bg bg bg bg bg

3.6
DER ELEKTRISCHE RESONANZKREIS
G
enerell versteht man in der Physik unter Resonanz Vorgänge, bei denen ein schwingungsfähiges System
durch Energiezufuhr mit seiner Eigenfrequenz angeregt wird. Dabei kann die Amplitude des angeregten
Systems auf ein vielfaches der Erregeramplitude ansteigen.
Ein elektrischer Resonanzkreis lässt sich mit Hilfe einer Kapazität und einer Induktivität realisieren. Da eine
reale Induktivität stets einen parasitären ohmschen Widerstand besitzt (es sei denn es handelt sich um eine
supraleitende Spule), liegt bei einem realen elektrischen Resonanzkreis eine gedämpfte Schwingung vor.
Abb. 1: Schaltung zur Erzeugung einer gedämpften elektrischen Schwingung.
Die Schalter S1 und S2 sind in der Praxis häufig elektronische Schalter in Form von Transistoren, Thyristoren
oder IGBTs. Die Funktionsweise der Schaltung wird im Folgenden erläutert:
Ist S1 geschlossen und S2 geöffnet, dann wird der Kondensator C über den
Ladewiderstand Rl auf die Spannung U0 aufgeladen. Nach dem Ladevorgang ist im
Kondensator die Energie
WC 
1
CU 02
2
(3.55)
gespeichert. Anschließend wird der Schalter S1 geöffnet und S2 geschlossen. Der
Kondensator C bildet nun zusammen mit R und L einen Resonanzkreis. Es kommt zu
einer gedämpften Schwingung, die solange andauert, bis die im Kondensator
gespeicherte Energie infolge ohmscher Verluste dissipiert ist.
Ist der Kreis geschlossen, dann ist der Spannungsabfall an den einzelnen Komponenten gegeben durch:
bg
bg
bg
1
Qt
C
U R   RQ t
 t
U L   LQ
UC 
Anwendung der 1. Kirchhoffschen Regel ergibt die zugehörige DGL, mit:
bg
bg
bg
bg
bg
 t  R Q t  1 Q t  0 ; mit Q 0  Q0 , Q 0  0 .
Q
L
LC
Für R=0 verschwindet der dissipative Term und es ergibt sich die DGL für den harmonischen Oszillator. Es lässt
sich demnach eine Resonanzfrequenz definieren, mit:
Resonanzfrequenz:
 20 
1 .
LC
(3.56)
Folglich gilt:
bg
bg
bg
bg
bg
 t  R Q t   20 Q t  0 ; mit Q 0  Q0 , Q 0  0 .
Q
L
Eine Laplace-Transformation der Gleichung ergibt:
(3.57)
bg bg
bg bg
bg bg
~
L Q s Q s
~
L Q s  sQ s  Q0
~
 s  s2 Q
LQ
s  sQ0
Folglich gilt:
bg
bg
FG
H
bg
IJ
K
R~
R .
~
~
s2 Q s  s Q s   20 Q s  Q0 s 
L
L
(3.58)
Umformen ergibt die Spektralfunktion, mit:
bg
~
Q s  Q0
s  RL
.
s  s RL   20
(3.59)
2
Umkehrtransformation:
bg
Q t  Q0
z
s  RL
ds st
.
e 2
s0 i 2i
s  s RL   20
s0 i
(3.60)
Der Integrand hat Polstellen erster Ordnung in s1,2=-R/2L±i  für die folgenden Fälle:
b g

Unterkritisch gedämpfter Kreis, mit    20 

Kritisch gedämpfter Kreis, mit R   0    0 .
2L

Überkritisch gedämpfter Kreis, mit   i
R 2
2L
(3.61)
(3.62)
b g 
R 2
2L
.
2
0
.
(3.63)
Von Bedeutung in diesem Kontext ist zunächst der unterkritisch gedämpfte Kreis, mit den Bedingungen:
 20 
FG R IJ
H 2LK
   20 
2
b g
R 2
2L
Für das komplexe Integral in der Inversionsformel gilt:
z
s  RL
ds st
e 2

s0 i 2i
s  s RL   20
s0 i
z
s  RL
ds st
e
s0 i 2i
s  s1 s  s2
s0 i
b
gb
g
; mit s1,2  
Anwendung des Residuensatzes ergibt:
z
s  RL
ds st
e 2

