Kurz-Skript Analysis III

Für alle Komilitonen
Mitschrift
der Vorlesung
Vektoranalysis und Mannigfaltigkeiten“
”
oder: Analysis auf Mannigfaltigkeiten“
”
gehalten von
Dr. habil. Margarita Kraus
an der Johannes Gutenberg-Universität Mainz
im SS 2008
Kurz-Skript Analysis III
LATEX:
Benjamin Mueller (Layout: Patrick Saul)
Danke an:
Nadja Klein, Sebastian Steiber, Daniel Patejdl
··
^
Stand: 24. August 2008
Anmerkungen, Verbesserungsvorschläge und Kritik bitte an:
[email protected]
Neuere Versionen:
www.students.uni-mainz.de/benmuell
Skript nun komplett.
Alle Angaben ohne Gewähr.
Inhaltsverzeichnis
1
2
Kurven im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1
Definition: Weg, Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4
Definition: Bahn, Orientierung, Diffeomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6
Definition: orientierte Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9
Def.: parametr. Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.11
Def.: Bogenlänge + Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.14
Def.: Tangentiale Einheitsvektoren/Räume/Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.16
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.17
Def.: Kurvenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.18
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.20
Def.: Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.21
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.22
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.23
Lemma und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.24
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1
Def.: Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3
Def.: Innerer Punkt, Umgebung, Häufungs-, Randpunkt . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5
Def.: Konvergente Folgen in top. Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7
Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8
Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9
Def.: Hausdorffsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.11
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.12
Def.: Teilraumtopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.14
Def.: Produkttopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.15
Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.16
Def.: X/ ∼ -Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.18
Def.: Basis einer Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.21
Def.: Stetigkeit in topologischen Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.22
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2
3
3
4
Inhaltsverzeichnis
3
2.24
Def.: Folgenstetig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.26
Def.: Kompaktheit in topologischen Räumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.28
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.29
Def.: Homöomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.30
Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.31
Def.: Folgenkompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.32
Satz: stetige Bijektion ⇒ Homöomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1
Erinnerung (Dr. habil. T.Weth, AmV Def. 14.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3
Def.: lokal euklidische top. Räume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5
Def.: Atlanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6
Def.: Mannigfaltigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.9
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.10
Beispiel und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.13
Def.: Flachmacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.14
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.16
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.17
Def.: Differenzierbarkeit in Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.18
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.19
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.20
Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.21
Satz vom regulären Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Der Tangentialraum und das Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2
Definition und Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.5
Lemma und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.6
Notiz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.7
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.8
Def.: Koordinatenbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.9
Def. Das Tangetialbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.11
Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.12
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.14
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.16
Def.: Das Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.17
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.18
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.20
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4
5
6
Inhaltsverzeichnis
4
4.21
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.22
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.25
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.26
Def.: Koordinatenbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.27
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.28
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.29
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Multilineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1
Def.: k-lineare Abbildung (multilinear) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.3
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.4
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.5
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.7
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.8
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.9
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.10
Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.11
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.12
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.13
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.14
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.17
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.19
Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.20
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.21
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.23
Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.25
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.26
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.27
Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.28
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Differentialformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.1
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.3
Notiz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.4
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.5
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.6
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.8
Def.: Orientierung auf MF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.9
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.11
Def.: Normalenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5
7
8
9
Inhaltsverzeichnis
5
6.13
Satz: Umf. orientierbar ⇔ ∃ stetiges Normalenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.14
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.15
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.17
Def.: Riemannsche Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.19
Def.: Isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.21
Def.: Volumenform auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.23
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.24
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.25
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Integration von Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.1
Def.: Messbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.3
Def.: Integriebarkeit von n-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.5
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.6
Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.7
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Mannigfaltigkeiten mit Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.1
Definition und Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.3
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.5
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.6
Def.: ’berandet’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.8
Def.: Randpunkt, Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.10
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.11
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.12
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.13
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.14
Def.: Ordentlich berandet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.15
Notiz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.16
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.17
Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Die Cartansche Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9.1
Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9.2
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9.3
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.4
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6
Inhaltsverzeichnis
6
10 Der Satz von Stokes und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.1
Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.2
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.3
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.4
Korollar: Der Satz von Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.7
Korollar: Klassischer Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10.8
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10.9
Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10.10 Def.: Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10.12 Def.: Zusammenziehbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10.14 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10.16 Satz vom Igel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11 Zerlegung der Einheit und Beweis des Satzes von Stokes . . . . . . . . . . 47
11.1
Spezialfall des Satzes von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11.2
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11.3
Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11.5
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12 Die de Rham Komologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.1
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.2
Satz (Monodromie Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.3
Korollar (Poincaré Lemma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.4
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.5
Korollar (Stammformel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
12.6
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
12.8
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
13 Krümmung von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
13.1
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
13.2
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
13.4
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
13.5
Definition und Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
13.7
Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
13.8
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
13.9
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13.11 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13.12 Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7
Inhaltsverzeichnis
7
14 Krümmungen von 2-dim. Flächen im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
14.1
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
14.2
Korollar und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
14.3
Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
14.4
Lemma und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14.5
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14.7
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14.8
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
15 Das Theorema Egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15.1
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15.2
Theorema Egregium (Gauß) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15.3
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15.4
Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15.5
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15.6
Notiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15.7
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15.8
Strukturgleichungen der Flächentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
15.9
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
15.10 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
16 Die Totalkrümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
16.1
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
16.2
Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
16.3
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
16.4
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
16.5
Lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
16.7
Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
16.8
Proposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
16.10 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
16.11 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
16.12 Definition und Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
§ 1 Kurven im Rn
1.1 Definitionen
- Unter einer C k -parametrisierten Kurve in V versteht man eine C k -differenzierbare
Abbildung.
- Unter einer parametrisierten Kurve versteht man eine C ∞ -differenzierbare Abbildung.
- Eine C 1 -parametrisierte Kurve heißt regulär, wenn
d
γ(t)
dt
= γ̇(t) 6= 0 für alle
t ∈ I gilt.
1.4 Definition
a) Sei γ : I → V eine regulär parametrisierte Kurve. Unter einer Parametertransformation versteht man eine diffbare Abbildung ϕ : J → I, so dass ϕ bijektiv
und ϕ−1 diffbar ist (also ist ϕ : J → I ein Diffeomorphismus).
γ̃ = γ ◦ ϕ : J → V heißt dann eine Umparametrisierung von γ. Ist ϕ̇(t) > 0 für
ein t ∈ J (und damit alle t ∈ J), so heißt ϕ orientierungserhaltende Parametertransformation, andernfalls heißt ϕ orientierungsumkehrend.
1.6 Definition und Notiz
Zwei regulär parametrisierte Kurven heißen äquivalent, wenn die eine eine Umparametrisierung der anderen ist.
(γ1 : I → V ) ∼ (γ2 : J → V ) ⇔ ∃ ϕ : J → I Diffeomorphismus, γ2 = γ1 ◦ ϕ
Sie heißen orientiert äquivalent, wenn die Umparametrisierung orientierungserhaltend
ist. Dadurch ist in beiden fällen eine Äquivalenzrelation auf den regulär parametrisierten Kurven gegeben, d. h. es gilt: γ ∼or γ, γ1 ∼or γ2 ⇒ γ2 ∼or γ1 , γ1 ∼or γ2 ,
γ2 ∼or γ3 ⇒ γ1 ∼or γ3
Wir bezeichnen die Äquivalenzklassen als (orientierte) Kurven.
