Energiemethoden, Prof. Popov, WS09/10, 4. Woche

Energiemethoden, Prof. Popov, WS09/10, 4. Woche
Lagrange-Gleichungen 1. Art
Lösungshinweis:
TUTORIUM
Lösungshinweise Seite 1
Version 11. Dezember 2009
Um ẍ und ÿ zu eliminieren, muss f zwei mal nach der Zeit
abgeleitet werden:
f¨(x, y) = xẍ + ẋ2 + y ÿ + ẏ 2 = 0
Aufgabe 47
(11)
Das System hat nur einen Freiheitsgrad. Sollen jedoch die Nun werden ẍ und ÿ aus den Bewegungsgleichungen in
Zwangskräfte bestimmt werden, dann muss man so tun, f¨ = 0 eingesetzt:
als ob die Bewegung in Richtung der Zwangskräfte zulässig
2λx
rẋ
ist. D.h., wir geben unserem System zwei Freiheitsgrax
−
+ ẋ2 +
m2
m2
de x, y, wenn wir die Stangenkraft bestimmen wollen.
2λy k(H − y)
Zusätzlich muss auch eine Zwangsbedingung eingeführt
+y
+
− g + ẏ 2 = 0
(12)
werden, die den zusätzlichen Freiheitsgrad wieder unterm1
m1
drückt.
• Lagrange-Gl. 1.Art
d ∂Ekin
∂Ekin
∂Epot
−
+
= Zi + Qi
dt
∂ q˙i
∂qi
∂qi
λ=
Ekin =
(2)
Epot
(3)
In diesem System gleichen die generalisierten
Dämpferkräfte den kartesischen Komponenten der
Dämpferkraft. Grund dafür ist, dass die Bewegungen
der beiden Massen mit den (generalisierten) kartesischen
Koordinaten x und y beschrieben werden können. Dies ist
ein Sonderfall. Normalerweise müssten die generalisierten
Kräfte (Zahlen) mit den bekannten Formeln aus den
kartesischen Kräften (Kraftvektoren) berechnet werden.
Hier jedoch sind die kartesischen Komponenten der Kräfte
die generalisierten Kräfte:
Qy = F D · ey = 0
∂f
= λ · 2x
∂x
∂f
und Zy = λ
= λ · 2y.
∂y
⇒
Zx = λ
• q2 = y : m1 ÿ + m1 g − k(H − y) = 2λy
+
2y 2
m1
(13)
Aufgabe 41
Gesucht: Bewegungsdifferentialgleichungen und Normalkraft zwischen m1 und der Bahn.
Die Normalkraft unterbindet die Vertikalbewegung der
Masse m1 . Diese wird jetzt zugelassen, dafür aber die entsprechende Zwangskraft sowie die Zwangsbedingung hinzugezogen!
(5)
(6)
(7)
T =
1
1
m1 ẋ21 + ẏ12 + m2 ẋ22 + ẏ22
2
2
(16)
also:
1
T ẋ1 , ẏ1 , ϕ̇, ϕ = m1 ẋ21 + ẏ12 +
2
2
2 i
1 h
+ m2 ẋ1 + l cos ϕϕ̇ + ẏ1 + l sin ϕϕ̇
2
(17)
(8) Potentielle Energie:
U = +m1 gy1 + m2 gy2 = m1 + m2 gy1 − m2 glcosϕ (18)
Alles einsetzen in Lagrange-Gleichung 1.Art :
• q1 = x : m2 ẍ = −rẋ + 2λx
2x2
m2
Kinetische Energie:
Damit ergeben sich die generalisierten Zwangskräfte zu:
∂fk
Zi = λk
∂qi
− y)y + yg − (ẋ2 + ẏ 2 )
Kinematik: Seien r 1 = x1 ex +y1 ey und r 2 die Ortsvektoren
zu den Massen m1 bzw. m2 . Dann ist:
r 2 = x1 + l sin ϕ ex + y1 − l cos ϕ ey
(14)
v 2 = ẋ1 + l cos ϕϕ̇ ex + ẏ1 + l sin ϕϕ̇ ey
(15)
(4)
Die holonome Nebenbedingung lautet:
f (x, y) = x2 + y 2 − l2 = 0
k
m1 (H
In Verbindung mit (7) und (8) sind damit die Zwangskräfte Zx und Zy bestimmt. Abweichend von der Aufgabenstellung verzichten wir auf die Bestimmung der Stangenkraft und belassen es dabei.
