A Lineare Räume

A
Lineare Räume
1) Vektor-Räume
2) Normen, Konvergenzen, Banachräume
3) Hilbert-Räume
4) Strukturen: Direkte Summe; Tensor-Produkt
5) Dualräume
6) Integration und Maß
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1) Vektor-Räume
1.1. Def:
Ein (komplexer) Vektorraum  ist eine Menge von Elementen {ψ, φ, χ...}
für die folgendes gilt:
Es ist eine Addition erklärt:
∀ψ, φ ∈
Eigenschaften:
Assoziativität ψ + ( ϕ + χ ) = ( ψ + ϕ ) + χ
∃ Nullvektor ψ + 0 = ψ
∃ inverse (negative) Elemente ψ + ( −ψ ) =
Kommutativität ψ + ϕ = ϕ + ψ
∃! ψ + φ∈,
( −ψ ) + ψ =
0
Es ist eine Multiplikation mit (komplexen) Zahlen erklärt:
∀ψ ∈, ∀a ∈  : ∃ aψ ∈
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Eigenschaften der Multiplikation:
1ψ = ψ
Assoziativität
Distributivität in den Vektoren
Distributivität in den Skalaren
(a ⋅ b)ψ
= a(bψ )
a(ψ + φ) = aψ + aφ
(a + b)ψ = aψ + bψ
1.2. Beispiele
n
Lösungsmenge einer homogenen linearen Dgl.
p , 1 ≤ p ≤ ∞
[a,b]......Stetige Funktionen auf dem Intervall [a,b]
p (M)... Funktionen f(x) auf einer messbaren Menge M, für die f
integrierbar ist.
p
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1.3. Def.
Ein Teilraum  eines Vektorraumes ist eine Teilmenge  ⊂  , die selbst
ein Vektorraum ist, d.h. abgeschlossen unter Addition und Multiplikation
mit Skalaren.
1.4. Beispiele
Stetige Funktionen
[a,b] ⊂ 2 [a, b]
Stetige Funktionen mit kompaktem Träger
2[a,b] ⊂ 2(  )
1.5. Def.
Teilraum  ⊂  , Quotientenraum =   =
=
 2( =
),  {=
f |f(x) 0 f.ü.},
Beispiel:
o () ⊂ 2 ()
{ψ +  } = {Hyperflächen}
2(  )/  = L2(  )
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2) Konvergenz, Norm, Banachraum
2.1. Def.
Eine Metrik ist eine reellwertige Funktion von Paaren von Elementen eines
Raumes, ψ, ϕ  d(ψ, ϕ) , mit den Eigenschaften:
a) nicht negativ d(ψ, ϕ) ≥ 0
b) positiv definit d(ψ, ϕ) =0 dann und nur dann, wenn ψ = ϕ
c) symmetrisch d(ψ, ϕ)= d(ϕ, ψ )
d) Dreiecksungleichung d(ψ, χ) ≤ d(ψ, ϕ) + d(ϕ, χ)
2.2. Beispiele
Komplexe Zahlen, d(w, z) = |w–z|
Sphärische Geometrie, Abstand zweier Punkte auf der Kugeloberfläche =
Länge des kürzesten Großkreis-Segments, das die zwei Punkte verbindet
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2.3. Definition
Ein Vektorraum heißt normiert, wenn ∀ψ ∈ eine Norm ψ definiert ist,
eine Zahl
mit den Eigenschaften:
a) reell, nicht negativ
b) Nur der Nullvektor hat Norm Null
c) Linearität im Vorfaktor aψ = a ψ
d) Dreiecksungleichung ψ + ϕ ≤ ψ + ϕ
2.4. Satz:
Jede Norm definiert eine Metrik; d(ψ, ϕ) := ψ − ϕ
2.5. Beispiele
a) komplexe Zahlen,  mit Norm := Absolut-Betrag der Zahl
z= z=
(Re(z)) 2 + (Im(z)) 2
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b)  n ,  n ,
„Euklidische“ Länge
ψ =(z1 , z 2, ...z n ) ,
c)  , 1 ≤ p ≤ ∞ , ψ =(z1 , z 2 ,...z n ,...) ,
p
=
ψ
ψ=
p
(z
1
p
z1 + z 2 + ... + z n
2
2
+ z 2 + ... + z n + ...