C 2i
s  s RL   20
z
s  RL
ds st
e
C 2i
s  s1 s  s2
b
gb
g
RS
UV
s
s

s
s

s
b
gb
g
T
W
R
L
  Res e st
1
 e s1t
b
e
 2RL t
e
 2RL t
2
s1 
s 
 e s2 t 2
s1  s2
s2  s1
R
L
g
b
R
L
s  s1 , s2
g
RS c
c
h
T
RScosbt g  R sinbt gUV
2L
T
W
1 it
R
e  e it 
eit  e  it
2
4iL
hUVW
R
 i .
2L
Ferner gilt:
z
s  RL
ds st
e 2

C 2i
s  s RL   20
z
r
s  RL
ds st
e 2
+
2i s  s RL   20
z
 ir
-ir
s  RL
ds st
.
e 2
2i s  s RL   20
Das Jourdansche Lemma besagt, dass für den Grenzübergang r→+∞ das Integral über den Halbkreis r
verschwindet. Folglich gilt:
z
RS b g
T
s  RL
ds st
R
Rt
e 2
 e 2 L cos t 
sin t
s0 i 2i
s  s RL   20
2L
s0 i
b
gUVW .
(3.64)
Einsetzen ergibt:
bg
Q t  Q0e
 2RL t
RScosbt g  R sinbt gUV .
2L
T
W
(3.65)
Wegen Q=CU ergibt sich die Spannung am Kondensator C als Funktion der Zeit:
bg
U t  U 0e
 2RL t
RScosbt g  R sinbt gUV .
2L
T
W
(3.66)
Für den idealen Schwingkreis ist R=0 und es ergibt sich:
bg
b g
U t  U 0 cos  0t .
(3.67)
Differentiation von Gleichung (4) ergibt die Stromstärke im Kreis als Funktion der Zeit:
bg
FG b g
H
sinbt g
b gIJK  2RL CU e FGH cosbt g  2RL sinbt gIJK
R
 Rt
Q t  CU 0e 2 L sin t 
cos t
2L
  20 CU 0e
 2RL t
 2RL t
0

Wegen 02=1/LC ergibt sich für die Stromstärke im Resonanzkreis:
Stromstärke im Kreis:
U Rt
I t  0 e 2 L sin t .
L
bg
b g
(3.68)
Bei relativ großen Kapazitäten und Ladespannungen, können entsprechend hohe Spitzenimpulsströme in der
Größenordnung von I~CU0 auftreten. Für die Stromanstiegsrate im Kreis gilt:
bg
FG b g
H
b gIJK .
U Rt
R
I t  0 e 2 L cos t 
sin t
L
2L
(3.69)
Im Gegensatz zur maximalen Spitzenimpulsstromstärke, erreicht die Stromanstiegsrate unmittelbar nach dem
Einschalten des Kreises ihren Maximalwert. Für die aktiven Bauelemente stellt dies eine extreme Belastung dar,
die bei der Konzeption einer solchen Schaltung berücksichtigt werden muss.
Als Abschätzung lassen sich einige Näherungen für den Spitzenimpulsstrom und die maximale
Stromanstiegsrate im Kreis angeben. Unter der Voraussetzung dass R<<2 L ist, ergibt sich für die
Schwingfrequenz die Bedingung 2~ 02 und wegen 02=1/LC ergibt sich:
I max   0CU 0