1.8 Notiz
Ist γ ∼ γ 0 , so ist Bild(γ) = Bild(γ 0 ) aber aus Bild(γ) = Bild(γ 0 ) folgt nicht γ ∼ γ 0 .
8
Kurven im Rn
9
9
1.9 Definition
Eine parametrisierte Kurve heißt auf Bogenlänge parametrisiert, falls kγ̇(t)k = 1 für
alle t ∈ I gilt.
1.10 Lemma
Jede regulär parametrisierte Kurve kann auf Bogenlänge umparametrisiert werden, so
dass die Umparametrisierung orientierungserhaltend ist, d. h. für jede orientierte Kurve
[γ]or gibt es einen Repräsentanten γ : I → V der auf Bogenlänge parametrisiert ist.
Sind γ1 ∼or γ2 beide auf Bogenlänge parametrisiert, so ist γ1 (t) = γ2 (t + t0 ) für alle
t ∈ I1 , und I2 = {t + t0 ∈ R | t ∈ I1 }
1.11 Definition und Lemma
Ist γ : (a, b) → V eine parametrisierte Kurve, so ist
Zb
kγ̇(t)kdt
L(γ) =
a
die Länge von γ. Ist γ regulär parametrisiert, so ist die Länge invariant unter Umparametrisierungen, d. h. die Länge einer Kurve ist ebenfalls durch (∗) wohldefiniert.
Ist γ : [a, b] → V auf Bogenlänge parametrisiert, so ist L(γ) = b − a. Ist γ eine
stückweise C k -parametrisierte Kurve, so ist L(γ) als die Summe der Längen der parametrisierten Kurven γ|[ti ,ti+1 ] definiert.
1.14 Definitionen
Sei γ : I → V eine regulär parametrisierte Kurve, so heißt
- γ̇(t) der Geschwindigkeitsvektor von γ an der Stelle t,
- T (t) :=
γ̇(t)
kγ̇(t)k
der positiv orientierte tangentiale Einheitsvektor an der Stelle t.
- Tt γ := {γ(t)} × R γ̇(t) heißt der Tangentialraum an γ an der Stelle t.
- v ∈ Tt γ heißt Tangentialvektor an der Stelle t. Ist γ injektiv, so schreibt man
auch Tγ(t) γ statt Tt γ.
- Die Tangente von γ an der Stelle t ist durch τt γ = γ(t) + R γ̇(t) = γ(t) + Tt γ
gegeben.
Kurven im Rn
10
-
S
10
Tt γ heißt das Tangentialbündel von γ.
t∈I
- Eine differenzierbare Abbildung v : I → V heißt Vektorfeld längs γ. v heißt
tangential an γ, falls γ(t), v(t) ∈ Tt γ.
- Das tangentiale Vektorfeld: I → V, t 7→ T (t) heißt positiv orientiertes tangentiales Einheitsfeld.
1.16 Notiz
Ist γ̃ = γ ◦ ϕ eine Umparametrisierung von γ, so ist Ts γ̃ = Tϕ(s) γ,
˙
˙
denn γ̃(t)
= γ̇ ϕ(t) ϕ̇(t), also R γ̃(t)
= R γ̇ ϕ(t) und τt γ̃ = τϕ(t) γ.
Für injektive Kurven γ ist also τγ(t) γ und Tγ(t) γ wohldefiniert.
Für injektive orientierte Kurven ist zusätzlich das pos. orientierte tangentiale Einheitsfeld wohldefiniert.
1.17 Definition und Notiz
Sei [γ : [a, b] → V ] eine Kurve, γ [a, b] ⊆ U ⊆ V offen.
a) Sei f : U → R stetig, dann ist
Zb
Z
f=
γ
f γ(t) kγ̇(t)kdt
a
Z
wohldefiniert, d. h.
Z
f=
γ◦ϕ
f für jede Parametertransformation ϕ
γ
b) Ist [γ] zusätzlich orientiert, so ist für stetiges v : U → Rk wobei k = dim V (V =
Rk )
Z
vd~r ≡
γ
Zb
Z
vd~s ≡
γ
< v γ(t) , γ̇(t) > dt
a
Z
wohldefiniert, d. h.
Z
vd~r =
γ
vd~r.
γ◦ϕ
Kurven im Rn
11
11
1.18 Korollar
Ist f : U → R eine C 1 -Abbildung, dann ist ∇f : U → Rk eine stetige Abbildung und
Zb
Z
∇f d~r =
γ
Kettenregel
< ∇f γ(t) , γ̇(t) > dt =
a
Zb
d
(f ◦γ)(t)dt = f γ(b) −f γ(a)
dt
a
I
Z
∇f d~r ≡
Insbesondere falls γ(a) = γ(b) ist
γ
∇f d~r = 0
γ
1.20 Definition
Unter einer stetigen (bzw. diffbaren) Rm -wertigen 1-Form auf eine offene Teilmenge
W ⊆ Rn verstehen wir eine stetige (bzw. diffbare) Abbildung W → Hom(Rn , Rm )
Die Menge der C ∞ -diffbaren Rm -wertigen 1-Formen bezeichnet man mit Ω1 (W, Rm ).
Man spricht von Differentialformen. Für m = 1 schreibt man Hom(Rn , R) = Rn∗ und
Ω1 (W, R) = Ω1 (W )
Ist w : W → Hom(Rn , Rm ) eine 1-Form, so verwenden wir die Notation
w(x)
| {z }
n
(v) ≡
{z
∈Rm
(v)
m
∈Hom(R ,R )
∈Hom(R ,R )
|
wx
|{z}
n
m
}
1.21 Notation
Auf Rn sind durch
dxi : Rn → Rn∗ , x 7→ (0, . . . , 1, . . . , 0), i = 1, . . . , n
Differentialformen gegeben. (Für n = 2 bzw. n = 3 werden sie auch mit dx dy dz
bezeichnet)
1.22 Beispiele
a) Ist v : Rn → Rn ein stetiges Vektorfeld auf Rn (d .h eine stetige Abbildung),
so ist durch T v ≡ v b : Rn → Rn∗ , x 7→ < v(x), · > =
T
v(x) eine 1-Form auf Rn
definiert. (Vorteil von Ω1 (Rn ) statt diffbares VF: Verallgemeinerung auf Ωk (Rn )
für k ∈ N später)
b) Ist f ∈ C ∞ (Rn ), so ist df ∈ Ω1 (Rn ).