p
p
)
2
1/p
,
Für p=2 ist dieser Raum ist die
=
max { z1 , z 2 ,... z n ,...};
unendlichdimensionale Verallgemeinerung des Beispiels b).
d) p (M, dμ); integrable Funktionen über dem Maßraum M,
1/p


p
ψ p =  ∫ ψ (x) dµ  . (Zu Maß und Integral siehe Kapitel 6.)
M

Dreiecksungleichung ↔ die Minkowski-Ungleichung
ψ
∞
e) Stetige Funktionen mit der Supremums-Norm
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Norm ⇒ Metrik ⇒ Topologie
2.6. Definition: Konvergenz, Stetigkeit
Eine Folge ψ n ist konvergent, wenn ∃ψ : ψ − ψ n → 0 bei n → ∞ ; Eine
Kurve ψ t ist stetig bei s, wenn ψ s − ψ t → 0 bei t → s .
Schreibweise: ψ n → ψ , ψ t → ψ s
2.7. Beispiele
Diffusion im Limes t → ∞ : Im x-Raum Konvergenz von ρt gegen Null
punktweise und in jedem Lp mit p > 1. Aber die 1-Norm (p = 1) ist zu
jeder Zeit gleich 1. Also keine Normkonvergenz im L1. Die Fouriertransformierte ist immer 1 im Ursprung, sonst konvergiert sie punktweise
gegen Null, konvergiert gegen Null-Vektor in jedem Lp mit p < ∞.
Diffusion im Limes t → 0: Keine Konvergenz der Green-Funktion im . Lp
Klassischer Limes der Grundzustands-Wellenfunktion des harmonischen
Oszillators: Konvergenz gegen Nullvektor in jedem Lp mit 1 ≤ p < 2 ; keine
Konvergenz für 2 ≤ p ≤ ∞ .
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2.8. Def.
Eine vektorwertige Kurve ψ t heißt bei s differenzierbar, wenn
ψs − ψ t
∃ϕ :
→ ϕ bei t → s ...
s−t
2.9. Beispiele
L2 () , Funktion mit Knick wird verschoben, ψ t (x) =
ψ (x − t) .
So eine Kurve ist differenzierbar.
Obige Kurve ist nicht zweifach differenzierbar, denn Verschieben einer
Funktion mit Sprung gibt eine nicht differenzierbare Kurve von Vektoren.
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2.10. Def. (Wiederholung)
Menge der Funktionen, die fast überall gleich Null sind, bilden einen
Teilraum des Raumes der integrierbaren Funktionen. Bilde den
Quotientenraum. So entstehen Räume, z.B. Lp , deren Elemente
genaugenommen nicht Funktionen sind, sondern Äquivalenzklassen von
Funktionen.
2.11. Def.
{ψ n } ist eine Cauchyfolge, wenn
∀ε > 0 ∃N ∀m > N, ∀n > N :
ψm − ψn < ε
2.12. Satz
Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.
2.13. Def.
Ein Raum, in dem jede Cauchyfolge konvergiert, heißt vollständig. Ein
vollständiger normierter Raum heißt Banachraum.
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2.14. Bemerkung
Analog zur Vervollständigung der Menge der rationalen Zahlen zur Menge
der reellen Zahlen kann man jeden normierten Vektorraum
vervollständigen. Man kann formal jeder Cauchyfolge ein Limeselement
zuordnen. So erhält man durch Vervollständigung eines Raumes von
Riemann-integrablen einen Raum von Lebesgue-integrablen Funktionen.
