verbleibenden
muss
mit dem
Begriff Daniels-Effekt
n
-
1 intakten
Komponenten über¬
globalen Versagen
des Faserbündels.
Modell I
-
man
Modell II
Modell des Faserbündels:
(a) Parallelmodell für die Modellierung eines Faserbün¬
dels; (b) mögliche Werkstoffbeziehungen der Fasern (Komponenten).
Betrachtet
setzt
Komponente
Komponenten,
bekannt.
(a)
Bild 3.5
n
man
ein
System
voraus, dass die nach
hängig sind, spricht
man von
aus
n
Fx(x)
einem
identischen, ideal spröden Komponenten (Modell I), und
verteilten
Komponenten-Festigkeiten Xx
Daniels-System.
Die
Festigkeit
R des
statistisch unab¬
Daniels-Systems
kann
mit
R
=
max[nXi, (n-1 )X2,...,Xn]
(3.17)
31
Stochastische Werkstoffmodelle
bestimmt
werden, worin X\ die Bruchfestigkeit der
z-ten
Komponente bezeichnet. Daniels [26]
entwickelte dafür die exakte rekursive Formel
"
FÄ(r)
(„)
-.-.k+lfn^-c
,
FW(r) =I(-D
=
(k),
(n-k)f
,„
(r)F^
UJF*
r
\
(3-18>
Vn-kïl)
k=\
für die Wahrscheinlichkeitsfünktion der
schwer handhabbar. Für den Fall
malverteilung strebt,
\imJR(Rn<r)
mit dem
=
n
—>
Systemfestigkeit ER(r). (3.18) ist numerisch jedoch
zeigte Daniels, dass ER(r) asymptotisch gegen eine Nor¬
oo
d.h.
FR(r)
=
of^1)
(3.19)
Erwartungswert
(3.20)
E[i?]=«x0(l-Fx(x0)) + c„
und der
Standardabweichung
D[R]
=
x0(n
Fx(x0)(l-Fx(x0)))1/2.
Der Parameter x0
entspricht
J-(x(l-Fx(x)))
Existiert
nur
=
der
(3.21)
Lösung der Gleichung
(3.22)
0.
ein Maximum und
Für eine kleine Anzahl
von
gilt
lim
(1 -Fx(x))
=
0, ist die Lösung für x0
Komponenten («<150) fügte
Daniels
[27]
dem
aus
(3.22) gültig.
Erwartungswert
E[R] den Konekturterm
2
/
c„
0.966
=
n
\
1/3
(3.23)
n-
2
V
hinzu, worin
4
ix (x0)x0
tx(x0)
X die nach
+
fx (x0) x0y
fx(x)
Hohenbichler und Rackwitz
verteilte
Komponentenfestigkeit bezeichnet.
[50] erweiterten die Theorie des Faserbündels auf beliebige Kom-
ponenten-Spannungs-Dehnungsbeziehungen.
nenten
untersucht,
Bild 3.6
wobei die
Im
wird ein Faserbündel mit
n
Kompo¬
verhalten.
spröde (Werkstoffmodell II)
Komponenten
(a) zeigt die Kraft-Dehnungsbeziehung verschiedener Komponenten und Bild 3.6 (b) das
entsprechende Kraft-Dehnungsverhalten R(e)
Kraft in Funktion der
Komponente.
ler
Folgenden
sich elastisch
Die
Dehnung
e,
XÄ(e)
des Faserbündels,
^(e)
bezeichnet die
X, die Bruchfestigkeit und Y, die Bruchdehnung der
Systemfestigkeit Rn
ungebrochenen Komponenten.
=
=
max[(«-z'+ l)X,] entspricht
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion
Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts der
Versagensereignisse Fx
=
z-ten
der Summe der Kraft al¬
ER(r)
ist in diesem Fall die
{(«-/'+ l)X,-r<0}. Somit
gilt
(
FR(r)
=
n{(n-i+l)X,-r<0}
P
i
Ordnet
man
=
(3.24)
i
die nach
F7(y)
verteilten
P(71<j1)=l-(l-F7(P1))"
32
aufsteigend, ist die
mit
(3.1)
Komponente gemäss
Bruchdehnungen Y,
Wahrscheinlichkeitsfunktion der als erste brechenden
der Grösse nach
(3.25)
Klassische Werkstoffmodelle
(a)
ik
n
X3=X2
sv
X4=Xi
X2=X\
=4
S4f
S2^^
Xi=X3
s7~^
j
Y4=Yl
Bild 3.6
-
Y3=Y2
Y4=Y1
Yi=Y3 Y2=Y4
Y3=Y2
Yi=Y3 Y2=Y4
Elastisch
dels:
spröde Kraft-Dehnungsbeziehungen der Komponenten und des Faserbün¬
(a) Beziehung der einzelnen Komponenten; (b) Beziehung des entsprechenden
Faserbündels.
Alle
gegeben.
Die
bedingte
stutzten
müssen somit
folgenden Bruchdehnungen Y,...Y„
EY(Yl<y\Yl-\ =yl_l)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Verteilungsfunktion
von
F7(y).
grösser oder gleich Yx_\ sein.
Für ein Faserbündel mit
entspricht
n
der bei 7,_i
ge¬
Komponenten kann gezeigt
werden, dass die bedingte Versagenswahrscheinlichkeit der Bruchdehnung Yx durch
P(YI<yx\YI.1=yl_l)
ausgedrückt
=
l-[l-
——
^p
werden kann. Somit ist
man
in der
2.3.4) durchzuführen. Rekursives Einsetzen
Auflösen nach Y,
Y
was
=
der
FV
l
(
o(-t/y)
Y, ab,
X,
=
Lage, die Rosenblatt-Transformation (Kapitel
(3.26)
von
in
P(Y1<y\Y1_i>yl_l)
=
®(UX)
dass die
i)
z
von
=
bedingte
(3.27)
\,...,n.
Y, in Funktion der standard-normalverteilten Variablen Ux
Komponenten-Bruchdehnungen Y,
statistisch
Wahrscheinlichkeitsfunktion
statistisch nicht
unabhängig ( pK
F(X\Y)
®(Un x)
=
+
=
unabhängig
0), hängt X,
wird
der
fünktion
(3.28)
entfestigende, allgemeine
spröde
Werkstoffe
Werkstoffe. Zusätzlich
Fliessspannung
F(Z\X,Y)
=
nur
zu
F-(0(U„+1)\Y,=y,)
Nicht
und
-^
+
Komponenten-Bruchfestigkeiten X,
und die
handeln wie
bung
(»-y
benötigten Darstellung
entspricht. (3.27) zeigt,
von
(3.26)
,^>Ji_i
ergibt
f.-n
sind. Sind die
J
benötigte Zufallsgrössen,
im Werkstoffmodell
Q>(U2rx+x)
(Werkstoffmodelle III, IV) lassen sich gleich be¬
wie z.B. Z für die Beschrei¬
III, können mit der bedingten Wahrscheinlichkeits¬
berücksichtigt
werden.
Entfestigende
Werkstoffe
oder
Faserbündel, deren Komponenten unterschiedliche mechanische Eigenschaften aufweisen, sind
mit dem
Algorithmus
ebenfalls
durch den Bruch einer
lösbar; die Lage der Systemfestigkeit Rn ist dann jedoch nicht
Komponente gekennzeichnet, sondern liegt innerhalb des Intervalls
[YhYn].
Bild 3.7
gen auf den
(a) zeigt den Einfluss verschiedener Komponenten-Spannungs-Dehnungsbeziehun-
allgemeinen
Sicherheitsindex
ß
=
-O
(Pf),
worin
P^
die
Versagenswahrschein-
33
Stochastische Werkstoffmodelle
lichkeit des
wird die
Systems
bezeichnet
(vgl. Kapitel 2.3.2).
Für die numerische
g(X, Y,Z,n)
=
ß
von
(3.29)
R(X, Y,Z,n)-T
verwendet, mit den normalverteilten Werstoffkenngrössen X,
und der Elastizitätsmodul E werden als konstant
zwei
Berechnung
Grenzzustandsgleichung
Spezialfälle
des idealen
Seriensystems
Y und Z. Die
vorausgesetzt.
und des idealen
Beanspruchung
T
In Bild 3.7 sind ausserdem die
Parallelsystems
mit den
Versagen¬
sereignissen (vgl. Anhang A.l)
Seriensystem
Die
dargestellt.
!'
Berechnung
SORM-Algorithmus.
mendem
uilU
rParallelsystem
der
Versagenswahrscheinlichkeit
tischen Werkstoff nimmt
hingegen
von
Parallelsystem
die zusätzlich auftretende
Systemen
und
für kleine
n
(n
1)
es
mit
(a)
Beispiele
Für
aus
einem ideal
Parallelsysteme
wie ein
n
spröden Komponenten
trotz ihrer Redundanz resp. statischer
verteilen.
zu.
plas¬
mit ideal
II) nimmt der Sicherheitsindex für zunehmende
n
denn nach dem
ist die
Versagenswahrscheinlichkeit
Überbestimmtheit kleiner als bei
Gollwitzer et al.
sein, die Last über eine starke Komponente abzutragen,
zu
stark
mit zuneh¬
aufnehmen können. Mit anderen Worten: Bei Daniels-
sprechenden Einkomponentensystemen, (vgl.
ponenten
Seriensystemen
Seriensystem,
unwahrscheinlich, dass die verbleibenden Komponenten
Beanspruchung
Parallelsystemen
>
I und
n
verhält sich also für kleine
Bruch des schwächsten Elements ist
beruht ausschliesslich auf dem
von
Parallelsystemen mit Komponenten
mit zunehmendem
spröden Komponenten (Materialmodelle
zuerst ab. Das
P^
Wie erwartet, nimmt der Sicherheitsindex
ab, der Sicherheitsindex
n
(3.30)
i
Es kann also
[45]).
von
ent¬
Vorteil
anstatt sie als auf wenige schwache Kom¬
für diesen Effekt sind durch
Ermüdung
oder
Chloridangriff be-
(c)
8
n
5
=
1
n
[-]
(lj
ideales
Seriesystem
(6)
Modell III, X/Z=1.2
©
ideales
Parallelsystem
@
Modell III, X/Z=1.2
(|)
Modell I
(4)
Modell I, exakt
(|)
Modell II
Bild 3.7
34
-
PXY ["]
P*[-]
[ix =10
Vx =0.2
Pxy=-0.55
Uy =1.0
Vy =0.2
pxz=0.85
E
=konst.
Vz =0.2
pyz=-0.5
®
Modell III, X/Z=2.0
\iT
=6
@
Modell IV
Modell
Y
ß
Werkstoffmodell
Parallelsystemen: (a) Einfluss verschiedener
Werkstoffmodelle und Anzahl Komponenten n auf die Systemsicherheit; (b) Einfluss
der Korrelation pK zwischen den Komponenten-Bruchfestigkeiten Xx ; (c) Einfluss
der Korrelation pXY der Bruchfestigkeit Xx und Bruchdehnung Yx einer Komponen¬
te, aus Gollwitzer et al. [45]. N.B: Berechnungsparameter siehe Bild.
Allgemeiner
Sicherheitsindex
=0.5
von
Reale Werkstoffe
anspruchte Spannglieder,
ten bei
oder eine
geringe
Anzahl hochfester
Der Einfluss der Duktilität eu /e
Mit zunehmender Duktilität der
cherheit
auf,
welche für e„ /e
—>
der
Komponenten ist ebenfalls
gegen ein ideales
°°
unabhängig
nimmt jedoch zu,
vgl.
Bild 3.7
relation pK die Situation
pK
=
system
zum
und
Xx
von
von
(b).
Für
von
von
Seriensystemen
Werkstoffe verschärft sich bei zunehmender Kor¬
spröde
des Sicherheitsindexes und kleine
da sowohl das
Seriensystem
Gemäss Bild 3.7
Im Grenzfall
Systeme.
als auch das Parallel¬
(c) verbessert sich die Sys¬
mit abnehmender Konelation pXY zwischen der
einer einzelnen
zwischen der mit dem
sta¬
Komponenten-Bruchfestigkeiten
Parallelsystemen ab, derjenige
Redundanz,
Parallelsystemen
Bruchdehnung Yx
Vergleich
Der
Komponenten-Bruchfestigkeiten Xx gegenseitig
Einkomponentensystem degenerieren.
temsicherheit
keit
ß
bezüglich
1 verschwindet jede Art
(a) ersichtlich.
strebt.
Parallelsystem
sind. Mit zunehmender Konelation pK der
nimmt der Sicherheitsindex
Xx
Bild 3.7
aus
Komponenten weist das Parallelsystem eine höhere Systemsi¬
Bisher ist vorausgesetzt worden, dass die
tistisch
Aufhängeanker von Fassadenplat¬
Spaltkonosion.
Bruchfestig¬
Komponenten geringfügig.
SORM-Algorithmus
bestimmten Kurve
@
und der
(4) der exakten Lösung für Daniels-Systeme nach (3.18) zeigt eine zufriedenstellende
Übereinstimmung., vgl, Bild 3.7(a). Für die plastischen Werkstoffmodelle III und IV zeigte
Kurve
Rackwitz
[93], dass die Resultate der SORM-Berechnung i.A. sehr gut sind.
3.3
Reale Werkstoffe
3.3.1
Allgemeines
Künstlich
hergestellte
Imperfektionen
Grösse und
und Fehlstellen. Die
Menge
der
Materialeigenschaften
nologie
besteht
ung der
Ausprägung
Imperfektionen
und die
anisotrop und inhomogen und
Streuung
der
Anisotropie
und
beinhalten verschiedene
Inhomogenität,
und Fehlstellen sowie deren
der
sowie die
beeinflussen die
Verteilung
Kenngrössen. Die Hauptaufgabe der Werkstofftech¬
darin, Werkstoffe mit den gewünschten Eigenschaften herzustellen, und die Streu¬
Kenngrössen
rolle der
Werkstoffe sind i.A.
zu
minimieren.
gewünschten Eigenschaften
Optimierung
führen
(a)
der
einer
zu
Herstellungsprozesse
Verbesserung
und
Qualitätskont¬
des Produkts und
einer
zu
(b)
Mx)
Mx)
,-—
Einzelstuck
Extremwert
Â/^~
Jf\-^-
Verteilung Typ
Lognormal Verteilung
Experimentelle
I
Resultate
gestutzte Normalverteilung
Bild 3.8
-
(a) Variabilität einer Werkstoffkenngrösse x in Funkti¬
on der Grundgesamtheit; (b) Anpassung der Dichtefunktion an gemessene Versuchs¬
resultate, aus Alpsten [3].
Variabilität realer Werkstoffe:
35
Stochastische Werkstoffmodelle
der
Verkleinerung
hängt
somit
gesamtheit
schaften
Streuung
der
Kenngrössen. Die Variabilität der Kenngrössen realer Werkstoffe
den
Herstellungsprozess,
vom
ab. Keine zwei
des
Chargen
Qualitätskontrollen und
gleichen
demzufolge
Einzelstücken
von
eine Variabilität
Mittenbergs [80]
kenngrössen
und
Chargen
führte eine
durch und stellte
oder
Mittelwert und
bezüglich
von
der gesamten
Streuung,
Probleme bei der
gleichen Eigen¬
und Fehlstellendichte. MaterialProduktion
siehe Bild 3.8
des Problems der
eingehende Analyse
folgende
der betrachteten Grund¬
Werkstoffes haben genau die
bezüglich Zusammensetzung, Festigkeit, Homogenität
kenngrössen
von
Formulierung
Streuung
von
zeigen
(a).
von
Werkstoff¬
stochastischen Werk¬
stoffmodellen fest:
Kenntnisse über das Werkstoffverhalten und
Ungenügende
•
stoffverhaltens
Übertragen
•
von
den
Abweichungen
des realen Werk¬
idealisierten, ingenieurmässigen Werkstoffbeziehungen.
der idealisierten
Werkstoffeigenschaften
aus
Laborversuchen auf Bauteile unter
Betriebslasten.
Mögliche
•
Fehler beim
Zusammentragen, Prüfen und Auswerten
Nicht beeinflussbare Variabilität der
•
In der
•
Regel
interessieren im Bauwesen kleine
Verhalten der
Verteilungsfunktionen
Bereich des Mittelwerts eine
wendigerweise
Die
Codes
ben
den
muss
und damit das
Verteilungsfunktion
die im
dies im Randbereich nicht not¬
(b).
Bildung
von
stochastischen Werkstoffmodellen
Kersken et al.
sowie
entsprechen
des JCSS Probabilistic Model
[60]
Ausführungen
jenen
[55]. Um die Variabilität der Kenngrössen als Funktion des Produktionsprozesses beschrei¬
zu
von
können, wird ein hierarchisches Modell gemäss Bild 3.9 (a) eingeführt. Die nach
Fx(x|0)
verteilten
zusammengefasst.
die
Planung.
Versagenswahrscheinlichkeiten,
Stichprobe gut beschreibt,
zur
Stichproben.
während der
in den Randbereichen. Eine
auch tun, siehe Bild 3.9
folgenden Ausführungen
weitgehend
Werkstoffkenngrössen
von
Werkstoffkenngrössen
Mit Hilfe der
werden durch die Zufallsvariable X
werden die
Werkstoffkenngrössen
einachsigen Spannungs-Dehnungsbeziehungen)
=
(Xv
...,Xn)T
Werkstoffbeziehungen (i.A.
beschrieben. © ist der Vektor der statisti¬
schen Parameter.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion
chen mit
von n
Fx(x|0)
wird
Versuchsresultaten
aus
von
Standardversu¬
bestimmt, wobei das Referenzvolumen als ein System
gegebenem
Mikro-Elementen gemäss Bild 3.9 (a) betrachtet wird. Der Verteilungstyp basiert auf Über¬
legungen
Referenzvolumen
zur
Art der Standardversuche und führt auf die
folgenden klassischen Werkstoffmodelle
(vgl. Kapitel 3.2):
•
Konzept des schwächsten Kettengliedes.
•
Modell des ideal
•
Modell des Faserbündels.
Das
plastischen
Werkstoffs.
Konzept des schwächsten Kettengliedes strebt mit zunehmender Anzahl Mikro-Elemente ge¬
gen eine
wertsatz
Weibull-Verteilung;
eine
gegen
Normalverteilung
die beiden anderen Modelle streben gemäss dem zentralen Grenz¬
Normalverteilung.
durch eine
Für
grosse
logarithmische Normalverteilung
unmögliche, negative Festigkeiten
Spannungs-Dehnungsbeziehungen),
Massstabeffekte und
Ein Bauteil wird der Meso-Stufe
zugordnet und als
Werkstoffkenngrösse
Referenzvolumen betrachtet
36
werden,
um
sollte
die
physikalisch
Beziehungen (i.A. einachsige
zeitabhängige
Prozesse werden auf die¬
Stufe modelliert.
verstanden. Eine
n
ersetzt
vermeiden. Mechanische
zu
ser
Variationskoeffizienten
(Bild
eine endliche
des Bauteils wird
3.9
Folge
dementsprechend
von
als
Referenzvolumina
Zufallsprozess von
(b)), d.h. die Werkstoffkenngrössen Xx können mit einem
Reale Werkstoffe
stochastischen Feld koneliert werden
(vgl. Kapitel 2.4).
Im Normalfall wird ein
isotropes
stochas¬
tisches Feld mit der Konelationsfunktion
P('c„)
+
Po
=
(1-Po)e
entspricht
x
angenommen,
,i,j
dem
(3.31)
l,...,n
=
Abstand
zwischen
zwei
Referenzvolumina
und
z
/
(i,j= 1,...,«), p0 ist der Konelationsparameter und dc die Einflusslänge des stochastischen
Feldes. Dieser Ansatz entspricht einem stationären, Gauss'sehen Prozess, vgl. Rackwitz et al.
[94]. Die Konelation zwischen Werten Xx verschiedener Bauteile wird normalerweise mit
pXJ
=
p0 angenommen.
(a)
(b)
Referenz¬
Mikro-Stufe
volumen:
fxM&,)
Bauteil:
Meso-Stufe
Bt
Bauwerk:
Makro-Stufe
Bi
B„
Bild 3.9
-
Hierarchisches stochastisches Materialmodell:
chastisches Feld für ein Bauteil
Bisher ist
stillschweigend
Bauteils einer
se
Charge
Einschränkung
fallen
werden,
die
zur
eines
Herstellung
Auf Stufe Makro-Modell werden die Parameter der Wahr¬
f0(O)
bestimmt. Dies kann
geschehen.
einer statistischen
um
worden, dass der Werkstoff
angenommen
gelassen.
lich mehrerer Lieferanten
aus
(Meso-Stufe).
entnommen wird. Für die letzte Stufe des hierarchischen Modells wird die¬
scheinlichkeitsdichtefunktion
sollten
(a) Stufen der Modellierung; (b) Sto¬
Die
Verteilungsfunktion
Auswertung hervorgehen
mögliche Änderungen
im
prädikative Verteilungsfunktion
bezüglich
und die Parameter
von
bezüg¬
f0(0)
und müssen kontinuierlich überwacht
Herstellungsprozess
von
eines einzelnen oder
festzustellen. Ist
f0(0) bekannt, kann
X zu
00
fx(x)
=
j
(3.32)
fx(x\©)fe(©)d©
bestimmt werden, d.h. die statistischen Unsicherheiten
funktion
3.3.2
fx(x\©)
Integration
weg,
und
Erste
welche die
lungstyp
Streuung
der
Formel
Bauwerk-Betonkenngrössen
Untersuchungen
Druckfestigkeit
und die
Streuung
zur
von
Verteilungs¬
(A.39).
der
und sind
untersuchten. Erste
von
Angaben
Normalverteilung, fügte jedoch
von
Bauwerken wird eine
Freudenthal
Gegenstand
auf Berndt und Preuss
Bauwerk-Betondruckfestigkeit wurden
Betondruckfestigkeit vorgeschlagen.
rithmischen
waren
Bauwerksfestigkeit gehen
Stampfbeton
In dieser wohl ersten Arbeit über die Sicherheit
die
vgl.
der Parameter der
Beton
Verteilung
schung.
fallen durch die
bezüglich
[41] empfahl
die
[16] zurück,
über den Vertei¬
Mayer [74] gemacht.
Normalverteilung
Verwendung
an, dass bei einer schlechten
der For¬
einer
Überwachung
für
loga¬
des Pro-
37
Stochastische Werkstoffmodelle
duktionsprozesses
der
Verteilungstyp eher einer Extremwertverteilung zugeordnet werden müsse.
Die Mehrzahl der Autoren kommt dennoch
tigkeit
am
besten durch eine
zum
oder eine
Normalverteilung
dass die
Ergebnis,
Verteilung
der Betondruckfes¬
logarithmische Normalverteilung darge¬
stellt werden kann.
Entroy [33] untersuchte die Beziehung zwischen dem Mittelwert [lx und der Standardabwei¬
chung cx der Würfeldruckfestigkeit. Er erkannte, dass die Standardabweichung für mittlere und
hohe
der
Betonfestigkeiten nur von
Betonfestigkeit jedoch
der
Qualität der Bauausführung abhängig ist, mit kleiner werden¬
auf Null absinkt. Rüsch et al.
[101] bestätigte dieses Resultat und zeig¬
ten, dass die Baustellenart und die Qualitätskontrollen der
Standardabweichung
haben. Diese
stelle vorgenommen. Beton
von
Auswertung
wurde
an
Betonfestigkeit
Resultaten
von
einen Einfluss auf die
Würfelproben
ab Bau¬
grösseren Witterungseinflüssen ausgesetzten Baustellen (Hoch¬
bau, Brückenbau) und Beton, welcher mit normalen Mischanlagen hergestellt wird (Hallenbau,
Industriebau und
Fertigteilbeton)
Massenbeton auf (Gruppe
beitenden
Mischanlagen
(T)
weist gemäss Bild 3.10
(a) eine höhere Standardabweichung als
@ ), weil dieser in grossen Mengen in meist automatisch ar¬
bzw.
strengen Qualitätskontrollen hergestellt wird. Bild 3.10 (b) zeigt
unter
Standardabweichung gx von Baustellenbeobachtungen in Abhängigkeit von der mittleren
Festigkeit fix. Für fix> 30 N/mm2 ergibt eine Regressionsrechnung eine fast horizontale Gerade,
die
wobei Gx bei etwa 4.7 N/mm2
liegt.
Für kleine
kann eine durch den
Festigkeiten
Nullpunkt
ver-
(a)
[N/mm2]
'20
50
•
A:
Massenbeton für
A
B:
Bau
A
C:
Brückenbau
°
D:
Normaler Hochbau
o
E:
Bau
+
F:
Hallenbau, Industriebau
+
G:
Industriebau
x
H:
Tunnelbau
J:
Werke für
n
L:
Lieferbeton
von
von
Talsperren, Schleusen
etc.
Strassen und Rollfeldern
Hochhäusern
Fertigteile
Mx [N/mm ]
(b)
i\
o
10
o
o
O
+
"
o
»
o.
A
°
O
#c#c|+
[N/mm2]
A
o
"
*
^.«Vgg*1»
n«'
+
A
%A
CA
rT*«>«iöTv
/%* *.*
.4TpS.
-
t
°
*
x
iA
;
.
K*
*.
..
A
*
'
4.7
N/mm2
•
ß0aP
0
-c i—
0
Bild 3.10
38
1
[lx [N/mm ]
1
80
-Abhängigkeit der Standardabweichung vom Mittelwert der Würfeldruckfestigkeit: (a)
Gemittelte Standardabweichung ox in Abhängigkeit der über die Bauwerksgruppe
gemittelten mittleren Betondruckfestigkeit $lx; (b) Standardabweichung gx von
Baustellenbeobachtungen in Abhängigkeit der mittleren Festigkeit fix; aus Rüsch et
al. [101].
Reale Werkstoffe
laufende Parabel als
Literatur
verwendet werden. Tabelle 3.2
Regressionsansatz
vorgeschlagene
Werte für die
Standardabweichung gx
der
gibt
Auskunft über in der
Würfeldruckfestigkeit
aus
Baustellenbeobachtungen.
Literatur
SIA262[105]
Gx [N/mm2]
50
Tabelle 3.2
-
aus
ist eine
3 0-6 0
der in situ
[75]
2 8-5 6
Betondruckfestigkeit.
[65] führte eine detaillierte Untersuchung bezüglich der Bauwerk-Druckfestig¬
Prüffestigkeit von
Beton durch. Das Verhältnis zwischen
Bauwerk-Druckfestigkeit bewegt
tate
Melchers
Späthe[110]
[55]
4.8
Standardabweichung cx
Lewandowski
keit und der
JCSS
sich je nach Bauteil zwischen 85% und 90%. Sind keine Resul¬
Zylinderversuchen bekannt,
Gegenüberstellung
müssen Bohrkerne
verschiedener
derdruckfestigkeit angegeben.
Zylinderdruckfestigkeit und
Prüfwerte
Bauwerk entnommen werden. In
am
empirischer Formeln
von
allfällig
für
[65]
Bohrkernfestigkeit und Zylin¬
vorhandenen Standardwürfeln können ein
Qualitätsmerkmal für die Betonproduktion sein; eine Aussage über die im Bauwerk lokal reali¬
sierten Festigkeiten erlauben sie aber nicht. Über die Autokonelation der Bauwerk-Druckfestig¬
keit
an
gibt
wenig
es
Informationen. Rackwitz et al.
Bauwerken durch. Die Resultate dieser
babilistic Model Code
Der Einfluss der
[55],
[94] und Tearwe [111] führten Untersuchungen
Untersuchungen entsprechen den Werten
und werden im weiteren Verlauf dieses
Belastungsgeschwindigkeit
auf die
selber stark
tondruckfestigkeit
Für die
Beziehungen
von
zwischen
dul des Betons sind verschiedene
sammenstellung
al.
[78]
zu
von
eignet sind,
jedoch
zu
dem JCSS Probabilistic Model Code
entsprechen.
was
Die
Standardabweichung
grösser als die
Wie für die
und Elastizitätsmo¬
empirischen Ansätzen
ist in Mirza et
beurteilen, welche Ansätze besser
beschreiben. Im
werden die
ge¬
Folgenden
Beziehungen
[55] verwendet, die denen des CEB-FIP Model Code [22]
der
Betonzugfestigkeit ist nach den vorliegenden
der
Betondruckfestigkeit kann
Normalverteilung
Be¬
Formeln entwickelt worden. Eine ausführliche Zu¬
nicht abschliessend
Standardabweichung
oder
Gegensatz dazu ist die
Betondruckfestigkeit, Betonzugfestigkeit
empirische
Betonkenngrössen
Im
der Betondruckfes¬
Belastungsgeschwindigkeit abhängig.
Versuchsresultaten und verschiedenen
finden. Es lässt sich
die
der
Kapitels eingeführt.
Standardabweichung
tigkeit kann nach Zech und Wittmann [121] vernachlässigt werden.
im JCSS Pro¬
Daten et¬
Druckfestigkeit.
für die
Zugfestigkeit und
logarithmische Normalverteilung
(a)
aus
für den Elastizitätsmodul eine
angenommen werden.
(b)
150
ecl
ec2
Bild 3.11 -Mechanisches Modell für Beton:
(a) Versuchsresultate des Standard-Druckversuchs;
(b) idealisierte Spannungs-Dehnungsbeziehung für Beton.