Es ist dann df (x) =
∂f
∂f
(x), . . . , ∂x
(x)
∂x1
n
=
∂f
(x)dx1
∂x1
+ ··· +
∂f
(x)dxn
∂xn
Kurven im Rn
12
12
1.23 Lemma und Definition
Ist w ∈ Ω1 (W, Rk ), W ⊆ Rn offen, γ : I → W eine orientierte Kurve, so ist
Zb
Z
w :=
γ
wγ(t) γ̇(t) dt
a
wohldefiniert
1.24 Beispiele
a)
Z2π
Z
ydx =
γ
sin t(1, 0)
0
für γ : [0, 2π] → R2 , γ(t) =
− sin t
cos t
cos t
sin t
Z2π
!
dt = −
0
sin2 tdt = −π
§ 2 Topologische Räume
2.1 Definition
Sei X eine Menge. T ⊆ P(X) (Potenzmenge) von Teilmengen von X. Dann heißt T
eine Topologie auf X falls gilt
(i) ∅, X ∈ T
(ii) Ist U ∈ T , V ∈ T so ist U ∩ V ∈ T
S
(iii) Ist (Ui )i∈I , Ui ∈ T , so ist
Ui ∈ T
i∈I
Die Menge U ∈ T heißen dann die offenen Mengen in X
2.2 Beispiele
Sei X eine Menge, T = (∅, X), dann ist T eine Topologie auf X, die sogenannte
Klumpentopologie. Wir werden sehen, dass diese Topologie nicht durch eine Metrik
gegeben ist
2.3 Definition
Sei (X, T ) ein topologischer Raum.
a) A ⊆ X heißt abgeschlossen ⇔ X \ A offen ist
b) p ∈ X heißt innerer Punkt von A ⊆ X, wenn es eine offene Teilmenge U ⊆ X
gibt, mit p ∈ U ⊆ A
Å bezeichnet die Menge der inneren Punkte von A
c) Sei p ∈ X, U ⊆ X heißt Umgebung von p, falls p ∈ Ů ist
d) Sei A ⊆ X, x ∈ X heißt Häufungspunkt von A ⇔ für jede Umgebung U von x
gilt: U ∩ A 6= ∅
e) Sei A ⊆ X, x ∈ X heißt Randpunkt von A ⇔ Für jede Umgebung U von X gilt
U ∩ A 6= ∅ ∧ U ∩ (X \ A) 6= ∅
Die Menge der Randpunkte bezeichnet man mit ∂A = {x ∈ X | x Randpunkt von A}
A := A ∪ ∂A heißt der Abschluss von A
13
14
Topologische Räume
14
2.5 Definition
Eine Folge (an )n≥1 in einem topologischen Raum (X, T ) konvergiert gegen a ∈ X ⇔
Für jede Umgebung U von a gibt es ein N ∈ N, so dass an ∈ U für alle n > N
2.7 Bemerkung
Nicht definiert auf topologische Räume ist der Begriff beschränkt“.
”
2.8 Bemerkung
In einem top. Raum gilt nicht notwendigerweise, dass der Grenzwert einer Folge eindeutig ist, d. h. es gibt eventuell a, b ∈ X, a 6= b, so dass an nach a und b konvergiert.
Beispiel : Sei (X, d) der Klumpenraum, (an )n∈N eine beliebige Folge in X. Sei a ∈ X
beliebig. Dann konvergiert an nach a, denn für jedes a ∈ X ist X die einzige Umgebung
von a
2.9 Definition
Ein top. Raum (X, T ) heißt hausdorffsch, wenn es zu x, y ∈ X mit x 6= y stets Umgebungen Ux , Uy von x und y gibt mit Ux ∩ Uy = ∅
2.11 Notiz
Ist (X, T ) hausdorffsch, so ist der Grenzwert einer Folge eindeutig bestimmt.
2.12 Definition
Sei (X, T ) ein top. Raum, A ⊆ X. Dann definiert man auf A eine Topologie durch
U ⊆ A offen ⇔ Es existiert ein Ũ ⊆ X offen, so dass U = A ∩ Ũ . Die so definierte
Topologie auf A heißt die Teilraumtopologie auf A
2.14 Definition und Notiz
Seien (X1 , T1 ) und (X2 , T2 ) topologische Räume.
Dann ist auf folgende Weise auf X1 × X2 eine Topologie, die Produkttopologie T1 × T2
definiert:
W ⊆ X1 × X2 heißt offen ⇔ Für alle (x, y) ∈ W existiert eine offene Umgebung Ux
von x in X1 und Uy von y in X2 mit Ux × Uy ⊆ W
15
Topologische Räume
15
2.15 Bemerkung
a) Ist (X, T ) hausdorffsch, A ⊆ X mit Teilraumtopologie versehen, so ist auch A
hausdorffsch
b) Sind (X1 , T1 ) und (X2 , T2 ) hausdorffsch, so ist auch (X1 ×X2 , T1 ×T2 ) hausdorffsch.
2.16 Definition und Notiz
Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Durch ∼ sei eine Äquivalenzrelation auf X gegeben.
Dann ist auf X/ ∼ auf folgende Weise eine Topologie definiert:
U ⊆ X/ ∼ heißt offen ⇔ π −1 (U ) ⊆ X ist offen, wobei π : X → X/ ∼ die kanonische
Projektion ist.
Ergänzung: X hausdorffsch ; X/ ∼ hausdorffsch
2.18 Definition
a) Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Unter einer Basis der Topologie T versteht
man eine Menge B von offenen Teilmengen, so dass jede Teilmenge U ∈ T die
S
Vereinigung von offenen Teilmengen Bλ ∈ B ist. U =
Bλ
λ∈Λ
b) X erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom oder ist 2-abzählbar, falls es eine abzählbare Basis der Topologie gibt.
2.21 Definition
Seien X und Y topologische Räume, f : X → Y heißt stetig bei a ∈ X, wenn für jede
Umgebung U von f (a) gilt f −1 (U ) ist Umgebung von a. f heißt stetig falls f stetig für
jedes a ∈ X ist
2.22 Lemma
f ist genau dann stetig, wenn für alle offenen Teilmengen U ⊆ Y gilt: f −1 (U ) ⊆ X ist
offen.
2.24 Definition
Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heißt folgenstetig bei
a ∈ X ⇔ für jede Folge (xn )n≥1 , xn ∈ X mit xn → a gilt: f (xn ) → f (a)
16
Topologische Räume
16
2.26 Definition
Ein topologischer Raum X heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von X eine
endliche Teilüberdeckung besitzt.
2.28 Lemma
Sei X ein topologischer Raum. Dann gilt:
(i) Ist K ⊆ X kompakt, A ⊆ K abgeschlossen ⇒ A kompakt
(ii) Ist K ⊆ X kompakt (X hausdorffsch) ⇒ K abgeschlossen
(iii) Ist K ⊆ X kompakt, f : X → Y stetig (Y hausdorffsch) ⇒ f (K) kompakt
2.29 Definition
Sei f : X → Y eine stetige bijektive Abbildung und f −1 : Y → X ebenfalls stetig,
dann heißt f ein Homöomorphismus
2.30 Bemerkung
Nicht jede stetige Bijektion ist ein Homöomorphismus.
2.31 Bemerkung und Definition
Ein topologischer Raum heißt folgenkompakt, falls jede Folge eine konvergente Teilfolge
besitzt. Für einen topologischen Raum X gilt: Ist X kompakt und erfüllt das zweite
Abzählbarkeitsaxiom, so ist X folgenkompakt.
2.32 Satz
Ist X kompakt und Y hausdorffsch, so ist jede stetige Bijektion f : X → Y ein
Homöomorphismus
§ 3 Mannigfaltigkeiten
3.1 Erinnerung (Dr. habil. T.Weth, AmV Def. 14.5)
M ⊆ Rn heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn ⇔ Für alle p ∈ M existiert
U 0 ⊆ Rk offen und ψ : U 0 → Rn stetig und 1 mal stetig diffbar mit:
(i) p ∈ U = ψ(U 0 ) ⊆ M
(ii) ψ : U 0 → U ist Bijektion und ψ −1 : U → U 0 ist stetig
(iii) Für alle x ∈ U 0 ist dψx ≡ (dψ)(x) ≡ Jψ (x) ∈ Hom(Rk , Rn ) injektiv
Tpunt M = dψx (Rk ), p = ψ(x), heißt der Tangentialraum der Untermannigfaltigkeit am Punkt p
3.3 Definition
Ein topologischer Raum M heißt lokal euklidisch der Dimension n, wenn es zu jedem
p ∈ M eine offene Umgebung U ⊆ M und einen Homöomorphismus h : U → U 0 auf
eine offene Teilmenge U 0 ⊆ Rn gibt.