Hier identifiziert man alle die Funktionen, für die das angegebene Integral
Null ergibt, mit dem Nullvektor. Jeder Vektor im Lp ist daher,
genaugenommen, nicht eine Funktion, sondern eine Klasse von Funktionen,
die miteinander „fast überall“ identisch sind. Ein extremes Beispiel: Eine
Funktion, die nur auf rationalen Zahlen ungleich Null ist, repräsentiert den
Nullvektor im Lp (,dx) , für jedes p.
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2.15. Def.
Ein Teilraum  ⊂ heißt dicht, wenn jedes Element von  Limes einer
Folge von Elementen von  ist.
2.16. Beispiele
a) Der Weierstraßsche Approximationssatz: Polynome liegen dicht im
[a,b] mit der Supremumsnorm. f = max f (x)
x∈[ a ,b ]
b) S(), die Schwartzsche Klasse, ist dicht in Lp () , für jedes endliche p.


S() = f (x) ∀ ( m, n ) ⊂ {0,1, 2,...} : sup x m ∂ nx f (x) < ∞ 
x


c) 0(), stetige Funktionen mit kompaktem Träger,
dicht im Lp () , wenn p < ∞
2.17.Satz
 dicht in U und U dicht in  ⇒  dicht in .
Folgerung: Polynome sind dicht in jedem Lp [a,b]
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3) Hilbert-Räume
3.1. Def: Inneres Produkt
Für jedes Paar ψ, φ von Vektoren aus  gibt es eine Zahl ψ φ ∈, das
innere Produkt,
mit den Eigenschaften
a) ψ ψ ≥ 0
b) ψ ψ = 0
⇔ ψ=0
c) ψ ϕ * = ϕ ψ
d) ψ z ⋅ ϕ = z ψ ϕ
e) ψ ϕ + χ = ψ ϕ + ψ χ
ψ⊥ϕ
3.2.Def: Orthogonalität
⇔
ψ ϕ =0
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3.3. Satz: Die Schwarzsche Ungleichung
(Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz)
ψϕ
Beweis:
Zerlege ψ in
dann ist
berechne
2
≤ ψψ ϕϕ
ψ|| = ( ϕ ψ
ϕ ψ ⊥ =0 ;
ϕ ϕ )ϕ
und
ψ ⊥ = ψ − ψ ;
ψ ψ = ψ ⊥ ψ ⊥ + ψ ψ ≥ ψ ψ = ϕ ψ
3.4. Satz und Def:
2
ϕϕ
Inneres Produkt definiert Norm
ψ =:
∎
ψψ
Es gilt der Satz von Pythagoras:
ϕ ⊥ ψ ⇒ ϕ+ψ = ϕ + ψ
2
2
2
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3.5. Beispiele
a)  n
b)  2
n
v | w = ∑ v k* w k
k =1
ψ|ϕ =
c) L2 (M, dμ)
∞
∑ψ *ϕ
k =1
k
ψ|ϕ =
k
∫ ψ* ϕ dµ
M
3.6. Satz: Inneres Produkt ist stetig
ψ m → ψ , ϕn → ϕ
⇒
ψ m ϕn → ψ ϕ
3.7. Def: Hilbertraum
Ein Vektor-Raum mit innerem Produkt, der vollständig ist, heißt
Hilbertraum.
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Bemerkung: Ein Hilbertraum ist ein spezieller Banachraum
3.8. Def: Basis, VONS
Basis = „Vollständiges Orthonormalsystem“ {e n } , eine Menge von Vektoren
mit den Eigenschaften:
a) Basisvektoren sind normiert, e n = 1
b) verschiedene sind zueinander orthogonal. e m | e n = δm,n
c) Jeder Vektor in  kann vollständig in Komponenten zerlegt und als
Linearkombination von Basisvektoren dargestellt werden
∀ψ ∈, ∃{a n ∈ } : ψ = ∑ a n e n
n
N
(= lim ∑ a n e n
N →∞
n =1
im ∞-dim. )
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3.9. Def: Totale Menge, Lineare Hülle, separabel
„Totale“ Menge von Vektoren ....... ⇔.......die Menge der Linearkombinationen
von
Elementen dieser Menge ist ein dichter Teilraum von .