39
Stochastische Werkstoffmodelle
Im
Folgenden wird ein vereinfachtes
des JCSS Probabilistic Model Codes
stochastisches Modell für Beton eingeführt, welches dem
[55] entspricht. Sind zeitabhängige Effekte relevant, wird
[55] verwiesen. Ein sehr ähnliches Modell wurde
auf
auf einer Feldstudie in Kanada
vorgeschlagen.
von
Zylinderdruckfestigkeit fco werden
siehe Bild 3.11 (a).
bestimmt,
Standardzylinder
nungsbeziehung
der
Mit den in Tabelle 3.3
fc
Betonzugfestigkeit
fct
E-Modul
Ec
Bruchdehnung
ne
ec2
-=
o.8o/cr
-=
0.3
-=
10500/c1/3
s-
==
fc2/3
i
f\—3
6x10
Beanspruchungen
durch den Potenzansatz
£cl
Gc=/C U"
wird die
r
-1/6
fc
Abgeleitete Betonkenngrössen,
Für zentrische
dem
basierend
einachsigen
ist die
Druckversuch
am
einachsige Span-
des Bauwerk-Betons bestimmt.
Bauwerk-Druckfestigkeit
-
aus
McGregor [10]
einachsige Spannungs-Deh-
angegebenen, abgeleiteten Betonkenngrössen
nungs-Dehnungsbeziehung
Tabelle 3.3
Bartlett und
Die Kennwerte für die
aus
JCSS
[N/mm2]
(3.33)
[N/mm2]
(3.34)
[N/mm2]
(3.35)
[-]
(3.36)
[55].
Spannungs-Dehnungsverteilung
in der Betondruckzo¬
[30]
£c
(3.37)
-c\
ausgedrückt.
Durch die Wahl des
und damit der Verlauf der
lauf der
Spannungs-Dehnungskurve
Spannungs-Dehnungsbeziehung
stic Model Code
%
Exponenten t, können die Völligkeits- und Schwerpunktswerte
variiert werden. So ist
es
möglich,
den Ver¬
den Versuchsresultaten anzupassen. Im JCSS Probabili¬
[55] wird für
Ececl
(3.38)
=
fc
mit
ecl
0.001
=
vorgeschlagen.
tragen,
was
l/c
1/6
(3.39)
Für exzentrische
in der
Spannungs-Dehnungsbeziehung
auf ec2 bei einer konstanten
In Formel
z
und k eines
Abstandes xxk. Die
mit dem
muss
fc
berücksichtigt
gegebenen Bauteils/
Druckfestigkeit fco
logarithmischen
Erhöhung
Spannungs-Dehnungsbeziehung
(3.33) bis (3.36)
Das stochastische Modell
Punkten
kann der Beton höhere
mit der
der
Spannung fco berücksichtigt wird [8,99,100].
gen wird eine linear elastische
nommen.
Beanspruchungen
Mittelwert X
bzw.
fco
mit der
in N/mm2
die Korrelation der
Randspannungen
Bruchdehnung
Für
von
ecl
Zugbeanspruchun¬
Bruchspannung fct
eingesetzt
er¬
ange¬
werden.
Druckfestigkeit
zwischen zwei
in Funktion der
ist eine
Zylinderdruckfestigkeit fco und des
logarithmisch normalverteilte Zufallsvariable
(CA) und der logarithmischen Standardabweichung
Çy
(C.5):
fco.„
'
40
co, 1J
=
exp(t/X
IJ^J
+
;U
(3.40)
Reale Werkstoffe
Innerhalb eines Bauteils sind die standard-normalverteilten Zufallsvariablen U
Puyukj=
Po +
O-Po)6
und
<*,/<**)
(3.41)
korreliert, mit der Einflusslänge dc
schiedene Bauteile sind U
und dem
0.5 Für ver¬
Konelationsparameter p0
Ulk unkoneliert, vgl. Rackwitz et al. [94] und Taerwe [111].
und
=
5.0
m
=
.
Im stochastischen Modell des JCSS Probabilistic Model Codes wird eine weitere
se
eingeführt,
und der
welche die
Verdichtung
tel in Grenzen
3.3.3
zu
Abhängigkeit
des Betons
halten,
der
wird auf die
Zufallsgrös-
der Nachbehandlung
Um den Rechenaufwand für die
Berücksichtigung
folgenden Kapi¬
dieser Variabein verzichtet.
Betonstahl
Spannungs-Dehnungsbeziehung und
v.a.
durch den
stähle
Herstellungsprozess
zeigen
eine
bei
£ra~13%
tonstahl
-
die mechanischen
beeinflusst.
Verfestigung
von
Naturharte, mikrolegierte
gemäss Bild 3.12
fsu/f
von
i.A. normaler Baustahl
beträgt ungefähr
Kenngrössen
-
~
Bild
1.05
205 bis 210 kN/mm2 und die
des
Spannungs-Deh¬
wird sowohl die
Vorgang
) stark veningert.
3.12(a) mit
Kaltverformung
entstehen Betonstähle mit einer
Durch diesen
~
Durch
1.30.
Betonstahl werden
oder vergütete Beton¬
Spannungs-Dehnungsbeziehung gemäss
(b).
) als auch die Verfestigung (ks
nungsbeziehung
3 %
dreiphasige
einer
Ausgangsmaterials
(esu
Bauwerk-Betonkenngrössen von
berücksichtigt.
Die
~
mit
Uk
Bruchdehnung
Der Elastizitätsmodul
Fliessgrenze/^, liegt
von
Be¬
zwischen 400 und 600
N/mm2.
(a)
(b)
£
F
Bild 3.12 -Idealisierte
(c)
0.2%
£
F
Spannungs-Dehnungsbeziehungen von Betonstahl: (a) naturharte, mikro¬
Betonstähle; (b) kaltverfestigte Betonstähle; (c) bilineare Idea¬
oder vergütete
legierte
lisierung.
Die
Fliessgrenze fsy
Variabilität der
geführt.
Die
ist die
Fliessgrenze
Streuung hängt
wichtigste Festigkeitsgrösse.
von
Betonstählen wurde 1979
stark davon
10
m
gleichen Durchmessers,
wird vorausgesetzt, dass sie der
denen Stahlwerken
effizient pK der
gleichen Charge
welche im
beträgt
Fliessgrenze fsy für
ca.
Fliessgrenze
4 bis
7%,
siehe
gleichen
Bis
Genauigkeit gleich
Bauteil
zu
eins
eingebaut sind,
entstammen. Der Variationskoeffizient der
in diesem Fall gemäss Melchers
Der Variationskoeffizient der
der
durch¬
Bewehrungsstabes ist vernachlässigbar klein.
kann der Konelationskoeffizient mit ausreichender
gesetzt werden. Für Stäbe
Fliessgrenze fsy kann
eingehende Untersuchung
Mirza und
McGregor [77]
ab, welche Grundgesamtheit betrachtet wird. Die Verän¬
derlichkeit der Eigenschaften innerhalb eines
Stablängen von
Eine
von
[75]
Stäbe
aus
Agostini [2]
zu ca.
1 bis 4% angenommen werden.
verschiedenen
bzw. JCSS
Chargen
[55].
und verschie¬
Der Korrelationsko¬
einzelner Stäbe in einem Bauteil wird mit 0.90 beziffert
[55].
41
Stochastische Werkstoffmodelle
Als
Verteilungstypen
für die
Fliessgrenze
von
Betonstahl werden in der Literatur Normalver¬
teilungen, logarithmische Normalverteilungen, Betaverteilungen
Typ
vom
fe,
was
I
und
Extremwertverteilungen
Die überwiegende Mehrzahl der Stichproben zeigt eine positive Schie¬
Qualitätskontrollen und dem Aussortieren von Mindergüten auch zu erwar¬
vorgeschlagen.
auf Grund
von
ten ist. Deshalb existiert auch ein
gewisser Mindestwert, der nicht unterschritten wird. Dieser
erscheinen, einen Verteilungstyp mit Minimalwert zu wählen, z.B.
Sachverhalt lässt
es
sinnvoll
eine verschobene
logarithmische Normalverteilung, vgl.
Der Variationskoeffizient der
der
Fliessgrenze/L,
der
diejenige
weil die
Fliessgrenze.
keit 40 N/mm2
angeben.
Zwischen
Zugfestigkeit
0.75-0.85
liegt,
Gemäss
Zugfestigkeit^
Standardabweichung
der Zugfestigkeit
und
Standardabweichung
ist wie
Zugfestig¬
als auch die
Durchmesser
Zugfestigkeit^ vom
Fliessgrenze
0.5 zwischen
von
Betonstählen
von
2%.
ungefähr
abhängig sind,
und Durchmesser bzw. 0.35
und Durchmesser.
Variationskoeffizienten und den
einen Wert
Verteilungstyp
der
Bruchdehnung esu
sind
[55] gibt für den Variationskoeffizienten der mittleren
9% an, und eine Konelation
von
ô10 bzw. p -0.55 zwischen Zugfestigkeit fsu
fsy
konstant (Es
205 kN/mm2) angenommen.
und
der
[55] und Spaethe [110].
finden. Der JCSS Model Code
Dehnung ô10
ungefähr gleich gross
fsy wxv&fsu kann der gleiche Verteilungstyp angenommen werden.
Fliessgrenze besteht eine Konelation, die in der Grössenordung von
Fliessgrenze fsy
Angaben über den
zu
ist etwas kleiner als der Variationskoeffizient
[55] ist der Variationskoeffizient des Durchmessers
Zugfestigkeit
[77].
Für
besteht eine schwache Konelation
kaum
Mirza et al.
Im JCSS Model Code wird für die
siehe JCSS
Weil sowohl die
zwischen
u.a.
von
ô10
und
=
p
=
-0.50 zwischen
Fliessgrenze
Der Elastizitätsmodul wird i.A.
.
=
Dehnung esv bei Verfestigungsbeginn von naturharten Betonstählen
nicht gefunden werden. Eine Auswertung von am Institut für Baustatik und Konstruktion
Untersuchungen
konnten
der ETH Zürich
über die
durchgeführten
Versuchen
ergibt
einen Variationskoeffizienten für esv
10%. Zudem kann eine leichte Konelation zwischen der
Verfestigungsbeginn esv
Für
die
von
idealisierten
in der Literatur verschiedene
weiteren Verlauf dieser Arbeit werden die
Ramberg
von
3.12
=
handelt
es
sich i.A.
[1] zeigen Spanndrähte
Fliessgrenze
k
fpu /fpy
fpy
von
eine
Für die
Beziehungen
Dehnung
bei
analytische
Alvarez
von
Modelle
[4],
gemäss
Bild
[95,104,112].
Im
welche auf dem Ansatz
oder ein vereinfachender bilinearer Ansatz gemäss Bild
in
Anhang
D
angegeben.
kalt gezogene Drähte.
beträgt ungefähr
Bruchdehnung
Rassmussen
wie für
e
durch den
Herstellungspro¬
gemäss Bild 3.13
(a). Die
N/mm2, und die Verfestigung
von
3-5%. Der Elastizitätsmodul
kN/mm2 und für Litzen etwa 195 kN/mm2.
der
Spannungs-Dehnungsbeziehung von Spannstahl
Ansätze verwendet wie für
von
Bedingt
im Bereich 1400-1700
1.15 bei einer
werden
Betonstahl. Im JCSS Model Code
[55]
kaltverfestigten
[96] modifizierte Ramberg-Osgood [95] Kurve vorgeschlagen. Im
weiteren Verlauf der Arbeit werden dennoch die
42
Betonstahl
von
Spannungs-Dehnungsbeziehung
analytische Formulierung
gleichen
wird eine
um
Spannstählen liegt
Ep beträgt für Drähte ungefähr 205
die
und der
Spannstahl
Spannstahl
zess
Osgood [95] basieren,
(c) verwendet. Die Beziehungen sind
3.3.4
Bei
und
festgestellt
Fliessgrenze fsy
werden.
Spannungs-Dehnungsbeziehungen
(a) und (b) existieren
3.12
ungefähr
0.50
von ca.
kaltverfestigten Betonstahl, jedoch
gleichen analytischen Beziehungen
mit den
Bezeichnungen gemäss
Bild 3.13
verwendet
(a) und (b).
Reale Werkstoffe
(a)
(b)
0.1%
<-pu
Bild 3.13 -Idealisierte
Spannungs-Dehnungsbeziehungen
Spannstähle; (c) bilineare Idealisierung.
Untersuchungen bezüglich
handen. Aufbauend auf den
der Variabilität der
Ausführungen
wird im JCSS Probabilistic Model Code
ben, welches
zur
Verteilungstyp
Kenngrössen
Mirza et al.
Spannstahl: (a) kaltverfestigte
von
Spannstahl
und der Arbeit
sind kaum
vor¬
Mathieu
[72]
[79]
[55] ein stochastisches Modell für Spannstahl
von
einfacheren Referenz hier
Variationskoeffizient und
von
wiedergegeben
der statistischen
ist.
von
angege¬
Mittelwert, Standardabweichung,
Kenngrössen
von
Spannstahl
können
gemäss Tabelle 3.4 angenommen werden.
Mittelwert
Kenngrösse
fpu
Standardabweichung
gemäss Hersteller
[N/mm2]
Variationskoeffizient
-
Verteilung
0.025
Normal
0.02
Normal
200000 für Drähte
195000 für Litzen
Ep [N/mm2]
'-pu
200000 für
0.05
\~\
Tabelle 3.4
-
Statistische
Gemäss Mirza et al.
tigkeit
fvv
>py
und der
=
-
Stangen
0.0035
Kenngrössen
von
für
[79] bzw. JCSS [55] existiert eine starke Konelation zwischen der Bruchfes¬
Fliessgrenze,
sodass
0.85/,
(3.42)
pu
Zusammenhang zwischen/, und/M gemäss (3.42)
Drähte, Litzen und Spannstangen.
Obwohl
Spanndrähte
oder Litzen kein ausgeprägtes
nungsbeziehung aufweisen,
kann die
keiten aller Litzen oder Drähte
Die Pressen
brachte initiale
len
Normal
Spannstahl.
angenommen werden kann. Der funktionale
gilt
-
zum
Festigkeit
ausgedrückt
eines
Fliessplateau
Spannkabels
in der
Spannungs-Deh¬
durch die Summe der
Festig¬
werden.
Vorspannen werden normalerweise regelmässig kalibriert, sodass die aufge¬
Vorspannkraft P0
Vorspannkraft vernachlässigt
sehr genau bekannt ist. Dadurch kann die Variabilität der initia¬
und
Pq
als eine deterministische Grösse betrachtet werden. In
[55] wird weiter ein stochastisches Modell für die Reibungsverluste und die zeitabhängigen
Spannkraftverluste vorgeschlagen.
ter behandelt
Da diese Effekte im weiteren Verlauf dieser Arbeit nicht wei¬
werden, wird auf [72] und [55] verwiesen.
43
Stochastische Werkstoffmodelle
Geometrische Grössen
3.3.5
Gemäss dem JCSS Probabilistic Model Code
Betonquerschnitten
Y
Die
<
ft7
und der
erfasst:
Abmessung Xnom
(3.43)
Y wird als normalverteilte Variable angenommen, mit dem Mittelwert
0.003
=
Xnom < 3
(3.44)
mm
Standardabweichung
G7=
(3.45)
4mm+0.006X„om<10mm.
Diese Formeln
keine
Abweichung
[55] wird die Variabilität der Abmessungen X von
Y vom Nominalwert der
X-Xnom
=
Zufallsgrösse
0
mit der
für Bauteile mit Xnom< 1000
gelten
signifikante Abhängigkeit
mm.
Für Bauteile mit Xnom> 1000
zwischen Xnom und Y beobachtet werden.
ten sowohl für Ortbetonbauteile als auch für vorfabrizierte Bauteile. Eine
mm
und
(3.44)
signifikante
konnte
(3.45) gel¬
Konelation
zwischen der Variabilität der Breite und der Variabilität der Höhe besteht nicht.
Für die stochastische
die Variabilität der
Formulierung
Abmessungen
Verlauf der Arbeit nicht
berücksichtigt
Ein stochastisches Modell für den
konnte nicht
des auf das
gefunden
=
und der
0
Betonüberdeckung und
den Einfluss der Bauteilart auf
verwiesen, da diese Aspekte im weiteren
werden.
Bügelabstand
oder die
Verlegegenauigkeit
der
werden. Weil in dieser Arbeit der Einfluss des Riss- bzw. des
Verformungsvermögen von vorgespannten Betonzugelementen
ein stochastisches Modell für den
\lY
der
wird auf die Literatur
Bewehrung
Bügelabstan¬
untersucht
wird, wird
angenommen, mit dem Mittelwert
Bügelabstand gemäss (3.43)
(3.46)
mm
Standardabweichung
c7= 10
(3.47)
mm.
Ausführliche Hinweise sind im JCSS Probabilistic Model Code
[55] und in Mirza
et al.
[76]
zu
finden.
Zusammenfassung
3.4
Es
gibt
nen
verschiedene stochastische Modelle für die
jeweils
lumens die
unterschiedliche
Festigkeit des
Extremwertbildung
Operationen notwendig
Bauteils
und die
Berechnung
ermitteln. Diese
zu
Integral-
bzw.
sind
von
um aus
der
Bauteilfestigkeiten,
Festigkeit
Operationen umfassen
Summenbildung.
Die drei
bei de¬
des Referenzvo¬
im Wesentlichen die
wichtigsten
stochastischen
Werkstoffmodelle sind:
•
Das Modell für ideal
spröde
•
Das Modell für ideal
plastische Werkstoffe.
•
Das Modell des Faserbündels.
Bei ideal
für das
sprödem
ist somit direkt
44
Werkstoffverhalten ist das schwächste Element
Bauteilversagen
des schwächsten
verantwortlich. Man
Kettengliedes.
vom
Werkstoffe.
Die
spricht
Festigkeit
Bauteilvolumen V
in diesem
eines Bauteils
abhängig,
(oder der grösste Defekt)
Zusammenhang
aus
einem ideal
auch
vom
spröden
Modell
Werkstoff
weil mit zunehmendem Bauteilvolumen die
Zusammenfassung
Wahrscheinlichkeit
zunimmt, tiefe Festigkeiten vorzufinden, d.h. die Festigkeit unterliegt einem
Massstabeffekt. Die
Kettengliedes
raus, kann mit der
plastischem
die
Fliessgrenze
der
verbleibenden
ideal
zum
spröden
«
—>
°°
zugehörige Verteilungstyp
Der
am
Bruch
ler und Rackwitz
inhomogene
beteiligten
n
Elementarvolumen gross, strebt der Vertei¬
Normalverteilung.
Faserbündels, wird die Beanspruchung des Bündels
den
von
Versagen einer Faser führt also nicht not¬
des Faserbündels. Für die
Fasern entwickelte Daniels
er, dass der
Der Widerstand
Gleichgewichtsbedingung über den Kontrollquerschnitt
dem zentralen Grenzwertsatz gegen eine
globalen Versagen
zeigte
vo¬
wird in der Literatur
unbegrenztem Verformungsvermögen.
-1 intakten Fasern übernommen. Das
n
wendigerweise
einer
Integration
Fasern eines
n
(3.8).
(3.4). Setzt das Modell
im betrachteten Bauteil
V* das Modell auch auf
Spannungsvolumens
Last bei
Festigkeit R gemäss
Versagt eine der
3 kleinste Werte
Typ
einem ideal
aus
Werkstoffverhalten trägt jedes Element nach Eneichen der streuenden
ermittelt. Ist die Anzahl der
lungstyp
des
R für ein Bauteil
bezeichnet.
entsprechende
des Bauteils wird durch
den Fall
Bauteilfestigkeit
homogenen Spannungszustand
erweitert werden
Weibull-Verteilung [119]
Bei ideal
einen
Berechnung
Spannungszustände
aus
der
Werkstoff ist eine Extrem wert-Verteilung
spröden
des schwächsten
als
Verteilungsfunktion
grosser Faserbündel
Festigkeit
[26] eine exakte rekursive Formel (3.18), und für
Verteilungstyp
einer Normalverteilung
entspricht.
Hohenbich-
[50] erweiterten Daniels Theorie auf beliebige Komponenten-Spannungs-Deh-
nungsbeziehungen.
Damit kann
gezeigt werden,
dass der Sicherheitsindex
ß
von
Faserbündeln
bzw.
Parallelsystemen aus einem ideal plastischen Werkstoff mit zunehmendem n sehr stark zu¬
nimmt, wohingegen der Sicherheitsindex für ein Parallelsystem aus einem ideal spröden Werk¬
stoff im Bereich kleiner
Seriensystem
n
zunächst
abnimmt, und dass sich ein Parallelsystem für kleine
Für bestimmte Werkstoffe beschreiben die klassischen Werkstoffmodelle die
Resultate gut: Für duktilen Stahl stellt das ideal
spröde
plastische
Modell eine gute
Werkstoffe werden durch das Modell des schwächsten
fasst werden. Für die
Beschreibung
kombiniert werden. Diese
Festigkeiten
Aussagen
zwischen der
des Verhaltens
führen
zur
von
Normalverteilung
telwert,
Spannstahl
Streuung
Abschliessend sind
sind
einige
dass die
vorgestellt,
[55]
Informationen über die
und die Korrelation zwischen den
einige Angaben
wenigen
über die Variabilität
dar. sehr
und
Ausnahmen gut
er-
Verteilungsfunktionen
und der Weibull-Verteilung
Modelle realer Werkstoffe des JCSS Probabilistic Model Code
ton, Betonstahl und
experimentellen
Näherung
Beton müssen die erwähnten Modelle
Schlussfolgerung,
auf aufbauend wird ein hierarchisches Werkstoffmodell
die
wie ein
Kettengliedes gut angenähert,
Paralleldrahtkabel können durch das Modell des Faserbündels mit
von
n
verhält.
dass als
müssen. Dar¬
Grundlage
für die
dient. Für die Werkstoffe Be¬
Verteilungsfunktion,
Kenngrössen
von
liegen
der Werkstoffe
geometrischen
Grössen
den Mit¬
angegeben.
aufgeführt.
45
Stochastische Werkstoffmodelle
46
4
Stochastische
4.1
Übersicht
Festigkeit
Mit den Modellen und Methoden der vorangegangenen
berechnungen
vorgespannten Zugelementen
an
beln bzw. Seilen und vorgespannten
Zugelementen
von
Kapitel
ist
Betonzugelementen
serbündels wird für
Spannkabel mit wenigen
wahrscheinlichkeit
des
so
Spannkabels
wie die
berücksichtigt.
möglich, Zuverlässigkeits¬
Spannka¬
unterschieden.
Aufbauend auf den klassischen Werkstoffmodellen des ideal
wohl den Daniels-Effekt als auch den
es
durchzuführen. Dabei wird zwischen
spröden
Werkstoffs und des Fa¬
Litzen ein stochastisches Modell
Weibull-Längeneffekt
Der Einfluss einer örtlich
bei der
das
vorgestellt,
Berechnung
der
so¬
Versagens¬
begrenzten Querschnittschädigung
auf den Sicherheitsindex wird anhand eines einfachen Modells
diskutiert, eben¬
Frage, inwieweit sich eine mögliche Verbundwirkung auf die Systemsicherheit
aus¬
wirkt.
Beschreibung
Zur
modell
des Verhaltens eines vorgespannten
[4,70,71,106,107] verwendet, welches
Betonzugelemente
erweitert wird. Es
sches finites Element
aufgefasst
zeigt sich,
werden
Betonzugelements
möglich
zur
Beschreibung
wäre. Abschliessend wird eine Parameterstudie
am
Institut
am
von
Stahl¬
Beispiel
ei¬
vorgespannten Betonzugelements durchgeführt, wobei für die Berechnung der Sicherheitsin¬
nes
dizes ausschliesslich der
Die
SORM-Algorithmus
Zuverlässigkeitsanalyse
schen Werkstoffmodellen
von
Anwendung
kommt.
von
Spannkabeln
Bauteilen, und das Modell
rallel
geschalteten
wieder
den. Im
als
Kabelfestigkeit.
Zuge dieser Arbeiten stellten
tisches Modell für die statische
sichtigten den Einfluss
der
Kabellänge
Korrelationslänge
Spannkabel
mit
n>
100
auf die
vorgestellten
auf die
des
und der
[35]
klassi¬
Bruchfestigkeit
von
pa¬
Dieses Thema wurde Ende der 80er Jahre
den USA starke Korrosionsschäden
Matteo et al.
Festigkeit
aber den Daniels-Effekt. Faber et al.
fluss der
von
3
Weibull beschreibt den Ein¬
Daniels veranschaulicht den Einfluss der Redundanz
von
Hängebrücken in
an
Kapitel
Kabellänge (Weibull-Längeneffekt)
Elementen auf die
aufgegriffen,
beruht auf den in
Weibull und Daniels. Das Modell
fluss des Bauteilvolumens bzw. der
von
zur
Spannkabel
4.2
für
Zuggurt¬
dass das resultierende Modell als ein stochasti¬
kann, und dass diese Erweiterung für andere
für Baustatik und Konstruktion der ETH Zürich entwickelte Modelle
betonbauteilen ebenfalls
wird das
einem stochastischen Modell für vorgespannte
zu
[73] und später Haight
Hauptkabels
von
et al.
Hängebrücken
festgestellt wur¬
[47] ein stochas¬
vor.
Sie berück¬
Spannungs-Dehnungsbeziehung, vernachlässigten
untersuchten die oben genannten Effekte sowie den Ein¬
Systemsicherheit von
Komponenten,
da dafür die
Kabeln. Sie
präsentierten
v.a.
asymptotischen Lösungen
Resultate
von
Daniels
(3.19) bis (3.23) anwendbar sind.
Einzelne Drähte oder Litzen können als ein
3.2.1) angesehen werden, siehe Bild
4.1
System
des schwächsten
Kettenglieds (Kapitel
(a) und (b). Die Anzahl der Elemente m hängt im We-
47
Stochastische
Festigkeit von Zugelementen
(a)
^u
Bild 4.1
Stochastisches Modell für
-
der
pxx(l)
sentlichen
(ungeschädigt
Die
Drahtlänge /,
oder
geschädigt)
Werkstoffparameter
Resultate
der
der
von
Festigkeit
(/0, ft0> c0' xo)
>
Spannkabel: (a) Bezeichnungen; (b)
den statistischen
Spannungs-Dehnungsbeziehung
aus
und der
Zugversuchen
gewonnen
Konelationslänge
L
korreliert angenommen werden
länge, ft0 bzw. G0 den Mittelwert bzw.
Versuch festgestellte Mindestfestigkeit
d.h.
LP= jlPxxiVfà
worin
net,
Bild 4.1
l
l
Vo
U
L.
geprüften
der
Zugfestigkeit
und x0 die im
Werkstoffes. Die Definition der Konelati¬
(4.1)
:
geben
für
länge
/ an; für
Bruchfestigkeit
kann mit Hilfe des Verhältnisses
L
V0
der
Weibull-Verteilung (3.4) dargestellt
unbeschädigte Spannkabel die Korrelationslänge
beschädigte
Durchmesser d
können,
oder alte
1
=
in der
reduziert sich die
Korrelationslänge
auf wenige
bestimmt
pxx(i)
Proben unterschiedlicher
an
Diese Ver¬
muss.
ohne Verbund
wird ein stochastisches Modell
Danielseffekt und der Einfluss der
vorgestellt,
Konelationslänge
L
bei dem der
Weibull-Längeneffekt,
berücksichtigt wird.
von
Spannkabeln gesprochen.
nunsdiagramm
verteilten
des
Einfachheitshalber wird ein bilineares
Spannstahl vorausgesetzt,
Zugfestigkeit X,
misch normal verteilten
der
welches mit der nach einer
logarithmisch
Fliessgrenze
E bestimmt ist. Sind die Parameter
l0,
normalverteilten
der
Es wird dabei nicht
zwischen Litzenkabel und Paralleldrahtbündel unterschieden und stellvertretend für beide
systeme
[35]
der Kabel¬
Grössenordnung
Länge l0 notwendig.
vorhanden, sodass die Konelationsfunktion nicht bestimmt werden
Zugversuche
gesetzt werden
Spannkabel
Folgenden
Spannkabel
L
werden. Faber et al.
des Kabels. Damit die Parameter der Korrelationsfünktion
sind
suchsresultate sind i.A. nicht
kann, und t,
X eines einzelnen Drahtes bezeich¬
(4.2)
durch die Parameter V und
4.2.1
des
(b). Die Konelationslänge
V
werden
Standardabweichung
die Konelationsfunktion der
pxx(i)
vgl.
können, beschrieben werden. l0 bezeichnet die Proben¬
die
lautet
onslänge
48
,
Länge, über welche die Materialparameter und/oder die Defekte entlang dem Spannkabel als
perfekt
Im
Kenngrössen des Werkstoffs und dem Zustand
des Drahtes ab.
und die Defekte können mit Hilfe der
der
Korrelationsfünktion
X einzelner Drähte.
Spann¬
Spannungs-Deh-
Weibullverteilung (3.4)
Bruchdehnung Y,
der
logarith¬
Z und dem als konstant angenommenen Elastizitätsmodul
ft0, o0 und x0 bekannt, lassen sich mit (3.5) und (3.6) die
Spannkabel
Parameter der
fünktion
FXYZ(x,y,z)
2.3.6 und
Kapitel
Fall numerisch
züglich
Weibullverteilung
der
k bzw. xc berechnen. Die multivariate Wahrscheinlichkeits¬
wird durch eine
3.2.3
aufgezeigten
gelöst werden
-
Nataf-Verteilung (A.55) angenähert.
Verfahren
-
Mit den in
die Rosenblatt-Transformation
kann der allgemeine Sicherheitsindex
ß
=
-O
muss
Kapitel
in diesem
(Pf) (2.12) be¬
Grenzzustandsgleichung
g(x,y, z, n,m,T)
=
berechnet werden. Dabei wird die
bestimmt. Die
(4.3)
R(x,y, z,n,m)-T<0
Beanspruchung
Versagenswahrscheinlichkeit
T wird ohne Verlust der
P^ mit einer SORM-Berechnung
Allgemeinheit
als deterministisch ange¬
nommen.
