A Lineare Räume

A LineareRäume
1)Vektor‐Räume
2)Normen,Konvergenzen,Banachräume
3)Hilbert‐Räume
4)Strukturen: DirekteSumme;Tensor‐Produkt
5)Dualräume
6)IntegrationundMaß
1 1)Vektor‐Räume
1.1.Def:
Ein(komplexer)VektorraumVisteineMengevonElementen{, , ...}
fürdiefolgendesgilt:
EsisteineAdditionerklärt: ,  V !   V,
Eigenschaften:
Assoziativität                ∃Nullvektor   0   ∃inverse(negative)Elemente             0 Kommutativität        EsisteineMultiplikationmit(komplexen)Zahlenerklärt:  V, a   :  a V
2 EigenschaftenderMultiplikation:
1   Assoziativität (a  b)  a(b ) DistributivitätindenVektoren a(  )  a  a DistributivitätindenSkalaren (a  b)  a  b 1.2.Beispiele
n LösungsmengeeinerhomogenenlinearenDgl.
 p ,1  p   C[a,b]......StetigeFunktionenaufdemIntervall[a,b]
p
Lp (M)...Funktionenf(x)aufeinermessbarenMengeM,fürdie f integrierbarist.
3 1.3.Def.
EinTeilraumTeinesVektorraumesisteineTeilmengeT  V,dieselbst
einVektorraumist,d.h.abgeschlossenunterAdditionundMultiplikation
mitSkalaren.
1.4.Beispiele
StetigeFunktionen C[a,b]  L2 [a,b]
StetigeFunktionenmitkompaktemTräger L2 [a,b]  L2 () Co ()  L2 ()
4 2)Konvergenz,Norm,Banachraum
2.1.Def.
EineMetrikisteinereellwertigeFunktionvonPaarenvonElementeneines
Raumes, ,   d(, ) ,mitdenEigenschaften:
a) nichtnegativ d(, )  0 b) positivdefinit d(, )  0 dannundnurdann,wenn    c) symmetrisch d(, )  d(,  ) d) Dreiecksungleichung d(, )  d(, )  d(, ) 2.2.Beispiele
KomplexeZahlen,d(w, z)=|w–z|
SphärischeGeometrie,AbstandzweierPunkteaufderKugeloberfläche=
LängedeskürzestenGroßkreis‐Segments,dasdiezweiPunkteverbindet
5 2.3.Definition
EinVektorraumheißtnormiert,wenn  VeineNorm  definiertist,
eineZahl mitdenEigenschaften:
a) reell,nichtnegativ
b) NurderNullvektorhatNormNull
c) LinearitätimVorfaktor a  a  d) Dreiecksungleichung        2.4.Satz:
JedeNormdefinierteineMetrik; d(, ) :    2.5.Beispiele
a)komplexeZahlen,mitNorm:=Absolut‐BetragderZahl
z  z  (Re(z)) 2  (Im(z)) 2 6 b)  n ,  n , „Euklidische“Länge
  (z1 , z 2, ...z n ) ,
c)  , 1  p   ,   (z1 , z 2 ,...z n ,...) , 
p
p
 

z1  z 2  ...  z n 2
2
2
 z1  z 2  ...  z n  ...
p
p
p

1/p
,
 max  z1 , z 2 ,... z n ,...; Fürp=2istdieserRaumistdie
unendlichdimensionaleVerallgemeinerungdesBeispielsb).
d) Lp (M,dμ);integrableFunktionenüberdemMaßraumM, 1/p


p
 p     (x) d  .(Dreiecksungleichung↔dieMinkowski‐
M

Ungleichung.)(ZuMaßundIntegralsieheKapitel6.)
e)StetigeFunktionenmitderSupremums‐Norm