Die kinetische und potentielle Energie des Systems:
Qx = F D · ex = −rẋ ;
+
(1)
mit q1 = x und q2 = y
1
1
m1 ẏ 2 + m2 ẋ2
2
2
1
2
= m1 gy + k (H − y)
2
r
m2 xẋ
(9)
Dissipationsfunktion:
(10)
Zwangsbedingung:
Wir erhalten zwei Gleichungen für drei Unbekannte (ẍ, ÿ,
λ). Die Zwangsbedingung (5) liefert die dritte Gleichung.
D = µN ẋ1 (19)
g y1 = y1 = 0
(20)
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Lagrange-Gleichungen 1. Art
Lagrangefunktion:
L=T −U =
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Einsetzen der Zwangsbedingung:
1
1
Mit der Zwangsbedingung
m1 ẋ21 + ẏ12 + m2
2h
2
2
2 i
y1 = 0 ⇒ ẏ1 = 0
ẋ1 + l cos ϕϕ̇ + (ẏ1 + l sin ϕϕ̇
− m1 + m2 gy1 + m2 gl cos ϕ
(21) folgt daraus schließlich:
; ÿ1 = 0
(36)
Ly : N = m2 l cos ϕϕ̇2 + l sin ϕϕ̈ + m1 + m2 g (37)
Ableitungen:
∂L
= m1 ẋ1 + m2 ẋ1 + l cos ϕϕ̇
∂ ẋ1
d ∂L
= m1 + m2 ẍ1
dt ∂ ẋ1
+ m2 −l sin ϕϕ̇2 + l cos ϕϕ̈
∂L
∂D
∂g
= 0;
= sgnẋ1 µN ;
=0
∂x1
∂ ẋ1
∂x1
∂L
= m1 ẏ1 + m2 ẏ1 + l sin ϕϕ̇
∂ ẏ1
d ∂L
= m1 + m2 ÿ1 + m2 l cos ϕϕ̇2 + l sin ϕϕ̈
dt ∂ ẏ1
∂L
∂D
∂g
= − m1 + m2 g;
= 0;
=1
∂y1
∂ ẏ1
∂y1
(22)
Lϕ : ẍ1 cos ϕ + lϕ̈ + g sin ϕ = 0
(38)
Lx : wie oben, jedoch kann N nun eingesetzt werden
HAUSAUFGABE
(23)
Aufgabe 43
(24)
(25)
Kinetische Energie:
(26) Potentielle Energie:
Dissipationsfunktion:
(27)
1 2
m ẋ + ẏ 2
2
U = mgy
T =
D = µN |v rel |
p
= µN ẋ2 + ẏ 2
r m = xex + yey
(39)
(40)
(41)
h
i N.R.:
∂L
= m2 ẋ1 + l cos ϕϕ̇ l cos ϕ + ẏ1 + l sin ϕϕ̇ l sin ϕ
v m = ẋex + ẏey
∂ ϕ̇
p
|v m | = |v rel | = ẋ2 + ẏ 2
= m2 l ẋ1 cos ϕ + ẏ1 sin ϕ + lϕ̇
(28)
Zwangsbedingung:
g(x, y) = y − ax2 = 0
(42)
h
d ∂L
Langrange-Funktion:
L=T −U
= m2 l ẍ1 cos ϕ − ẋ1 sin ϕϕ̇
dt ∂ ϕ̇
1 i
= m ẋ2 + ẏ 2 − mgy
+ ÿ1 sin ϕ + ẏ1 cos ϕϕ̇ + lϕ̈
(29)
2
(43)
h
∂L
Ableitungen:
= m2 ẋ1 + l cos ϕϕ̇ −l sin ϕϕ̇
∂ϕ
i
d ∂L ∂L
= mẍ
=0
+ ẏ1 + l sin ϕϕ̇ l cos ϕϕ̇ − m2 gl sin ϕ
dt ∂ ẋ
∂x
∂D
ẋ
∂g
= m2 −ẋ1 l sin ϕϕ̇ + ẏ1 l cos ϕϕ̇ −m2 gl sin ϕ (30)
= µN p
= −2ax
2
2
∂ ẋ
∂x
ẋ + ẏ
∂D
∂g
= 0;
=0
(31)
∂ ϕ̇
∂ϕ
d ∂L ∂L
= mÿ
= −mg
Lagrange- Formalismus (1. Art):
dt ∂ ẏ
∂y
∂D
ẏ
∂g
= µN p
=1
Die Lagrange-Gleichungen 1. Art lauten allgemein:
∂ ẏ
∂y
ẋ2 + ẏ 2
n
X
d ∂L
∂L ∂D
∂gk
−
+
= Qi +
λk
.