Bild 4.2
(a) zeigt den Einfluss der Kabellänge
bezüglich
n
des Sicherheitsindexes
ß
der Sicherheitsindex mit zunehmender
(a)
.
Da
es
l
=
ml0
und den Einfluss der
um
ein
sich
Kabellänge
/
Komponentenzahl
Kettenglied-System handelt,
nimmt
ab, vgl. Bild 4.2 (a) ab. Gleich verhält
es
(b)
10
1
"V
P*=0
^^—n
\K
Psys
=1
K
[-]
5
^S^^x^ft
["]
=
10
^45
100
m
(C)
100
[-]
[-]
m
(d)
10
Hx
=
1800
Vx
=
0.05
fly
=
0.10
Vy
=
0.10
f*Z
=
1500
VZ
=
0.10
\iT
=
1440
Vr
=
0.00
Psys
Pxz= 0.85
[-]
PXY= -0.55
Pyz
F
=
-
i^p
h
0.15
Bild 4.2
-
210000
750
il
X
z
k
}
(1
SORM
0
Vit-]
=
-0.50
G
Pk[-]
FORM
y
[1mm
,
e
N/mm2]
Zuverlässigkeit von Spannkabeln: (a) Einfluss der Kabellänge auf die Systemsicher¬
heit ß
; (b) Verhältnis k in Funktion der Anzahl Komponenten n ; (c) Einfluss des
Variationskoeffizienten Vx ; (d) Einfluss der Konelation pK zwischen den Bruchfes¬
tigkeiten Xx. N.B: Berechnungsparameter und Spannungs-Dehnungsbeziehung eines
Drahtes siehe Bild.
49
Stochastische
Festigkeit von Zugelementen
sich mit dem Verhältnis der Sicherheitsindizes
hältnis
gemäss Bild 4.2
K
wird für
1 nicht
n >
Der Einfluss der
vom
Eine
der
Veränderung
von
In
3 ist
Kapitel
Änderungen
wird
(a)
ist auch
L
massgeblich
vom
aus
gezeigt,
der
=
1). Für
n, d.h. der
von
n >
ist das Ver¬
1
Weibull-Längeneffekt
umgekehrt.
Bild 4.2
(a) ersichtlich, denn der Verlauf
Verhältnis l/L
verändert den Verlauf der Kurven
L
=
m
gemäss (4.2) bestimmt.
nicht, bewirkt jedoch ein Skalierung
Kabellänge.
ß
dass der Sicherheitsindex
des Variationskoeffizienten der
Modell basiert auf den
(/w)/ßsys(m
Daniels-Effekt beeinflusst und
Kabelfestigkeit bezüglich
auf
ß
=
(b) jedoch nahezu unabhängig
Korrelationslänge
der Kurven in Bild 4.2
K
gleichen Grundlagen,
eines
Kettenglied-Systems empfindlich
Das hier
vorgestellte
Aussagen
für ein Seri¬
Bruchfestigkeit reagiert.
womit die dort formulierten
ensystem auch für Spannkabel gültig sind. Mit zunehmender Länge des Spannkabels nimmt auch
der Einfluss des Variationskoeffiezienten
verdeutlicht.
Entgegengesetzt
Kabelquerschnitt ausgemittelt
In
i
des
Spannkabels
einzelnen
nes
Kapitel
1,...,
=
es
Vx
auf die
sich mit der
Drahtes,
wird
(vgl. Kapitel 3.2.2).
sich
positiv
für ein
nehmender
auf die
negativ
auch für ein
ß
ab. Dabei
kleiner
zum
wird, vgl.
Vergleich mit
FORM-Berechnung
Der
aus
der
SORM-Berechnung,
(4.3)
im
was
Bild 4.3
Bild 4.2
zeigt sich,
Zugfestigkeit X ei¬
(d).
dass der Einfluss
=
von
pK mit
zu¬
1.0 kann für die in
werden, weil die Konelationsmatrix für
einige
FORM-Resultate
angegeben.
derjenige
aus
Krümmung der Grenzzustandsfünktion
hindeutet.
stillschweigend vorausgesetzt,
dass sich die
eines Drahtes der
aus
Standardversuchen bestimmte
Länge l0 ohne Einschränkung auf Drähte der
(c)
(a) Bezeichnungen; (b) Kraft-Dehnungsbeziehung des
Stabes am geschwächten und ungeschwächten Querschnitt; (c) Verhältnis der mittle¬
ren Bruchdehnung am geschwächten zu jener am ungeschwächten Stab in Abhängig¬
keit der Verfestigung
kp N.B: /// 0.1, aus Fürst [44].
Zugstab
mit lokaler Störzone:
=
.
50
der
denn mit zunehmender Konela¬
Der Grenzfall pK
den SORM-Resultaten
(b)
-
Vx
auswirkt.
zwischen den
pK
Spannkabel,
auf eine kleine konvexe
Spannungs-Dehnungsbeziehung
(a)
weil die Fehlstellendichte über den
resultierende Sicherheitsindex ist etwas grösser als
massgebenden Bemessungspunkt
Bisher wurde
n
définit ist.
In Bild 4.2 sind
der
(c)
mit zunehmendem
Festigkeiten Xx,
Komponenten eines Faserbündels diskutiert. Die dort formulierten
Parallelsystem gelten
Kabellänge
zu, wie Bild 4.2
n :
Der Variationskoeffizient der Bruchfes¬
Systemsicherheit
Bild 4.2 angenommenen Parameter nicht eneicht
pK
Vx,
3.2.3 wird der Einfluss der Korrelation
tion pK nimmt der Sicherheitsindex
0.7
Komponentenzahl
ist somit kleiner als der Variationskoeffizient
was
verschiedener
n
Aussagen
>
Systemsicherheit ß
sich der Einfluss des Variationskoeffizienten
verringert
tigkeit
verhält
Spannkabel
/
Länge
übertragen
lässt.
Bedingt
durch den
eine Span¬
(a). Durch die plastischen Beanspruchungen beim
Herstellungsprozess zeigen Spanndrähte
Bild 3.13
nungs-Dehnungsbeziehung gemäss
Kaltrecken der Drähte kann der
Querschnitt lokal geschwächt werden. Muttoni [83] und Sigrist
[107] haben bereits darauf hingewiesen, dass schon relativ kleine Querschnittsschwächungen
kombiniert mit einer geringen
tilität
Verfestigung
Drähten haben. Fürst und Marti
von
kaltverformten Betonstählen. Die
mit lokaler Störzone
foApsfpu* Apfpy
Bild 4.3
mit
—F
=
m
pu,
j
pu
h
e
-e
=
m
pu,
+ \ F
\
pu
J
py
+
+
Jpu
kleine
in
m
A
EL. (e
J pu
p
einer
werden unter diesen
f
v
(4.4)
-%y)
pu
Jpy
mit
was
Verfestigung
k
kombiniert mit einer
Bruchdehnung
v.a.
A
s
die reduzierte
ist in Bild 4.3
(c) dargestellt. Schon
geringen Verfestigung,
des Kabels
Folge,
zur
haben eine be¬
denn die
plastischen
in der Störzone lokalisiert. Für grössere
plastischen Dehnungen unabhängig
einen beträchtlichen Verlust
an
zur
kp
Quer¬
ausschliesslich in
auf den Sicherheitsindex
Querschnittsschwächung
Berechnung
weiterhin benutzt werden können. Schon kleine lokale
von
Verformungsvermögen zur Folge
Draht des Kabels in der Störzone den
jeder
aufweist, weshalb die bisher benutzten Verfahren
Querschnittsflä¬
auf die Reduktion der mittleren Bruchdeh¬
Querschnittschwächung
den Einfluss einer
wird vorausgesetzt, dass
Querschnittsfläche und
Bedingungen
werden die
lokalisiert,
zeigt
Spannkabels
(4.5)
bezeichnet die
Abhängigkeit
schnittsschwächungen
Bild 4.4
des
m
A
Tf
trächtliche Reduktion der mittleren
der Störzone
_
^Apsfpu< Apfpy
Querschnittsschwächungen,
Dehnungen
Stab
beanspruchten
einer bilinearen Kraft-
l-l.
f
1 f
che eines Drahtes. Der Einfluss der
e
von
fpuAp,s(l~h)
berechnet werden. A
nung
einem auf Zug
an
Ausgehend
(b) kann die mittlere Bruchdehnung epu
p,s
f
Jpy
bzW-
=fpy/Ep
£py
siehe Bild 4.3.
mit
/.
F
f /f einen nachteiligen Einfluss auf die Duk¬
[43] verifizierten dieses Verhalten mit Versuchen an
=
Zusammenhänge können
dargestellt werden,
Dehnungsbeziehung gemäss
k
ß
hat.
.
Es
gleichen Querschnittsverlust
des Sicherheitsindexes
ß
Querschnittsreduktionen haben gemäss
Hx= 1800
Vx
Hr=0.10
Vy =0.10
XJkp
Vz =0.10
fiz=
=
0.05
\iT= 1440
Vr
Pxz=0.85
Ep
Pxy=-0-55
l0 =750
PyZ=-0.50
h =0.1/o
P*
=o
n
=
0.00
=210000
=5
[mm, N/mm ]
m
Bild 4.4
-
[-]
M-]
Zuverlässigkeitsberechnungen für einen Zugstab mit
der Querschnittsreduktion A
/A ; (b) Verhältnis k
k
N.B: Berechnungsparameter siehe Bild.
s
lokaler Störzone:
in Funktion der
(a) Einfluss
Verfestigung
.
51
Stochastische
Bild 4.4
Festigkeit von Zugelementen
(a) einen stark negativen Einfluss auf den Sicherheitsindex. Bild
Einfluss der
Verfestigung
k
auf
ß
bei
(b) verdeutlicht den
4.4
gegebenem Querschnittsverlust.
Für k
<
/A
(A
)_1
k
ß (J4 /Ap)/$sys(Ap /Ap 1) nahezu konstant. Dies ist darauf zurück¬
zuführen, dass kaum plastische Verformungen stattfinden und sich das Spannkabel demzufolge
ist das Verhältnis
=
=
s
s
nahezu linear elastisch verhält. Für k
Fehlstelle
Damit kann die
Spannkabel
ß
In den weitaus
wendung.
der sie
häufigsten
Verbund sind
gerissen,
Spannkabel
Zugkräfte
zur
lange, geschädigte
Berechnung
des Sicher¬
[35].
Kabel im Verbund
Spannglieder als
Verbundwirkung
belastet. Im
von
der
zur
An¬
Vorspannung
Vorspannung entlastet, und gleichzei¬
Gegensatz
zu
den
Spannkabeln
ohne
im Verbund somit durch einen
Drähten
jedoch
nigen
Faber et al.
Zwischen zwei Rissen wird die
Beton durch
Normalerweise werden die
sprucht
u.a.
werden Kräfte durch
sprucht.
an
soll, siehe
Systemsicherheit auswirkt.
dass für
bestätigt werden,
Fällen der Praxis kommen
umgelagert.
umgebende
positiv
auch ausserhalb der
im Verbund
Ist das Bauteil
auf den Beton
tig
hingegen
auf die
Spannungs-Dehnungsbeziehung
angenommen werden
Spannkabel
4.2.2
können sich
sich
was
verschiedener Autoren
Aussage
eine linear elastische
heitsindexes
)_1
/A
>(A
plastische Verformungen einstellen,
Proben
inhomogenen Spannungszustand bean¬
Kenngrössen und die Spannungs-Dehnungsbeziehung von
bestimmt, welche durch einen homogenen Spannungszustand bean¬
sind. Dadurch unterscheidet sich das
Spannungsvolumen
V*
(3.9) der Probe
von
demje¬
des Kabels im Bauteil.
Zugunsten einer übersichtlichen Darstellung wird der Rissabstand sr konstant angenommen
plastische Verbundspannungs-Schlupf-Beziehung vorausgesetzt, siehe Bild
und eine stan-ideal
4.5
(a). Werden über Verbund p% der im Riss wirkenden Kraft im Spannkabel Tmax gemäss Bild
4.5
(b) linear bis
zur
Risselementmitte
bels im Verbund unter
V*
l
=
(l+k)p
ausgedrückt
Verwendung
abgebaut,
von
kann das
V* des
Spannungsvolumen
(\-(\-p)k+l)
werden. Im
mäss in das Volumen des
(4.6)
Grenzübergang p—>0 geht
das
Spannungsvolumen
homogenen Spannnungszustandes
(a)
Spannka¬
(3.9) mit
V
=
V*
erwartungsge-
l über.
(c)
À
r~
p>0
Ap Jpu
p
Y^'
fpy
(b)
If
il p
(1-P) Tn
iBild 4.5
-
-py
-pu,m
-pu
Spannkabel im Verbund: (a) Verbundspannungs-Schlupf-Beziehung; (b) Kraftverlauf
Spannkabel; (c) Spannungs-Dehnungsbeziehung eines Spannkabels ohne Verbund
im
und mit Verbund.
52
4
[l
Spannkabel
Als
Folge
der
Verbundwirkung
stand gemäss Bild 4.5
die minimale
die mittlere
Zugkraft
zwischen der
Vorspannung und dem Bauteil wird
(c) das Verformungsvermögen des Kabels
im
Spannkabel Tmxrx
Bruchdehnung
e
=
(\-p)Tmax grösser als
unter Annahme einer bilinearen
m
auf
von e
e
m
im Bruchzu¬
reduziert. Ist
die Fliesskraft A
kann
f
Spannung-Dehnungsbeziehung
mit
e„,_
-|
=
pu,m
(l-P)fpu-fp^
£„„ + £„„+-
pu
JJU
py
f
berechnet werden. Darin ist
che
entlang
weiter
dem
(4.7)
JPy\,p<\-JJ2L
pv
pu
(fpu -fpy)/(epu epy). Sind nicht alle Berei¬
Fpy fp/Ep und Epv
Spannkabel plastifiziert, d.h. ist Tmxrx< A f wird das Verformungsvermögen
=
=
-
reduziert, und die mittlere Bruchdehnung kann mit
pu,m
_^+epy(1
^
2
fpy-(l-P)fpu)
Pf
epy +
fpy
V~P)fPU
(1
P)fpU^ ^p>xJel
PJpu
/pu
(4.8)
Jpu
bestimmt werden.
Bild 4.6
l
=
4.6
ml0
zeigt
den Einfluss
von
p auf den Sicherheitsindex
im Verbund. Guter Verbund zwischen Bauteil und
$sys
(a) den Längeneffekt. Mit zunehmendem p nimmt
nicht
kompensiert
heitsindizes eines
in Funktion der
Spannkabels
Länge
/ verdeutlicht. Bei
bund wesentlich stärker auf die
m
Bild 4.6
-
(b)
der
Länge
reduziert gemäss Bild
Längeneffekt
kann aber
mit dem Verhältnis der Sicher¬
entsprechenden Spannkabel
wirkt sich
ohne Verbund
demzufolge guter Ver¬
als bei kurzen.
Pl%]
[-]
Systemsicherheit von Spannkabeln im
Weibull-Längeneffekt; (b) Verhältnis
Spannkabels
Spannkabel
langen Spannkabeln
Systemsicherheit aus
eines
stark zu, der
werden. Dieser Sachverhalt ist in Bild 4.6
im Verbund und dem
ß
Verbund:
k
=
$
(a) Einfluss des Verbundes auf den
(m,p)/$ (m,p 0). N.B: Berech¬
=
nungsparameter siehe Bild 4.4.
53
Stochastische
Festigkeit von Zugelementen
Festigkeit vorgespannter Betonzugelemente
4.3
Stochastische
4.3.1
Mechanisches Modell
Bei der
Berechnung
des
Trag- und Verformungsverhaltens
ten werden verschiedenste Verfahren
deliegenden
den. Zur
das
nach Alvarez
Risselement,
[4] verwendet.
mit einer
bezüglich den der Berechnung zugrun¬
Zuggurtmodells ist,
(a).
Betonzugelementen gut beschrieben
Verbundspannung, ô
zeichnet Tb die
Von
dass mit dem Modell das
Verbundspannungs-Schlupf-Beziehung
des
den
wird ein
Betonzugelement
Betonquerschnitts symmetrisch
können, auch
möglich
wenn
ange¬
für das Verständ¬
Verformungsvermögen und
werden
wird hier
Betonzugelemente
grundlegender Bedeutung
einfach wie
so
Teil stark unterschei¬
zum
Zuggurtmodell
Im
bezüglich
Bild 4.7
Bewehrung idealisiert, vgl.
bewehrten
vorgespannten Betonzugelemen¬
des Verhaltens vorgespannter
analytischen Beschreibung
Zuggurtmodell
nis des
von
Modellen und dem damit verbundenen Rechenaufwand
durch ein einzelnes
ordneten
angewendet,
die sich
die
Traglast von
die dafür
angesetzt wird. Im
notwendige
Folgenden
Schlupf, As, Es und 0 die Querschnittsfläche,
Bewehrung, und Ac die Querschnittsfläche des
Elastizitätsmodul bzw. den Durchmesser der
tons. Um mit Hilfe der
Differentialgleichung
des verschieblichen Verbundes
die mittlere
Dehnung
Folge
dreimaligen Integration
bundspannungs-Schlupf-Beziehung x6(ô) klein,
werden. Aus diesem Grund
wehrungsstabes
sein;
für die
genügt eine
es
muss
der
grobe Näherung.
4.7
(b). Die Funktion x6(ô) ist bei dl(as
=fsy)
%),.
=
präzise
um
bekannt
schlägt Sigrist [106,107]
der verminderten
vor, siehe Bild
Verbundwirkung
tragen. Für Betonstahl empfiehlt Sigrist, die Ver¬
dem Fliessen mit
Fliessenbeginn
Kenel
[58]
Dehnungsmessungen
durch
und
zeigte,
Spannungs-
und
mit x61
=
s
führte eine
an
Verbundspannungsverlauf im
rechneten
Risselementes nicht
(4.10)
tonzugfestigkeit.
dellen
eines Be¬
2/f
und nach dem
schen
abgetreppt,
zu
ausgemittelt
Verbundspannung entlang
stan-plastischen Verbundspannungs-Schlupf-Beziehung
Fliessbeginn der Bewehrung Rechnung
vor
(4.9) dreimal integriert
weil Fehler in der Ansatzfünktion
Verformungen eines
Verwendung
bundspannung
muss
Aufbauend auf diesem Gedanken
die
nach
einer
können,
zu
wird der Einfluss der Ansatzfunktion der Ver-
der effektive Verlauf der
Berechnung
Be¬
<49)
eines Risselementes berechnen
dieser
den
[63,97]
frv0fe+^=^
werden. Als
be¬
Tb0
s
/2 in
Rechnung
Nachrechnung
dass
mit
Mittel gut
dem
stan-plastischen
approximiert wird,
Dehnungsverläufe entlang
der
stellen.
fct
bezeichnet die Be¬
von faseropti¬
[59] mit verschiedenen Verbundmo¬
von
einbetonierten Betonstählen
zu
Versuchsresultaten
Ansatz
und die mit dem
Bewehrung
nach
Sigrist
Zuggurtmodell
der
be¬
sehr gut mit den Versuchs¬
resultaten übereinstimmen.
Die
Verbundspannung
%0,p
=
=
von
Litzenspannglieder kann gemäss
Marti
[69] mit
6(K-3
+
(4-11)
fmw entspricht der mittleren Würfeldruckfestigkeit
des
Injektionsmörtels,
Jl2n-3)jA/(lKn)
ist der kleinste konvexe
schnittsfläche und
54
dem Fliessen
4Jfmw^p
berechnet werden.
up
vor
n
Umfang
(4.12)
des Litzenbündels in
die Litzenzahl des
und
Spannglieds.
mm.
Dabei bezeichnet A
Der Ansatz
die
Quer¬
(4.11) basiert auf der linearen
Stochastische
(a)
Festigkeit vorgespannter Betonzugelemente
(b)
àlp(Op=fpy)
T+l0 t(x) dx
(f)
2
1
I
(g)
Srl
i
m
•
I
Os£s
Gp £p
Bild 4.7
-
Mechanisches Modell vorgespannter
Betonzugelemente (a) Risselement und Be¬
zeichnungen, (b) Verbundspannungs-Schlupf-Beziehung von Betonstahl und Spann¬
kabel, (c) Spannungs-Dehnungsbeziehung von Beton auf Zug, (d) Spannungs-Deh¬
nungsbeziehung von Betonstahl und Spannstahl, (e) statisches System und Belastung,
(f) FEM-Modell eines vorgespannten Betonzugelementes, (g) Spannungs- und Deh¬
nungsverlauf des Betonstahls und des Spannstahls im Zugelement
55
Stochastische
Festigkeit von Zugelementen
Bruchmechanik, damit ein möglicher Massstabeffekt der Verbundspannung bezüglich des Ver-
bundumfanges
berücksichtigt
u
werden kann. Neuere Versuche
Ullner und Marti
von
[117] zei¬
gen jedoch, dass dieser Ansatz konservativ ist.
Für die
ziehung
Verbundspannung
an.
Die
Verbundspannung
dem kleinsten konvexen
up
Die
=
2(K-3
+
vor
geben
dem Fliessen kann mit
Marti et al.
(4.11)
[70] eine analoge Be¬
bestimmt werden, jedoch mit
Umfang
Jl2n-3)jA/(nn).
nach
Verbundspannung
Für den auf Zug
hung
Paralleldrahtbündeln
von
Fliessbeginn
beanspruchten
angenommen, siehe Bild 4.7
tonkenngrössen fct und Ec
nungsbeziehungen
(4.13)
ist auch lbl
Tb0
=
/2
Beton wird eine linear elastische
(c),
und die
von
Kapitels
Spannstahls (Bild
werden die
Spannungs-Dehnungsbezie¬
der Zylinderdruckfestigkeit/
werden gemäss Tabelle 3.3 berechnet.
des Beton- und des
Im weiteren Verlauf dieses
.
Bezüglich
(d)) gibt
4.7
es
der
keine
abgeleiteten
Be¬
Spannungs-Deh¬
Einschränkungen.
analytischen Beziehungen gemäss Anhang
D
ver¬
wendet.
Eine ausführliche Diskussion vorgespannter
der das
für zyklische
Zuggurtmodell
difizierte Version dieses Modells
Das
Zuggurtmodell eignet
Auf eine
tonzugelementen.
ist Fürst
Betonzugelemente
Beanspruchungen
erweiterte. In
Anhang
[44]
zu
verdanken,
E ist eine leicht
mo¬
wiedergegeben.
sich gut für die computergestützte
eingehende Betrachtung
von
Berechnung
von
bewehrten Be¬
FEM-Methoden wird hier aber verzich¬
tet, da dies den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde. Stattdessen wird auf die umfassende Lite¬
ratur
verwiesen, siehe
Baustatik
-
Ostenfeld
rie
von
hier sind
vor
mentkonzepts
allem die
Darstellung
dieser Arbeit. Vor allem stellte
und
Müller-Breslau
eingeführte
völlig
duale
Clough [115] gelang
Begriffe finite
die
der
Argyris
die mechanische
von
Einführung
des
der
vollzogen.
tigkeitseigenschaften belegte Linien,
existieren
tenpunkte
nur
in deren
Weggrössenverfahren gelang.
Nachgiebigkeitsmatrizen
Stabtragwerk.
Sie prägten ebenfalls die
method, die
zu
einem
Synonym
für die comput¬
wird der
Übergang
von
den klassischen
d.h. durch kontinuierlich mit Masse,
Prinzip
und Fes¬
hingegen
von
Punkten im Modellraum
Einzelpunkten,
den sogenannten
Knotenpunkten.
des
den dis¬
Steifigkeits-
approximativen Bestimmung
beiten nach dem
zu
Flächen oder Volumina. Diskrete Strukturmodelle
gebildet;
diskrete
Knotenpunkten.
Zustandsgrös-
Benachbarte Kno¬
im Modellraum können durch Linien oder Flächen miteinander verbunden
schen den inneren diskreten
Turner
und
Steifigkeits-
durch der Modellraum in eine Vielzahl finiter Elemente
dienen einer
Konzeptes,
Die klassischen Strukturmodelle werden durch ein- oder
gebildet,
werden durch eine endliche Anzahl
ins Zentrum seines
wurden.
Elementkonzepts
mehrdimensionale Kontinua
Energie
Kraft- und
erstmalige Ermittlung
element und direct stiffness
kreten Strukturmodellen
sen
von
in einer Se¬
in Matrizenform sind das Resultat
Festkörpermechanik
Formulierung
ergestützten Berechnungsverfahren
Mit der
[85] und die
-
eines Schubfeldes und deren Einbau in das Modell für ein
beiden
Kraftmethode
[87,88] zu nennen begründete Argyris
[6,7] die Methode der Finiten Elemente. Die konsequente Einführung eines Ele¬
und die
wodurch ihm die
von
[62]. Aufbauend auf den klassischen Methoden der
Deformationsmethode
vorgestellte
Artikeln
et al.
Krätzig
u.a
aufgeteilt
der Flexibilitäts- oder
Steifigkeitskopplungen
Die meisten der heute üblichen
Weggrössenverfahrens.
werden,
wo¬
wird. Diese finiten Elemente
zwi¬
FEM-Programme
Unter der Annahme eines
ar¬
Verformungsan¬
satzes für die finiten Elemente lassen sich die Knotenschnittkräfte
(diskrete Zustandgrössen)
berechnen, welche die Gleichgewichtsbedingungen in den Knotenpunkten erfüllen müssen. Im
Gegensatz
und auch
56
zu
den
Weggrössenverfahren
weniger verbreitet.
Bei den
sind die
Kraftgrössenverfahren
Kraftgrössenverfahren
ist der
weit
weniger
Spannungs-
entwickelt
bzw. der Schnitt-
Stochastische
kraftverlauf im finiten Elementen
daraus die
Die
des
gelingt dadurch,
Betonzugelement
nahmen des
in ein auf dem
Zuggurtmodells
nites Element betrachtet
das
in
dass das Bauteil
wird, welches durch die Lasten
Risselemente
m
kann die
ein,
T und
beruhendes FEM-
(e) und (f) als ein
t(x) beansprucht wird. Teilt
Knotenverschiebung
Stahl- und
von
Spannungs-Dehnungsbeziehungen
von
gemäss Bild 4.7
von
Effekte, welche
sabstand sr
dem
Spannbeton,
Betonstahl und
welches durch die nicht¬
Spannstahl
verursacht
oder durch
zum
Beispiel
durch einen
Spannbetonbauteilen,
wie z.B. die
die Column Deflection Curve
Spannungsfeldtheorie [84,107]
[24,103]
zur
Berechnung
von
zur
verursacht
von
Behandlung
Ris¬
wer¬
Stahl- und
von
Trägern,
Stützen oder das Modell für gerissene
[57], könnten ebenfalls in ein auf dem Kraftgrössenverfahren beruhendes FEM-Modell
Scheiben
erweitert und in ein
Für die
FEM-Programm implementiert werden.
Berechnung
der
Verlängerung
AI des
Rissbild
abgeschlossen ist,
Weil der
Spannungsverlauf des Beton- und des
=
(g),
muss
wird vorausgesetzt, dass das
Betonzugelements
und der Rissabstand dem Abstand der
lich verlaufen muss, siehe Bild 4.7
menten die
Spannstahls entlang
Bügelbewehrung entspricht.
dem
Zugelement kontinuier¬
in jedem Riss zwischen zwei benachbarten Rissele¬
Gleichgewichtsbedingung
(4.14)
Ts + Tp
mit der
gelten,
wird, mit
unregelmässigen
entlang
Zugelement eingeleitete Beanspruchungen
den, ohne weiteres berücksichtigt werden. Andere Modelle zur Beschreibung
T(x)
man
AI mit den Modellan¬
wirklichkeitsnahen, analytischen Spannungs-Dehnungsbeziehungen beschrie¬
ben werden kann. Auch können
x
fi¬
berechnet werden. Der wesentliche Vorteil dieses Ansatzes besteht
Zuggurtmodells
der Annahme
in den
Kompatibilitätsbedingungen
Kraftgrössenverfahren
Betonzugelement
darin, dass das stark nichtlineare Verhalten
linearen
welche die
erfüllen müssen.
Erweiterung
Modell
bekannt, und mit Hilfe der Werkstoffbeziehungen lassen sich
Knotenverschiebungen berechnen,
Knotenpunkten
Festigkeit vorgespannter Betonzugelemente
Zugkraft
im Betonstahl
Das Lösen des nichtlinearen
Ts
=
und der
Asas
Gleichungssystems
der
Zugkraft
im
Spannkabel
Kompatibilitätsbedingungen
T
=
A
g
.
zwischen zwei
benachbarten Risselementen
(hi-i + hi^-(AdP,i-i + AdpJ
ergibt
den
und Aô
x
gesuchten Spannungsbezeichnen den
Risselements. Die
=
und
°>
des
=
(4-15)
l>->m
Dehnungsverlauf in
Schlupf des
Intergration
i
Funktion der Lasten Tund
Betonstahls bzw. des
Spannkabels
Dehnungsverlaufs £s(x) ergibt
die
am
t(x). hs
x
Rissufer des z-ten
gesuchte Verlängerung
Al(T).