(U, h) oder auch h heißt dann Kartenabbildung oder Koordinatenabbildung, ϕ = h−1
lokale Parametrisierung um p,
U heißt Karte oder Koordinatengebiet. Eine Familie von Karten (Uλ , hλ )λ∈Λ heißt Atlas
S
für M , falls
Uλ = M gilt. Sind h1 und h2 Karten für M , so heißt der Homöomorλ∈Λ
phismus
ω12 = h2 ◦ h−1
1 |h1 (U1 ∩U2 ) : h1 (U1 ∩ U2 ) → h2 (U1 ∩ U2 )
der Kartenwechsel
3.5 Definition
Sei M lokal euklidisch der Dimension n mit einem Atlas (Uλ , hλ ), dann sagt man die
Karten wechseln (C k -)differenzierbar, wenn alle Kartenwechsel ωij C k -Diffeomorphismen
sind.
Ein C k -differenzierbarer Atlas, ist ein Atlas, dessen Kartenwechsel ωij alle C k -differenzierbar
sind.
17
18
Mannigfaltigkeiten
18
Atlanten A und B heißen äquivalent, wenn die Kartenwechsel der Karten von A mit
den Karten aus B wieder C k -Diffeomorphismen sind. Offenbar ist dann A ∪ B =
{(Uλ , hλ ) | (Uλ , hλ ) ∈ A oder (Uλ , hλ ) ∈ B} wieder ein C k -differenzierbarer Atlas.
Unter einer C k -differenzierbaren Struktur versteht man einen maximalen C k -differenzierbaren
Atlas.
3.6 Definition
Unter einer n-dimensionalen C k -differenzierbaren Mannigfaltigkeit versteht man einen
topologischen Raum, der hausdorffsch ist und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt,
zusammen mit einer C k -differenzierbaren Struktur.
3.9 Beispiele
Ist M eine diffbare Mf. der Dimension n, Ω ⊆ M eine offene Teilmenge, dann ist Ω
eine diffbare Mf. der Dimension n.
3.10 Beispiel und Notiz
Sind M und N Mf. der Dimension m und n, dann ist M × N (vgl. 2.14) eine Mf. der
Dimension m + n.
3.13 Definition
Sei M eine n-dimensionale Mf., M0 ⊆ M heißt eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von M , wenn um jedes p ∈ M0 eine Karte (W, H) von M existiert, so dass
∼
H(W ∩ M0 ) = (Rk ×{0}) ∩ W 0 ist, wobei H : W → W 0 . H heißt dann Flachmacher
oder Untermannigfaltigkeitskarte für M0 um p ∈ M0
3.14 Notiz
Ist M0 ⊆ M eine k-dimensionale Umf. von M , so ist M0 eine k-dimensionale Mf. Ist
nämlich (W, H) eine Umf.-Karte für M0 um p, so ist (W ∩ M0 , prk ◦H|W ∩M0 ), wobei
prk : Rn → Rk die Projektion auf die ersten k Koordinaten ist, eine Karte um p von
M0
3.16 Beispiele
Sei M, N Mf. Ist p ∈ N , so kann man M × {p} ⊆ M × N auffassen.
M × {p} ⊆ M × N ist Umf.
19
Mannigfaltigkeiten
19
3.17 Definition
0
a) Sei M eine n-dimensionale C r -diffbare Mannigfaltigkeit. f : M → Rk heißt C r differenzierbar (r0 > r) bei p ∈ M , wenn für eine (dann jede) Karte (U, h) um p
gilt:
f˜ = f ◦ h−1 ist C r -differenzierbar bei h(p)
0
b) Sei M, N C r -diffbare Mf., f : M → N stetig, dann heißt f C r -diffbar bei p ∈ M
(r ≤ r0 ), wenn für ein (dann jedes) Paar von Karten (U, h) von M , p ∈ U , (V, k)
von N , f (p) ∈ V , f (U ) ⊆ V die Abbildung f˜ = k ◦ f ◦ h−1 C r -differenzierbar bei
h(p) ist.
c) f : M → N heißt C r -Diffeomorphismus, falls f bijektiv und f und f −1 r mal
diffbar sind und f : M → N heißt lokale Diffeomorphie bei p, falls es U ⊆ M
offen, p ∈ U , V ⊆ N offen, f (p) ∈ V gibt, sodass f |U : U → V ein Diffeomorphismus ist, heißt lokaler Diffeomorphismus, falls f für jedes p ∈ M ein lokaler
Diffeomorphismus bei p ist.
3.18 Notiz
Ist M eine diffbare Mf., (U, h) eine Karte für M , so ist h : U → U 0 ein Diffeomorphismus
3.19 Definition
Sei f : M → N eine diffbare Abb. zwischen diffbaren Mf. M und N , so ist für x ∈ M
rangx f ≡ rang f (x) := rang Jf˜(h(x))
wobei f˜ : k ◦ f ◦ h−1 für Karten wie in 3.17 b) wohldefiniert.
3.20 Satz
Ist f : M → N eine diffbare Abb. zwischen Mf. der Dimension n und ist rangp f = n,
so ist f lokaler Diffeomorphismus bei p.
3.21 Satz vom regulären Wert
Seien M, N diffbare Mf., f : M → N diffbar, p ∈ N regulärer Wert (d. h.
∀ q ∈ f −1 (p) :
rangq f = dim N ). Dann ist f −1 (p) ⊆ M eine Umf. von M der
Dimension dim M − dim N
§ 4 Der Tangentialraum und das Differential
4.2 Definition und Notation
Sei M eine diffbare Mf., p ∈ M
Kp (M ) = {α : (−ε, ε) → M diffbar, α(0) = p}
Seien α, β ∈ Kp (M ) also α(0) = β(0). Dann heißen α und β (tangential) äquivalent
(bei p), α ∼ β ⇔ für eine (dann jede) Karte (U, h) um p gilt: (h ◦ α)· (0) = (h ◦ β)· (0).
Die Äquivalenzklasse tangential äquivalenter Kurven bei p heißen (geometrisch definierte) Tangentialvektoren an p.
Tp M = Kp (M )/ ∼ heißt der Tangentialraum von M um p.
Ist vp = [α] ∈ Tp M mit α ∈ Kp (M ), so heißt α eine vp repräsentierende Kurve
4.3 Notiz
a) Ist M ⊆ RN eine Umf., so ist
Tp M → Tpunt M, [α] 7→ α̇(0)
eine wohldefinierte bijektive Abbildung, denn ist [α] = [β], so ist (h ◦ α)· (0) =
(h ◦ β)· (0) für eine bel. Karte h um p. Also ist α̇(0) = β̇(0), da h−1 = ψ injektives
Differential.
b) M ⊆ V offen, V ein VR. Dann ist
Tp M → V
[α] 7→ α̇(0)
[p + tv] ←[ v
eine bijektive Abbildung.
