Universität Regensburg PHYSIKALISCHE

Universität Regensburg
WS/ 2007/2008
Institut für Physikalische und
Theoretische Chemie (IPTC)
Prof. Dr. B. Dick
Dr. S. A. Baeurle
R. J. Kutta
Übungen zur Vorlesung
PHYSIKALISCHE CHEMIE III
Übungsblatt 1 (Lösung)
1. Komplexe Zahlen
Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 und z2 aus C mit:
z2 = 2 − 7i
z1 = 3 + 5i;
Bestimmen Sie
1. die Summe z1 + z2
2. das Produkt z1 · z2 und den Quotienten
z1
z2
3. die komplex-konjugierten Zahlen z1 , z2 und die Normen |z1 | und |z2 |
3. die Polarkoordinaten-Darstellung beider Zahlen
1. Komplexe Zahlen (Lösung)
Es gibt keine reelle Zahl x, die der Gleichung
x2 = −1
genügt. Euler führte daher die imaginäre Einheit i für
i2 = −1
1
(0.1)
√
−1 ein. Daraus folgt, dass
(0.2)
ist. In der kartesischen Darstellung ist eine komplexe Zahl z gegeben durch den Ausdruck
z = x + iy,
(0.3)
wobei x und y reelle Zahlen sind. Man nennt dabei
<(z) = x
(0.4)
=(z) = y
(0.5)
jeweils den Realteil und Imaginärteil von z. Eine komplexe Zahl z = a + ib ist ein Punkt
in der z-dimensionalen komplexen Zahlenebenen:
=
a
|z|
i
b
ϕ
<
1
In der Polarkoordinaten-Darstellung ist z gegeben durch
z = |z| cos(ϕ) + i · sin(ϕ) .
(0.6)
Dementsprechend kann z auch in der Euler’schen-Darstellung geschrieben werden als
z = |z| cos(ϕ) + i sin(ϕ) = exp(iϕ),
2
(0.7)
wobei |z| der Betrag von z durch
p
√
|z| = <2 (z) + =2 (z) = a2 + b2
(0.8)
und ϕ das Argument von z durch
ϕ = Arg(z) für 0 ≤ φ ≤ 2π
b
=(z)
= arctan
⇒ arctan(ϕ) = arctan
<(z)
a
b
=(z)
=
⇒ tan(ϕ) =
<(z)
a
<(z)
a
⇒ cos(ϕ) =
=√
2
|z|
a + b2
b
=(z)
=√
⇒ sin(ϕ) =
|z|
a2 + b 2
(0.9)
(0.10)
(0.11)
(0.12)
(0.13)
gegeben ist.
1. Summe z1 + z2 :
z3 = z1 + z2 = 3 + i5 + 2 − i7 = 5 − i2
2. a Produkt z1 · z2 :
z4 = z1 · z2 = (3 + i5) · (2 − i7) = 6 − i21 + i10 + 35 = 41 − i11
oder man wandelt zuvor in die Euler’sche-Darstellung um. Es ergibt demnach für z1 und
z2
z1 = |z1 | exp(iϕ1 )
√
√
mit |z1 | = 32 + 52 = 34
5
und ϕ1 = arctan
= 1, 03
3
z2 = |z2 | exp(iϕ2 )
p
√
|z2 | = 22 + (−7)2 = 53
−7
ϕ2 = arctan
= −1, 29
2
Das Produkt ergibt sich dann zu
z4 = z1 · z2 = |z1 | exp(iϕ1 ) · |z2 | exp(iϕ2 )
√
√
√
=
34 exp(1, 03i) · 53 exp(1, 29i) = 34 · 53 exp i(1, 03 − 1, 29)
√
√
=
1802 exp(−0, 26i) = 1802 cos(0, 26) − i sin(0, 26)
= 41, 02 − 10, 91i.
3
Dies ist zwar umständlich, aber funktioniert auch.
2. b Quotient
z1
:
z2
z1
3 + 5i
(3 + 5i)(2 + 7i)
=
=
z2
2 − 7i
(2 − 7i)(2 + 7i)
6 + 21i + 10i − 35
−29 + 31i
−29 31
=
=
=
+ i
4 + 14i − 14i + 49
53
53
53
z5 =
oder man wandelt wie zuvor in die Euler’sche-Darstellung um. Es ergibt sich
z1
|z1 | exp(iϕ1 )
|z1 |
=
=
exp i(ϕ1 − ϕ2 )
z2
|z2 | exp(iϕ2 )
|z2 |
r
√
34
34
= √ exp i(1, 03 + 1, 29) =
exp(2, 32i)
53
53
p
0, 64 cos(2, 32) + i sin(2, 32)
=
z5 =
= −0, 54 + 0, 59i.