4.3.2
Stochastisches Modell
Grundlage
3.3
des stochastischen Modells für das vorgespannte
vorgestellten
stochastischen Werkstoffmodelle für Beton, Betonstahl und
das stochastische Modell für die
muss
Betonzugelement
geometrischen
te weder eine statistische
Untersuchung
Kapitel
Spannstahl
sowie
Grössen. Das stochastische Modell des Betons
noch dem mechanischen Modell angepasst
übernommen werden können. Für die mittlere
sind die in
werden, wohingegen die anderen unverändert
Würfeldruckfestigkeit
des
noch ein stochastisches Modell
halb das stochastische Modell für den Beton auch für die
Injektionsmörtels
konn¬
gefunden werden,
Würfeldruckfestigkeit
des
wes¬
Injektions¬
mörtels verwendet wird.
Das oben betrachtete mechanische Modell setzt voraus, dass sowohl die
fc
als auch die mittlere
Würfeldruckfestigkeit
des
Injektionsmörtels fmw
Betondruckfestigkeit
über ein Risselement
57
Stochastische
Festigkeit von Zugelementen
(a)
fc.U
fc,\
JC,l
fc^_
fc,}
u,
u
u,
fc.
Jc,n
u
u„
(b)
ht
ht
m
^10
L20
=
h
-h
L21=0
-11
^22
-12
=
h
L23=0
Ll3
PCT/(T)
(c)
^b,p '"V fmw'Up
et
%S/fc
0!
03
02
04
hs(ös fsy)
=
Bild 4.8
-
Stochastisches Modell eines vorgespannten
Verlauf der
ablen
&l,p(Gp-fpy)
Zugelementes: (a)
Bauwerk-Betondruckfestigkeit fc
Ux ; (b)
Stückweise konstanter
und der standard-normalverteilten Vari¬
Konelationsfunktion des stochastisches Feldes der standard-normalver¬
teilten Variablen
58
Ô
Ux ; (c) Modellparameter des
stochastischen Modells.
Stochastische
Festigkeit vorgespannter Betonzugelemente
konstant
sind, siehe Bild 4.8 (a). Die Betondruckfestigkeit/c ist gemäss Kapitel 3.3.2 eine konti¬
nuierliche, räumlich koneherte Zufallsvariable. Um die Betondruckfestigkeit als eine über das
Risselement konstante Zufallsvariable
in
Kapitel
sind gemäss
darzustellen,
das stochastisches Feld
muss
Methoden diskretisiert werden. Die
bereitgestellten
2.4
ist auch
so
genommen,
und
grössen fctx
mit den
von
/
Ecx
Betondruckfestigkeit über das
abgeleiteten
;
Betonkenn¬
Risselement konstant. Gleiches
fmw.
Diskretisierungsmethoden sind die Mittelpunkt-Metho¬
und die Durchschnitt-Methode
(vgl. Kapitel 2.4.4)
Für ein
Betonzugelement gemäss
riablen
Ux
und U gemäss
(l
+
berechnet werden,
x
Pu,Uj
+
Po
=
Po)e
(vgl. Kapitel 2.4.5).
Bild 4.8
Bei der
Mittelpunkt-
der Elemente
Schwerpunkt
abgebildet.
(b) kann demnach der Korrelationskoeffizient der Va¬
(3.41) mit
/df
-(-c
(4.16)
,i,j=l,...,m
dem Abstand der
entspricht
ments, po bezeichnet den
Mittelpunkte
und
Konelationsparameter
dc
die
des z-ten und
desj-ten
Rissele¬
Einflusslänge.
Bei der Durchschnitt-Methode wird hier zwischen ein- und zweidimensionalen Prozessen
terschieden. Betrachtet
die Variabilität der
die
man
(2.58) folgt
Betondruckfestigkeit
P0
=
+
( n2
f
/
=
J
Betonzugelementes
,
,
zwischen
und den in Bild 4.8
j(l)
Z
Pu,u,
entlang
der Achse des
aber
Zufallsprozess,
Betonzugelementes
vernachlässigt.
,
Aus
wird
berück¬
(3.41) und
,
(f)(l-Po)e-^J+^Erf(|-)-l
der Korrelationskoeffizient
=
nur
un¬
für den Värianzfaktor
>2
y(/)
als eindimensionalen
Betondruckfestigkeit
über die Breite und Höhe des
sichtigt,
A(/)
an¬
angegebenen Beziehungen
Methode wird die Statistik des stochastischen Feldes im
und
x
Kom¬
konstant über das Risselement
können weiterhin mit den in Tabelle 3.3
Die zwei in dieser Arbeit verwendeten
de
x
über das Risselement konstant. Die
Ux
berechnet werden und sind wie die
für
fc
(3.40) eine Funktion der standard-normalverteilten Zufallsvariablen U, deren
ponenten Ux und U gemäss (3.41) koneliert sind. Wird fc
gilt
von
Betondruckfestigkeiten fc
Ux
und
(b) angegebenen
U
(4.17)
kann
Abständen
unter
/;
bzw.
Berücksichtigung
Llx gemäss (2.59)
von
mit
(-l)*A(Z1Jk)
—p
,
hj
=
(4.18)
\,...,m
2jAj!JÄ(C)
bestimmt werden. Die Fehlerfünktion
tondruckfestigkeit
tigkeit entlang
Erf(z) ist gemäss (B.9) einzusetzen. Betrachtet man die
als zweidimensionalen
Zufallsprozess wird
der Achse und der Breite des
Betonzugelementes
aber
vernachlässigt.
die Variabilität der Betondruckfes¬
Betonzugelements berücksichtigt,
Aus
(3.41)
und
Be¬
(2.62) folgt
über die Höhe des
für den zweidimensionalen
Varianzfaktor
(l2i+lI)
^e^ dc2 Jh(/,)H(/2)
4
y(/1,/2)
=
Po +
(l-Po)
(lxl2)2
(4.19)
mit der Hilfsfünktion
H(/)
=
e^J(l-^-f Erf(-f))-l.
(4.20)
59
Stochastische
Festigkeit von Zugelementen
Der Konelationskoeffizient zwischen
Ux
und U kann gemäss
(2.63) mit
S Z(-l)r(-l)SMLlr,L2s)
r
-
pj/r/
0
=
s
=
0
=
=
zj
,
2A/A(/1/,/2)A(/1,,/2)
berechnet werden. Dabei ist
=
1
//i
l,...,m
(4.21)
in
2
A(lvl2)
=
(lf2) y(lvl2)
.
Auf eine
Betrachtung der Bauwerk-Betondruckfestigkeit als dreidimensionaler Prozess wird
verzichtet, da die algebraischen Formeln unhandlich werden. Ansonsten gelten für das stoch¬
hier
astische Modell des Betons sowie des
Kapitel
Die
bzw.
Qx
der normierten
04
03
wenn es
und
04
.
Dieser
ohne weiters
parameter einzeln statistisch
Parameterstudie
4.3.3
Wichtige Kenngrössen
hörige
•
Zusammenhang
deterministischen und
eines vorgespannten
m
Einfluss der
am
02
und die Modell¬
Betonzugelements
stochastischen Modell
sind die
Traglast Tu und die zuge¬
Kapitels werden folgende Frage¬
.
m
Diskretisierungsmethoden (siehe Kapitel 4.3.2)
Abhängigkeit
und
Qx
beibehalten, auch
vernachlässigen,
zu
Im weiteren Verlauf dieses
sowohl
Betons bzw. des
•
am
zwischen
Bruchdehnung fu
als auch bezüglich der zugehörigen
bezüglich Tu und £„
bzw.
der
mittleren
Traglast ßr
Bruchdehnung ße diskutiert:
der
•
diesen
sind
gemäss Bild
untersuchen.
mittlere
stellungen
•
zu
Zusammenhang
aus
finden.
Betonzugelement
wird im weiteren Verlauf der Arbeit
Zusammenhang
möglich wäre,
zu
Verbundspannungs-Schlupf-Beziehung
Im mechanischen Modell besteht ein funktionaler
(c).
4.8
bis
dc
für den Werkstoff Beton
des stochastischen Modells für das vorgespannte
Modellparameter
die Parameter
p0 und
von
Überlegungen und Beziehungen
die
Injektionsmörtels
3.3.2. Dort sind auch die Werte
Sicherheitsindizes
für das stochastische Feld des
Injektionsmörtels.
der
von
und der
Verfestigung ks
des Betonstahls.
Bruchdehnung Fsu
Einfluss des Rissabstandes.
Vergleich
der
vereinfachenden, bilinearen Spannungs-Dehnungsbeziehung mit den wirklich¬
keitsnahen, algebraischen Spannungs-Dehnungsbeziehungen von Betonstahl und Spannstahl.
•
den
Modellparametern 0X
Abhängigkeit
von
Exemplarisch
werden die
eckigem Querschnitt
(a)
und
(c)
und
(d)
und die in Tabelle 4.1
rücksichtigt die
Variabilität des
schnittsabmessungen
last
Betonzugelement mit
Für den Beton- und den
recht¬
Spann¬
Spannungs-Dehnungsbeziehungen gemäss
angegebenen
Bild
Werte angenommen. Die
Bügelabstandes gemäss
Zufallsgrösse Ysr be¬
stochastischen Modell für die Quer¬
dem
.
Die deterministische
in Tabelle 4.1
.
(b) durchgeführt.
stahl werden die vereinfachenden bilinearen
4.9
©3
einem vorgespannten
Berechnungen an
gemäss Bild 4.9
und
Analyse
angegeben
des
Berechnungsbeispiels
Mittelwerten der
für das
Zuggurtmodell
Kenngrössen durchgeführt.
wird mit den
Berechnung
der
Trag¬
setzt die Kenntnis des Rissabstandes voraus und er¬
Bruchdehnung fu
der
unter
folgt
Berücksichtigung
Gleichgewichtsbedingung (4.14) und der Kompatibilitätsbedin¬
Tu
und der mittleren
Die
m
gung
(4.15). Die Kompatibilitätsbedingung nimmt
Fsm
£
=
-
£
d
an, worin
lements bezeichnet. Das
60
£
d
die
Dehnung
des
Zuggurtmodell gabelt
im
Zuggurtmodell
Spannkabels
bei
den Rissabstand
die
einfache
des
Form
Dekompression
Betonzuge¬
(E.6) durch einen minimalen und
Stochastische
Festigkeit vorgespannter Betonzugelemente
(a)
1
-o
2
m
/=£5y.
(b)
014
8
t
t
t
t
1
i^Ht
iBild 4.9
-
i
Vorgespanntes Betonzugelement: (a) Grundriss; (b) Querschnitt und Bewehrung;
Spannungs-Dehnungsbeziehung (c) des Betonstahls; (d) des Spannstahls.
Kenn grosse
V
b
600
h
200
-a
V
Korrelation p
Typ
unabhängige
-
c«
13
Y
0
10
N
fc
40
50
LN
Po
05
dc
5000
sr
Ö
O
-M
m
i
en
^
«
O
-Si, S
-M
en
Ö
50
Jew
gemäss
vgl Kapitel 3.3.2
25
LN
dc
5000
As
8x154
Es
205000
Jsu
600
0 07
N
10
t-su
0 100
0 10
N
545
0 06
N
t-sv
0 030
0 10
N
Ap
12x150
Jpu
1860
0 025
N
0 050
-
gemäss
F
vgl Kapitel 3.3.3
0 0035
195000
Model - par met r
0
fpy
N
1200
©i
06
©2
O5
©3
O5
Tabelle 4.1 -Mittelwert ft,
Konelation
0J
40
04
0 02
N
03
-0 55
0 85
0 0
-0 55
10
-0 5
0 0
0 85
-0 5
10
0 5
00
00
05
10
statistisch
abhangige
Grossen
vgl Kapitel 3.3.4
85fpu
°p0
(3.41)
-
Ö
i^p
(3.41)
-
05
p
en
vgl Kapitel 3.3.5
Po
Jsy
1
Grossen
200
t>0
Ö
G
statistisch
.52 S
-M
12x0.6"
Litzen
-
-
-
/ statistisch \
( abhängige
j
\ Grössen /
Standardabweichung c, Variationskoeffizient V, Verteilungstyp
py der Berechnungsgrössen [N, mm, N/mm2].
und
61
Stochastische
Festigkeit von Zugelementen
einen maximalen Wert ein und
kann
der
ergibt für das Berechnungsbeispiel 125 mm<sr<250 mm. Es
dass
für
die
Standardwerte der Verbundparameter 0X und 03 das Erreichen
werden,
gezeigt
Bruchspannung
im Betonstahl
spannten Betonzugelements
Bild 4.10
(a) angegeben.
Bruchzustand
nungen
entlang
fsu
für sr> 125
und
mm
bestimmt. Die Resultate für drei
Für die nach dem
Fsu<
den Bruch des vorge¬
10%
mögliche Bruchdehnungen
Zuggurtmodell möglichen
sind in
Rissabstände treten im
dem Risselement im Betonstahl sowohl elastische als auch
plastische
Deh¬
auf, wohingegen der Spannstahl immer voll plastifiziert ist, siehe Bild 4.10 (b). Dieser
Umstand erklärt auch den relativ
Traglast Tu,
geringen
Einfluss der
weil mit zunehmender mittlerer
(a)
Dehnung
Bruchdehnung
des Betonstahls auf die
des Betonstahls Fsm
nur
wenig
zusätzliche
(b)
Sr
5
&SU
Gp.max^ Jpu
fs
sy
200
mm
7.5
^
JS,ffl(»
2.34
Idee
&
MN
1u
3.77
3.85
3.93
MN
£-u,m
1.6
2.3
3.0
%
Gp.max
1680
1728
1774
N/mm2
T
Qp,min -* fpipy
%
10
'-p.max
TS
Up
188
mm
1b0,p
2.0
N/mm2
1b0,s
7.0
N/mm2
'
to
-\ ^s,min f
\\
t/1 I
-p.min
-
to
4.5
0.4
r
ks
0.25
0.75
©iN
35
125
sr
r
[mm]
i
=
0.6
0.8
=
1.1
250
sr
3.5.
L05
i
ks
=200
1.2
n
[-]
(d)
5
2
sr
=200
^03=4
6
\
sr
=200
[%]
0.25
©iL"]
0.75
250
Bild 4.10 -Deterministische
1.05
Berechnung des vorgespannten Betonzugelementes gemäss Bild 4.9
mit dem Zuggurtmodell [4]: (a) Berechnungsresultate; (b) Spannungs- und Deh¬
nungsverläufe des Beton- und Spannstahls entlang dem Risselement; (c) und (d) Ab¬
hängigkeit von Tu und Fu
bezüglich der Verbundparameter Qx, 03, dem Rissab¬
stand sr und der Verfestigung des Betonstahls ks.
m
62
Stochastische
Kraft im
zur Erfüllung der Kompatibilitätsbedingung aktiviert werden muss. Gemäss
(c) und (d) haben v.a. der Verbundparameter 0X des Betonstahls, der Rissabstand sr
Spannkabel
Bild 4.10
und die
Festigkeit vorgespannter Betonzugelemente
des Betonstahls einen grossen Einfluss auf die
Verfestigung ks
Bruchdehnung, wohingegen
fluss ausübt.
Versagt für einen
Kurven durch ein Plateau
diesem Fall nahezu
stahl zuerst die
Traglast
und die mittlere
Verbundparameter 03 des Spannkabels einen sehr geringen Ein¬
gegebenen Parametersatz zuerst das Spannkabel, ist dies in den
der
gekennzeichnet.
unabhängig
Bruchspannung,
von
Die Bruchlast und die mittlere
Bruchdehnung
den untersuchten Parametern. Eneicht
weisen sowohl
Tu
als auch Fu
eine starke
m
hingegen
sind in
der Beton¬
Abhängigkeit bezüg¬
lich der untersuchten Parameter auf.
Die
Berechnung
ße
Bruchdehnung
=
£
u,m
des
erfolgt bezüglich
Die
-Z)e<0.
rung bestimmt.
verallgemeinerten
DT
Sicherheitsindexes der
der
Versagenswahrscheinlichkeit
und
De
Traglast ßr
Grenzzustandsfunktionen
g
und der mittleren
Tu-DT<0
=
bzw.
wird ausschliesslich mit der SORM-Nähe-
werden ohne Verlust der
Allgemeinheit
deterministisch angenom¬
men.
Um den Einfluss der
Diskretisierungsmethode
und der Parameter des stochastischen Modells
des Betons auf die betrachteten Sicherheitsindizes
feldruckfestigkeit
des
ein vorgespanntes
Betonzugelement gemäss
relationsparameter
zu
verdeutlichen, wird die mittlere Wür¬
Injektionsmörtels fmw vorübergehend
Bild 4.9 mit
pc und die Einflussweite
m
dc unabhängig
=
deterministisch angenommen. Für
20 Risselementen haben der Kor¬
von
der
Diskretisierungsmethode
ei-
(a)
1.8
Pe =0.25
m
sr
ßr
=20
=
det.
Jmw= det.
-
[-]
^**
9
g-*-j^
1.7
dc [m]
(b)
1.1
pc=0.25
pc=0.50
pc=0.75
ße
[-]
0
0
dc [m]
dc [m]
Mittelpunkt-Methode
ks =1.15
Bild 4.11 -Einfluss der
m
=
-—
Linienprozess
20
V
5
-^-
Flächenprozess
öe= 0.030
Diskretisierungsmethode
DT
der mittleren
Bruchdehnung ße.
=
3.75
und der Parameter des stochastischen Modells
für den Beton auf die Sicherheitsindizes eines vorgespannten
Verlauf des Sicherheitsindexes der
dc [m]
Traglast ßr; (b)
Betonzugelementes: (a)
Verlauf des Sicherheitsindexes
N.B: Werte siehe Tabelle 4.1 und Bild.
63
Stochastische
Festigkeit von Zugelementen
Einfluss auf den Sicherheitsindex der Traglast ßr, siehe Bild 4.11 (a). Gemäss Bild
(b) gilt dasselbe auch für den Sicherheitsindex der mittleren Bruchdehnung ße Für die Pa¬
geringen
nen
4.11
.
rameter
pc > 0.5 und
dc > 3
ist sowohl
m
ßr
ße
als auch
nahezu konstant. Dies ist darauf zurück¬
zuführen, dass die gegenseitige Konelation der Betondruckfestigkeiten fc
Variabilität
von
dem
fc entlang
stahleigenschaften
bestimmen
die
so
gross
ist, dass die
sehr klein wird. Neben den Beton- und
Betonzugelement
v.a.
x
Verbundeigenschaften
Spann¬
des Betonstahls das Verhalten des
vorgespannten Betonzugelements. Die Variabilität der Verbundspannung des Betonstahls wird in¬
folge
des funktionalen
Zusammenhanges
stochastischen Feldes des Betons auf die
Für die
Untersuchung
Sicherheitsindex der
mit
fc gemäss (4.10) sehr klein, sodass der Einfluss des
Systemsicherheiten ßr und ße eher gering ausfällt.
des Einflusses des stochastischen Modells des
Traglast ßr
bzw. der mittleren
Injektionsmörtels
Bruchdehnung ße
tigkeit vorübergehend
deterministisch angenommen. Gemäss Bild 4.12-es ist
wählter Parametersatz
angeben
der
Diskretisierungsmethode
beispiels zeigt,
zudem
sagen
gelten
-
feststellbar. Schon die deterministische
gleichen Überlegungen wie
gelten unabhängig davon,
nur
ein ausge¬
ist kein Einfluss der Parameter des stochastischen Feldes und
dass das Verbundverhalten des
die
auf den
wird die Betondruckfes¬
Spannstahls
eine
Analyse
des
untergeordnete
Berechnungs¬
Rolle
spielt,
und
beim stochastischen Modell des Betons. Diese Aus¬
ob der Bruch des
Spannstahls
oder der Bruch des Betonstahls das
Versagen des Betonzugelements verursacht.
Weil die
Diskretisierungsmethode
mörtels kaum einen Einfluss auf die
Betonfestigkeit
Mittelpunkt-Methode
ten weiterhin die in Tabelle 4.1
wird in allen
Berechnung hat,
Konelationskoeffizient zwischen der
zweier Risselemente mit der
der stochastischen Felder des Betons bzw. des
angegebenen
bzw. der
Injektions¬
folgenden Berechnungen
Festigkeit
berechnet. Für die
des
der
Injektionsmörtels
Konelationsparameter gel¬
Werte.
(a)
(b)
1.8
Pw
=
0.25
m
=
20
Sr
=
det.
=
det.
ßr
[-]
fe
1.7
dw\m\
<iw[m]
Mittelpunkt-Methode
ks =1.15
m
=
20
Linienprozess
öe= 0.030
DT=3.75
Bild 4.12 -Einfluss der Konelationsmethode des stochastischen Modells für den
tel auf die Sicherheitsindizes eines vorgespannten
des Sicherheitsindexes der
ren
Bruchdehnung ße.
Die deterministische
Traglast ßr; (b)
Tu
£
der
Bruchdehnung
und £„
m
und der
Analyse zeigt,
verwendete
64
dass die
von
des Betonstahls Fsu
bezüglich des
Verfestigung
Spannstähle
von
Traglast
und die mittlere
Verfestigung ks und in
abhängen. Auch kann eine
der
Rissabstandes sr
k
Verlauf des Sicherheitsindexes der mittle¬
N.B: Werte siehe Tabelle 4.1 und Bild.
vorgespannten Betonzugelements stark
von
Injektionsmör¬
Betonzugelementes: (a) Verlauf
Spannstahl
festgestellt werden.
wird nicht
nahezu konstant sind. Bild 4.13
eines
etwas
geringerem
starke
Abhängigkeit
Der Einfluss der
untersucht,
zeigt
Bruchdehnung
Masse
von
Bruchdehnung
da diese Werte für die heute
den Einfluss der
Verfestigung,
der
Stochastische
6^
=
Festigkeit vorgespannter Betonzugelemente
0.10
ks
=
3.50
1.10
0.100
-
£-su
=
0.075
0.050
1.05
M-]
1.2
M-]
100
sr
250
[mm]
(b)
£-su
=
0.100
0.01
0.075
öe=0.02
^
0.050
ße
.
-ks =1.10
0.100
V^
-
"
e.
=
0.075
[-]
///
1.05
1.2
M-]
m
=
1.05
250
20
öe= 0.010
ör
=
3.50
Bild 4.13 -Einfluss der
Spannungs-Dehnungsbeziehung von Betonstahl und des Rissabstandes
Systemsicherheit eines vorgespannten Betonzugelementes: (a) Verlauf des Si¬
cherheitsindexes der Traglast ßr ; (b) Verlauf des Sicherheitsindexes der mittleren
Bruchdehnung ße. N.B: Werte siehe Tabelle 4.1 und Bild.
auf die
Bruchdehnung
des Betonstahls und des Rissabstandes auf die Sicherheitsindizes
Gegensatz
deterministischen
zur
gerechnet werden
massgebend.
logie
zur
Analyse,
wo
für
ks
muss, wird bei der stochastischen
>
1.1
mit einem
Analyse
ßr
und
ße.
Im
des
Spannstahls
Versagen des Betonstahls
Versagen
immer das
Dies äussert sich in einem kontinuierlichen Verlauf der berechneten Kurven. In Ana¬
deterministischen
Analyse
hat die
Verfestigung
des Betonstahls einen starken und die
Bruchdehnung Fsu einen eher kleinen Einfluss auf ßr und ße. Auf den Sicherheitsindex der
Traglast haben der Rissabstand und die Bruchdehnung des Betonstahls gemäss Bild 4.13 (a) einen
sehr kleinen
4.13
Einfluss, wohingegen ße stärker
(b).
spruchungsniveau DT,
werden die Kurven in
diesen beiden Grössen
von
Dies stimmt gut mit den deterministischen
Vorhersagen
eines vorgespanntes
Sicherheitsindex
dem
gleichen
mittlere
ßr gemäss
Bild 4.14
von
das Bean¬
dessen
wenig.
der
Traglast und
Länge
aus.
der mittleren
Bruchdehnung
Erwartungsgemäss zeigt auch der
(b) keine Abhängigkeit
von
der
stochastischen Modell konnte mit Hilfe einer Simulation
Länge. Aufbauend auf
gezeigt werden,
dass die
eines vorgespannten Betonzugelementes bei freier Rissbildung erheblich
wird, weil sich die plastischen Dehnungen in wenigen Rissen konzentrieren, siehe
[113].
Im
Gegensatz
sich das Rissbild ohne
der
Abhängigkeit
Betonzugelements
siehe Bild
Bruchdehnung
reduziert
Thoma
schliesst eine
Zuggurtmodell
man
Richtung grösserer Versagenswahrscheinlichkeit
verschoben. Am Verlauf der Kurven ändert sich aber
Das
abhängt,
überein. Erhöht
zu
dem durch die
Bügelbewehrung
Bügelbewehrung entsprechend
erzwungenen Rissabstand stellt
dem Verlauf der
Betonzugfestigkeiten
und
Betonspannungen entlang des Betonzugelements ein. Die Konzentration der plastischen Deh-
65
Stochastische
Festigkeit von Zugelementen
nungen auf wenige Risse
gelementes
schen
sich
bei freier
bedeutet, dass die mittlere Bruchdehnung eines vorgespannten Betonzu¬
Rissbildung
von
eines vorgespannten
Dehnungen
über nahezu alle Risse
hingegen
der
Länge des Betonzugelementes abhängig ist. Die plasti¬
mit erzwungenem Rissbild verteilen
Betonzugelements
entlang
des
Betonzugelementes, wodurch
das
Verformungs¬
vermögen erheblich vergrössert und der Längeneinfluss sehr stark reduziert wird. Bild 4.14 (a)
bestätigt die Aussage,
dass das
Verformungsvermögen bzw.
gespannten Betonzugelementes
der mittleren
Bruchdehnung ße
nur
ist
geringfügig
unabhängig
von
der
von
die mittlere
Rissbildung konnte
in der
bzw.
Querbewehrung gebaut
-
zu
zu
klein, als dass eine Ab¬
erwarten wäre. Für den Fall der freien
gefunden oder entwickelt werden.
aber keine Rolle
wird
spielt
es
-
werden kaum
Weil dieser Fall
Tragwerke
nicht weiter untersucht. Es
er
gilt
achten, dass die oben formulierten Aussagen sich auf ein Zugelement beziehen, das
Enden durch eine
Zugkraft beansprucht
ist. Für den
vor¬
Länge abhängt;
Länge des Zugelements. Die Variabilität
Zugelements
kein stochastisches Modell
heutigen Bemessungspraxis
gelbewehrung
des
eines
der Sicherheitsindex
der Rissabstände des hier betrachteten stochastischen Modells ist viel
hängigkeit von ße bezüglich der Länge
Bruchdehnung
dessen
allgemeinen Belastungsfall
ohne Bü¬
hier
zu
nur an
be¬
den
sind diese Aussa¬
gen nicht zutreffend.
(a)
(b)
ßr
0.10
6^
=
k*
=1.20
8^
=
0.10,0.075,0.05
ks =1.20
ks =1.10
[-]
[-]
-ks =1.10
ks =1.05
10
40
m[-]
10
De= 0.010
bisherigen Berechnungen
ßr
w
ße
bzw.
w
von
Berechnung
der
Spannungs-Dehnungscharakteristiken
be¬
(mit den wirklichkeitsnahen Spannungs-Dehnungsbeziehungen be¬
Sicherheitsindex
Dehnungsbeziehungen berechnet).
mäss Bild 4.15
(b)
und
Sicherheitsindizes der
(c)
die
gegenüber
von
der
ße
.
bll
bzw.
der mittleren
führt
zu
massgebend,
(mit den bilinearen Spannungs-
bll
geringe Verfestigung ks auf,
Bruchdehnung.
einer
Einerseits unterschätzt die bilineare
was
ße
Spannungs-Dehnungscharakteristik
Traglast und
Dehnung,
zung der Kraft im
ßr
Weist der Betonstahl eine
Spannungs-Dehnungsbeziehungen
schätzung
66
Spannungs-Deh¬
untersucht, inwieweit die
einen Einfluss auf das Resultat der
hat, wobei zwei Kombinationen
rechnet) und dem
stahls
wird
werden, siehe Bild 4.15 (a). kt bzw. Ke bezeichnet das Verhältnis zwischen dem Sicher¬
heitsindex
aren
Spannstahl. Nachfolgend
Spannungs-Dehnungscharakteristik
Sicherheitsindizes
trachtet
3.50
beruhen auf den vereinfachenden bilinearen
für den Beton- und
nungsbeziehungen
Wahl der
=
-Abhängigkeit von ßr und ße von der Länge des vorgespannten Betonzugelements:
(a) Verlauf des Sicherheitsindexes der Traglast ßr; (b) Verlauf des Sicherheitsindexes
der mittleren Bruchdehnung ße. N.B: Werte siehe Tabelle 4.1 und Bild.
Bild 4.14
Alle
ör
40
m[-]
Eine
Bild 4.15
(b).
von
ßr
und einer Über¬
Spannungs-Dehnungsbeziehung
Beispiel
Kompatibilitätsbedingung (4.15)
Spannstahl führt, vgl.
Berechnung mit den biline¬
Unterschätzung
und andererseits ist im betrachteten
über die
hat ge¬
einen grossen Einfluss auf die
zu
das
die Kraft
Versagen des
Beton¬
einer weiteren Unterschät¬
Stochastische
(a)
Festigkeit vorgespannter Betonzugelemente
(b)
8SM
Bild 4.15
=
(c)
0.075
m
20
=
£»e= 0.010
£>r
=
3.50
-Vergleich der vereinfachenden bilinearen mit den wirklichkeitsnahen SpannungsDehnungsbeziehungen von Beton- und Spannstahl in Funktion der Verfestigung des
Betonstahls: (a) Spannungs-Dehnungsbeziehungen für den Beton- und den Spann¬
stahl; (b) Verhältnis kt
$T^/$TMX ; (c) Verhältnis Ke ßew/ßebll. N.B: Werte
=
=
siehe Tabelle 4.1 und Bild.