(32)
dt ∂ q̇i
∂qi
∂ q̇i
∂qi
Langrange-Gleichungen 1. Art:
k=1
Bezüglich
der
drei
generalisierten
Koordinaten
qi ∈ {x, y, ϕ} erhält man die drei Lagrange-Gleichungen:
Lx :
m1 + m2 ẍ1 + m2 −l sin ϕϕ̇2 + l cos ϕϕ̈ +
+ sgnẋ1 µN = 0
(33)
2
Ly :
m1 + m2 ÿ1 + m2 l cos ϕϕ̇ + l sin ϕϕ̈ +
+ m1 + m2 g = λ ≡ N
(34)
Lϕ : m2 l ẍ1 cos ϕ + ÿ1 sin ϕ + lϕ̈ + m2 gl sin ϕ = 0 (35)
d ∂L ∂L ∂D
∂g
−
+
=λ
dt ∂ ẋ
∂x
∂ ẋ
∂x
ẋ
⇒ mẍ − 0 + µN p
= −2λax =: Nx
ẋ2 + ẏ 2
d ∂L ∂L ∂D
∂g
−
+
=λ
dt ∂ ẏ
∂y
∂ ẏ
∂y
ẏ
⇒ mÿ + mg + µN p
= λ =: Ny
2
ẋ + ẏ 2
(44)
(45)
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Aus der Zwangsbedingung (42) folgt:
y = ax2
⇒
ẏ = 2axẋ
⇒
Einsetzen von ẏ aus (46) in (44):
ẋ
= −2λax
2
ẋ + 4a2 x2 ẋ2
1
ẋ
mẍ + µN √
= −2λax =: Nx
2
2
|
ẋ|
1 + 4a x
Einsetzen von ẏ und ÿ aus (46) in (45):
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Für die Zwangskraft N ergibt sich damit aus (49):
ÿ = 2aẋ2 + 2axẍ (46)
mẍ + µN √
Lösungshinweise Seite 3
N =−
p
1 + 4a2 x2 ·
mẍ
2ax + µ(sign ẋ)
Mit der Bewegungsdgl. (54) kann man zudem die Beschleunigung ẍ eliminieren:
p
−m [2ax + µ(sign ẋ)] 2aẋ2 + g
(47)
2
2
N = − 1 + 4a x ·
(1 + 4a2 x2 ) · [2ax + µ(sign ẋ)]
(2aẋ2 + g)m
N= √
Zwangskraft
1 + 4a2 x2
(56)
2axẋ
2am ẋ + xẍ + mg + µN √
=λ
2
ẋ + 4a2 x2 ẋ2
2ax
ẋ
= λ =: Ny
2am ẋ2 + xẍ + mg + µN √
1 + 4a2 x2 |ẋ|
(48) Aufgabe 44
2
(a) generalisierte Koordinaten:
Nun ist aber
q
p
Nx2 + Ny2 = λ + (−2axλ)2
p
= 1 + 4a2 x2 λ
N
⇒ √
=λ
1 + 4a2 x2
q1 = x ;
N=
ẋ
mẍ + µλ
= −2axλ
|ẋ|
ẋ
2am ẋ2 + xẍ + mg + µ2axλ
=λ
|ẋ|
ẋ
|ẋ|
(50)
K=
1
m(ẋ2 + ẏ 2 ) + ΘC ϕ̇2
2
(51)
U = −mgx
L=K −U
1
1
1
= mẋ2 + mẏ 2 + ΘC ϕ̇2 + mgx
2
2
2
(53)
(58)
(59)
(60)
Das Reibmoment soll in der Dissipationsfunktion
D=
1
rϕ ϕ̇2
2
(61)
berücksichtigt werden.