Dies ist zwar erneut umständlich, aber funktioniert auch hier.
3. a komplex-konjugierte Zahlen z1∗ , z2∗ :
z1 = 3 + 5i
z2 = 2 − 7i
⇒ z1∗ = 3 − 5i
z2∗ = 2 + 7i
∗
oder in der Euler’schen-Darstellung
z1 =
∗
⇒ z1∗ =
=
√
√
√
34 exp(1, 03i)
z2 =
∗
⇒ z2∗ =
34 exp(−1, 03i)
34
cos(1, 03) − i sin(1, 03)
=
= 3, 00 − 5, 00i
√
√
√
53 exp(−1, 29i)
53 exp(1, 29i)
53
cos(1, 29) + i sin(1, 29)
= 2, 02 + 6, 99.
3. b Normen |z1 |, |z2 |:
siehe 2. a.
4. Polarkoordinaten-Darstellungen von z1 und z2 :
4
Nach Euler sind z1 und z2 gegeben durch
z1 = |z1 | exp(iϕ1 )
√
z1 = 34 exp(1, 03i)
√
= 34 cos(1, 03) + i sin(1, 03)
z2 = |z2 | exp(iϕ2 )
√
z2 = 53 exp(1, 29i)
√
= 53 cos(1, 29) − i sin(1, 29)
2. Differentialrechnung
Gegeben seien die Funktionen f (x) und g(x) über R mit
f (x) = x2 + 1
g(x) = exp(x)
Bestimmen Sie
d
dx
d
2.
dx
1.
d
3.
dx
f (x) + g(x)
f (x) · g(x)
f (x)
g(x)
d g
4.
dx
f (x)
.
2. Differentialrechnung (Lösung)
1. Summen-Regel:
d
dx
f (x) + g(x)
df (x) dg(x)
+
dx
dx
d 2
d
(x + 1) +
exp(x)
=
dx
dx
= 2x + exp(x)
=
2. Produkt-Regel:
d
dx
f (x) · g(x)
df (x)
dg(x)
+ f (x)
dx
dx
d 2
d
= exp(x) (x + 1) + (x2 + 1) exp(x)
dx
dx
2
= exp(x)2x + (x + 1) exp(x) = x2 exp(x) + 2x exp(x) + exp(x)
= g(x)
= (x2 + 2x + 1) exp(x)
5
3. Quotienten-Regel (Ableitung über Produkt-Regel):
d
dx
f (x)
g(x)
=
=
=
=
=
=
=
d
f (x) · g −1 (x)
dx
dg −1 (x)
df (x)
+ f (x)
g −1 (x)
dx
dx
dg(x)
df
(x)
− f (x)g −2
g −1 (x)
dx
dx
df (x)
dg(x)
g(x) dx − f (x) dx
g 2 (x)
d
d
(x2 + 1) − (x2 + 1) dx
exp(x)
exp(x) dx
2
exp (x)
2
exp(x)2x − (x + 1) exp(x)
exp2 (x)
−x2 + 2x − 1
exp(x)
4. Ketten-Regel:
d g
dx
f (x)
f (x) df (x)
=
df (x)
dx
2
d exp(x + 1) d(x2 + 1)
=
d(x2 + 1)
dx
2
= exp(x + 1)2x
dg
3. Integration
Berechnen Sie folgende Integrale:
Z4
1.
(x2 − x + 12)dx
−3
Z∞
2.
1
x · exp − x dx
2
2
0
Z
3.
exp −x2 dx
R
6
Z
4.
dV
Kugel
Z2π
cos(mx) · sin(nx)dx mit m, n ∈ N
5.