ßr
Abschliessend wird noch die Sensitivität der Sicherheitsindizes
Bild 4.8
in
ße bezüglich der Mo¬
dellparameter 0j
und
Modellparameter
0 Unsicherheiten bzw. Fehler im mechanischen und mathematischen Modell
03 gemäss
(c) untersucht. Wie
und
ab. Mit Hilfe der Inferenzstatistik können
einzelnen
Modellparamater
beginn
der
mit Tbl
s
Verbundspannung
he Bild 4.16
(a).
s/2 festgelegt.
vor
und nach
Gegensatz
Im
Belässt
Traglast ßr
gegen ist
nimmt
ßr
Berechnungen
®ifct
und nach dem Fliess¬
Zusammenhang
mit zunehmendem
des
zwischen
leicht
0X
ab, sie¬
Analyse
der
weshalb auch die
Betonzugelements massgebend,
Versagen
(a) kontinuierlich verlaufen. Auch lässt sich feststellen, dass unterschiedliche
Werte für den Rissabstand sr und die
der
man
=
s
den funktionalen
den
zu
verzichtet
im mechanischen Modell
(4.10) wird
deterministischen wird bei der stochastischen
Bruch des Betonstahls für das
Kurven in Bild 4.10
Gemäss
dem Fliessen mit Tb0
vor
Fliessbeginn,
zur
wird auf diese
gehört,
durchgeführt.
des Betonstahls
Tb0
=
erläutert, decken die
bestimmt werden. Da die Inferenzstatistik ausdrücklich nicht
und stattdessen eine Parmaterstudie
Verbundspannung
2.2
Mittelwert, Standardabweichung und Korrelation der
in dieser Arbeit behandelten Themenbereichen
die
Kapitel
nur
Bruchdehnung
des Betonstahls Fsu den Sicherheitsindex
leicht verändern. Der Sicherheitsindex der mittleren
gemäss Bild 4.16 (b) stark abhängig sowohl
Rissabstand sr und in
geringerem
Resultate stehen im
Masse auch
von
mit der
der
vom
Bruchdehnung ße
hin¬
als auch
vom
Modellparameter 0X
Bruchdehnung
des Betonstahls Fsu
der deterministischen
.
Diese
bis auf die Tatsa¬
Einklang
Aussage
Analyse,
che, dass bei der stochastischen Analyse der Bruch des Spannkabels nie massgebend wird. Zum
geringen
Einfluss der
Bruchdehnung ße
Bruchdehnung
muss
Berechnungsbeispiels
angefügt werden,
menhang
mit Tb0
p
der
von
03
Traglast.
zichtet, da, solange
das
und
ße
wird beibehalten
sehr
gering
Auf eine
Versagen
gigkeit von ße bezüglich 03
von
fsu konstant angenommen wurde,
fsu in einer kleiner werdenden
Verbundspannung
gemäss (4.11))
heitsindex der
von
Abhängigkeit von ßr
zwischen der
der Einfluss
dass im stochastischen Modell des hier betrachteten
der Variationskoeffiezient
mit abnehmendem Mittelwert
Bezüglich
des Betonstahls Fsu auf den Sicherheitsindex der mittleren
vom
vor
-
gilt
ist. Bild 4.16
Darstellung
Standardabweichung
Modellparameter 03
bzw. nach dem
in
was
-
sich
äussert.
der funktionale Zusam¬
Fliessenbeginn (lbl
=
xb0
deterministischen
/2
dass
Modell,
Analogie
(c) illustriert diesen Sachverhalt für den Sicher¬
des Verlaufs
des Betonstahls
zum
von
ße
massgebend ist,
in Funktion
nur
von
eine äussert
03
wird
geringe
ver¬
Abhän¬
feststellbar sein wird.
67
Stochastische
Festigkeit von Zugelementen
(a)
Sr
ßr
=
150,
-6^
ßr
=
0.075,
200,
[-]
&SU
0.25
=
0.050
[-]
250
=200
sr
0.100
0.75
©it-]
0.100,
0.25
0.75
©it"]
(b)
0.100
e,
=
0.075
ße
[-]
e
0.25
=
=200
sr
0.100
0.75
©it-]
0.25
0.75
©iL"]
(c)
^sr
ßr
=150,
ßr
200,
[-]
t-su
=
0.075,
[-]
250
0.050
-
eSM
=
0.100
Sr
©SN
m
Bild 4.16
=
20
Übereinstimmung
Sicherheitsindex der
Betonstahls stark
öe= 0.010
können
werden,
200
Z>r= 3.50
der Parameterstudie des deterministischen und des
Betonzugelemente
Traglast
von
den
abhängig. Bezüglich
Verfestigungsder
sagen des Betonstahls
massgebend
Verbundeigenschaften
liefert sowohl das
gezogen werden:
Betrachtung
des
und den
Zuggurtmodells
Verbundeigenschaften
des
Bruchdehnung
eine
geringe Abhängigkeit festgestellt
Berechnung
nur
Analyse
zu
erwarten wäre. Ist das Ver¬
für den Bruch des vorgespannten
einen sehr
Zuggurtmodell
ist der
des Betonstahls und des Rissab¬
obwohl dies auf Grund der deterministischen
haben die
Aussage
aus
mit der deterministischen
standes kann bei der stochastischen
68
-
-Abhängigkeit der Sicherheitsindizes ßr und ße des Berechnungsbeispiels von den
Modellparametern 0X und 03 : (a) Verlauf des Sicherheitsindexes der Traglast ßr in
Funktion von 0X ; (b) Abhängigkeit des Sicherheitsindexes der mittleren Bruchdeh¬
nung ße von 0j ; (c) ßr in Funktion von 03N.B: Werte siehe Tabelle 4.1.
Folgende Schlussfolgerungen
In
=
©3L-]
stochastischen Modells für vorgespannte
•
0.100,
geringen
Betonzugelements,
Einfluss auf dessen Verhalten. Diese
als auch die stochastische
Bemessung.
Zusammenfassung
Für die mittlere
•
Risselements
dass die
Bruchdehnung
zeigt
und den
die
Verbundeigenschaften,
Für kleine
Streuungen
Bruchdehnung
einem
Sicherheitsindizes
entsprechenden
Wird das Rissbild nicht durch eine
Längeneffekt gerechnet
Ist das vorgespannte
durch eine
Bügelbewehrung
der
Berechnung
Traglast und
einem Risselement
•
Zugelement nur an
ein
ks>l.\0
erzwungen,
muss
mit
gezeigt werden,
Zugkraft beansprucht und
wird
Rissbild erzwungen, kann die stochastische
Bruchdehnung
in
Analogie
zum
Zuggurtmodell
Spannungs-Dehnungsbeziehungen gerechnet,
der Sicherheitsindex der mittleren
Traglast
Länge des
an
werden.
durchgeführt
Sicherheitsindex der
Bügelbewehrung
der
von
verfügbar.
regelmässiges
Wird mit den vereinfachenden bilinearen
für
Bruchlast, die mittlere
unabhängig
den Enden durch eine
der mittleren
des
Bruchdehnung
werden. Mit Simulationstechniken konnte dies
ein stochastischen Modell ist aber noch nicht
•
Betonzugelements
Betrachtungsweise,
bestimmen.
des Rissabstandes sind erwartungsgemäss die
und die
Betonzugelements.
und die
Verfestigungseigenschaften
Betonstahls das Verhalten des vorgespannten
•
Sicherheitsindex eines vorgespannten
entsprechenden
sowohl die deterministische als auch die stochastische
mit abnehmender
Bruchdehnung
nur
leicht
überschätzt, der
des Betonstahls
Verfestigung
wird
hingegen
stark
unterschätzt.
Zusammenfassung
4.4
Im Rahmen dieses
Kapitels
unterschieden. Bei den
im
Vordergrund.
erfolgen
Die
Die
wird zwischen
Spannkabeln
und vorgespannten
ausschliesslich mit Hilfe des
Versagenswahrscheinlichkeit bzw.
Zuverlässigkeitsanalyse von Spannkabeln beruht auf den
auf die
spröden
Bruchfestigkeit
des
in
Kapitel
festigkeit mit
Kabelfestigkeit berücksichtigt
zunehmender
riationskoeffizienten der
Kabellänge
ab. Es
werden.
zeigt sich,
Probenfestigkeit abhängt,
nimmt auch der
3.2
vorgestellten klas¬
Werkstoffs kann der Einfluss der
Spannkabels
mit dem Modell des Faserbündels kann der Einfluss der Redundanz
Elementen auf die
der Sicherheitsindizes
SORM-Algorithmus.
sischen Werkstoffmodellen. Mit dem Modell des ideal
Kabellänge (Weibull-Längeneffekt)
Betonzugelementen
stehen Kabel mit einer geringen Anzahl Litzen resp. Drähten
der
Berechnungen
Spannkabeln
erfasst
werden, und
parallel angeordneten
Erwartungsgemäss nimmt die Kabel¬
dass die
von
Kabelfestigkeit
stark
vom
Va¬
d.h. mit zunehmendem Variationskoeffizient
der
Probenfestigkeit
den
Kenngrössen, mit welchen die Spannungs-Dehnungsbeziehung beschrieben wird, spielt eine
Weibull-Längeneffekt
Drähte oder Litzen der Sicherheitsindex der
einem
der
von
Muttoni
Verfestigung
sich
[83] vorgeschlagenen
plastische Dehnungen entlang
Betrachtung
Verhalten des
tung. Sind die
kompensiert
Spannkabeln
Spannkabels
Modell
Die Korrelation zwischen
bezüglich
Bruchfestigkeit
einzelner
stark abnimmt. Der Einfluss einer lo¬
einzelner Drähte oder Litzen kann mit
berücksichtigt
des Drahtes eine grosse
verhält sich das Kabel
von
Kabelfestigkeit
Spannungs-Dehnungsbeziehungen
Verfestigungseigenschaft
zu.
mit zunehmender Konelation der
untergeordnete Rolle, wohingegen
kalen Störzone auf die
stark
werden. Dabei
Bedeutung
einer kleinen
zeigt sich,
zukommt. Mit zunehmender
Querschnittsschädigung besser,
des gesamten Kabels einstellen können. Im Anschluss
ohne Verbund
und dessen
Verbundeigenschaften
erfolgt
eine
Analyse
der
Verbundwirkung
Versagenswahrscheinlichkeit bei
gut, kann der
dass
einer
an
die
auf das
gegebenen
Längeneffekt positiv beeinflusst,
weil
Belas¬
aber nicht
werden.
69
Stochastische
Bei der
Festigkeit von Zugelementen
Berechnung
des
Trag- und Verformungsverhaltens
menten werden verschiedenste Verfahren
angewandt,
Modelle und des damit verbundenen Rechenaufwands
des Verhaltens vorgespannter
lytische Beschreibung
modell nach Alvarez
sung
zugänglich
vorgestellten
zu
[4]
Methode
zur
Um das
Anwendung.
zur
machen,
muss
es
als ein auf dem
nites Element darzustellen. Diese
denkbar. Damit wäre
man
entwickeln. Unter
tragwerke
zu
fe gemäss
Kapitel
terministische
der
Zuggurtmodell
nur an
ist auch für andere
zugelements unabhängig ist;
mit
nur
einem Risselement
dies nicht
zu
send wird
erwarten. Die
die
70
Bedeutung
dass der
es
Kapitel
möglich,
2.4
ein vorge¬
stochastisches fi¬
Institut für Baustatik und
am
von
Stahlbetonbauteilen
der stochastischen Modelle für reale Werkstof¬
das
durchgeführt.
stochastische
vorgestellte
des Beton- und
stochastischer
Spannstahls
Dabei wird das de¬
Modell
für vorgespannte
Felder, dem Einfluss
und der
Modellparameter
beanspruchtes vorgespanntes Betonzugelement zeigt sich,
der mittleren
Berechnungen
durchgeführt
werden. Für den
Diskretisierungsmethode
der
Länge des
Spannstahls
Beton¬
Zuggurtmodell
allgemeinen Beanspruchungsfall
ist
der stochastischen Felder hat kaum einen
Berechnungen, hingegen
Modellierung
Bruchdehnung von
können in diesem Fall wie beim
wirkt sich die Wahl der
Spannungs-Deh¬
stark auf die Sicherheitsindizes
aus.
Abschlies¬
des Verbundverhaltens des Betonstahls eine
Bedeutung zukommt, wohingegen
ist.
der in
Einbezug
Beschreibung
Diskretisierungsmethoden
des Beton- und des
gezeigt,
dentlich grosse
von
und
Traglast und
Einfluss auf die Resultate der
nungsbeziehung
zur
ana¬
Zuggurt¬
einer stochastischen Bemes¬
stochastischer Feldern wird
Berücksichtigung
den Enden
dass der Sicherheitsindex der
kommt hier das
Kraftgrössenverfahren beruhendes,
Erweiterung
Spannungs-Dehnungscharakteristik
diskutiert. Für ein
zugrundeliegenden
Lage, ein stochastisches FEM-Programm für Stahlbeton-Stab¬
den
Betonzugelemente bezüglich
der
Teil stark unterscheiden. Für die
3.3 wird anschliessend eine Parameterstudie
Zuggurtmodell
vorgespannten Betonzugele¬
Betonzugelemente
Konstruktion der ETH Zürich entwickelte Modelle
in der
zum
von
bezüglich
erweitert werden. Unter
Diskretisierung von
spanntes Betonzugelement
die sich
das Verbundverhalten des
ausseror¬
Spannstahls
kaum
5
Zusammenfassung
5.1
Zusammenfassung
und
Die Statistik ist für den
Bauingenieur traditionell
tistische
Daten
Verfahren,
wendung
werden. Es besteht eine
schreibung
natürliche
von
zu
Inkonsistenz
gewisse
statischen
Streuung
Systemen
lassen. Da die
Verfahren
Stochastik
immer exakter in die
Bemessungsmethoden
chanischen Modelle als auch die
ser
Streuung
Berechnungen
unumgänglich.
selben auf vorgespannte
Zugelemente
sehr
nur
in der
teilweise
Lage,
berücksichtigt
Eingangsgrössen
zeitaufwändig sind,
wer¬
sowohl die modernen
ist die
in die
me¬
Berechnung
Programmierung
die¬
Arbeit, eine umfassende Darstellung der
Zusammenstellung
der mathematischen
Der ganze Themenbereich der Inferenz¬
Vordergrund.
scheinlichkeit
sind die für das Verständnis
Welche Arten
von
notwendigen Begriffe
und
Unsicherheiten bei der stochastischen Bemes¬
sind, wie Wahrscheinlichkeit definiert ist, und wie einem Ereignis eine Wahr¬
sind
zugeordnet wird,
den Axiomen und
wichtige Teilaspekte,
die diskutiert werden. Aufbauend auf
der Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Theorie der stochasti¬
Rechenregeln
Bemessung vorgestellt. Dabei stehen die "first- and second-order realibity methods", die
FORM- und SORM
sowohl
im
Algorithmen
Komponenten als auch
von
Anwendung
und
Darstellung
SORM-Algorithmen
Vordergrund,
von
Systemen
mit welchen die
bzw.
Versagenswahrscheinlichkeit
Tragwerken
berechnet werden kann. Die
kann auch mit Simulationstechniken bestimmt
Versagenswahrscheinlichkeit
und
wird,
man
Hilfsmittel,
Bemessung zugrundeliegen, sowie die Anwendung der¬
im
(Kapitel 2)
zusammengefasst.
sung anzutreffen
schen
sta¬
ausgeklammert.
Im ersten Teil der Arbeit
Methoden
ist
Es ist nicht Absicht dieser
welche der zeitinvariaten stochastischen
statistik wird
er
eine vertiefte An¬
um
Bemessung einfliessen, dass aber die
der verwendeten
verfassen. Vielmehr stehen die
zu
Zwar verwendet
darin, dass der Kraftfluss und die mechanische Be¬
gegen die bemessen
Belastung
den. Mit den stochastischen
zu
Bedeutung.
der verwendeten Werkstoffe und der daraus berechneten Bauteilwiderstände
sowie die Variabilität der
einfliessen
ohne grosse
bemüht sich i.A. aber nicht
analysieren,
Methoden, weil die Bauwerke nach determinstischen Gesetzen bemessen
um
statistischer
Folgerungen
hier aber verzichtet wird. Von zentraler
sind die
speziellen Eigenschaften
werden, auf deren
Bedeutung
bei den FORM-
des Standard-Normalraums und die
Transformation der Basisvariablen und Grenzzustandsfunktionen in diesen Raum. Anschliessend
wird
aufgezeigt,
allgemeinerte
wie mit den genannten Methoden die
Sicherheitsindex
schlossen wird das zweite
Hier steht
v.a.
die
von
Kapitel
Berechnung
Kapitel
Einführung
in die stochastischen Prozesse.
Berechnung
Mittelpunkt.
ein zentrales Problem
In der Theorie der stochastischen finiten
dar, welches in Kapitel
Betonzugelemente übertragen
3 werden die stochastischen Werkstoffmodelle
aufgearbeitet.
Im ersten Teil werden
spröde
Faserbündel
Werkstoffverhalten ist das schwächste Element
Bei ideal
und ideal
4 auf ein stochas¬
wird.
die klassischen Werkstoffmodelle für ideal
der grösste
vorgestellt.
sprödem
Defekt) für das Bauteilversagen verantwortlich,
einer auf Zug
beanspruchten
dell des schwächsten
ver¬
des Konelationskoeffizienten zwischen zwei lokalen Durchschnit¬
tisches Modell für vorgespannte
In
der
Komponenten und Systemen berechnet werden kann. Abge¬
mit einer kurzen
ten eines diskreten stochastischen Feldes im
Elemente stellt diese
Versagenswahrscheinlichkeit bzw.
Kette
verglichen
Kettengliedes".
werden kann
Die nach Weibull
plastische
was
-
Materialien sowie für das
(oder
anschaulich mit dem Verhalten
daher auch die
Bezeichnung
"Mo¬
[119] benannte Extremwert-Verteilung ist
71
und
Zusammenfassung
Folgerungen
das stochastische Modell für den ideal
trägt jedes
ten
begrenztem Verformungsvermögen.
Bruch
spröden Werkstoff.
Element nach Erreichen der streuenden
Damit ist die
beteiligten Elementarfestigkeiten,
und der
Bei ideal
Fliessgrenze
plastischem Werkstoffverhal¬
die
Last bei
un¬
der Summe aller
am
entsprechende
Systemfestigkeit gleich
strebt mit zunehmender Anzahl
Verteilungstyp
Elementarvolumen gemäss dem zentralen Grenzwertsatz gegen eine
Normalverteilung.
klassische Werkstoffmodell ist das Modell des Faserbündels oder das Modell
Versagt eine der
Das
men.
Fasern, wird die Beanspruchung
n
einer Faser führt also nicht
Versagen
Fall
«
mit einer
—>
Daniels
von
zeigt sich,
°°
und Rackwitz
[50]
cherheitsindex eines
mender Anzahl
dass der
Die
Analyse
Komponenten
eines
zuerst
einer
auch hohe
Normalverteilung entspricht.
Parallelsystems
im Falle eines
ab, und
Berechnungen
die in der stochastischen
dellbildung
grössere Anzahl
zeigen
Verhalten
auszeichnet,
plastisches
Komponenten immer stark zu. Zuverlässig¬
in theoretischer
reale Werkstoffe eine
Bemessung berücksichtigt werden
Hauptthema
gespannten Zugelementen.
dieser Arbeit
Die vorgespannten
gewidmet,
Hinsicht, sie stellen
Basisvariablen, die als Ein¬
inhärente, natürliche Variabilität,
muss.
und für die Werkstoffe Beton, Betonstahl und
4 ist dem
mit zuneh¬
Komponenten wie¬
von
der sich durch
anspruchsvoll
nur
Komponenten-SpannungsKomponenten zeigt, dass der Si¬
n
Welche Probleme bei der Mo¬
auftreten und wie ein modernes stochastisches Werkstoffmodell
analysiert
Kapitel
mit
das Niveau der Information über die
insbesondere
gangsdaten auftreten;
wird
an
sind nicht
Hohenbichler
spröden Versagensmechanismus
erst für eine
Versagensmechanismus,
Anforderungen
zum
Daniels auf beliebige
von
nimmt der Sicherheitsindex mit zunehmender Anzahl
keitstheoretische
den verbleibenden n-\ Fasern übernom¬
von
notwendigerweise
Verteilungstyp
Parallelsystems
der zunimmt. Für einen
Fasern.
[26] entwickelten rekursiven Formel berechnet werden, und für den
erweiterten die Theorie
Dehnungsbeziehungen.
paralleler
globalen Versagen des Fa¬
spröde Spannungs-Dehnungsbeziehung auf, kann die Fes¬
serbündels. Weist die Faser eine ideal
tigkeit
Das dritte
Spannstahl
aufgebaut sein sollte,
im Detail beschrieben.
der stochastischen
Zugelemente
Festigkeit von
werden unterteilt in
Spannkabel
vor¬
und
vorgespannte Betonzugelemente. Aufbauend auf den in Kapitel 3 vorgestellten klassischen Werk¬
stoffmodellen wird das Verhalten eines
nentenzahl für
Querschnittsschädigung
kabels wird betrachtet. Steht das
bundtragwirkung
gen
muss
es
zeigt,
das
Spannkabel
durch die
im
im Verbund mit dem
Spannkabel
auf das Bauteil
als
inhomogen
homogen
nach Alvarez
Verwendung
einer
des Verhaltens
[4]
zur
von
Länge und Kompo¬
Gleichgewichts-
und
Festigkeit
Spann¬
Bauteil, kann über die Ver¬
übertragen
angenommen
werden. In diesem
werden, wohinge¬
vorausgesetzt werden kann. Eine
Festigkeit
des
Analyse
Spannkabels
Dieses mechanische Modell zeichnet sich
abgetreppten stan-plastischen Verbundspannungs-Schlupf-BezieSpannstahl
Kompatibilitätsbedingungen ermöglicht
der mittleren
und der
des
vorgespannten Betonzugelementen kommt
Anwendung.
sowohl für den Betonstahl als auch für den
rechnung
seiner
auf den Sicherheitsindex der
Spannkabel
ohne Verbund als
Beschreibung
Zuggurtmodell
hung
Abhängigkeit
inwieweit sich dieser Sachverhalt auf den Sicherheitsindex der
auswirkt. Für die
das
Spannkabel
ein Teil der Kraft im
Spannungsvolumen
in einem
in
beliebige Komponenten-Spannungs-Dehnungsbeziehungen diskutiert,
Einfluss einer lokalen
Fall
Spannkabels
Bruchdehnungen
und der
aus.
Unter
Berücksichtigung
dieser einfache Ansatz
dazugehörigen Traglast
u.a.
von
die Be¬
des betrachteten vorge¬
spannten Betonzugelements. Um das Zuggurtmodell einer stochastischen Bemessung zugänglich
zu
machen, wird
es
erweitert, und
sches finites Element
mente oft
es
zeigt sich,
aufgefasst werden kann.
angewandten Weggrössenverfahren,
verfahren an, womit das
vorgestellte
Im
dass das resultierende Modell als ein stochasti¬
Gegensatz
eines stochastischen
zur
am
Beschreibung
werden könnte. Damit wären die
Kraftgrössen¬
Institut für Baustatik
von
Grundlagen
Stahl- und
für die
Spann¬
Entwicklung
FEM-Programms gegeben. Mit Hilfe einer Parameterstudie des Zuggurtmo¬
dells und des stochastischen Modells für vorgespannte
72
den in der Theorie der finiten Ele¬
Modell ohne weiteres auf andere
und Konstruktion der ETH Zürich entwickelte Modelle
betontragwerken übertragenen
zu
bietet sich hier ein Ansatz nach dem
Betonzugelemente gelingt
es,
wichtige
Folgerungen
für das stochastische Modell
Schlussfolgerungen
ziehen, welche in Kapitel 5.2
zu
zusammenge¬
fasst sind.
5.2
Folgerungen
Aus den
Ergebnissen
stochastischen
•
dieser Arbeit
Bemessung
gelingt
es, den
stigkeit
Sind die
ideal
zum
des
unter
Berücksichtigung
dem des idealen
Schädigung
spröden
der einzelnen Drähte resp. Litzen
der
geringen
Spannkabel
Die
Erweiterung
Berechnung
des
kleiner
wird, allerdings
Zuggurtmodells [4]
zu
Längeneffekt auf,
nicht ganz
hat die Kor¬
regelmässiges
gesuchten
gemittelten Festigkeitsgrössen.
Methoden
Zugkraft beansprucht und
Rissbild erzwungen, kann in
der Sicherheitsindizes der
Traglast
kann.
einem stochastischen finiten Element erfordert
Lage ist, eine stochastische Bemessung durchzuführen.
den Enden durch eine
einen
der jedoch mit zunehmen¬
kompensiert werden
des Konelationskoeffizienten zwischen zwei
Die Theorie der stochastischen Felder stellt die
nur an
Hingegen
Kabelfestigkeit.
im Verbund weisen ebenfalls einen
Verbundwirkung
ein
koneliert, nimmt mit zuneh¬
Kenngrössen der Spannungs-Dehnungsbeziehung einzelner Drähte
den
ment
Länge abhängende Bruchfe¬
stark ab.
Kabelfestigkeit
Einfluss auf den Sicherheitsindex der
man
der
von
Spannkabels.
Bruchspannungen
in der
Spödbruches.
Werkstoff massgeblich die
relation
die
Spann¬
von
eines Drahtes resp. einer Litze bestimmt in
Bruchspannung
mender Konelation der Sicherheitsindex der
•
Festigkeit
der klassischen Werkstoffmodelle
und die Redundanz
Der Variationskoeffizient der
Analogie
zur
von Spannkabeln zu beschreiben. Weist das
nähert
sich das Bruchverhalten des Spannka¬
auf,
Querschnittschwächung
Längeneffekt
bels mit zunehmender
•
nachfolgend aufgeführten Folgerungen
vorgespannten Zugelementen:
werden, und
Kabel eine lokale
•
sich die
Mit Hilfe des Nataf-Modells kann die Wahrscheinlichkeitsfunktion der
kabeln ermittelt
•
von
ergeben
Analogie
und der mittleren
zum
Verfügung,
zur
Ist das betrachtete
wird mit einer
an
Zugele¬
Bügelbewehrung
Zuggurtmodell
Bruchdehnungen
womit
die
Berechnung
einem Risselement
durchgeführt werden.
•
Die
Berechnung
kann mit der
gigkeit
des Korrelationskoeffizienten zwischen zwei
Mittelpunkt-Methode
der Sicherheitsindizes der
gemittelten Festigkeitsgrössen
oder mit der Durchschnitt-Methode
Traglast
und der mittleren
erfolgen.
Bruchdehnung
Eine Abhän¬
kann nicht
festge¬
stellt werden.
•
Wird die
Berechnung
beziehungen
gegenüber
für Beton- und
der
abnehmender
Berechnung
Verfestigung
dex der mittleren
•
der Sicherheitsindizes mit den vereinfachenden
mit den wirklichkeitsnahen
des Betonstahls stark
Bruchdehnung
Wie beim deterministischen
ein grosse
nen
Spannstahl durchgeführt,
Bedeutung;
die
nur
Traglast
Spannungs-Dehnungsbeziehungen mit
unterschätzt, wohingegen der Sicherheitsin¬
leicht überschätzt wird.
Zuggurtmodell
hat
Verbundeigenschaft
Einfluss auf die Resultate der
Spannungs-Dehnungs¬
wird der Sicherheitsindex der
v.a.
des
die
Verbundeigenschaft
Spannstahls
hat
hingegen
des Betonstahls
einen sehr klei¬
Berechnungen.
73
Zusammenfassung
5.3
und
Ausblick
Zum Schluss werden
•
Folgerungen
einige Anregungen
Im Rahmen dieser Arbeit stand die
spannte Betonzugelemente
im
für weiterführende
Entwicklung
eines stochastischen Modells für vorge¬
Dabei sind die
Vordergrund.
worden. Im Hinblick auf eine fundierte
Modellparameter festgelegt
Dabei steht
die
v.a.
sind Versuche
die
einheitlich bewehrten
an
Messung der Kraft-Verformungskurve
in Bild 5.1
Messung der
als
Spannstahls
Kalibrierung
dieser
und im
speziellen
Alvarez und Marti
[5]. Diese
Vordergrund,
u.a.
Dehnung Fm
dazugehörende Kraft Tx
können; die Belastungsgeschwindigkeit der konti¬
Wertepaar angesehen werden
nuierlich gemessenen
der ideal stan-
Betonzugelementen notwendig.
im
dargestellten Laststufen, vgl.
zeichnen sich dadurch aus, dass die mittlere
als statisches
Verbundparameter
des Beton- und des
plastischen Verbundspannungs-Schlupf-Beziehungen
Modellparameter
Untersuchungen zusammengestellt:
und die
x
Kraft-Verformungskurve
ist i.A. unbekannt.
T
Tl
i -te Laststufe
**
-<?
Bild 5.1
Messkurve eines mit einer
-
Unter
Berücksichtigung
Zugkraft beanspruchten Betonzugelements.
des in dieser Arbeit
vorgestellten
stochastischen Modells für vorge¬
spannte Betonzugelemente und allfälliger Versuchsresultate ist eine statistische Analyse der
Modellparameter möglich.
wobei
durchgeführt werden,
stisch nicht
Diese
unabhängig
Analyse
kann mit der Maximum-Likelihood-Methode
berücksichtigt
[36]
werden muss, dass die einzelnen Laststufen stati¬
sind. Weil diese Methode sehr rechenintensiv
ist,
müsste ein Rechen¬
programm dafür entwickelt werden.