2am(ẋ2 + xẍ) + mg =
mẍ
=−
· (1 − µ2ax · (sign ẋ))
2ax + µ(sign ẋ)
Ableitungen:
2aẋ2 + g m · [2ax + µ(sign ẋ)] +
+ 2amxẍ[µ(sign ẋ) + 2ax] = mẍ [2axµ(sign ẋ) − 1]
(54)
Bewegungsdgl.
1 Die
(57)
(52) Lagrange-Funktion
Einsetzen von (53) in (52):
(1 + 4a2 x2 )ẍ + [2ax + µ(sign ẋ)] 2aẋ2 + g = 0
q3 = ϕ
Potentielle Energie:
= (sign ẋ)1 folgt aus (51):
mẍ = − [2ax + µ(sign ẋ)] λ
mẍ
⇒ λ=−
2ax + µ(sign ẋ)
q2 = y ;
(49) Kinetische Energie:
Einsetzen von (50) in (47) und (48):
mit
(55)
Signum-Funktion (auch Vorzeichen-Funktion) sign gibt das
Vorzeichen des Argumentes (also -1 oder +1) an. Sie ist üblicherweise
wie folgt definiert:
8
>
<+1 x > 0
sign x = 0
x=0
>
:
−1 x < 0
d ∂L
= mẍ
dt ∂ ẋ
d ∂L
= mÿ
dt ∂ ẏ
d ∂L
= ΘC ϕ̈
dt ∂ ϕ̇
∂L
∂L
=
=0
∂y
∂ϕ
∂L
= mg
∂x
∂D
∂D
=
=0
∂ ẋ
∂ ẏ
∂D
= rϕ ϕ̇
∂ ϕ̇
(62)
(63)
(64)
(65)
(66)
(67)
(68)
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Lagrange-Gleichungen 1. Art
Zwänge, i.a. fk = fk (q1 , q2 , q3 , q̇1 , q̇2 , q̇3 , t):
f1 := x − R cos ϕ = 0
f2 := y − R sin ϕ = 0
X
k
Z1 = λ1
λk
∂fk
, also:
∂qi
q1 = r ;
(69)
(70)
Z2 = λ2
Z3 = λ1 R sin ϕ − λ2 R cos ϕ
(72)
(86)
xC = rer
v C = ẋC = ṙer + rϕ̇eϕ
(87)
(88)
2
vC
= v C · v C = ṙ2 + r2 ϕ̇2
(89)
( e˙r = ϕ̇eϕ , das kann man durch Bezug auf eine ortsfeste
(73) kartesische
Basis leicht zeigen.)
(74)
Kinetische Energie:
Alles eingesetzt in die Lagrange-Gleichungen 1. Art:
d ∂L
∂L
∂D
−
+
= Qi + Zi
dt ∂ q̇i ∂qi
∂ q̇i
q2 = ϕ
Geschwindigkeit des Schwerpunkts zur Bestimmung der
Kinetischen Energie:
(71)
∂(x − R cos ϕ)
∂(y − R sin ϕ)
+ λ2
= λ1
∂x
∂x
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(b) generalisierte Koordinaten:
Daraus resultierende Zwangskräfte:
Zi =
Lösungshinweise Seite 4
K=
1
1 2
mvC + ΘC ϕ̇2 = mṙ2 + (mr2 + ΘC )ϕ̇2 (90)
2
2
(75) Potentielle Energie:
U = −mgr cos ϕ
führt (mit i ∈ {1, 2, 3}) zu den Gleichungen
(91)
Lagrange-Funktion:
mẍ − mg = λ1
(76)
mÿ = λ2
(77)
ΘC ϕ̈ + rϕ ϕ̇ = λ1 R sin ϕ − λ2 R cos ϕ
(78)
L=K −U
1
1
= mṙ2 + (mr2 + ΘC )ϕ̇2 + mgr cos ϕ
2
2
(92)
(93)
Dissipationsfunktion (wie bei a):
Zusammen mit den beiden Zwangsbedingungen (69) und
(70) ergeben sich fünf Gleichungen für die drei unbekannten Koordinaten x, y und ϕ und die beiden LagrangeParameter λ1 und λ2 .