Wir werden oft Tp M = V “ schrieben
”
4.4 Notiz
Es gilt für alle p 6= p0 : Kp (M ) 6= Kp0 (M ), also gilt Tp M ∩ Tp0 M = ∅,
N
aber Tpunt M ∩ Tpunt
Umf.
0 M ⊇ {0}, falls M ⊆ R
20
21
Der Tangentialraum und das Differential
21
4.5 Lemma und Definition
Ist M eine n-dim. Mf., (U, h) eine Karte von M um p, ϕ = h−1 . Definiere
ϕ∗ : Rn → Tp M, v 7→ [γv,h ]
mit γv,h (t) = h−1 (h(p) + tv) und
h∗ : Tp M → Rn , [α] 7→ (h ◦ α)· (0)
Dies sind wohldefinierte bijektive Abbildungen, die offenbar zueinander invers sind.
4.6 Notiz und Definition
Auf Tp M eine VR-Struktur durch
[α] + λ[β] := ϕ∗ h∗ ([α]) + λh∗ ([β])
wohldefiniert, so dass h∗ und ϕ∗ Isomorphismen sind.
4.7 Notiz
Ist M ⊆ RN eine n-dim. Umf., so ist
j : Tp M → Tpunt M, [α] 7→ α̇(0)
ein Isomorphismus und das Diagramm
j
ϕ∗
Tp M → Tpunt M ← Rn → Tp M
kommutiert
4.8 Definition und Notiz
Ist M eine n-dim. diffbare Mf., p ∈ M , (U, h) eine Karte um p, so heißt
(h)
(h)
∂1 (p), . . . , ∂n(h) (p) mit ∂j (p) := ϕ∗ (ej ), ϕ = h−1 ,
die (durch (U, h) gegebene) Koordinatenbasis von Tp M . Ist klar von welcher Karte die
(h)
Rede ist, so schreibt man auch ∂j (p) statt ∂j (p)
4.9 Definition
S
T M = ˙ Tp M heißt das Tangentialbündel von M .
p∈M
22
Der Tangentialraum und das Differential
22
4.11 Definition und Notiz
Ist vp ∈ Tp M , p ∈ U ⊆ M offen, f : U → R diffbar und α eine vp repräsentierende
Kurve, so ist
d f ◦α
dt t=0
wohldefiniert und es gilt:
vp f :=
(i) (λvp + wp )f = λvp f + wp f , für vp , wp ∈ Tp M, λ ∈ R (linearität)
(ii) vp (f · g) = (vp f )g(p) + f (p)(vp g) (Derivations Eigenschaft), wobei f, g : U → R
diffbar.
vp f heißt Richtungsableitung von f in Richtung vp
4.12 Lemma
Ist f : M → R diffbar, p ∈ M , (U, h) Karte um p, so ist
(h)
Def.v.∂i (p) d ∂
(h)
=
( f ◦ h−1 )(h(p))
∂i (p) f
f (h−1 (h(p) + tei )) =
| {z }
dt t=0
∂xi | {z }
Rn ⊇U 0 →R
∈Tp M
4.14 Definition
Ein Vektorfeld auf M ist eine Abbildung v : M → T M mit v(x) ∈ Tx M . Ein Vektorfeld
v heißt stetig (differenzierbar) an der Stelle p ∈ M , wenn die durch
v(p) =
n
X
(h)
ai (p)∂i (p)
i=0
gegebene Komponentenfunktion, mit a1 , . . . , an : U → R bezüglich einer (und dann
jeder) Karte (U, h) um p, stetig (bzw. diffbar) sind.
4.16 Definition
Ist f : M → N eine bei p ∈ M diffbare Abbildung zwischen zwei diffbaren Mf., so ist
das Differential von f an der Stelle p durch
dfp : Tp M → Tf (p) N, [α] 7→ [f ◦ α] gegeben.
Das Differential von f ist durch
df : M → End(T M, f ∗ T N ), x 7→ dfx ,
S
wobei End(T M, f ∗ T N ) =
End(Tx M, Tf (x) N ), gegeben.
x∈M
23
Der Tangentialraum und das Differential
23
4.17 Notiz
Ist f : M → Rk diffbar. Es gilt also für v = [α]
d für k=1
dfp (v) = f ◦ α = vp f
dt t=0
4.18 Notiz
Identifiziert man wieder für U 0 ⊆ Rn offen Th(p) U 0 = Rn , so gilt für die in 4.5 definierten
Abbildungen:
ϕ∗ : Rn → Tp M
v = [h(p) + tv] 7→ [h−1 (h(p) + tv)]
{z
}
|
γv,h
ist gegeben durch ϕ∗ = dϕh(p) , ϕ = h−1 und
h∗ : Tp M → Rn = Th(p) U 0
[α] 7→ (h ◦ α)· (0) = [h(p) + t(h ◦ α)· (0)] :
ist gegeben durch h∗ = dhp
4.20 Lemma
Sei f : M → N diffbar bei p ∈ M , (U, h) und (V, k) Karten um p und f (p) mit
f (U ) ⊆ V . Sei v = [α] ∈ Tp M und f˜ = k ◦ f ◦ h−1 −1
h(f
(V )∩U )
Dann gilt:
dkf (p) (dfp (v)) =
d d (k
◦
f
◦
α(t))
=
(f˜ ◦ h ◦ α(t)) = Jf˜(h(p))(h ◦ α)· (0)
dt t=0
dt t=0
also dkf (p) (v) = Jf˜(h(p))dhp (v)
4.21 Korollar
a) dfp ist linear für jedes p ∈ M
b) d(idM )p = idTp M
c) Es gilt die Kettenregel: Ist f : M → N diffbar bei p, g : N → L diffbar bei f (p),
so ist g ◦ f : M → L diffbar bei p und es gilt:
d(g ◦ f )p = dgf (p) ◦ dfp
24
Der Tangentialraum und das Differential
24
4.22 Lemma
Ist f : M → N diffbar, p ∈ N regulärer Wert und M0 = f −1 (p), so ist für q ∈ M0
Tq M0 = Kern dfq
4.25 Beispiel
Ist f : M → R diffbar, so ist durch
df : M →
d Hom(Tp M, Tf (p) R) = T ∗ M, x 7→ [α] → f ◦ α
dt t=0
| {z }
p∈M
[
=R
eine 1-Form gegeben.
4.26 Definition und Notiz
(h)
(h)
Ist (U, h) eine Karte um p ∈ M , h = (h1 , . . . , hn ), hi : U → R, so heißt dx1,p , . . . , dxn,p
(h)
(h)
mit dxi,p := dhi,p ≡ dxi (p) ≡ dxi (p) die Koordinatenbasis von Tp∗ M die durch h
gegeben ist.
(h)
(h)
Dies ist die zu ∂1 (p), . . . , ∂n (p) duale Basis, d.h. es gilt:

1 i = j
(h)
(h)
(dxi,p )(∂j,p ) = δij =
0 sonst
| {z }
∗
∈Tp M
(h)
(h)
Denn dxi,p (∂j,p ) =
d
h
dt t=0 i
h−1 (h(p) + tej ) =
d
dt t=0
pri (h(p) + tej ) = δij
wobei pri die Projektion auf die i-te Komponente ist.