0
3. Integration (Lösung)
1. einfache Integration eines Polynoms:
Z4
4
1 3 1 2
(x − x + 12)dx =
x − x + 12x
3
2
−3
−3
1
1
1 3 1 2
3
2
4 − 4 + 12 · 4 −
(−3) − (−3) + 12 · (−3)
=
3
2
3
2
64
27 9
665
=
− 8 + 48 +
+ + 36 =
3
3
2
6
2
2. partielle Integration:
Die allgemeine Definition der partiellen Integration lautet
Zb
b Z b
v(x)u0 (x)dx = v(x)u(x) − v 0 (x)u(x)dx.
a
a
a
Durch 2-fache Anwendung der partiellen Integration lässt sich nun also das Integral
bestimmen zu
Z∞
0
1
x · exp − x dx
|{z}
2
=v(x) |
{z
}
2
=u0 (x)
1
= x2 · (−2) exp − x
2
Z∞
1
∞
− 2x · (−2) exp − x dx
2
0
0
Z∞
1
1
∞
2
= −2x exp − x + 4x exp − x dx
2
2
0
|
{z
} 0
|
{z
}
=A
=B
7
Einschub: Unbestimmte Ausdrücke. Regel von de l’Hospital
Es tritt häufiger der Fall auf, dass der Wert einer Funktion
ϕ(x) =
f (x)
g(x)
(0.14)
an einer Stelle x = a angegeben werden soll, an der sowohl der Zähler f (x) als auch der
Nenner g(x) Null oder unendlich werden. ϕ(x) ist dann nach Gleichung 0.14 unbestimmt.
Man kann aber nach der aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ableitbaren
f (x)
Regel von de l’Hospital den Grenzwert berechnen, dem der Quotient
zustrebt, wenn
g(x)
x → a geht:
f (x)
f 0 (x)
f n (x)
ϕ(a) = lim
= lim 0
= . . . = lim n
(0.15)
x→a g(x)
x→a g (x)
x→a g (x)
Mit Gleichung 0.15 ist deutlich gemacht, dass Zähler und Nenner für sich so lange zu
differenzieren sind, bis einer von beiden oder beide nicht mehr null oder unendlich ergeben.
Für A ergibt sich nun weiter unter Verwendung der Regel von l’Hospital
1
∞
2
A
=
−2x exp − x 2
0
∞
0
2
2
=
−2(∞) exp −
+ 2(0) exp −
2
2
|
{z
}
=0
2
=
=
l’Hospital
=
l’Hospital
=
=
2(∞)
exp ∞
2
2(x)2
lim −
x→∞
exp x2
4(x)
lim − 1
x→∞
exp x2
2
4
lim − 1
x→∞
exp x2
4
4
∞ = 0
−
1
exp
4
| {z 2 }
−
→∞
Nun wird sich B zugewandt, indem erneut die partielle Integration angewendet wird. Es
8
ergibt sich
Z∞
B =
0
1
4x exp − x dx
|{z}
2
=v(x) |
{z
}
=u0 (x)
1
= 4x(−2) exp − x
2
|
{z
=C=0
Z∞
1
∞
− 4(−2) exp − x dx
2
0
} 0
Ausdruck C ist wie zuvor Ausdruck A aus den gleichen Gründen null. Der restliche Teil
von B kann nun einfach integriert werden. Es ergibt sich
Z∞
1
B =
8 exp − x dx
2
0
∞
1
= 8(−2) exp − x
2
0


 
∞
0 

 

= 16
= −16 exp −
 − 8(−2) exp − 
2 
|
{z 2 }
| {z }
=0
=1
Das anfängliche Integral hat sich somit vereinfacht zu 16.