C
U0
LC

C
U0
L
Analog dazu ist die maximale Stromanstiegsrate gegeben durch:
Imax   20 CU 0
U
 0
L
Die Ergebnisse bilden für die praktische Anwendung und Auslegung des Schaltungsentwurfs wichtige
Richtlinien. In der Regel sind die Ladespannung, sowie die Kondensatorkapazität und die Eigeninduktivität des
zugehörigen Kreises vorgegeben bzw. bekannt. Daraus ergeben sich sofort die maximal möglichen Werte für
den Impulsstrom und dessen Anstiegsrate. Das für die Schaltung vorgesehene aktive Bauelement lässt sich dann
auf Grund dieser Vorgaben aussuchen.
Maximaler Spitzenstrom und Anstiegsrate im Kreis:
C
I max 
U0
L
U
Imax  0
L
(3.70)
Neben der Dynamik der elektrischen Größen ist die Leistung im Kreis und die durch ohmsche Verluste
dissipierte Energie von Bedeutung. Bildet nun das Produkt aus Spannung und Strom im Kreis, dann ergibt sich:
bg bgbg
U
R
F
I

e G sinbt g cosbt g 
sin bt gJ
H
K
L
2L
FF R I
I
U
2R

e G G J sin bt g 
cosbt g sinbt gJ
H
K
2R
L
H L
K
W t  U t I t
2
0
 RL t
2
0
 RL t
2
2
2
Der erste Term ist stets positiv und wird als Wirkleistung bezeichnet, während der zweite Term mit periodisch
alternierendem Vorzeichen die Blindleistung ist. Das Produkt UI heißt Scheinleistung.
Wirkleistung im Resonanzkreis:
bg
PW t 
FG IJ
H K
U 02  RL t R
e
2R
L
2
b g
sin 2 t .
(3.71)
Blindleistung im Resonanzkreis:
bg
QB t 
b g b g
U 02  RL t
e sin t cos t .
L
Integration der Scheinleistung ergibt die im Kreis dissipierte Energie WDiss, mit:
(3.72)
z
bgbg
U F RI

G J dte
2 R H L K z
WDiss 

0
dtU t I t
2
2
0

 RL t
0

U 02
1
4 L  2  2RL

U 02
2 20 L

1
CU 02
2
b g
2

b g
sin 2 t 
U 02
1
4 L  2  2RL
b g
U 02
L
z

0
dte
 RL t
b g b g
sin t cos t
2
Wie aus dem Prinzip der Energieerhaltung zu erwarten, entspricht die im Kreis dissipierte Energie der im
Kondensator zum Zeitpunkt t=0 gespeicherten Energie.
Im Resonanzkreis dissipierte Energie:
WDiss 
1
CU 02 .
2
(3.73)
Eine weitere sehr wichtige Größe ist die so genannte Güte des Resonanzkreises, die definiert ist als das 2 -fache
des Verhältnisses aus der maximal gespeicherten Energie und der bei der Resonanzfrequenz 0 pro Zyklus
=2/  dissipierten Energie. Für den Resonanzkreis gilt:
Definition: Güte.
W
Q:  2 max .

WDiss 0
(3.74)
Der Ausdruck lässt sich umformen:
Q  2

LI 2
RI 2  20
1
2
1
2
0L
R
Folglich gilt:
Q
0L .
(3.75)
R
Ein sehr niedriger ohmscher Widerstand
Anwendungsgebiete von Schwingkreisen sind:

HF-Sender

Frequenzfilter

Resonanztransformatoren

Plasmaanregung
bedingt
demnach
eine
entsprechend
hohe
Kreisgüte.
3.6.1
Sinusförmige Anregung eines Resonanzkreises
Bei der sinusförmigen Anregung von Schwingkreisen treten im Resonanzfall, wenn die Anregungsfrequenz 
mit der Eigenfrequenz 0 des Systems übereinstimmt, einige Besonderheiten auf, die für Anwendungen als
Frequenzfilter von Bedeutung sind.
Abb. 2: Schwingkreis als Frequenzfilter.
Die Eingangsspannung ist sinusförmig und der Kondensator und die Spule stellen für die Quelle einen
Blindwiderstand dar. Es gilt:
1
iC
1
 R  i L 
C
Z  R  iL 
FG
H
IJ
K
Mit 02=1/LC lässt sich die Eingangsimpedanz umschreiben als:
F FG  IJ I
GH H  K JK
2
Z  R  iL 1 
I
0
Ue
Z
 Ue
1
R  iLFH 1  d i IK
0 2