4.27 Beispiel
Ist M = Rn , h = id ⇒ dxi (p) = (0, . . . , 1, . . . , 0) ∈ Rn∗
4.28 Definition
Eine 1-Form ω heißt stetig (bzw. differenzierbar) (bei p), wenn für eine (dann jede)
Karte (U, h) um p gilt, dass die durch
ωp =
X
(h)
ωi (p)dxi (p)
gegebenen Komponentenfunktionen ωi : U → R stetig (bzw. diffbar) (bei p) sind.
Die C ∞ -diffbaren 1-Formen nennt man 1-Differentialformen, den Raum aller 1-Differentialformen
bezeichnet man mit Ω1 M .
25
Der Tangentialraum und das Differential
4.29 Lemma
Ist f : M → R eine C ∞ -diffbare Funktion, so ist df ∈ Ω1 (M ) und es gilt
dfp =
n
X
i=1
(∂i,p f )dxi,p
25
§ 5 Multilineare Abbildungen
5.1 Definition
Eine k-lineare Abbildung (multilineare Abbildung) ist eine Abbildung
α:V
· · × V} → W
| × ·{z
k-mal
wobei W ein R-VR ist, so dass gilt
α(v1 , . . . , λvi + µvi , . . . , vk ) = λα(v1 , . . . , vi , . . . , vk ) + µα(v1 , . . . , vi , . . . , vk )
für alle i ∈ {1, . . . , k}, λ, µ ∈ R
Man bezeichnet die Menge der k-lin. Abb. mit Werten in W mit
Multk (V, W ) = ⊗k V ∗ ⊗ W
α ∈ Multk (V, W ) heißt symmetrisch, falls für i 6= j gilt:
α(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vk ) = α(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vk )
Man schreibt dann α ∈ Symk (V, W ).
α ∈ Multk (V, W ) heißt antisymmetrisch (oder schiefsymmetrisch/alternierend), falls
α(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vk ) = −α(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vk )
Man schreibt dann α ∈ Altk (V, W )
Für W = R schreibt man Multk (V, W ) = Multk (V ) ect.
⊕k Altk (V, W ) = Alt(V, W )
⊕k Symk (V, W ) = Sym(V, W )
5.3 Lemma
Für α ∈ Multk (V ) ist äquivalent:
(i) α ∈ Altk V , d.h. α(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vk ) = −α(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vk ) ∀i, j
(ii) α(v1 , . . . , vk ) = sgn(τ )α(vτ (1) , . . . , vτ (k) ) für v1 , . . . , vk ∈ V, τ ∈ S(k)
(iii) α(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vk ) = 0, falls vi = vj für ein i 6= j
(iv) α(v1 , . . . , vk ) = 0, falls {v1 , . . . , vk } linear abhängig
26
27
Multilineare Abbildungen
27
5.4 Korollar
Altk V = 0 falls k > n (wegen 5.3 (iv))
5.5 Definition
Sei α ∈ Multk (V ) und (e1 , . . . , en ) eine Basis von V . Sei I = (i1 , . . . , ik ) ∈ {1, . . . , n}k
ein Multiindex, so heißt
αI := α(ei1 , . . . , eik )
die I-te Komponente von α bezüglich der Basis e1 , . . . , en
5.7 Lemma
Durch
n
Φ : Altk V → R( k )
α 7→ (α(i1 ,...,ik ) )i1 <···<ik
ist ein Isomorphismus gegeben, wobei (e1 , . . . , en ) eine Basis von V ist. Φ heißt die
durch (e1 , . . . , en ) gegebener Basisisomorphismus.
5.8 Korollar
dim Altk V =
n
k
, also Altn V ∼
= R, dim Altk V = dim Altn−k V
5.9 Definition
Alt0 V := R
5.10 Definition und Notiz
Sei V ein VR der Dimension n, W ein VR der Dim r. Sei A : W → V eine lineare
Abbildung. Dann ist durch
A∗ : Altk V → Altk W
α 7→ A∗ α
mit (A∗ α)(w1 , . . . , wk ) = α(Aw1 , . . . , Awk ) eine lin. Abb. gegeben.
28
Multilineare Abbildungen
28
5.11 Notiz
Sind B : U → V, A : V → W lin. Abb. zwischen VR U, V, W , α ∈ Altk W , so ist
(A ◦ B)∗ α = B ∗ A∗ α ∈ Altk U
5.12 Beispiel
V = Rn , A ∈ M (n×n, R)
αA ∈ Mult2 (Rn ), αA (v, w) :=< v, Aw >, wobei < ·, · > Standardskalarprodukt
αA ∈ Alt2 (Rn ) ⇔
αA ∈ Sym2 (Rn ) ⇔
T
A = −A, denn < v, Aw >=< TAv, w >=< w, TAv >
T
A = A (A symmetrisch)
!
1
0
1
A : R3 → R2 , α = detR2 , A =
0 1 2
∗
1
0
(A α)(e1 , e2 ) = det 0 1 = 1
(A∗ α)(e1 , e3 ) = det 11 02 = 2
(A∗ α)(e2 , e3 ) = det 01 12 = −1


0 1 2


⇒ A∗ α = αB (vgl. 5.2 d)), B = −1 0 −1
−2 1
0
5.13 Lemma
Ist A ∈ End(V ), so ist für α ∈ Altn V ∼
= R, (A∗ α) = det Aα
5.14 Definition
Ist α ∈ Altk V, v ∈ V , so ist vyα ∈ Altk−1 V durch
(vyα)(v1 , . . . , vk−1 ) = α(v, v1 , . . . , vk−1 )
definiert (sprich v eingesetzt in α)
5.17 Definition
Ist α ∈ Altk V, β ∈ Altr V , so ist α ∧ β ∈ Altk+r V durch
(α ∧ β)(v1 , . . . , vk+r ) =
definiert.
1
k!r!
X
τ ∈S(k+r)
sgn(τ )α(vτ (1) , . . . , vτ (k) )β(vτ (k+1) , . . . , vτ (k+r) )
29
Multilineare Abbildungen
29
5.19 Satz
Seien ω, ω 0 ∈ Altr V, η ∈ Alts V, ξ ∈ Altk V . Dann gilt:
(a) ∧ ist schiefsymmetrisch, d. h.
ω ∧ η = (−1)rs η ∧ ω
(b) ∧ ist bilinear, also
(ω + ω 0 ) ∧ η = ω ∧ η + ω 0 ∧ η,
(λω) ∧ η = λ(ω ∧ η)
(c) ∧ ist assoziativ
(ω ∧ η) ∧ ξ = ω ∧ (η ∧ ξ)
(d) ∧ ist natürlich
A∗ (ω ∧ η) = A∗ ω ∧ A∗ η ∈ Altr+s W
wobei A ∈ Hom(V, W )
5.20 Notiz
Ist (e1 , . . . , en ) eine Basis von V , δ1 , . . . δn die dazu duale Basis von V ∗ (also δi (ej ) = δij ),
so gilt
(δµ1 ∧· · ·∧δµk )(eν1 , . . . , eνk ) =

0
falls {µ1 , . . . , µk } =
6 {ν1 , . . . , νk }, νi = νj für ein i 6= j
sgn(τ ) falls ν = τ (µ )
j
j
5.21 Korollar
Sei V ein m-dimensionaler VR mit Basis e1 , . . . , en . Sei δ1 , . . . , δn die dazu duale Basis.