7 NormMetrikTopologie
2.6.Definition:Konvergenz,Stetigkeit
EineFolge  n istkonvergent,wenn  :    n  0 bei n   ;Eine
Kurve  t iststetigbeis,wenn  s   t  0 bei t  s .
Schreibweise:  n   ,  t   s 2.7.Beispiele
DiffusionimLimes t   :Imx‐RaumKonvergenzvonρtgegenNull
punktweiseundinjedem Lp mitp>1. Aberdie1‐Norm(p=1)istzu
jederZeitgleich1.AlsokeineNormkonvergenzim L1 .DieFourier‐
transformierteistimmer1imUrsprung,sonstkonvergiertsiepunktweise
gegenNull,konvergiertgegenNull‐Vektorinjedem Lp mitp<.
DiffusionimLimest0:KeineKonvergenzderGreen‐Funktionim Lp .
KlassischerLimesderGrundzustands‐Wellenfunktiondesharmonischen
Oszillators:KonvergenzgegenNullvektorinjedem Lp mit1  p  2 ;keine
Konvergenzfür 2  p   .
8 2.8.Def.
EinevektorwertigeKurve  t heißtbeisdifferenzierbar,wenn
s   t
 :
  bei t  s ...
st
2.9.Beispiele
L2 () ,FunktionmitKnickwirdverschoben,  t (x)   (x  t) . SoeineKurveistdifferenzierbar.
ObigeKurveistnichtzweifachdifferenzierbar,dennVerschiebeneiner
FunktionmitSprunggibteinenichtdifferenzierbareKurvevonVektoren.
9 2.10.Def.
MengederFunktionen,diefastüberallgleichNullsind,bildeneinen
TeilraumdesRaumesderintegrierbarenFunktionen.Bildeden
Quotientenraum.SoentstehenRäume,z.B. Lp ,derenElemente
genaugenommennichtFunktionensind,sondernÄquivalenzklassenvon
Funktionen.
2.11.Def.
 n  isteineCauchyfolge,wenn   0 N m  N, n  N :
m  n   2.12.Satz
JedekonvergenteFolgeisteineCauchyfolge.
2.13.Def.
EinRaum,indemjedeCauchyfolgekonvergiert,heißtvollständig.Ein
vollständigernormierterRaumheißtBanachraum.
10 2.14.Bemerkung
AnalogzurVervollständigungderMengederrationalenZahlenzurMenge
derreellenZahlenkannmanjedennormiertenVektorraum
vervollständigen.MankannformaljederCauchyfolgeeinLimeselement
zuordnen.SoerhältmandurchVervollständigungeinesRaumesvon
Riemann‐integrableneinenRaumvonLebesgue‐integrablenFunktionen.
HieridentifiziertmanalledieFunktionen,fürdiedasangegebeneIntegral
Nullergibt,mitdemNullvektor.JederVektorim Lp istdaher,
genaugenommen,nichteineFunktion,sonderneineKlassevonFunktionen,
diemiteinander„fastüberall“identischsind.EinextremesBeispiel:Eine
Funktion,dienuraufrationalenZahlenungleichNullist,repräsentiertden
Nullvektorim Lp (,dx) ,fürjedesp.
11 2.15.Def.
EinTeilraumT Vheißtdicht,wennjedesElementvonVLimeseiner
FolgevonElementenvonTist.
2.16.Beispiele
a)DerWeierstraßscheApproximationssatz:Polynomeliegendichtim
C[a,b]mitderSupremumsnorm. f  max f (x) x a ,b 
b)S(),dieSchwartzscheKlasse,istdichtin Lp ( ) ,fürjedesendlichep.


S()= f (x)   m, n   0,1, 2,... : sup x m  nx f (x)    x


c)C0(),stetigeFunktionenmitkompaktemTräger, dichtim Lp ( ) ,wennp<
2.17.Satz
TdichtinUundUdichtinVTdichtinV.
Folgerung:Polynomesinddichtinjedem Lp [a,b]
12 3)Hilbert‐Räume
3.1.Def:InneresProdukt
FürjedesPaarψ,φvonVektorenausHgibteseineZahl   ,das
innereProdukt, mitdenEigenschaften
a)   0
b)   =0  =0
c)   *    d)  z   =z   e)           3.2.Def:Orthogonalität
   =0
13 3.3.Satz:DieSchwarzscheUngleichung
(Cauchy‐Bunyakovsky‐Schwarz)
2
    Beweis:
Zerlege in ||         und
dannist berechne       ;
    0 ;
               