•
Wie in
Kapitel
aufgezeigt,
4
ist
es
möglich,
tion der ETH Zürich entwickelten Modelle
Spannbetontragwerken
FEM-Programm
lichkeit eines
zu
in einem auf dem
implementieren.
Stahlbetontragwerks
viele der
zur
Institut für Baustatik und Konstruk¬
Beschreibung
des Verhaltens
Kraftgrössenverfahren
Damit wäre
unter
am
man
in der
Berücksichtigung
von
Stahl- und
basierenden stochastischen
Lage, die Versagenswahrschein¬
des
Verformungsvermögens
zu
berechnen.
•
Mit den
vorgestellten
stochastischen Modellen sind die
tialsicherheitsfaktoren
Die
Grundlagen
zur
Bestimmung
von
Par-
der Partialsicherheitsfaktoren und die
gegeben.
Bestimmung
Umsetzung der stochastischen Modelle in eine Bemessungsnorm sollte vorangetrieben
wer¬
den.
•
Die
Entwicklung
von
Modellen für zeitvariante
den. Insbesondere könnte die
mit Hilfe des
von
Fürst
Ermüdungsproblematik
[44] vorgestellten
von
sollte
vorangetrieben
wer¬
vorgespannten Betonzugelementen
Modells behandelt und in einem weiteren Schritt
einem stochastischen Modell erweitert werden.
74
Beanspruchungen
zu
Anhang
Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
A.l
Ereignisse
Eine einzelne
eines
Realisierung
Zufallsexperiments
heisst Versuch und ist im Voraus unbekannt.
Üblicherweise können wir die Menge aller Realisierungen oder Beobachtungen eines Zufallsex¬
Diese
periments festlegen.
ment des
Ereignis
Ereignisraums,
CO
bezeichnet,
Menge
Menge
eignisräumen
Ereignisraum
D. des
Zufallsexperiments.
(a).
Ereignisräumen spricht
Elementar-Ereignisse
enthält.
man,
wenn
der
Demgegenüber
Jedes Ele¬
kann, wird als Elementar-
Es wird zwischen zwei Arten
Elementar-Ereignissen
von
die
man
welches selbst nicht weiter unterteilt werden
siehe Bild A.l
terschieden. Von diskreten
diskrete
nennt
Ereignisräumen
von
Ereignisraum
eine
un¬
zählbare,
sind bei kontinuierlichen Er¬
nicht zählbar.
(a)
(b)
r~
Ereignisraum Q.
Elementar-Ereignis
^
Bild A.l
-
Ereignis
CO
•
*
•
•
•
E
Graphische Darstellung von Ereignissen: (a) Ereignisraum D., Elementar-Ereignis
Ereignis E; (b) Ereignis E und Komplementär-Ereignis E.
CO
und
Ein Kollektiv
Elementar-Ereignissen
von
Untermenge des Ereignisraums.
eignisraum entspricht.
Null-Ereignis 0
.
Dieses
Ereignis
mit E bezeichnet. E besteht
Bild A.l
(b).
Das sichere
Zwei oder mehrere
Elementarfünktionen
sie wird mit dem
se
enthält,
El
n
E2
E2
ist das
eignisse El
Ereignis
und
grenzte Anzahl
ten
eingeführt.
u
sicheren
keine
Ereignis
Ereignis S,
E. Jedes
Ereignis
ist eine
das
Ereignis
dem Er¬
wenn
Elementar-Ereignisse, spricht man von
Komplementär-Ereignis
Null-Ereignis
sind
von
die nicht in E enthalten
einem
E wird
sind, siehe
komplementär.
können miteinander kombiniert werden. Dafür werden zwei
Vereinigung
bezeichnet
nur
Zusammenhänge
E2
-
von
ist ein
zwei
Elementar-Ereignissen Ex
Ereignis, welches
alle
die sowohl in
sind in Bild A.2 verdeutlicht. Gilt
Vereinigung
und
E2
-
Elementar-Ereignis¬
enthalten sind. Der Durchschnitt zweier
Elementar-Ereignisse enthält,
unvereinbar.
Ereignissen
ein
Elementar-Ereignissen,
und das
oder in
El
man
kann nicht eintreten. Das
Die
E2
welches
E2 paarweise
von
Ereignis
allen
Ereignisse
Symbol El
auftreten. Diese
aus
Ereignis
die entweder in
spricht vom
Man
Beinhaltet ein
nennt
ElnE2
=
El
Ereignisse
als auch in
0, sind die
Er¬
und Durchschnitt können auf eine unbe¬
erweitert werden. Für den Durchschnitt und die
Vereinigung gel¬
folgende Regeln:
75
Anhang
Kommutatives Gesetz:
Ex\jE2
=
E2\j Ex
(A.l)
EXC\E2
=
E2C\ Ex
(A.2)
Assoziatives Gesetz:
(Ex\jE2)\jE3
=
Ex\j(E2\jE3)
(A.3)
(ElnE2)nE3
=
Eln(E2nE3)
(A.4)
Für die
Vereinigung
bzw. den Durchschnitt
von n
Ereignissen
werden die
Abkürzungen
(A.5)
ElkjE2kj...kjEtl= \jEx
1
=
1
und
(A.6)
ExnE2n...nEn= nE„
1
=
1
verwendet.
(a)
(b)
•
Ei
•
#1*
•
•
•
*
—*•
•]•
E2
*
Ei
E2
Ei\JE2
Bild A.2
Ei^E2
Venn-Diagramm: (a) Vereinigungsmenge; (b) Durchschnittsmenge.
-
Aufbauend auf diesen
Beziehungen
lassen sich
erklären. Ein
Seriensystem
kann als ein
System dargestellt werden,
schaltet
siehe Bild A.3
sind,
Ein solches
System
dargestellt
nenten
=
und
=
=
dessen
das
Ereignis Ex
Seriensystems
kennen
als das
nur
und das
von
alle
n
E
hintereinanderge¬
Komponenten
versagen.
z-ten
"Versagen"
oder "Nicht
Komponente, gilt für das
(A.7)
eines
Parallelsystems
(A.8)
ElnE2n...nEn= nEx
^
haben
Parallelsysteme
n
in Serie
(Vereinigung
von
Schnitten) die Darstellung
(A.9)
nEij
^Eiy
Es
parallel angeordneten Kompo¬
die Zustände
Versagen der
Parallelsystem
Komponenten versagt.
in einer Reihe
wenn
(b) als ein System
Systeme
eine der
Komponenten
Parallelsystem versagt,
parallelgeschaltete Seriensysteme (Schnitte
Eps=
76
man
eines
Versagensereignis
Entsprechend
Esp
Ein
Seriensystem
wenn
ElvE2v...vEn= uEx
und für das
Ep
(a).
das
nun
Komponenten versagt,
werden. Die beiden
Versagensereignis Es
Es
n
kann gemäss Bild A.3
Bezeichnet
Versagen".
mit
von
Vereinigungen)
die
Darstellung
(A.10)
Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
(a)
(b)
1
2
n-1
3
n-1
n
Bild A.3
Idealisierte
-
Von grosser
Systeme: (a) Seriensystem; (b) Parallelsystem.
Bedeutung ist,
stellungen beschrieben
werden
dass jedes idealisierte System durch eine der beiden letzten Dar¬
kann, indem man von den distributiven Gesetzen der Mengenlehre
Gebrauch macht:
Ex
n
(EjUEk)
Ex
u
(E}nEk)
=
=
(EInEJ) u (ExnEk)
(A.ll)
(ExuEj) n (ExuEk)
(A.12)
Ferner werden wesentliche Reduktionen durch sogenannte
EjUEj
=
für
Ej
Ej çz E}
und
E1<uEkcz E}
ge minimal machen. Minimale
enthalten.
Teilmengen
zeichnet. Diese ist
A.2
Die
minimal,
Ex çE}
und
Absorbtionsregeln möglich,
Ek<zE
Hierdurch kann
P(E)
•
P(S)
>
0
=
wenn
Darstellung gemäss
sie keine andere
Formel
Pfadmenge
:
=
vereinbar,
baut auf den Axiomen
Die Wahrscheinlichkeit eines
:
1
Exc\E2
Das sichere
Ereignis
0<^>P(El nE2)
=
Ereignisses
(A.10) als Pfadmenge be¬
als echte
Teilmenge
enthält.
von
Kolmogoroff [61]
kann nicht
negativ
auf:
sein.
S hat die Wahrscheinlichkeit eins.
P(EX) + P(EX)
:
Sind die
berechnet sich die Wahrscheinlichkeit der
der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen
Die ersten zwei Axiome sind
Vereinbarungen,
die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses
E
und
ein,
Ereignisse E1 und E2 paarweise
Vereinigung der beiden Ereignisse
aus
zusammen
mit dem dritten Axiom grenzen sie
d.h.
(A.13)
Wahrscheinlichkeiten
Frage wie der Begriff Wahrscheinlichkeit zu interpretieren ist, wird bis heute
tikern, Ingenieuren und Wissenschaftern diskutiert. Dabei geht
eine Wahrscheinlichkeit
es u.a.
auch
Klassisch
Fälle
zur
(Laplace) [64]:
Anzahl aller
Als Wahrscheinlichkeit
möglichen
Fälle. Viele dieser
gilt
unter Mathema¬
darum, wie einem
wird. Grundsätzlich unterscheidet
eignis
zugordnet
Arten, den Begriff Wahrscheinlichkeit zu definieren:
•
un¬
Ereignisse.
0<P(£)<1
Die
die Men¬
Mengen sind solche, die keine anderen Schnittmengen als echte
wird die
Wahrscheinlichkeitsrechnung
A.3
d.h. durch
man
Axiome
•
•
Analog
für
man
das Verhältnis der Anzahl
Fragestellungen
Er¬
zwischen drei
günstiger
lassen sich mit Hilfe der
Kombinatorik lösen.
77
Anhang
•
Frequentistisch (von Mises) [79] :
mit der ein
figkeit,
eintritt.
Bedingungen
Die Wahrscheinlichkeit ist der Grenzwert der relativen Häu¬
bei vielen
Ereignis
Erwähnenswert
Jacob Bernoulli mit dem Titel "Ars
diese
•
Interpretation
Subjektiv:
in
ist
diesem
Zusammenhang
gegeben
gleichbleibenden
der
mit welchem die
conjectandi" [17,18],
der Wahrscheinlichkeit
unter
Aufsatz
für
ist.
Aussage
Diese Definition setzt weder die klassische noch die
interpretiert.
Interpretation
von
Grundlage
Wahrscheinlichkeit wird als Grad des Vertrauens einer Person in eine
einen Zustand
sche
unabhängigen Wiederholungen
oder
frequetisti-
der Wahrscheinlichkeit als Basis voraus, ist aber dennoch breit genug, bei¬
de Definitionen einzuschliessen.
Aus den drei
ten, einem
•
Begriffsdefinitionen der Wahrscheinlichkeit
der frequentistischen Wahrscheinlichkeit: Dieser
auf einer statistischen
keine
Möglichkeiten ablei¬
eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen:
Ereignis
Zuordnung aufBasis
spielt
lassen sich vier
Ansatz baut
empirische
beobachteten oder gemessenen Daten auf. Das
Analyse von
Fachgebiet
Rolle, weil die Vörgehensweise dieses Ansatzes immer gleich ist. Die Methoden
der klassischen Statistik basieren auf dieser Definition.
•
Zuordnung auf Basis
Grund
von
Die interessierende Wahrscheinlichkeit wird auf
Vorinformation:
von
elementaren Annahmen
zum
Eintreten des betrachteten
Dieser Prozess setzt das Verständnis der dem
den
•
Naturgesetze
voraus
und ist deshalb
Zuordnung auf subjektiver
auf der Basis
von
Basis: In
zu
abhängig
gewissen
Ereignisses zugeordnet.
untersuchenden Phänomen
zugrundeliegen¬
Fachgebiet.
vom
Situationen können Wahrscheinlichkeiten
Expertenmeinungen zugordnet
werden.
Demzufolge
ist diese
nur
Zuordnung
subjektiv.
•
Zuordnung auf Basis gemischter Informationen: Typisch
Vorliegen verschiedenartiger
jektive
Informationen.
Informationen müssen alle für die
für
Ingenieuranwendungen
ist das
Messresultate, Vorinformationen und auch sub¬
Berechnung
der Wahrscheinlichkeit
miteinbezogen
werden.
Auf eine
Diskussion, welche Interpretation der Wahrscheinlichkeit und welche Art der Zuord¬
nung der Wahrscheinlichkeiten im Bereich der
wird hier verzichtet und auf die
A.4
umfangreiche
Ingenieurwissenschaften angewandt
soll,
Rechenregeln
Aufbauend auf den Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie
nen
werden
Literatur verwiesen.
Auf die
Rechenregeln.
Anführung
von
die
gelten
Beweisen wird hier
nachfolgend
verzichtet, vgl. dazu
beschriebe¬
u.a.
Parzen
[89].
Sind die
Ereignisse
E und E
komplementär
mit
P(EuE)
Null-Ereignis
=
1, gilt
hat die Eintretenswahrscheinlichkeit
P(0)= 1-P(S)
78
P(S)
(A.14)
P(E)= l-P(E).
Das
=
=
0.
(A.15)
Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
Die Wahrscheinlichkeit der
P(ExvjE2)
=
zweier
Vereinigung
Ereignisse E1
und
E2
kann mit
(A.16)
P(El) + ?(E2)-?(ElnE2)
berechnet werden. Diese
Beziehung
kann mit Hilfe
von
Bild A.2
(a) leicht hergeleitet werden.
Interessiert die Wahrscheinlichkeit des
eingetreten ist,
lichkeit
handelt
sich
es
eine
um
wird mit
El gegeben E2
Ereignisses E1 unter der Vörausgesetzung, dass E2
bedingte Wahrscheinlichkeit. Die bedingte Wahrschein¬
bezeichnet. Die Definition der
P(EAE2)
bedingten
Wahr¬
scheinlichkeit lautet
P(£, n£9)
P(EX\E2)
(A.17)
y^E)2J,P(E2)>0.
=
Das vorausgesetzte Eintreten
eignisraum E2,
was zur
normiert werden
muss.
E2
von
Folge hat,
Bezüglich
führt
dem
einer Reduktion des
zu
dass die
bedingte
Ereignisraum
Dies wird im Normalfall in der Schreibweise aber
P(EX nE2)
was
auch als
P(EX)
bedingten Wahrscheinlichkeit
=
P(EX\E2)P(E2)
Multiplikationsregel
P(^2)
und
weiteres auf«
heissen
Ereignisse
Reihenfolge
der
wenn
die zwei
die Tendenz
Ereignisse
tendenziell nicht
paarweise
unvereinbar sind.
Daraus
folgt die
statistisch
zweiten
unabhängig,
P(EX\E2)
zutrifft. Gilt
=
En
(A.17) folgt
(A.18)
Die
bedingten
Multiplikationsregel
Bedeutung.
Die
zusammen
Es ist
zu
eintreten, und sie ist null für den Fall, dass die Ereignisse
Unabhängigkeit.
das Eintreten des einen
verändert, d.h.
Zwei
Ereignisses
Ereignisse El
und
E2
sind
die Wahrscheinlichkeit des
wenn
(A.20)
muss
auch
P(E2\El)
=
P(E2)
zutreffen. Setzt
man
(A.20)
in
(A.18) ein,
re¬
unabhängigen Ereignisse
(A.21)
P(El)P(E2).
beachten, dass diese Regel für mehr als zwei Ereignisse keine Gültigkeit hat.
Sind die
(siehe Bild
P(A)
bedingte Wahrscheinlich¬
Ereignisse: Sie strebt gegen eins,
einzutreten, sie ist klein, wenn die zwei
sultiert für die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts zweier statistisch
=
kann ohne
(A.19)
P(EX)
(A.20),
P(ElnE2)
Wahrscheinlichkeiten
des Eintretens zweier
haben,
zusammen
wenn
nicht
bedingten
gilt
ist nicht von
Definition der statistischen
Ereignisses
kann als Produkt einer
bezeichnet wird. Die nicht
bis
P(E2)
bedingt.
P(EX) gilt.
P(E2\El)P(El),
Abhängigkeit
Ereignisse
=
P(El\E2...En)P(E2\E3...En)...P(En_l\En)P(En).
Ereignisse El
keit ist ein Mass für die
Ereignisse
Marginal-Wahrscheinlichkeiten.
=
mit
D. sind alle Wahrscheinlichkeiten
berechnet werden. Aus
erweitert werden. Es
P(ElnE2n...nEn)
Die
=
D. auf den Er¬
P(EAE2)
unterdrückt, weil P(EAS)
Die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts zweier
und einer nicht
Ereignisraums
Wahrscheinlichkeit
=
0,
Ereignisse Ex paarweise unvereinbar, d.h. ist P(ExnE)
A.4), kann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A durch
=
£ P(A nEx)
1=1
ausgedrückt werden.
=
£ P(A\EX)P(EX)
und
gilt
{j"=1E,
=
Q
(A.22)
1=1
Dieser Sachverhalt wird als Satz der totalen Wahrscheinlichkeit bezeichnet.
79
Anhang
Ei
E2
E3
»
•
»
•
•
»
•
*
•
•
•
•
•
•
•
a-
Bild A.4
Der
Darstellung
-
Wahrscheinlichkeit
P(E\A)
•
des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit.
Vollständigkeit halber wird
dingten
9
(A.17)
noch der Satz
und der
von
Bayes angeben. Aus der Definition der be¬
Multiplikationsregel (A.18) folgt
P(AnE)
=
(A.23)
P(A)
HA\E)
P(A)
P(E).
Dieses einfache Resultat wurde
Priester und
Statistiker,
dass die Wahrscheinlichkeit des
rechten Seite steht die
scheinlichkeit des
ist
von
Thomas
entwickelt. Die
Bayes (1702-1761) [12,114], einem englischen
Wichtigkeit
Ereignisses
Regel
ist durch die Tatsache
E auf beiden Seiten der
Marginal-Wahrscheinlichkeit,
Ereignisses E, gegeben
dieser
das
und auf der linken Seite die
Ereignis A, P(E\A).
die
In der
gegeben,
auftritt. Auf der
Gleichung
Wahr¬
bedingte
Bayes'schen
wird Likelihood genannt
Termino¬
Fisher
[36]),
P(E)
prior Wahrscheinlichkeit, P(A\E)
(vgl.
P(^4) ist eine Konstante, welche die Wahrscheinlichkeit normiert, und P(E\A) ist die posterior
Wahrscheinlichkeit. Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit kann der Nenner in (A.23) um¬
logie
formuliert
werden, und der Satz
P(EX\A)
von
Bayes nimmt die bekannte
Form
P(A\EX)P(EX)
=
(A.24)
tp04|£y)P(£y)
an. Die Regel beschreibt, wie sich die Wahrscheinlichkeit von Ex durch die Zusatzinformation
verändert, dass A eingetreten ist. Mit Hilfe der Bayes'schen Formel lassen sich auch subjektive In¬
formationen verarbeiten.
A.5
Die
Zufallsvariablen
Realisierung
Zahl,
lässt
es
eines
Experiments
ist in den meisten Fällen eine Zahl. Ist das Resultat keine
sich immer in einen Zahlenwert umwandeln. Es ist deshalb
Zufallsexperiment durch eine Zufallsgrösse
den mit Grossbuchstaben und die
zulässig,
dass wir ein
bzw. Zufallsvariable darstellen. Zufallsvariablen
Realisierung
eines
Zufallsexperiments
wer¬
mit Kleinbuchstaben ge¬
kennzeichnet.
Eine Zufallsvariable X ist eine
möglichen Elementarereignis
gung
kann,
Es
Funktion, die in einem vorgegebenen Ereignisraum D. jedem
eine Zahl
x
zuordnet. Die Zufallsvariable X
muss
der Bedin¬
genügen, dass dem Ereignis {X<x} die Wahrscheinlichkeit P(X<x) zugeordnet werden
u.a.
Plate
gibt
Grössen
[91].
zwei Arten
von
Zufallsvariablen: Die diskreten Zufallsvariablen stellen abzählbare
dar, wohingegen stetige Zufallsgössen nicht abzählbar sind.
sich diese Arbeit auf die
80
CO
Betrachtung
von
stetigen
Zufallsvariablen.
Im
Folgenden
beschränkt
Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
A.6
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion einer
Funktion
fx(x) definiert,
fx(x)dx
stetigen
Zufallsvariablen X wird als nicht
P(x<X<x + dx)
=
(A.25)
gilt. fx(x) entspricht der Dichte der Wahrscheinlichkeit,
operator dx ergibt einen Wert für die Wahrscheinlichkeit.
baren Intervalle der
muss
die
negative
sodass
Länge
und das Produkt mit dem Differential¬
Summiert
man
die
paarweise
unverein¬
dx über den gesamten Definitionsbereich der Zufallsvariable X
auf,
Bedingung
oo
f
îx(x)dx
(A.26)
1
=
erfüllt werden. Jede
Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion, welche die Voraussetzung fx(x)
(A.26) erfüllt, ist eine zulässige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
üblicherweise die
Abkürzung pdf (probability density function)
scheinlichkeit jedes
Ereignisses
P(a<X<b)
siehe Bild A.5
=
j*
berechnet werden. Die
In der Literatur wird dafür
P(X<x)
worin
=
Fx(x)
[a,b]
(A.27)
setzt wiederum die
Fx(x)
(b) folgt
=
j
paarweise
Unvereinbarkeit der Realisie¬
voraus.
P(X<x) zugeordnet
beinhaltet, dass dem Ereignis {X<x} die Wahr¬
werden kann. Es
gilt
(A.28)
fx(.x)ax.
die Wahrscheinlichkeitsfünktion der Zufallsvariablen X ist. In der Literatur wird da¬
für üblicherweise die
A.5
Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvari¬
ïx(x)dx,
Die Definition einer Zufallsvariablen X
scheinlichkeit
bekannt, kann die Wahr¬
liegt beträgt
(a). Dieses Resultat
rungen im Intervall
0 und
verwendet.
Ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion einer Zufallsvariable X
able X im Intervall [a,b]
>
aus
P(a<X<b)
Abkürzung
(A.27)
=
\
und
cdf
(A.28)
fx(x)dx
=
(cumulative distribution function) verwendet. Gemäss Bild
die
aus
der
Integralrechnung bekannte Beziehung
(A.29)
Fx(b)-Fx(a)
(a)
(b)
Ux)
FX(x)
-P(a<X<b)
-r
Bild A.5
-
Stetige
Zufallsvariablen:
(a) Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion; (b) Wahrscheinlich¬
keitsfünktion.
81
Anhang
Differenziert
J-F(x)
=
(A.28) beidseitig, resultiert die
man
zu
(A.29) inverse Funktion
(A.30)
îx(x).
Ist also die Wahrscheinlichkeitsfünktion
bekannt, kann die Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion
durch Differenzieren gefunden werden, respektive ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion be¬
kannt, kann die Wahrscheinlichkeitsfünktion durch Integrieren bestimmt werden. Eine gültige
Wahrscheinlichkeitsfünktion
bedingungen Fx(-°°)
Fx(+°°)
Die Wahrscheinlichkeit des
FXiXi(xvx2)
•
•
•
monoton
steigende
Eintretens der beiden
gemeinsamen
Funktion mit den Rand¬
Ereignisse {Xl<xl}
und
(A.31)
P({Xx<xx}^{X2<x2})
=
Eine bivariate Wahrscheinlichkeitsfünktion ist
eine rechts
•
stetige,
1 sein.
=
ist durch die bivariate Wahrscheinlichkeitsfünktion
{X2 <x2}
gegeben.
eine rechts
muss
0 und
=
stetige,
¥x1x2(-ca^ x2)
¥x,x2(xv -°°)
=
Fx1x2K°°)=
1
FX1X2(Xl'°°)
FX1(Xl)
=
Fx^K^)
Funktion. Sie
steigende
monoton
=
muss
den einzelnen Dimensionen
folgenden Bedingungen genügen:
0
Fx2(x2)
=
Die bivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion
fx x (xv x2)
der bivariaten Wahrscheinlichkeitsfunktion durch
a2
fxjX2(xi'x2)
bezüglich
Analogie
(A.30)
zu
-j
aus
Differenzieren bestimmen.
(A.32)
FXjX2(xi'x2)
=
-\
partielles
lässt sich in
Alternativ kann die bivariate Wahrscheinlichkeitsfunktion mit
FXjX2(Xl'X2)
bestimmt
=
J
J
—oo
—oo
(A.33)
fXjX2(X l'X2/"X l"X2
werden, falls die bivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion bekannt ist. Die Verallge¬
meinerung
von
(A.32) und (A.30) führt
FxA Xn(x1,x2,...,xn)
zu
den multivariaten
Verteilungen. Ausgehend
(A.34)
P({Xl<xl}n{X2<x2}n...n{Xn<xn})
=
von
lässt sich die multivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion und die multivariate Wahrschein¬
lichkeitsfünktion in
Analogie
^XXX2 XniXVX2>
>Xn)
zu
(A.32) und (A.33) berechnen:
d"
=
3x 3x
X
Fx,x? x„(xi'x2'•••x«)
In
Analogie
zur
=
J
Xo
---J
—oo
Definition der
scheinlichkeitsfünktion des
3x
(A.35)
*kx, x(xl,x2,...,xrx)dxldx2...dxrx
(A.36)
X-i
J
—oo
¥XiX2 Xn(xVx2>--->Xn)
—oo
bedingten
Wahrscheinlichkeit
Ereignisses {X<x}
,
unter der
(A.17) ist die bedingte Wahr¬
Voraussetzung dass
Y
=
y
ist, durch
FYr(x, y)
FXY(x\y)=
X\y\ \y)
82
XYV
F
y'
^
(A.37)
Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
definiert, und für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion kann gezeigt werden, dass
fxY(x\y)
=
,f700>o
'
fr 00
(A.38)
fxY (*»jQ
oo
j*
gelten
on
muss.
Ist
fXY(x,y)dx
f7 (y)
=
und die
fwy (x| y)
gilt fx,Y (x\ y)
0
von
oo
fx(x)
J
=
bedingte
der Zufallsvariable Y
Marginal-pdf
scheinlichkeitsdichtefünktion
0. Ist die
=
Wahrscheinlichkeitsdichtefünkti-
bekannt, kann die Marginal-Wahr-
X mit
oo
fx7 (x,y)efy
ermittelt werden. Die
J fX|7 (x| j)f7(j)t/j
=
Integration
(A.39)
(A.38) ergibt eine weitere Möglichkeit, die bedingte Wahr¬
von
scheinlichkeitsfünktion
j*
¥x\Y(x\y)z
zu
iXY (x\y)dx}
—oo
=
frÖÖ
J
(A.40)
fxlY(x'\y)dx
berechnen.
A.7
Funktionen
Ist Xeine
von
Zufallsvariable,
die Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen
Y
muss
=
g(X) ebenfalls eine Zufallsvariable sein, vorausgesetzt dass
P(g(X)<y)
im Definitionsbereich der Zufallsvariablen Y existiert. Die
Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion der Zufallsvariablen Y ist durch
frOO
gegeben,
?x(g 00)
=
g
M
(A.41)
(y) bezeichnet die Umkehrfunktion
von
g(x). Die graphische Interpration
von
(A.41) bedeutet, dass die Flächen fY(y)dy und fx(x)dx, d.h die Wahrscheinlichkeiten gleich
gross sein müssen, siehe Bild A.6. Weil
tive Funktion sein muss, die
Vorzeichen haben
kann,
Ableitung
muss
in
(A.41)
jede
von
der
Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion eine nicht nega¬
g
(y) aber sowohl ein positives als auch negatives
Betrag der Ableitung verwendet werden.
y=g(x)
h(y)=g'\y)
fY(y)dy
x=h(y)
Bild A.6
-
Graphische Interpretation
der
Gleichung (A.41),
aus
Benjamin
und Cornell
[15].
83
Anhang
Der
allgemeine
Fall der
Berechnung
der Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion
fF (yv ...,ym)
in
fx (xv ...,xn) ist in Analogie zu (A.41) interpre¬
fyOV ...,ym)dyl...dym und fx(xl, ...,xrx)dxl...dxm müssen wieder¬
Funktion der Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion
tierbar. D.h. die Volumina
um
gleich
Yk
xi
(A.42)
Umkehrfunktionen
zugehörigen
ëk\yv >ym>xm
=
Bestimmungsfunktionen
gk(X1,X2,...,X„),k= \,2,...,m;m<n
=
und den
gross sein. Mit den
•••>x»)
v
+
k
»
=
1,2,...,
(A.43)
m
ist die multivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariablen
oo
fY(yv...,ym)
\JX |
gegeben.
Integrationen
=
j
oo
...j
—oo
Yv
+
—oo
und
(A.44),
durch
Ym
,
îx(xl,...,xm,xm
l,...,xn)\JyJ dxm l...dxn
es
(AAA)
+
bezeichnet die Determinante der Jacobi-Matrix. Für den Fall
in
...,
resultiert die bekannte
Gleichung
der
m
=
entfallen die
n
allgemeinen
Koordinaten¬
transformation:
f¥(yl, ...,ym)
Eine nützliche
/
x
=
frterV)» -'Sm~1(ym))\JyJ
Eigenschaft
Momente und
entsprechende
vollständig
der Momente
X wiederum
E[X"]
von
/
=
Jx
,
weil
Zufallsvariablen
von
definiert durch ihre Wahrscheinlichkeitsfünktion
Grössen
fx(x).