Dann gilt
(a) (δµ1 ∧ · · · ∧ δµk )µ1 <···<µk ist eine Basis von Altk V
(b) Für ω ∈ Altk V gilt
X
ω=
ω(µ1 ,...,µk ) δµ1 ∧ · · · ∧ δµk
µ1 <···<µk
wobei ω(µ1 ,...,µk ) = ω(eµ1 , . . . , eµk ) die Komponenten von ω bezüglich eµ1 , . . . , eµk
sind.
30
Multilineare Abbildungen
30
5.23 Definition und Notiz
Auf der Menge aller Basen von V, B(V ) ist eine Äquivalenzrelation auf folgende Weise
gegeben:
(e1 , . . . , en ) ∼ (e01 , . . . , e0n ) ⇔ det A > 0
wobei A ∈ End(V ) durch Aei = e0i gegeben ist.
Auf diese Weise zerfällt B(V ) in 2 Äquivalenzklassen die wir die beiden Orientierungsmöglichkeiten von V nennen.
Die Auswahl einer Äquivalenzklasse or(V ) nennen wir eine Orientierung von V ,
(V, or(V )) nennen wie einen orientierten VR.
Eine Basis b ∈ or(V ) heißt dann positiv orientiert, ist b ∈
/ or(V ), so heißt b negativ
orientiert.
5.25 Notiz
Ist (e1 , . . . , en ) eine negativ orientierte Basis, so ist (e2 , e1 , e3 , . . . , en ) eine pos. or. Basis,
ebenso (−e1 , e2 , . . . , en )
5.26 Definition
Sind (V, or(V )), (W, or(W )) zwei n-dim. orientierte VR, so heißt ein Isomorphismus
A : V → W orientierungserhaltend, falls er eine (dann jede) pos. orientierte Basis
von V wieder in eine pos. orientierte Basis von W überführt, andernfalls heißt er
orientierungsumkehrend.
5.27 Definition und Notiz
Ist (V, or) eine n-dim. orientierter VR und sei < ·, · > ein Skalarprodukt auf V , dann
gibt es genau ein Element
det ≡ detV ≡ vol ∈ Altn V
das jede pos. or. Orthonormalbasis (ONB) den Wert 1 zuordnet.
vol ≡ det heißt dann kanonische Volumenform oder Determinante von V
5.28 Korollar
a) Ist (e1 , . . . , en ) eine pos. or. ONB von V , (δ1 , . . . , δn ) die dazu duale Basis, so ist
vol = δ1 ∧ · · · ∧ δn ∈ Altn V
b) Ist vol eine Volumenform auf V , so gilt für jede Basis e1 , . . . , en von V :
vol(e1 , . . . , en ) > 0 ⇔ (e1 , . . . , en ) ist pos. Orientiert
§ 6 Differentialformen
6.1 Definition
Sei M eine n-dim. Mf. Unter einer k-Form auf M versteht man eine Abbildung
S
ω : M → Altk T M =
Altk Tp M , mit ω(p) = ωp ∈ Altk (Tp M ).
p∈M
Ist ω eine k-Form auf M , η eine r-Form auf M , so ist eine (k + r)-Form auf M durch
(ω ∧ ν)p = ωp ∧ νp
gegeben.
6.3 Notiz und Definition
(h)
Ist M eine n-dim. Mf., (U, h) eine Karte für M , (dxi,p ≡ dxi,p )i=1,...,n ,die durch h
gegebene Koordinatenbasis von Alt1 Tp M = Tp∗ M für p ∈ U , dann ist
(dxµ1 p ∧ · · · ∧ dxµk p )µ1 <···<µk
eine Basis von Altk Tp M , die wir wieder die durch (U, h) gegebene Koordinatenbasis
nennen, gegeben.
Ist also ω eine k-Form auf M , so gibt es eindeutig bestimmte Funktionen
(h)
ωµ1 ,...,µk : U → R, so dass für p ∈ U gilt
X
ω(p) =
ωµ1 ,...,µk (p)dxµ1 ,p ∧ · · · ∧ dxµk ,p
µ1 <···<µk
(h)
ωµ1 ,...,µk ≡ ωµ1 ,...,µk heißen die durch (U, h) gegebene Komponenten(-Funktionen) von ω
(h)
(h)
Durch Einsetzen der zu dx1,p , . . . dxn,p dualen Koordinatenbasis von Tp M , (∂1 (p), . . . ∂n (p))
erhält man ωµ1 ,...,µk (p) = ωp (∂µ1 (p), . . . , ∂µk (p))
Eine k-Form ω heißt differenzierbar bei p ∈ M wenn für eine, dann alle, durch (U, h)
gegebenen Komponentenfunktionen ωµ1 ,...,µk bei p ∈ M differenzierbar sind,
Ist ω bei jedem p ∈ M differenzierbar, so heißt ω (k-)Differentialform auf M .
Der Vektorraum der k-Differentialformen bezeichnet man mit Ωk (M )
n
M
Ωk (M ) = Ω(M )
k=0
Wir setzen Ω0 (M ) = C ∞ (M )
31
32
Differentialformen
32
6.4 Definition
a) Ist ν ein Vektorfeld auf M , ω eine k-Form auf M , so ist νyω die (k − 1)-Form die
durch
(νyω)p = ν(p)yω(p) (= ω(p)(ν(p), . . . ))
definiert ist
b) Ist ω ∈ Ωk M, f : N → M eine differenzierbare Abbildung zwischen Mf., so ist
f ∗ ω ∈ Ωk N durch
(f ∗ ω)p (v1 , . . . , vk ) := ωf (p) dfp (v1 ), . . . , dfp (vk ) , vi ∈ Tp N,
definiert
6.5 Notiz
Sind ω ∈ Ωk M, η ∈ Ωr M , so ist
f ∗ ω ∧ f ∗ η = f ∗ (ω ∧ η)
für jedes f : N → M differenzierbar
6.6 Beispiele
a) Sei U ⊆ Rn offen. Dann ist Altk Tp U ∼
= Altk Rn , also
[
˙
Altk U =
{p} × Altk Rn = U × Altk Rn
p∈U
Ist α ∈ Altk Rn , so kann α als konstante Differentialform α ∈ Ωk U gelesen werden,
nämlich
α(x) ≡ α ∈ Altk Rn = Altk Tx U
Insbesondere fassen wir auch δ1 , . . . , δn mit δi = (0, . . . , 1, . . . , 0) ∈ Rn∗ auf als
δi ∈ Ω1 Rn .
Ebenso δµ1 ∧ · · · ∧ δµk ∈ Ωk Rn
(δµ1 ∧ · · · ∧ δµk )µ1 <···<µk ist die kanonische Koordinatenbasis von Altk (Tp Rn )
b) Ist M eine Mannigfaltigkeit, (U, h) eine Karte, so ist
(h)
dxi
(h)
= h∗ δi , h : U → U 0 ⊆ Rn offen,
denn dxi (v) ≡ dhi (v) = δi (dh(v)) = (h∗ δi )(v), δi ∈ Ω1 U 0 wie in a)
33
Differentialformen
33
c) Ist M ⊆ Rn eine Untermannigfaltigkeit, i : M → Rn die Inklusion, ω ∈ Ωk Rn ,
so ist i∗ ω ∈ Ωk M durch
(i∗ ω)x (v1 , . . . , vk ) = ωx (v1 , . . . , vk )
gegeben, v1 , . . . , vk ∈ Tx M ∼
= Txunt M ⊆ Rn (ebenso falls M ⊆ N Umf.), x ∈ M ,
da dix : Txunt M → Rn die Inklusion ist.