F R  iLF1  FG  IJ I I
G
GH H  K JK JK
  L FH 1  d i IK H
2
1
 Ue
R2
2
0
0 2

2
2
Die Ausgangsspannung ist:
U a  IR
 Ue
R
Z
Folglich gilt für die Übertragungsfunktion:
bg
R2
bg
H 
F R  iLF1  FG  IJ I I
G
GH H  K JK JK
  L FH 1  d i IK H
2
R
H 
2
0
0 2

2
2
R
FH d i IK
R 2   2 L2 1 
0 2

2
Offensichtlich besitzt der Betrag der Übertragungsfunktion ein Maximum bei = 0. Es gilt dann:
b g
H 0  1
bg
Für    ist H b g  0
Für   0
ist H   0
Offensichtlich fungiert der Resonanzkreis als Frequenzfilter.
Die Halbleistungsfrequenz 1 und 2 ist definiert als Frequenz, für die die Übertragungsfunktion den folgenden
Betrag annimmt:
Definition: Halbleistungsfrequenz.
c h
1 .
2
H  1,2 
(3.76)
Für den Serienresonanzfilter sind die Halbleistungsfrequenzen gegeben durch:
1 
FG IJ
H K
F RI
G J
H 2LK
R
R
  20 
2L
2L
2  
R
  20
2L
2
(3.77)
2
Die Bandbreite des Filters ist definiert als die Differenz zwischen den Halbleistungsfrequenz
Definition: Bandbreite.
:  1   2 .
(3.78)
Für den Serienresonanzfilter gilt:


R
L
0
Q
Je größer die Güte des Resonanzfilters ist, umso schmaler ist die Bandbreite des Filters.
Abb. 3: Frequenzverhalten der Übertragungsfunktion für den Serienresonanzfilter.
Die Phasenverschiebung
Übertragungsfunktion:
zwischen
Eingangssignal
und
Ausgangssignal
ergibt
sich
aus
der
bg bg bg
bb g
tan  
ab g
L F F  I I

1 G J
R GH H  K JK
F L F F  I I I
 b g   arctanG G 1  G J J J
H R H H  K KK
H   a   ib 
2
0
2
0
Für = 0 sind Eingangs- und Ausgangsspannung in Phase.
b g 2

 b g  
2
lim 0   
lim 
Beispiel: Blindleistungskompensation.
Zielsetzung bei der Blindleistungskompensation ist es, den Anteil des Blindstroms beim Verbraucher zu
reduzieren. Aufgrund der periodischen Natur der Blindleistung (sie pendelt während einer Periode zwischen
Erzeuger und Verbraucher) kann sie nicht in andere Energieformen umgewandelt werden. Allerdings führt ein
Mehrbedarf an Blindleistung zu einer stärkeren Belastung des Stromversorgungsnetzes und der Erzeugeranlagen.
Dieser Mehrbedarf an Blindleistung wird Großkunden zusätzlich berechnet. Ein Großkunde besitzt somit ein
Interesse daran, seinen Bedarf an Blindleistung zu drosseln. Dieser Bedarf ist oft sehr groß, da Industrieanlagen
mit Fließbändern, Maschinen, Produktionsmittel, etc. im hohen Maße induktive Lasten darstellen.
Abb. 4: Zur Blindleistungskompensation.
Um den Blindstromanteil, der durch i L verursacht wird zu reduzieren, wird eine geeignete Kapazität in Reihe
geschaltet, um eine Resonanz des Systems mit der 50Hz Netzfrequenz herzustellen.
iL 
i
1
 0 ; für  2 
C
LC
Dadurch ergibt sich eine annähernd reelle Last mit einer entsprechend reduzierten Blindleistung. Man sagt, die
Blindleistung wird kompensiert.