Manchmal ist
teilweise
es von
Fx(x)
oder
Nutzen, die
beschreiben. Diese Grössen sind
nur
zu
ausgezeichnete
Tendenz, die Streuung oder die Schiefe. Zu diesem Zweck wurde das Konzept
von
Zufallsvariablen
vollständig
eingeführt.
Sind alle Momente
bekannt, ist die Zufallsvariable
definiert. Die Momente der Zufallsvariablen X sind durch
j°° x" fx(x) dx,
=
Gültigkeit
berechnen ist.
Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion
Zufallsvariable durch
z.B. die zentrale
zu
Erwartungswerte
Ein Zufallsvariable X ist
die
der Jacobi-Determinante ist die
im Normalfall wesentlich einfacher
A.8
(A.45)
(A.46)
=1,2,...
n
—oo
definiert, mit dem Sonderfall des
(n= 1), das gleich dem Mittelwert ist:
ersten Moments
oo
ELY]
=
J
x
fx(x)
dx
=
(A.47)
[ix
—oo
Der Mittelwert hat die
Merkmalsachse und
Bedeutung
zeigt
liegen.
Mit der
Modalwert mx
84
so
Schwerpunktabstandes
die zentrale Tendenz
denz einer Zufallsvariablen
x05 bezeichnet und ist
des
zu
von
X. Andere
der Fläche
vom
Möglichkeiten,
Ursprung auf der
die zentrale Ten¬
beschreiben sind der Median und der Mode. Der Median wird mit
gewählt,
dass 50% aller
Realisierungen
unter bzw. über dem Median
0.5 kann der Median berechnet werden. Der
Bestimmungsgleichung Fx(x05)
entspricht dem Punkt mit der grössten Wahrscheinlichkeitsdichte.
=
Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
Wird der
der
Ursprung der Merkmalsachse
in den
Schwerpunkt verschoben,
Achse berechneten Momente Zentralmomente. Die
neuen
heissen die
Definitionsgleichung
bezüglich
der Zentral¬
momente hat die Form
oo
E[(X-[ix)"]
=
j (x-[ix)%(x)dx,
(A.48)
—oo
wobei der Fall
n
2
=
E[(X-\ix)2]
=
von
Interesse ist:
speziellem
f (x-Lix)2fx(x) dx
=
(A.49)
VarLY]
—oo
Die Grösse ox
vVarjX]
=
=
D[X] wird i.A. als Standardabweichung bezeichnet, deren Quadrat
die Varianz ist. Für die Fläche unter der Funktion
zogen auf den
ist die Varianz das
fx(X)
be¬
Trägheitsmoment
Schwerpunkt.
Aus dem Mittelwert und der
einer Zufallsvariablen X kann der Variati¬
Standardabweichung
onskoeffizient
(A.50)
Vx=V-x
berechnet
werden, welcher ein normiertes Mass für die Streuung einer Zufallsgrösse darstellt.
Schliesslich ist als Parameter
fallsvariablen
der eine
niedrigster Ordnung,
Xl undX2 herstellt, noch
die Kovarianz
Verbindung
Cov[X1,X2]
von
zwischen zwei Zu¬
Bedeutung.
Mit der De¬
finition der zweidimensionalen Zentralmomente
—oo
E[(Xl-nx)"(X2-nx)m]
1
l
die Kovarianz
entspricht
=
Cov[XvX2]
=
_oo
l
—oo
Z
dem Sonderfall
Cov[X1,X2]
n
=
l
(A.51)
Z
1 und
m
=
1
:
Et^-u^X^-u^)]
—oo
=
oo
j j ((xl-\ix)n(x2-\ix)mîxx(xl,x2))dxldx2
f
(A.52)
oo
f
—OO
((xl-[ix)(x2-[ix)fxx(xl,x2))dxldx2
i
—OO
Z
Y
Z
Mit der Kovarianz kann schliesslich der Konelationskoeffizient
P^2
=
Cov[XvX2]
l
„
>
-1^
^
,A
^
Pxxx2 ^
!
berechnet werden. Der Konelationskoeffizient ist ein Mass für die lineare
linearen Gleichschritt zweier Zufallsvariablen: Ist px
zwischen den Zufallsvariablen
gigkeit
riable
der Zufallsvariablen
dargestellt
Xx
und
perfekt,
X2,
„,
(A.53)
ist px
x
x
=
Abhängigkeit bzw.
den
0, besteht keine lineare Abhängigkeit
=1 oder px
x
=
-1, ist die lineare Abhän¬
und die zwei Zufallsvariablen können durch eine Zufallsva¬
werden. Zu beachten
ist, dass die Bedingung der stochastischen Unabhängigkeit
strenger ist als fehlende Korrelation: Zufallsvariablen können unkoneliert und doch voneinander
abhängig
sein.
Wird ein Problem mit
koeffizienten in der
von
n Xn
n
Zufallsvariablen
R haben den Wert Eins. R ist
sind,
auch
positiv
betrachtet, lassen sich alle möglichen Korrelations¬
Konelationsmatrix R
définit. Mit der
=
[p ]
symmetrisch und,
Diagonalmatrix
der
zusammenstellen. Die
Diagonalelemente
falls die Zufallsvariablen linear
Standardabweichungen
der Korrelationsmatrix R kann die Kovarianzmatrix Z
=
D
=
unabhängig
diag[G;]
und
D RD berechnet werden. Die Kovari-
85
Anhang
anzmatrix ist wie die Konelationsmatrix
symmetrisch
positiv définit.
Dieser Sachverhalt ist
Bedeutung,
Matrix immer
diagonalisierbar
A.9
von
Deutung
umfangreiche
von
gleichen Bedingungen
symmetrische
und
positiv
auch
definite
ist.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Es existiert
und unter den
weil eine
für
stetige
Zufallsvariablen
Literatur über die mathematische
univariaten und multivariaten
Formulierung
und die
physikalische
Wahrscheinlichkeitsdichtefünktionen, vgl.
u.a.
Plate
[91]. Für die im weiteren Verlauf dieser Arbeit oft verwendeten Normal- und logarithmischen
Normalverteilungen
Zwei
sind in
Anhang
B bzw.
Anhang
der Konstruktion
spezielle Möglichkeiten
von
C die
wichtigsten Eigenschaften angegeben.
multivariaten
Verteilungen
werden im Fol¬
genden vorgestellt:
der multivariaten Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion als Funktion
Berechnung
•
von
bedingten
Wahrscheinlichkeitsdichtefünktionen.
Bestimmung
•
der multivariaten Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion
Die multivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion
mäss der
aus
den
Marginal-Vertei-
und der Konelationsstruktur der Zufallsvariablen.
lungen
als Produkt
Multiplikationsregel (A.19)
von n
von
n
Zufallsgrössen Xv
bedingten
...
,Xn
kann ge¬
Wahrscheinlichkeitsdichte-
fünktionen in der Form
*Xv..Xn(Xl> •••>X«)
dargestellt
=
fxj...XB(Xl|X2' >Xn)*X2...Xn(X2\X3>
werden. Weist
fünktionen eine
man
Verteilung
den in
Es ist
Marginal-Verteilungen und
durch die
gegebenen
Zu¬
beachten, dass (A.54) keine eindeutige Zuordnung ist:
(A.54) lässt sich eine Vielzahl von Variationen bilden.
die
paarweisen Korrelationskoeffizienten
der
n
Zufallsva¬
Morgenstern [82] oder Nataf [86] aufgebaut werden. Weil für die Bestimmung der
relationskoeffizienten höchstens die zweiten
die Momente höherer
gemischten
Zentralmomente
in beiden Modellen jedoch
Ordnung
Morgenstern- als auch das Nataf-Modell Näherungen.
über dem
Morgenstern-Modell
sitiver Konelation
Modells wurde
besteht
darin,
berücksichtigt werden können.
von
Liu und Der
mit der Konelationsmatrix R
f^, ...,*„)
fx(Xj)
=
die
n
=
Kor¬
berücksichtigt werden,
unberücksichtigt bleiben,
sind sowohl
Der Vorteil des Nataf-Modells gegen¬
dass Zufallsvariablen mit grosser
negativer und
Eine ausführliche Diskussion des
Kiureghian [66] durchgeführt.
Die multivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion
worin
Verteilung
bekannt, kann die multivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion mit Hilfe eines Ansat¬
zes von
das
^Xn_lXn(Xn-l\Xn)^Xn(Xn)(^^^)
zu
Durch Umordnen der Zufallsvariablen in
riablen
Xn>-
(A.54) auftretenden bedingten Wahrscheinlichkeitsdichte-
zu, können die Parameter dieser
fallsgrössen ausgedrückt werden.
Sind die
•>
von n
po¬
Morgenstern-
Es wird hier nicht weiter vertieft.
Zufallsgössen
X
=
(Xv
...,Xn)T
[p ] hat im Nataf-Modell die Form
^(x^f^)...^^^^^,
Marginal-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen
ist ein Zufallsvektor mit den Elementen zx
(A.55)
der Zufallsvariablen
Xx
mit den
sind.
Marginal-Wahrscheinlich(Fx(xx))
Xx. (p(zj) ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion
der Standard-Normalverteilung und <pn(z,R0) die Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion der Stan¬
dard-Multinormal Verteilung. Die Elemente der Konelationsmatrizen R0
[p0 ] und R
[pXJ]
der Zufallsvariablen Xx \m&X sind voneinander abhängig. Es gilt die in p0
impliziete Integral¬
Z
keitsfunktionen
Fx(x;)
=
O
der Zufallsvariablen
=
gleichung
86
=
Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
°°
.
°°
.
(X.-
LIA
/x,
-LIA
worin Lt; der Mittelwert und c; die
Der
Kiureghian [66] geben
an, weil diese
Gleichung
für
,
,
,
Standardabweichung
(A.56) Näherungsformeln
im Normalfall numerisch
gelöst
,
der Zufallsvariablen
für verschiedene
werden
X;
sind. Liu und
Verteilungsfunktionen
muss.
87
Anhang
B
Eigenschaften
B.l
Univariate
der
Normalverteilung
Normalverteilung
Gemäss dem zentralen Grenzwertsatz
sen
gegen eine
Normalverteilung.
Normalverteilung,
welche erstmals
(vgl.
u.a
Für viele
von
Parzen
[89]) strebt die Summe
physikalische
de Moivre
Prozesse oder
von n
Zufallsgrös¬
Eigenschaften
ist die
[81] verwendet wurde, somit ein vernünftiges
stochastisches Modell.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer normalverteil¬
ten Zufallsvariablen X mit Mittelwert
[ix und Standardabweichung gx sind:
1
( l(x-Vx\
—^
,— <x<=-^exp
v 2V
cx ;;
fr(x)
(B.l)
--
j2%ox
FI(x)
=
P(I<x)
=
-LjI expUf^OV
Durch die Transformation
u
=
(x-lix)/gx
welche einen Mittelwert null und eine
keitsdichtefunktion
(p(w)
=
von
—
<x<~.
(B.2)
resultiert die standard-normalverteilte Variable U,
Standardabweichung
von
eins hat. Die Wahrscheinlich¬
U ist durch
-=exp\--u ),-°°<x<°°
v 2
J
(B.3)
V27t
Die Wahrscheinlichkeitsfünktion
gegeben.
0(m)
=
f
(p(u')du',
(B.4)
-°°<x<°°
—oo
muss
numerisch
Mit der oben
gelöst werden,
angegeben
wofür Melchers
[75] verschiedene Lösungsalgorithmen angibt.
Transformation kann die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der normal¬
verteilten Zufallvariablen X durch
f-(X)
=
G^(X-^)'-~^~
(B-5)
und die Wahrscheinlichkeitsfunktion durch
'
Fx(x)
=
P(X<x)
ausgedrückt werden.
E[x]
=
Var[x]
=
x-\x.x\
Ol——
Die
l,-°°<x<°°
wichtigsten
(B.6)
Momente einer normalverteilten Zufallsvariablen X sind:
[ix
=
E[(x-Ltx)2] c^
=
(B.7)
E[(x-Ltx)3]
=
0
E[(x-Ltx)4]_3
4
°X
Eigenschaften
Die
hat
Standard-Normalverteilung
O(-s)
5
=
=
folgende
hilfreiche
der
Normalverteilung
Eigenschaften:
1-0(5)
0"1(P) -0"1(1-P)
(B.8)
=
Eine der
Standard-Normalverteilung
nahe verwandte Funktion ist die
Fehlerfünktion, welche
durch
Erf(x)
=
2(o(^x)-|)
ausgedrückt werden
kann.
Multivariate
B.2
(B.9)
Normalverteilung
Die multivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer «-dimensionalen normalverteilten Zufallsvariablen X
U*>*xx)
=
(XVX2,...,Xn)
ist durch
W-lçx-M/ *xx (x-Mx))
V 2
J
J2
=
T
,
(B.10)
(27t) "/2J\^\
gegeben,
und die Wahrscheinlichkeitsfünktion kann mit
(
^x(x^xx)
-
\
r\X<Xx
P
\
1
=
1
=
jX"...jXlfx(s,'Lxx)ds
(B.ll)
j
berechnet werden. Parameter sind der Vektor der Mittelwerte
varianzmatrix
ux
=
und
Fx(x,lxx)
=
Die multivariate
Mx
,T
\in)
und die Ko-
der Standardabwei¬
(B.12)
welche numerisch
gelöst werden
muss.
Multivariat normalverteilte Zufalls¬
folgende wichtige Eigenschaften
Normalverteilung
und der Kovarianzmatrix
Sind die Zufallsvariablen X
von
•
die
=
0„( u,Rxx)
variablen zeichnen sich durch
•
(\iv \i2,...,
=
ausgedrückt werden,
•
=
Diagonalmatrix
Zxx DXRXXDX,
Dx diag[G;]
Rxx [p ] die Konelationsmatrix von X sind. Mit der Transformation
(xx-[ix)/<5x kann (B.ll) durch die multinormale Wahrscheinlichkeitsfunktion
chungen
=
worin
Mx
=
aus:
der Zufallsvariablen X ist mit dem Vektor der Mittelwerte
~LXX komplet
definiert.
(XVX2,.. .,Xn)
T
multivariat
normalverteilt, ist jede Teilmenge
X auch multivariat normalverteilt.
Sind die Zufallsvariablen X
=
Wahrscheinlichkeit, welche sich
aus
T
multivariat
normalverteilt, ist jede bedingte
diesen Zufallsvariablen
berechnet, selbst wieder multiva¬
(XVX2, ...,Xn)
riat normalverteilt.
•
Ist die Korrelation zwischen zwei normalverteilten Zufallsvariablen
unabhängig.
null, sind sie statistisch
Anhang
Bedingte Normalverteilung
B.3
Sind die Zufallsvariablen
X1
T
(XX,X2, ...,Xk)
=
undA^
=
(Xk+l,Xk+2, ...,Xn)
T
multivariat
nor¬
malverteilt, beide mit dem Mittelwert
M
M
(B.13)
=
KM2J
und der Kovarianzmatrix
£
^11
t^12
=
(B.14)
^21 ^22
ist die Zufallsvariable
XAX2
=
Af1|2
^11122
bestimmt
Von
x2
=
M1
+
und die Kovarianzmatrix kann mit
_
(B.16)
^11 ^12^22^21
werden, vgl. Der Kiureghian [28].
*x(xn\xi>
Interesse ist der Fall der
Y VI
•••>x«-i)
=
J
fallsvariablen
*
*
*
î
(B.17)
-
bedingten Wahrscheinlichkeitsfünktion
*-X\Xl> >xn-l> S)
'
(B.18)
f\r(xi' •••>x«-i)
Kapitel
2.3.4
Rosenblatt-Transformation für normalverteilte Zu¬
vorgestellte
werden kann. Aus
\T
f
-
(B.17) folgt der bedingte Mittelwert
'<
0
r
M/
-
—oo
durchgeführt
*„-i
bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion
iX\xv ix„-i)
Fx(x«xi' •••>x«-i)
weil damit die in
5
TT—
und der daraus berechenbaren
r"1
-lXX,(l,n)
(B.19)
^XX
-1
-'XX, (n, n)
v
und die
vi;
V
V-x)
V
ZjXX,(n-l,n)J
V An-U
bedingte Standardabweichung
•xx
Xn\X\
Xn-\
./|V
(/j
1,2,...,«-1).
(B.17) durch
90
(B.20)
*l
H^xx
mit den Kovarianzmatrizen
=
von
(B.15)
X12X22(*2-Af2)
speziellem
fe„Fi
ebenfalls multivariat normalverteilt. Der Mittelwert
x2 ist durch
=
gegeben,
Xx | X2
In
Zxx
Analogie
=
zu
Co\[Xx,X]\ (i,j=
(B.5)
ist die
1,2,...,«) und 2XX
bedingte
*
=
Cov[XpJÇ]
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Eigenschaften
(Xn
fx(xrx\xl, ...,xrx_l)
-cp
-
'Xn\Xl
Xn-X
0Xn\Xx
V
Xn_A
1W
—°°<x
<<
der
Normalverteilung
(B.21)
Xn-X
bestimmt, und die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion (B.l8) kann durch die Wahrscheinlich¬
keitsfunktion der
Standard-Normalverteilung
Fx(xn\xx, ...,x„_1)
=
0
(Xn-Vxn\Xl
<xn<°°
-°°
V
ausgedrückt werden.
X,
^Xn\Xl
Xn-l
(B.22)
)
Die Rosenblatt-Transformation
(2.23) nimmt für multivariat normalverteilte
Variabein die Form
V
an.
°Xn\XX
Xn-l
Sind die Werte xx,x2, ...,xn_l und un
X«=^Xn\Xl Xn-l+U«°Xn\Xl
(B.23)
)
Xn-l
gegeben,
ist xn über
(B.24)
bestimmbar.
91
Anhang
Eigenschaften
C.l
Die
Univariate
der
logarithmischen Normalverteilung
logarithmische Normalverteilung
logarithmische Normalverteilung
ist nahe verwandt mit der Normal Verteilung. Ist die Nor¬
der Grenzwert der Summe vieler
malverteilung
Zufallsvariablen, strebt das Produkt
(C.l)
Y=Wv..Wn
der Zufallsvariablen
im Grenzwert gegen eine
Wx
zentralen Grenzwertsatz ist
logarithmische Normalverteilung.
Gemäss dem
erwarten, dass die Zufallsvariable
zu
(C.2)
X=ln(7)
normalverteilt ist. Eine Zufallsvariable Y, deren natürlicher
als eine
logarithmisch
Transformationsregel (A.41)
logarithmisch
ner
V7
X
ln(Lt7)-0.5Ç2
C2
=
Zufallsgrösse
Ç
Berücksichtigung
aus
wofür
Ç
die
logarithmische
Standardabwei¬
dem Mittelwert [iY und dem Variationskoeffizien¬
Benjamin
und Cornell
[15] die Beziehungen
(C.4)
(C.5)
u
logarithmischen Normalverteilung
42% i^s
ln(y)-X
^
=
f
J
0
angegeben
v
f
1
2V
J
C
=
(\n(y)-X)/t,
durch die
kann die Wahrscheinlichkeitsfünktion
Standard-Normalverteilung (B.6)
als
J
2\
-;=exp v -^-
(C.6)
)du
2 J
J2%
^
werden. Somit lassen sich auch die
Eigenschaften
auf die
logarithmische Normalverteilung übertragen.
C.2
Multivariate
Die Zufallsvariable Y
die Variabein
der
werden, welche die Form
Mittelwert und
lassen sich
berechnen,
Y
ist, wird
(B.l) und (C.2) die Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion ei¬
Mit Hilfe der Transformation
Jo
der univariaten
Normalverteilung
logarithmische Normalverteilung
=
(Yx, Y2,..., Yn)
\n(Yx), ln(72), ...\n(Yn)
dichtefünktion hat die Form
92
normalverteilt
ln(l+V72)
=
angeben.
einer
aus
logarithmische
Die Parameter X und
der
ten
kann
normalverteilten Variable Y ermittelt
annimmt. X ist dabei der
chung.
Logarithmus
normalverteilte Zufallsvariable bezeichnet. Unter
T
heisst multivariat
logarithmisch normalverteilt,
wenn
multivariat normalverteilt sind. Die Wahrscheinlichkeits-
Eigenschaften
fyO^o)
/2
logarithmischen
Mittelwerte
A7
(Xv X2,..., Xn)
=
(C.7)
(ln(y)-Ay)
2
(2Tz)-"/2M:\Ui=i^,y,)
mit dem Vektor der
logarithmischen Normalverteilung
—expf-i(lnO0-A/ Y^"1
r^^n
=
der
7
,
der Konelationsmatrix
mit den Elementen
R0
ÇÇ-Ml
P0,y=
und der
Y
+
Kovarianzmatrix
logarithmischen
YY,ij
(C.8)
PyV,^)
*F77
mit den Koeffizienten
«,P 0,1}
=
(C.9)
ist dabei der Konelationskoeffizient der Zufallsvariablen
p
fünktion einer multivariat
logarithmisch
gung der Transformation ux
tion
und
ausgedrückt werden,
FyO^o)
=
P
nY.^y,
p
nui^
1=1
1
=
1
=
C,
Für die
bedingte logarithmische Normalverteilung
dingte
sind die
gleichen Aussagen gültig
Normal Verteilung. Anschliessend werden ausschliesslich die
zur
Lösung
der Rosenblatt-Transformation
(CIO)
®n(»,RQ)
Bedingte logarithmische Normalverteilung
welche
Die Wahrscheinlichkeits¬
durch die multinormale Wahrscheinlichkeitsfunk¬
C.3
bedingte
7,-.
gilt:
es
=
und
normalverteilten Variabein F kann unter Berücksichti¬
(\n(yx)-Xx)/Ç,x
=
Yt
Beziehungen angegeben,
(vgl. Kapitel 2.3.4) benötigt
werden. Der be¬
Modalwert kann mit
V
f
\n(mY\Y,...Y
\
JBrl
,)
bestimmt
V
0
1
y
(
(Un)
lnO^i)
^
*¥'
=
=
«-1
Y
(n,n)
\K/
vly
v
T(«-i,«)y
(C.ll)
mT
ln0Vi),
werden, und die bedingte logarithmische Standardabweichung ist durch
Y
=
(C.12)
GK
\p*
gegeben,
XP*1J
wie für die
=
mit der Kovarianzmatrix *P
Cov[Yx,Yj]
=
Cov[7p Y] (i,j =1,2,...,«)
(i,j=\,2,...,n-\) gemäss (C.9).
Setzt
man
und der Kovarianzmatrix
(C.ll) und (C.12)
in
(B.5) bzw.
(B.6) ein, resultiert für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion
2\
fyO'„LVi»-^„-i)
und die
bedingte
1
=
y«*
9
ln(yn)-mB + oB
,0<y,
(C.13)
Wahrscheinlichkeitsfünktion kann mit
f
?Y(yn\yv->yn-i)
=
®
\vL(yn)-mB
+
<52B^
0<y
(C.14)
93
Anhang
berechnet werden. Damit kann die Rosenblatt-Transformation für multivariat
logarithmisch
nor¬
malverteilte Zufallsvariablen in der Form
<D(u„)
=
O
f\n(yn)-mB + ö2B^
dargestellt werden.
Sind die Werte yvy2, ...,yn_l und un
(C.15)
gegeben,
kann yn
aus
(C.16)
ermittelt werden.
94
Zuggurtmodell
D
Zuggurtmodell
werden die
Folgenden
Im
nungs-Dehnungsbeziehungen
stahl
Mit Hilfe dieser
angegeben.
Risselement gemäss dem
algebraisch
und der
von
analytischen Beziehungen
Zuggurtmodell
berechnet werden. Den
Erweiterung
Ausdrücke für die in Bild D.l
(a) dargestellten Span¬
bilinearem, kaltverfestigtem und naturhartem Bewehrungs¬
analytischen
nach Alvarez
beanspruchte
Dehnung
über ein
[4] für eine symmetrische Beanspruchung
für die mittlere
Beziehungen
auf asymmetrisch
kann die mittlere
Dehnung
über ein Risselement
Risselemente ist der zweite Teil dieses An¬
hangs gewidmet.
Für die
sichtigung
e
=
Spannungs-Dehnungsbeziehung
Ev
von
=
(fu-fy)/(zu-zy)
eines bilinearen
und
Bewehrungsstahls gilt unter
Berück¬
zy=fy/E:
?,a</v
(D.l)
>y
E
e=l ^'/^<G-/"
(D-2)
+
Ramberg
beziehung
und
eines
Osgood [95] geben
für die
analytische Beschreibung
der
kaltverfestigten Bewehrungsstahls folgende Gleichung
Spannungs-Dehnungs¬
an:
<-HfJ
mit
a
=
i„
y
r
und
fy
Jl_
und
LV
M(eu-fu/E)/kJ
JU
u
>_^_
k
/y i
cC
MfU/fy]
Als
Fliessgrenze f
wird
plastische Dehnung ka
ka
=
diejenige Spannung definiert,
bei der nach
verbleibt. Für Betonstahl wird i.A.
ka
vollständiger Entlastung
=
0.2%
und für
eine
Spannstahl
0.1% gesetzt.
Für die
analytische Beschreibung
wehrungsstahles gibt
e
(D 4)
1/a
k\
=
Shima
der
Spannungs-Dehnungsbeziehung
eines naturharten Be¬
[104]
ev-a\n(l-k^~jf }),fy«5<fu
(D.6)
an, mit
a
=
K-fzçund kc
v
ka
und
kb
sind
b
kb
l/{1- «pfnr5))
so zu
wählen, dass der Verfestigungsbereich des betrachteten naturharten Beweh¬
genau
abgebildet
wird. Im Rahmen dieser Arbeit wird
0.1165 vorausgesetzt. Im Bereich des
dabei die
Dehnung
(°-7)
•
a
rungsstahls möglichst
=
=
bei
Fliessplateaus,
Verfestigungsbeginn (siehe
Bild D.l
d.h. für
e
<e<ev,
ka
ist
=
G
0.0245 und
=fy-
ev ist
(a)).
95
Anhang
Anschliessend sind die
Beziehungen
metrisch belastetes Risselement
G
T/A kann der
=
hungen
für die
und
Spannungsverlauf,
Risselement berechnet werden
(siehe Bild
der mittleren
Berechnung
siehe Bild D.l
(b).
des
Bewehrungsstahles)
(d) bis (f)).
D.l
folgenden Beziehungen
mit bilinearer
Bewehrungsstahl
der
Dehnungsverlauf im
sind sowohl für Betonstahl
Dehnung
(0
=
ds )
ist für Litzenbündel ge¬
u
=
Für einen
über ein sym¬
Beanspruchung
Daraus lässt sich die mittlere
Spannstahl (0 (AA )/u ) gültig. Der Verbundumfang
(4.12) und für Paralleldrahtbündel gemäss (4.13) einzusetzen.
als auch für
Dehnung
In Funktion der
(mit Hilfe der oben vorgestellten analytischen Bezie¬
Spannungs-Dehnungsbeziehung
über das Risselement ermitteln. Die
mäss
für die
angegeben,
Spannungs-Dehnungsbeziehung gilt
nach
Sigrist
[107]
rT\
(j)
®max
^bOSr
E
E0
m~
p
ÀJ
=
v
max
(°max-fy)
jy
m
CS)em
'
^
(D.8)
max—Jy
0d
4EvTM*r
=
<f
G
—
W
i
K^bO^
max
bO
Jy'
XbOSr
e.
+
Ezbl
fv«3max<fv
'
i
E0
Ex bl
^A +l^lê
Für einen
^max-L)X
.
y
max—Jy
+
2-^
0
2xb,S
fy+—<a»
(D.10)
mit einer
kaltverfestigten Bewehrungsstahl
(D.9)
Spannungs-Dehnungsbeziehung gemäss
(D.3) gilt
0)em
®max
0
^bOSr
a+
=
^*
E0
E
\,_
0
JZm
2xb0sr(l
4£tmM
+
a)k*
W\.
r.2f,
V
ni/>r
^
'-'max
l
ry<
J
2E
a+
\
c.
a+
>
LM
(3)
®max
e
Jjf-, _1_bl
EV
xbQ,
®max
LftO
E
.
E0
0
^blSr
E
2%blsr(l
Jyy
a+
Für einen naturharten
+
Bewehrungsstahl
—J
(D.ll)
V
LM
LftO
+
.
max—Jy
"max~Jy~r
"
-
\
G
mit einer
max
(D.12)
q\
^)rr
1
max
a)kcc
yyicix
^XblSr
''
ö_
E0
^*
Jy
XbOSr
'
=
1-
;
1-
0
Hl
ra+1
Jy
(a+l)kç
9t
max
[fv+—(ömax-fv)
Jy>
l
-f
—
LftO
1
max
Xbl
lb0
Lfti
^*
l
+
(^ax-X)2fi-^J
max
Jy' \
ç\a+1
nT
1
ni/ir
max
c
\ Œ+
1
Jy +
0
2^blSr
0
<G„
(D.13)
Spannungs-Dehnungsbeziehung gemäss (D.5)
gilt
00
e„
®max
E0
0
(9) £
^
^bO Sr
<f
=
=
m
2xh,sbl'^r
'
K(l°max-fy) + kc(fu-fy)a{l+Zll'[n(Zl)-U}]
s-2x*
xm(sr-2x*y
E0
® e
96
=
(D.14)
^max-Jy
+
---
2xblSr
'
Jy
max
~Jy
(D.15)
0
ev-^^/«-/Pa^2[^2)-l]-^i[ln(z1)-l]}5^ ^ir<oBiax^/„
+
(D.16)
Zuggurtmodell
(a)
lu
fy
(b)
(c)
xb
4
T=Aa
81(0 =/„;
Gr
S
Gm;>i
S/y
Gm;>i
S
/ y S Cmax
8
fy<Ot
vmax
y
—
(d)
T>bO
xb:
^bl
T>bO
T>bO
llbl
^bl
(e)
G :
Jmax
U~>-
/'
^mm
>-J Gmax
Jy
(0
bilinearer
Bewehrungsstahl
kaltverfestigter
Bewehrungsstahl
8 :
naturharter
Bewehrungsstahl
Bild D.l
-
Zuggurtmodell: (a) Spannungs-Dehnungsbeziehungen für bilineare, kaltverfestigte
und naturharte Bewehrungsstähle; (b) Symmetrisch belastetes Risselement; (c) Starr¬
plastische Verbundspannungs-Schlupf-Beziehung; Entwicklung (d) der Verbundspan¬
nung; (e) der Stahlspannung; (f) der Stahldehnung, aus Alvarez [4].