„Lineare Hülle“ ...... Abschluss des Teilraums der Linearkombinationen
 heißt „separabel“, wenn es eine totale Teilmenge gibt, die abzählbar ist.
Bemerkung:
In der Physik: immer separable Hilberträume
3.10. Beispiele
ϕm = (δm,n) ist abzählbare totale Menge und Basis
2 :
Die Potenzen xn sind total im L2 [a,b]; das folgt aus dem Weierstraßschen
Approximationssatz 2.16 a, kombiniert mit dem Satz 2.17.
3.11. Satz und Def: Existenz einer Basis. Dimension.
Jeder Hilbertraum besitzt eine Basis. Deren „Mächtigkeit“ (=Anzahl der
Elemente) ist eindeutig; sie heißt Dimension des Raumes.
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Gram-Schmidt-Verfahren zur Orthogonalisierung einer abzählbaren
Menge von Vektoren, φ1 ...φn ..., die alle linear unabhängig von einander
sind (es gibt keine Linearkombination, die Null ergibt);
definiere
e1 :=ϕ1 ϕ1
ϕ2 − e1 ϕ2
e 2 :=
ϕ2 − e1 ϕ2
ϕ3 − e1 ϕ3
e3 :=
ϕ3 − e1 ϕ3
e1
e1
e1 − e 2 ϕ3 e 2
....
e1 − e 2 ϕ3 e 2
Ist diese Menge total, dann wird mit diesem Verfahren eine Basis erzeugt.
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3.12. Lemmata: Besselsche Ungleichung; Kürzungsregel
{en} ein ONS, (nicht notwendigerweise vollständig), an= e n ψ , dann ist
2
2
∑ a n ≤ ψ ; {ϕn} eine totale Menge, ϕn ψ = 0 für alle n, dann ist ψ = 0.
n
3.13. Entwicklungssatz
Jedes totale ONS {en} ist vollständig. Jeder Vektor ist eindeutig nach dieser
Basis zu entwickeln.
, an= e n ψ
ψ =∑ a n e n
n
Bemerkung: So wird jeder separable Hilbertraum isomorph zum  2 .
(„Isomorph“ heißt hier: es gibt eine umkehrbare normtreue Abbildung
zwischen den Räumen.)
3.14. Parsevalsche Gleichung
{en} VONS ⇒
∑a
n
2
n
=
ψ
2
für an= e n ψ
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3.15. Kriterien für die Vollständigkeit eines ONS
a)
b)
c)
d)
e)
Kürzungsregel gilt
Parseval gilt
Entwicklung ist möglich
System ist total
total in dichter
Teilmenge
3.16. Beispiele
Legendre-Polynome,
(im Bild nicht normiert)
Hermite-Polynome
↔ Harmonischer Oszillator,
Fourier-Reihen
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3.17. Def. und Lemma: Orthogonaler Teilraum
M sei eine Teilmenge
M⊥ ist die Menge aller zu M orthogonalen Vektoren
bildet einen abgeschlossenen Teilraum.
3.18. Satz und Def: Projektion
 ein abgeschlossener Teilraum, ψ beliebig
Eindeutige Zerlegung:
ψ = ψ + ψ⊥ , mit Projektion von ψ auf  → ψ
3.19. Beispiele.
Gerade Funktionen / Ungerade Funktionen
Lokalisierung:
Funktionen mit Träger auf einer Teilmenge, / Träger im Komplement
Gebundene Zustände eines Teilchens in einem Potential / freie Zustände
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