Wir wollen jetzt aus diesem Gleichungssystem durch Einsetzen alle Unbekannten bis auf ϕ eliminieren. Zunächst
werden die Zwangsbedingungen (69) und (70) nach den zu
eliminierenden Größen umgestellt
x = R cos ϕ ;
ẋ = −R ϕ̇ sin ϕ
(79)
ẍ = −R ϕ̈ sin ϕ − R ϕ̇2 cos ϕ
y = R sin ϕ ; ẏ = R ϕ̇ cos ϕ
(80)
(81)
ÿ = R ϕ̈ cos ϕ − R ϕ̇2 sin ϕ
(82)
D=
1
rϕ ϕ̇2
2
(94)
Ableitungen:
d ∂L
dt ∂ ṙ
d ∂L
dt ∂ ϕ̇
∂L
∂r
∂L
∂ϕ
∂D
∂r
∂D
∂ϕ
= mr̈
(95)
= 2mrṙ ϕ̇ + (mr2 + ΘC )ϕ̈
(96)
= mrϕ̇2 + mg cos ϕ
(97)
= −mgr sin ϕ
(98)
=0
(99)
und in die Gleichungen (76) und (77) eingesetzt (Gl. (78)
= rϕ ϕ̇
(100)
enthält weder x noch y):
Zwangsbedingungen:
m −R ϕ̈ sin ϕ − R ϕ̇2 cos ϕ − g = λ1
(83)
f := r − R = 0
(101)
m R ϕ̈ cos ϕ − R ϕ̇2 sin ϕ = λ2
(84)
Daraus resultierende Zwangskräfte:
Jetzt werden mit (83) und (84) die Lagrange-Parameter
∂(r − R)
λ1 und λ2 in Gl. (78) eliminiert:
Z1 = λ
=λ
(102)
∂r
C
2
∂(r − R)
Θ + mR ϕ̈ + rϕ ϕ̇ + mgR sin ϕ = 0
(85)
Z2 = λ
=0
(103)
∂ϕ
Gl. (85) ist die Bewegungsdifferentialgleichung für das
System unter Beachtung der Zwänge. Gln. (83) und Alles eingesetzt in die Lagrange-Gleichungen 1. Art
(84) sind Bestimmungsgleichungen für die Lagrange- führt zu:
Parameter λ1 und λ2 . Diese wiederum sind die x- bzw.
mr̈ − mrϕ̇2 − mg cos ϕ = λ
(104)
y-Komponenten der Kraft, die von der Fesselung auf das
2
C
(mr + Θ )ϕ̈ + 2mrṙ ϕ̇ + rϕ ϕ̇ + mgr sin ϕ = 0 (105)
Pendel wirkt.
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Lagrange-Gleichungen 1. Art
Zusammen mit der Zwangsbedingung (101) ergeben sich
drei Gleichungen für die zwei unbekannten Koordinaten r
und ϕ und den Lagrange-Parameter λ.
Durch Einsetzen der Zwangsbedingung Gl. (101) in
Gl. (105) ergibt sich folgende Bewegungsdiff’gl. für das
System unter Beachtung der Zwänge:
(mR2 + ΘC )ϕ̈ + rϕ ϕ̇ + mgR sin ϕ = 0
(106)
Aus Gl. (104) kann der Lagrange-Parameter λ bestimmt
werden. λ ist der Betrag der Kraft, der vom Gelenk auf
das Pendel wirkt.
Vergleich: Das System hat einen Koordinatenfreiheitsgrad.
Die Zahl der Zwangsbedingungen und damit die Zahl der
Zwangskraftparameter ist gleich der Zahl der überzähligen
Koordinaten.
Im Fall (b) ist die Koordinate q2 = ϕ eine reine Bewegungskoordinate, sie geht nicht in die Zwangsbedingung(en) ein. Die zugehörige Lagrange-Gleichung 1. Art
ist von vornherein zwangskraftfrei.
Bemerkung: Es ist nicht bei allen Problemen möglich, die
Zwangskraftparameter und alle überzähligen Koordinaten
in geschlossener Form zu eliminieren.
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