97
Anhang
mit den
x*
=
Hilfsgrössen
(a"""~(y)0
x_
Vmax-fy
*C(/«"/,)
Ist das Risselement
Ort der minimalen
(D.17)
s
4xM
md
2
=
1
^max'/y^bl*/®
(D lg)
M fu-fy)
asymmetrisch beansprucht,
bestimmt werden.
muss
vorgängig
der
Schlupf-Nullpunkt,
d.h der
diesem Punkt können zwei ge¬
Spannung,
Ausgehend
dachte, symmetrisch beanspruchte Risselemente konstruiert werden, womit die Beziehungen
(D.8) bis (D.18) wieder gültig sind.
98
von
Last-Dehnungsbeziehung
Last-Dehnungsbeziehung
E
In
eines vorgespannten
eines vorgespannten
Betonzugelements
Betonzugelements
[44] diskutiert Fürst das Verhalten von vorgespannten Betonzugelementen eingehend. Aufbau¬
end auf der
Bild
beziehung (vgl.
Beschreibung
Die
der
Kraft-Verformungsbeziehung
von
kleiner ist als die
bei
ein Modell
vorgespannten Betonzugelementen.
Entlastung
Im
Folgenden
zur
Das hier
des Betonstahls als auch die
Spannung
entsprechende Fliessgrenze.
Kraft-Verformungsbeziehung
er
Span¬
wird für die
eine leicht veränderte Version ange¬
wobei das Modell selbst unverändert übernommen wird.
Last-Verformungsbeziehung
eines mit der
Zugkraft
T
ist durch die
beanspruchten, vorgespannten
dem
Be¬
nach
Normalkraftsteifigkeit Exd 0 Ac
Vorspannen, Exd Ac
Vorspannen und Exd Ac nach dem Reissen des Betonquerschnitts charakterisiert, siehe Bild
tonzugelements
dem
E.l
4.7) und dem Zuggurtmodell nach Alvarez [4] entwickelte
Spannstahls
Berechnung
geben,
der
Modell setzt voraus, dass sowohl die
vorgestellte
nung des
Sigrist [106,107] vorgeschlagenen stan-plastischen Verbundspannungs-Schlupf-
von
vor
(a). Ac bezeichnet dabei die Bruttofläche des Betonquerschnitts. Während des Vörspannens
hat das
Betonzugelement
die
ungerissene Normalkraftsteifigkeit Exd
0
Ac
mit dem ideellen Ela¬
stizitätsmodul
'id,0
=
worin ps
As/Ac
=
den
geometrischen Bewehrungsgehalt
geometrischen Bewehrungsgehalt
kann
genspannungsfrei,
^o
=
ApVpO
die
des
Spannstahls
mittlere
Dehnung
um
=
werden. Mit der
dekomprimiert
spannen
Verankerung
des
der
Vörspannkraft
wirkt dieses als Teil des
Spannkabels
Querschnitts,
Betonzugelements
(E.3)
Vorspannung grösser ist. Mit zunehmender Belastung
=
=
T wird die
Stauchung
'^ExId
ab¬
.
(E.4)
E,d,o
der Beton. Weil die
grösser ist als
spannkraft P0
bei
Betonzugelement
Aufbringen
initial ei¬
und bei
Td=ep0ExIdAc
Tcr
dem
den
Ap/Ac
Ec(l-ps-Pp) + Esps + EpPp
den Anteil der
gebaut
nach
=
A
wodurch der ideelle Elastizitätsmodul des
E!d
des Betonstahls und p
bezeichnet. Ist das
mit
F
angegeben
(E.l)
Ec(l-ps-pp) + Esps,
vor
dem
Normalkraftsteifigkeit des Betonzugelements
nach dem Vor¬
Vorspannen, ist die Dekompressionslast Td grösser als die
Anschliessend kann die
Beanspruchung
bis
zur
Vör¬
Risslast
Td+Acfct^
(E.5)
gleichbleibender Normalkraftsteifigkeit
weiter
voraus, dass sich beim Eneichen der Risslast
gesteigert
schlagartig
das
werden. Das
Zuggurtmodell
abgeschlossene
setzt
Rissbild mit kon¬
stantem Rissabstand
Srm0=
—
^,1<A<2
(E.6)
2^60,/ Ui
99
Anhang
einstellt. xb0
der
bezeichnet die
x
Verbundumfang
der
der z-ten
Verbundspannung
entsprechenden Bewehrung.
Bewehrung
vor
dem
Fliessen, und ux ist
2 ) ist gera¬
(X
Der maximale Rissabstand
=
so gross, dass im Beton die Risszugkraft aufgebaut werden kann. Ist das Betonzugelement
rissen, lässt sich die mittlere Dehnung mit
de
ge¬
berechnen, wobei
E!d=Esps EpPp
(E.8)
+
der ideelle Elastizitätsmodul der
der erste Term in
spricht
die
Mitwirkung
Ae
gerissenen Querschnitts
ist. Somit ent¬
(E.7) der mittleren Dehnung der Bewehrung, der zweite
Term der durch
des Betons
Damit ist die
der
Belastung
nur
Berechnung
(p
=
bis T
über die
ux
entlastet, erfolgt
einfach
gehalten
von
werden
Beton- und
bis
Betonzugelements
von
vor
der
nur,
solange
Entlastung.
eine Umkehr des
allen Stäben
T
<
Wird das
Schlupfes
zum
Er¬
Spannstahl
angenommen, dass
einzig
ent¬
Betonzugelement
Bewehrung
Kraft-Verformungs¬
Fallunterscheidungen angegeben
kann, wird
ist. T
zwischen
kann die
gleich ist,
T
werden. Damit die
zwischen den Ver¬
unterschieden werden muss, welche mit
2j^b0,s Ui,s
m
IQ)
ZjXbO,p Ui,p
Verbundumfang
können. Dabei ist ux
der
Spannbewehrung.
für Paralleldrahtbündel gemäss
drei
Beziehungen gelten
unmittelbar
Formulierung
zusammengefasst werden
der
eines vorgespannten
Spannungsverlauf nicht in
bundeigenschaften
=
und
aufgebrachten Zugkraft
und Beton. Da der
beziehung
(E.9)
bestimmt.
folgenden Überlegungen
nach einer
^
hervorgerufenen Zugversteifung
Kraft-Verformungsbeziehung
reichen der Fliesslast T
spricht
bzw. des
hMhhzPÀ,1<X<2.
=
Die
Bewehrung
ds
Für
x% der Verbundumfang des Betonstahls und
Litzenspannglieder ist ux
Schlupfumkehr
welche in Bild E. 1
in der vorgespannten
(b) dargestellt sind.
Bewehrung
tonstahl. Diese Annahme ist
zutreffend, solange ts/(EsAs)
Kräfte in den
und im Beton
Bewehrungen
Kraftverlauf unmittelbar
übersichtlich darstellbar
gemäss (4.12) und
(4.13) einzusetzen. Bei zwei unterschiedlichen Bewehrungen sind
unabhängige Regimes möglich,
gangen, dass die
=
s
der
infolge
>
t
Es wird davon ausge¬
schneller
erfolgt
/(E A) gilt.
als beim Be¬
Die Abnahme der
des Lastinkrements AT sind
ausgehend
vom
Damit die
vor
Entlastung dargestellt.
nachfolgenden Beziehungen
sind, werden die folgenden Konstanten verwendet:
Ws + tp)
l~Ps-Pp
^£
c-
\
c3
100
=
+
ps(ns-\)-Pp
2ts + c2nsps
(E.l la)
Last-Dehnungsbeziehung
c4
=
c5
=
2t
+c2n
Z
p
eines
vorgespannten Betonzugelements
p
prp
nsPs
nppp
C6
=
Cl
=
(E.llb)
2ts + npPp(Cl-C2)
und
Spannstahl
n
zu
=
ist. Zwischen
ständig umgekehrt
Schlupf in beiden Bewehrungen noch nicht voll¬
und sr /2 ist der Verbund stan, d.h. das Lastinkrement AT
x
Zwischen xs und
aufgeteilt.
muss
x
und den Betonstahl
Damit kann sowohl die Abnahme der
x
beschreiben das Verhältnis der Elastizitätsmoduli
/Ec
entsprechend den Normalkraftsteifigkeiten
Betonquerschnitt
und
E
Beton.
1 zeichnet sich dadurch aus, dass der
Regime
gen
Es /Ec
=
Betonstahl bzw.
wird
ClnsPs
*](C3C4)/c5
Die Konstanten ns
von
+
Spannstahl
können
der mittleren
entsprechend
Dehnungen
und der beiden Bewehrun¬
Betonquerschnitts
ihrer
Spannstahl
(x -xs) auf den
2t
Normalkraftsteifigkeit
verteilt werden.
als auch der Kraftverlauf in Beton, Betonstahl
über das Risselement formuliert
unter
nun
Gleichgewichts
des
die Kraftabnahme im
im
Berücksichtigung
Rissquerschnitt
Dehnung
der
werden, siehe Bild E.l (b). Die Längen xs und
Ae
und des
Kompatibilitätsbedingung Aems
=
ermittelt werden.
des Beton- resp.
Spannstahls
Aems
und Ae
entsprechen
der Abnahme
über das Risselement.
AT
x,.
=
67
(E.12)
AT-xsc6
_
p~
c
Somit sind auch die Kraftabnahmen
ATs
=
ATp
in den
xs(2ts + cxnsps)
=
Bewehrungen
Ae
und die Abnahme der mittleren
1
F
2
A
+
-V
über das Risselement bestimmt. Hat die
ments eneicht
Dehnung
A2tsXs+nsPs(C2(Sr-Xp-Xs)(Xp-Xs)
=
^sAs
hörige
(E13)
2tpXp + npPp(C2(Xp-Xs) + ClXs)
(x
=
sr /2),
Schlupfümkehr
findet der Wechsel ins
(E-14)
ClXsSr))
des
Regime
Spannstahls
2 statt. Aus
die Mitte des Rissele¬
(E. 12) lässt sich das
zuge¬
Lastinkrement
a7.i2
=
!r££ä±S>
(E15)
angeben.
Regime
umgekehrt
wiederum
stahls
2 beschreibt den
ist. Zwischen xs und
proportional
aufgeteilt
gung in
Fall, bei welchem der Schlupf in der Spannbewehrung vollständig
zu
den
sr/2
muss
die Kraftabnahme im
Normalkraftsteifigkeiten
werden. Erneutes Formulieren der
Analogie
zu
Regime
1
ermöglicht
die
des
Betonquerschnitts
Gleichgewichts-
Bestimmung
Spannkabel
der
und
2t
(sr/2-xs)
und des Beton¬
Verträglichkeitsbedin¬
Länge xs bei gegebenem
Last¬
inkrement AT mit
101
Anhang
(a)
Ae, Ae,
S-sup
4
010
fc
HB
4x0.6"
Litzen
L^
Bild E.l
-
l
=40
£c =35
N/mm2
Gp0=1000
N/mm2
kN/mm2
up =120
mm
Es
=210
kN/mm2
£p
=195
kN/mm2
eines vorgespannten
ps
=0.79
%
pp
=1.5
%
Betonzugelements: (a) Kraft-Verformungsbeziehung
Rissabstand; (b) Dehnungsän¬
Entlastung
und
der
derung
Kraftänderung (grau hinterlegt)
Bewehrungen und des Betons; N.B.:
Berechnungsparameter siehe Bild.
Entlastung
bei Be- und
102
£m
für maximalen und minimalen
Last-Dehnungsbeziehung
=
_
Wé+ f^fjrC5(-^T+C4Sr)
2c3
4c3
^V 2c3
eines
vorgespannten Betonzugelements
(&i6)
_
/
Die Abnahme der
ATs
=
AT
in den
Zugkraft
Bewehrungen
im Riss ist mit
xs(2ts + cxnsps)
y
=AT-AT<
p
'
s
bestimmbar, und die Abnahme der mittleren Dehnung über das Risselement beträgt
Ae
.(^^"»P^r-^f
=
A
AF
Ar
*^sAs
Sobald die
Schlupfümkehr
3 statt, und das
Regime
AT^
sr(c3
+
des Betonstahls
dazugehörige
+
(E-18)
^lVr))'
abgeschlossen
Lastinkrement bis
ist
zum
(xs
=
sr/2),
findet der Wechsel ins
Regimewechsel
kann mit
c5(2c6 + c4))
(Ei9)
=
4c5
bestimmt werden.
In
Analogie
£m
<W +
=
zu
(E.7) kann die mittlere Dehnung über das Risselement
AT
^p
=
=
=
Ae
AemEsAs
m
Regime
3 mit
2Ae-^-
(E.20)
berechnet werden. Auflösen der
dingung Aems
im
s
s
ergeben
+
Gleichgewichtsbedingung
die im Riss wirkenden
im Riss und der
Verträglichkeitsbe¬
Bewehrungskräfte
^
AemEpAp +
2
(E.21)
^.
Damit können die in Bild E.l
(a) dargestellten Kraft-Verformungsbeziehungen für ein
vorge¬
spanntes Betonzugelement mit den angegebenen Parametern berechnet werden. Eine ausführliche
Diskussion dieses Problems ist wie bereits erwähnt
von
Fürst
[44] durchgeführt worden.
103
Anhang
104
I]
AG der
von
von
Eisenwerke, "Spannstähle", Berichte der Aktiengesellschaft der
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Moos'schen
Moos'schen
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110
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Function of Load", A CI Journal, Vol. 77, No. 5, September-October 1980, pp. 358-362.
Ill
Literatur
112
Bezeichnungen
Lateinische Grossbuchstaben
A
Querschnittsfläche
AQ
Querschnittsfläche einer Standardprobe
Ac
Querschnittsfläche des
Betons
A
Querschnittsfläche des Spannstahls
A
reduzierte
s
Querschnittsfläche infolge einer Schädigung
As
Querschnittsfläche des Betonstahls
CovLÇ Y]
Kovarianz zwischen den Zufallsvariablen Xund Y
D [X]
Standardabweichung
ELY]
Erwartungswert (Mittelwert) der Zufallsvariable
E
Elastizitätsmodul, Ereignis
E
Komplementär-Ereignis
Ec
Elastizitätsmodul
der Zufallsvariable X
von
X
Beton
ideeller Elastizitätsmodul eines
Betonzugelements
Exd
ideeller Elastizitätsmodul eines
ungerissenen Betonzugelements
Exd
ideeller Elastizitätsmodul eines
gerissenen Betonzugelements
Ep
Eps
Elastizitätsmodul
Es
Elastizitätsmodul
Esp
Mengendarstellung
Eçy
Verfestigungsmodul
von
Ev
Verfestigungsmodul
eines
Erftz)
Fehlerfünktion
Fj(x)
univariate Wahrscheinlichkeitsfünktion der Zufallsvariable X
Fx(x)
multivariate Wahrscheinlichkeitsfünktion der Zufallsvariablen X
F
Kraft, Versagensereignis
G(u)
Grenzzustandsfünktion im Standard-Normalraum
H(Z)
Hilfsfunktion
L,;-
Abstand zweier diskreter Bereiche eines diskreten stochastischen Feldes
Lp
Konelationslänge
M
Moment, Sicherheitsabstand
P(X<x)
Wahrscheinlichkeit des
Py
Versagenswahrscheinlichkeit
Pr
Überlebenswahrscheinlichkeit
P0
initiale
Q
Einzellast
R
Festigkeit
Rn
Bruchfestigkeit
^xxi'1)
Autokonelationsfünktion der Zufallsvariable X in Funktion des Abstandes
S
Beanspruchung,
T
Zugkraft
Tcr
Risslast
Exd
0
von
Mengendarstellung
Spannstahl, Mengendarstellung
von
von
während dem
eines
Vorspannen
Parallelsystems
parallelgeschalteten Seriensystemen
Betonstahl, Mengendarstellung eines Seriensystems
von
Parallelsystemen
in Serie
Betonstahl
Bewehrungsstahles
Ereignisses {X<x}
Vörspannkraft
eines
Systems
sicheres
mit
Ereignis,
n
Komponenten
x
Stabkraft
113
Bezeichnungen
Td
Dekompressionslast
T
Zugkraft
x
sup
unmittelbar
vor
der
Entlastung
T
Bruchlast
T
Fliesslast
U
standard-normalverteilte Zufallsvariable
Uv
ortsabhänige
V
Volumen, Versagensbereich
y
standard-normalverteilte Zufallsvariable
v*
Spannungsvolumen
Vo
Probenvolumen, Referenzvolumen
Vx
Variationskoeffizient der Zufallsvariable X
Var[X[
Varianz der Zufallsvariable X
Y
nomineller Wert der Zufallsvariablen X
Xl
Bruchfestigkeit
Yl
der Grösse nach
X, YZ
der z-ten
Komponente eines Faserbündels
geordnete Bruchdehnungen
der
Komponenten eines Faserbündels
Zufallsvariablen
Lateinische Kleinbuchstaben
b
Breite
c
Abstand
cdf
cumulative distribution function
cy^c-j
Konstante
dc
Einflusslänge
ds
Durchmesser Betonstahl
dp
Durchmesser eines
dw
Einflusslänge
fx
univariate Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion der Zufallsvariable X
fx
multivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariablen X
vom
Querschnittsrand
zum
Schwerpunkt
(Wahrscheinlichkeitsfünktion)
des stochastischen Feldes
von
Beton
Spannkabels
des stochastischen Feldes des
Injektionsmörtels
f0
Zylinderdruckfestigkeit
f
Bauwerk-Zylinderdruckfestigkeit
fclJ
ortsabhängige Bauwerk-Zylinderdruckfestigkeit
f,
Betonzugfestigkeit
fty
ortsabhängige Bauwerk-Betonzugfestigkeit
fmw
mittlere
fy
fpy
fsy
Fliessgrenze
fu
Bruchspannung
fpu
Bruchspannung
von
Spannstahl
fsU
Bruchspannung
von
Betonstahl
g(x)
Grenzzustandsfünktion im Basisraum
h
Höhe
z
Aufzählung
Würfeldruckfestigkeit
Fliessgrenze
von
Spannstahl
Fliessgrenze
von
Betonstahl
j
Aufzählung
k
Weibull-Modul
ka, kb, kc
Verfestigungskenngrössen
k
Verfestigungsverhältnis
114
von
von
Injektionsmörtel
Spannstahl
Bezeichnungen
Betonstahl
ks
Verfestigungsverhältnis
/
Länge
L
Länge eines diskreten Bereichs eines stochastischen Feldes
ls
Länge einer Störzone
Iq
Probenlänge
m
Elementanzahl
von
Modalwert der Zufallsvariable X
nix
n
Komponentenanzahl
n
Verhältnis der Elastizitäsmoduli
ns
Verhältnis der Elastizitäsmoduli
p
Konstante in %
pdf
probability density
q
verteilte
function
und Beton
von
Spannstahl
von
Betonstahl und Beton
(Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion)
Belastung
Referenzspannung
s
sr
Rissabstand
srmQ
Rissabstand gemäss dem
t(x)
verteilte
ts
Verbundkraft
t
Verbundkraft
Zuggurtmodell
Zugbeanspruchung
von
Betonstahl
von
Spannstahl
der standard-normalverteilten Variablen
u
Realisierung
us
Verbundumfang
uv
kleinster konvexer
xs
Länge, über welche die Schlupfümkehr
im Betonstahl
xp
Länge, über welche die Schlupfümkehr
im
x0
Medianwert der Zufallsvariable X
5
x, y
z
u
eines Betonstahls
Umfang
bzw.
Verbundumfang
eines
Spanngliedes
stattgefunden
hat
Spannstahl stattgefunden
hat
Koordinaten, Realisierung der Zufallsvariablen X, Y,
Z
Griechische Grossbuchstaben
A
Differenz, Verlängerung
Ae
Dehnungsversatz infolge
Aec
Abnahme der
Aem
Abnahme der mittleren
der
Zugversteifüng
Betondehnung infolge
eines Lastinkrements AT
Dehnung
eines
Betonzugelements infolge
eines Lastinkre¬
ments AT
des Lastinkrements AT
Aemp
Abnahme der mittleren
Dehnung
des
Aems
Abnahme der mittleren
Dehnung
des Betonstahls
Ae
Abnahme der
Spannstahldehnung infolge
des Lastinkrements AT
Aes
Abnahme der
Betonstahldehnung infolge
des Lastinkrements AT
AI
Verlängerung
A(L)
Hilfsfünktion beim Berechnen eindimensionaler diskreter stochastischer Felder
A(L1;L2)
Hilfsfünktion beim Berechnen zweidimensionaler diskreter stochastischer Felder
AT
Lastinkrement
ATC
Abnahme der Kraft im Beton
ATp
Abnahme der Kraft im
ATS
Abnahme der Kraft im Betonstahl
AT 12
Lastinkrement, bei welchem die Schlupfümkehr des Spannstahl gerade sr /2
reicht
115
infolge
Spannstahls infolge
infolge
des Lastinkrements AT
AT
Spannstahl infolge
infolge
AT
AT
er¬
Bezeichnungen
A7723
Lastinkrement, bei welchem die Schlupfumkehr des Betonstahls gerade sr /2
er¬
reicht
O(w)
Wahrscheinlichkeitsfünktion der
Ora(w)
Wahrscheinlichkeitsfünktion der «-dimensionalen
©i,02
Parameter der normierten
Parameter der normierten
Verbundspannungs-Schlupf-Beziehung von Betonstahl,
Betonzugelemente
Verbundspannungs-Schlupf-Beziehung von Spannstahl,
Betonzugelemente
des stochastischen Modells für vorgespannter
Modellparameter
D.
Standard-Normalverteilung
des stochastischen Modells für vorgespannte
Modellparameter
03,04
Standard-Normalverteilung
Ereignisraum
Griechische Kleinbuchstaben
ß
Sicherheitsindex
ßc
allgemeiner
Sicherheitsindex nach Cornell
ßg
allgemeiner
Sicherheitsindex nach Ditlevsen
$HL
allgemeiner
Sicherheitsindex nach Hasover und Lind
$syS
Systemsicherheit
j(L)
Varianzfaktor eines eindimensionalen diskreten stochastischen Feldes
j(LhL2)
Varianzfaktor eines zweidimensionalen diskreten stochastischen Feldes
ô
Schlupf
8P
Schlupf Spannstahl
ö\
Schlupf Betonstahl
èlp
Schlupf des Spannstahl
ôj
Schlupf des Betonstahls bei der
s
e
Dehnung
ec
Betondehnung
ecl
Betonstauchung
ec2
Bruchdehnung
e„
mittlere
bei der
Rissspannung op=fpy
Rissspannung a=fsy
beim Eneichen
von
von
Beton
Dehnung
Ey
Fliessdehnung
Eym
mittlere
epy
Fliessdehnung
epym
mittlere
e^o
initiale
esy
Fliessdehnung
£„
Bruchdehnung
e„„
mittlere
Fliessdehnung
von
Dehnung
eines
von
Bruchdehnung
Epum
Esu
Bruchdehnung
Esup
mittlere
esv
Dehnung
von
Dehnung
bei
eines
Spannkabels
Betonzugelements infolge
der
aufgebrachten Vorspannung
des
Betonzugelements
Spannstahl
Bruchdehnung
von
Betonzugelements
Betonstahl
Bruchdehnung
mittlere
des
Spannstahl
Fliessdehnung
Epu
eines
Spannkabels
Betonstahl
unmittelbar
vor
Verfestigungsbeginn
der
Entlastung
eines naturharten Betonstahls
t,
logarithmische Standardabweichung
0
statistischer Parameter
K
Verhältnis
X
logarithmischer Mittelwert,
lix
Mittelwert der Zufallsvariable X
116
fc
Faktor
Bezeichnungen
Ho
Mittelwert der
t,
Exponent
p0
Korrelationsparameter
pK
Korrelationskoeffizient zwischen der
p^
geometrischer Bewehrungsgehalt
des Betonstahls
p^
geometrischer Bewehrungsgehalt
des
p^,
Korrelationskoeffizient zwischen der
pxr
Korrelationskoeffizient zwischen den ZufallsvariabelnXund Y
Puui'1)
Korrelationsfünktion der standard-normalverteilten Variable U in Funktion des
Abstandes
p T,
tj
Festigkeit von
•
y
Bruchfestigkeit X zweier Komponenten
Spannstahls
Bruchfestigkeit X zweier Komponenten
x
Korrelationskoeffizient der diskreten standard-normalverteilten Variable
berechnet mit der
py
Versuchsresultaten eines Standardversuches
Ul und
U}
Ul und
U
Mittelpunkt-Methode
Korrelationskoeffizient der diskreten standard-normalverteilten Variable
j
berechnet mit der Durchschnitt-Methode
G
Normalspannung; Standardabweichung
cx
Standardabweichung
<5p
Normalspannung
im
<5p0
initiale
Spannung
der
Vorspannung
Gmax
Normalspannung
der
Bewehrung
<5S
Normalspannung
im Betonstahl
cx
Standardabweichung
x
Abstand
xy
Abstand zwischen den Punkten
xb
Verbundschubspannung
xb0
Verbundschubspannung
vor
xM
Verbundschubspannung
nach dem
xMp
Verbundschubspannung
vor
xblp
Verbundschubspannung
nach dem
xb0
s
Verbundschubspannung
vor
xM
s
Verbundschubspannung
nach dem
von
Versuchsresultaten eines Standardversuches
Spannstahl
im Riss
der Zufallsvariable X
z
dem
dem
dem
und j
Fliessbeginn
Fliessbeginn
Fliessbeginn von Spannstahl
Fliessbeginn
von
Fliessbeginn von
Fliessbeginn
Spannstahl
Betonstahl
von
Betonstahl
(p(w)
Wahrscheinlichkeitsdichtefünktion der
Standard-Normalverteilung
(pra(w)
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der
n-
lung
Hauptkrümmung
%;
z-te
(ö
Elementar-Ereignis
Sonderbezeichnungen
1..4
Nummerierung
I..IV
Nummerierung
oo
unendlich, unbegrenzt
0
Durchmesser, Null-Ereignis
V
Gradient
117
dimensionalen Standard-Normalvertei¬
Bezeichnungen
Matrizen und Vektoren
D
Matrix der
Standardabweichungen
Dx
Matrix der
Standardabweichungen des
Jux
Jacobi-Matrix
L
untere Dreiecksmatrix der
Cholesky-Zerlegung
von
R
Lq
untere Dreiecksmatrix der
Cholesky-Zerlegung
von
RQ
M
Vektor der Mittelwerte
Mx
Vektor der Mittelwerte des Zufallsvektors X
R
Konelationsmatrix
RXx
Konelationsmatrix des Zufallsvektors X
Rq
Konelationsmatrix der
Zufallsvektors X
Nataf-Verteilung;
Konelationsmatrix einer
logarithmisch
normalverteilten Variable
U
standard-normalverteilter Zufallsvektor
X, Y,Z
Zufallsvektor
s
Raumkoordinate
t
allgemeine
u
Koordinate
Realisierung
u
*
des standard-normalverteilten Zufallsvektors U
Bemessungspunkt im
Standard-Normalraum
x
Vektor der Basisvariablen
x*
Bemessungspunkt im
B
Vektor der Sicherheitsindizes
G
Vektor der statistischen Parameter
A7
Vektor der Mittelwerte des
2
Kovarianzmatrix
l^xx
Kovarianzmatrix des Zufallsvektors X
Yyy
logarithmische
a
normierter Gradient
v
multivariat standard-normalverteilter Zufallsvektor
118
Raum der Basisvariablen
logarithmisch
normalverteilten Zufallsvektors X
Kovarianzmatrix des Zufallsvektors X
Lebenslauf
Karel Hermann Thoma
Geboren
am
26. Juli 1968 in
Bürger von Reichenbach
im
Zug
Kandertal,
BE
Ausbildung
1975
1981
1984
-
-
-
1981
Primarschule in
1984
Sekundärschule in
1988
Lehre als Tiefbauzeichner
Ing.
1990
-
1993
Büro K.
Studium
an
Zug und Unterägeri
Unterägeri
Amrhein, Zug
der
Abteilung
für
Bauingenieurwesen
Zentralschweizerisches Technikum Luzern
1994
-
1999
Studium
an
der
Abteilung
für
Bauingenieurwesen
ETH Zürich
Berufliche
1988
-
Tätigkeit
1990
Tiefbauzeichner
Ing.
1993
-
1994
Büro K.
Amrhein, Zug
Assistent für Baustatik und Konstruktion
Zentralschweizerisches Technikum Luzern
Prof. Dr. B. Zimmerli
Projektstatiker
1995
Calatrava Valls
1999
-
2004
SA, Zürich
Assistent und wissenschaftlicher Mitarbeiter
Institut für Baustatik und
Konstruktion,
ETH Zürich
Prof. Dr. P. Marti
119