2
 ∎
3.4.SatzundDef:
InneresProduktdefiniertNorm
 :
 EsgiltderSatzvonPythagoras:
        2
2
2
14 3.5.Beispiele
a)  n
b)  2 
 |     k*  k k 1
c) L2 (M,dμ)
v | w   v k* w k k 1
n
 |    *  d M
3.6.Satz:InneresProduktiststetig
 m  , n     m n    3.7.Def:Hilbertraum
EinVektor‐RaummitinneremProdukt,dervollständigist,heißt
Hilbertraum.
15 Bemerkung:EinHilbertraumisteinspeziellerBanachraum
3.8.Def:Basis,VONS
Basis=„VollständigesOrthonormalsystem“e n  ,eineMengevonVektoren
mitdenEigenschaften:
a) Basisvektorensindnormiert, e n  1
b) verschiedenesindzueinanderorthogonal. e m | e n   m,n c) JederVektorinHkannvollständiginKomponentenzerlegtundals
LinearkombinationvonBasisvektorendargestelltwerden  H, a n   :    a n e n n
N
(= lim  a n e n im∞‐dim.H)
N 
n 1
16 3.9.Def:TotaleMenge,LineareHülle,separabel
„Totale“MengevonVektoren..............dieMengederLinearkombinationen
von ElementendieserMengeisteindichterTeilraumvonH.
„LineareHülle“......AbschlussdesTeilraumsderLinearkombinationen
Hheißt„separabel“,wenneseinetotaleTeilmengegibt,dieabzählbarist.
Bemerkung: InderPhysik:immerseparableHilberträume
3.10.Beispiele
 2 : m=(m,n)istabzählbaretotaleMengeundBasis
DiePotenzenxnsindtotalin L2 [a, b];dasfolgtausdemWeierstraßschen
Approximationssatz2.16a,kombiniertmitdemSatz2.17.
3.11.SatzundDef:ExistenzeinerBasis.Dimension.
JederHilbertraumbesitzteineBasis.Deren„Mächtigkeit“(=Anzahlder
Elemente)isteindeutig;sieheißtDimensiondesRaumes.
17 Gram‐Schmidt‐VerfahrenzurOrthogonalisierungeinerabzählbaren
MengevonVektoren,φ1...φn...,dieallelinearunabhängigvoneinander
sind(esgibtkeineLinearkombination,dieNullergibt);
definiere
e1 : 1 1 2  e1 2 e1
e 2 :
2  e1 2 e1
3  e1 3 e1  e 2 3 e 2
....
e3 :
3  e1 3 e1  e 2 3 e 2
IstdieseMengetotal,dannwirdmitdiesemVerfahreneineBasiserzeugt.
18 3.12.Lemmata:BesselscheUngleichung;Kürzungsregel
{en}einONS,(nichtnotwendigerweisevollständig),an= e n  ,dannist
2
2
 a n   ;{n}einetotaleMenge, n  =0fürallen,dannist=0.
n
3.13.Entwicklungssatz
JedestotaleONS{en}istvollständig.JederVektoristeindeutignachdieser
Basiszuentwickeln.
   a n e n , an= e n  n
Bemerkung:SowirdjederseparableHilbertraumisomorphzum  2 .
(„Isomorph“heißthier:esgibteineumkehrbarenormtreueAbbildung
zwischendenRäumen.)
3.14.ParsevalscheGleichung
{en}VONS  a
2
n
  füran= e n  2
n
19 3.15.KriterienfürdieVollständigkeiteinesONS
a)
b)
c)
d)
e)
Kürzungsregelgilt
Parsevalgilt
Entwicklungistmöglich
Systemisttotal
totalindichter
Teilmenge
3.16.Beispiele
Legendre‐Polynome,
(imBildnichtnormiert)
Hermite‐Polynome
↔HarmonischerOszillator,
Fourier‐Reihen
20 3.17.Def.undLemma:OrthogonalerTeilraum
MseieineTeilmenge
MistdieMengeallerzuMorthogonalenVektoren bildeteinenabgeschlossenenTeilraum.
3.18.SatzundDef:Projektion
TeinabgeschlossenerTeilraum,beliebig
EindeutigeZerlegung: =+,mitProjektionvonaufT → 
3.19.Beispiele.
GeradeFunktionen/UngeradeFunktionen
Lokalisierung:
FunktionenmitTrägeraufeinerTeilmenge,/TrägerimKomplement
GebundeneZuständeeinesTeilchensineinemPotential/freieZustände
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