3. Substitution und ein kleiner Trick:
Der Wert des Integrals sei gegeben durch
Z+∞
A=
exp −x2 dx
(0.16)
−∞
Ebenso gilt aber auch
Z+∞
A=
exp −y 2 dy
(0.17)
−∞
Multipliziert man Gleichung 0.16 mit Gleichung 0.17, so erhält man
Z+∞
Z+∞
ZZ
2
2
2
A =
exp −x dx ·
exp −y dy =
−∞
−∞
x,y−Ebene
9
exp
−(x2 + y 2 )
dxdy
(0.18)
Einschub: Transformation der Variablen als Hilfe zur Integralberechnung
Die Aufgabe im Bereichsintegral
ZZ
f (x, y)dxdy
B
die durch die Gleichungen
x = G(u, v)
y = H(u, v)
gegebene Transformation vorzunehmen, erfolgt durch die Beziehung
ZZ
ZZ
∂(x, y) dudv,
f G(u, v), H(u, v) f (x, y)dxdy =
∂(u, v) B
B
∂(x, y) die Funktionaldeterminante ist. Sie ist gegeben durch
wobei ∂(u, v) ∂x ∂x ∂(x, y) ∂u
∂v =
D(u, v) = ∂(u, v) ∂y ∂y ∂u
∂v
Beispiel 1: Polarkoordinaten
In Polarkoordinaten wird wie folgt transformiert
x = r cos(ϕ)
y = r sin(ϕ)
Die Funktionaldeterminante ist dann
∂x ∂x ∂(x, y) ∂r ∂ϕ =
D(r, ϕ) = ∂(r, ϕ) ∂y ∂y ∂r
∂ϕ
cos(ϕ) −r sin(ϕ) = sin(ϕ) r cos(ϕ) = r cos2 (ϕ) + r sin2 (ϕ) = r
10
Beispiel 2: Kugelkoordinaten
In Kugelkoordinaten ist dann
x = r sin(ϑ) cos(ϕ)
y = r sin(ϑ) sin(ϕ)
z = r cos(ϑ)
Die Funktionaldeterminante ist dann
∂x ∂x ∂x ∂r ∂ϕ ∂ϑ ∂(x, y, z) = ∂y ∂y ∂y D(r, ϑ, ϕ) = ∂(r, ϑ, ϕ) ∂r ∂ϕ ∂ϑ ∂z ∂z ∂z ∂r ∂ϕ ∂ϑ sin(ϑ) cos(ϕ) r cos(ϑ) cos(ϕ) −r sin(ϑ) sin(ϕ)
= sin(ϑ) sin(ϕ) r cos(ϑ) sin(ϕ) r sin(ϑ) cos(ϕ)
cos(ϑ)
−r sin(ϑ)
0
= 0 + r2 cos2 (ϑ) sin(ϑ) cos2 (ϕ) + r2 sin3 (ϑ) sin2 (ϕ)
+r2 cos2 (ϑ) sin(ϑ) sin2 (ϕ) + r2 sin3 (ϑ) cos2 (ϕ) − 0
= r2 cos2 (ϑ) sin(ϑ) sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ) +r2 sin3 (ϑ) sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ)
|
|
{z
}
{z
}
=1
=1
= r2 sin(ϑ) cos2 (ϑ) + sin2 (ϑ) = r2 sin(ϑ)
|
{z
}
=1
Man substituiert nun durch Einführung von ebenen Polarkoordinaten
x = r cos(ϕ)
y = r sin(ϕ).
Für das Flächenelement dxdy ist dann rdrdϕ zu setzen, und es ist
x2 + y 2 = r 2 .
Aus Gleichung 0.18 wird damit
2
ZZ
A =
x,y−Ebene
2
Z∞ Z2π
exp(−r )rdrdϕ =
2
Z∞
r exp(−r )drdϕ = 2π
0
0
0
11
r exp(−r2 )dr.
(0.19)
Substituiert man nun
du
du
= 2r ⇔ dr =
,
dr
2r
u = r2 ⇒
so folgt
A2 = 2π
uZ
2 =∞
uZ
2 =∞
du
r exp(−u)
=π
2r
u1 =0
u2 =∞
= π.
exp(−u)du = −π exp(−u) (0.20)
u1 =0
u1 =0
Mit Gleichung 0.16 folgt
Z+∞
√
exp −x2 dx = π
(0.21)
−∞
4. Volumen einer Kugel mit Radius r:
Zr Zπ Z2π
Z
dV
Kugel
=
0
0
0
Zr
Zπ
0
0
= 2π
Zr
r2 sin(ϑ)drdϑdϕ
r2 sin(ϑ)drdϑ
Zπ
2
r dr
= 2π
sin(ϑ)dϑ
0
Zr
= 2π
0
r2 dr [− cos(ϑ)]π0
0
Zr
= 2π
0
Zr
= 4π


r2 dr − cos(π) + cos(0)
| {z } | {z }
=1
=1
4
r2 dr = πr3
3
0
5. Integral über trigonometrische Funktionen:
Eine wichtige trigonometrische Formel lautet
sin(x) cos(y) =
1
(sin(x − y) + sin(x + y))
2
12
(0.22)
Das zu lösende Integral kann dementsprechend umgeformt werden zu
Z2π
0
1
cos(mx) sin(nx)dx =
2
Z2π
sin
(n − m)x
+ sin
(n + m)x
dx
0
2π
1
1
1
=
−
cos (n − m)x −
cos (n + m)x
2
n−m
n+m
0
1
1
1
1
1
−
−
− −
−
=0
=
2
n−m n+m
n−m n+m
13