6.8 Definition
Eine Orientierung einer Mannigfaltigkeit ist eine Familie (orx )x∈M von Orientierungen
von Tx M , so dass x 7→ orx stetig von x abhängt.
D. h. ist p ∈ M so gibt es eine Karte (U, h) um p, so dass für alle x ∈ U die Koordina
(h)
(h)
tenbasisfelder ∂1 (x), . . . , ∂n (x) positiv orientiert sind.
Eine Mannigfaltigkeit heißt orientierbar, falls eine Orientierung auf M existiert.
Eine Mannigfaltigkeit zusammen mit einer Orientierung auf M heißt orientierte Mannigfaltigkeit.
Auf Rn ist eine kanonische Orientierung gegeben, nämlich so, dass die Standardbasis
e1 , . . . , en positiv orientiert ist, daher betrachten wir Rn stets als orientierte Mannigfaltigkeit.
Eine diffbare Abbildung f zwischen orientierten Mf. M und N heißt orientierungserhaltend, falls dfx : Tx M → Tf (x) N orientierungserhaltend ist für jedes x ∈ M ,
orientierungsumkehrend, falls dfx orientierungsumkehrend ist für jedes x ∈ M
6.9 Lemma
Eine n-dimensionale diffbare Mannigfaltigkeit ist orientierbar, genau dann wenn ein
ω ∈ Ωn M existiert, mit ω(x) 6= 0 für alle x ∈ M
6.11 Definition
Sei M ⊆ Rn+1 eine n-dim. Untermannigfaltigkeit, dann heißt eine stetige Abbildung
N : M → Rn+1 für die N (x) ∈ (Tx M )⊥ \ {0}
ein stetiges Normalenfeld auf M .
Dabei ist ⊥ der Orthogonalraum bezüglich des Standardskalarpodukts auf Rn+1 und
Tx M = Txunt M ⊆ Rn+1 aufgefasst.
Ein stetiges Normalenfeld heißt Normaleneinheitsfeld falls kN (x)k = 1 für alle x ∈ M
34
Differentialformen
34
6.13 Satz
Eine n-dim. Umf. des Rn+1 ist genau dann orientierbar, wenn es ein stetiges Normaleneinheitsfeld besitzt.
6.14 Korollar
Ist F : Rn+1 → R, p ∈ R regulärer Wert, so ist F −1 (p) eine n-dim. orientierbare Umf.
von Rn , denn N (x) =
∇F (x)
k∇F (x)k
ist ein stetiges Normalenfeld auf M
6.15 Korollar
Ist M ⊆ Rn+1 orientierbar mit stetigem Normaleneinheitsfeld N : M → Rn+1 , so ist
durch
i∗ (N y det) = ωM
mit i : M → Rn+1 eine n-Form auf M mit ωM,p 6= 0 für alle p ∈ M gegeben.
Auf M = S n ist also ωM aus 6.15 durch
xy det =
n+1
n+1
X
X
(−1)j−1 xj δ1 ∧· · ·∧δbj ∧· · ·∧δn+1 =
(−1)j−1 xj δ1 ∧· · ·∧δj−1 ∧δj+1 ∧· · ·∧δn+1
j=1
j=1
gegeben.
Erinnere 5.27: Auf (V, < ·, · >, or) ist eine kanonische Volumenform oder Determinante
gegeben.
6.17 Definition
Unter einer Riemannschen Mannigfaltigkeit versteht man eine Mf. zusammen mit einem Skalarprodukt gx auf jedem VR Tx M , so dass x 7→ gx diffbar von x abhängt, d.
h. falls für Koordinatenbasisfelder ∂1 , . . . , ∂n auf U ⊆ M stets gilt:
U → R, x 7→ gx (∂i (x), ∂j (x)), i, j = 1, . . . , n
ist differenzierbar.
6.19 Definition
Sei (M, gM ), (N, gN ) zwei Riemannsche Mf., f : M → N diffbar, dann heißt f lokale
Isometrie, falls
gN,f (x) (dfx (v), dfx (w)) = gM,x (v, w)
wobei v, w ∈ Tx M .
f heißt Isometrie, falls f zusätzlich ein Diffeomorphismus ist.
35
Differentialformen
35
6.21 Definition
Sei M eine n-dim. orientierte Riemannsche Mf., so versteht man unter der Volumenform
auf M die (gegebenenfalls) eindeutig bestimmte n-Form auf M mit
ωM,x (v1 , . . . , vn ) = 1
für jede pos. orientierte ONB (v1 , . . . , vn ) von Tx M
6.23 Beispiel
Ist M ⊆ Rn+1 eine n-dim. or. Untermannigfaltigkeit mit der kanonischen Metrik. Sei
N das stetige Normaleneinheitsfeld auf M für das (N (x), v1 , . . . , vn ) pos. orientiert ist,
für jede pos. or. Basis von Tx M , dann ist
ωM = i∗ (N y det) mit i : M → Rn+1
die kanonische Volumenform auf M
6.24 Lemma
Sei (M, g, or) eine or. Riemannsche Mf., (U, h) eine orientierungserhaltende Karte,
∂1 (x), . . . , ∂n (x) die dadurch gegebene Koordinatenbasis (KB) von Tx M , x ∈ U , dx1 , . . . , dxn ∈
Ω1 U die dazu dualen 1-Formen, dann gilt
ωM |U =
√
Gdx1 ∧ · · · ∧ dxn
wobei G = det(g(∂i , ∂j ))i,j die Determinante der 1. Fundamentalform (g(∂i , ∂j ))i,j ist.
6.25 Beispiel
Sei M ⊆ Rn offen, Φ : U → M ein Diffeomorphismus, h = Φ−1 die benutzte Karte,
also ∂i = JΦ (ei ). Dann ist
ωM = det JΦ (x)dx1 ∧ · · · ∧ dxn
in den durch h gegebenen Koordinaten.
§ 7 Integration von Differentialformen
7.1 Definition
Eine Teilmenge A ⊆ M einer n-dim. diffbaren Mf. heißt Messbar (bzw. Nullmenge),
falls für eine, dann jede Überdeckung von A durch Kartengebiete (Ui , hi )i∈I , hi (A ∩ Ui )
jeweils Lebesgue Messbar (bzw. Nullmenge) im Rn ist.
7.2 Notiz
Ist M eine Mf., so existiert eine Zerlegung von M in abzählbar viele messbare Teilmengen (Ai )i∈N , so dass jedes Ai ganz in einem Kartengebiet enthalten ist, d. h. es
gilt
S
(1) ˙ Ai = M
i∈N
(2) ∀ i ∈ N ∃ (Ui , hi ) mit Ai ⊆ Ui
7.3 Satz und Definition
Eine n-Form ω auf einer orientierten n-dim. Mf. heißt integrierbar, wenn für eine,
dann jede Zerlegung (Ai )i∈N von M wie in 7.2 und eine, dann jede Folge (Ui , hi ) von
orientierungserhaltenden Karten mit Ai ⊆ Ui und ϕi = h−1
gilt:
i
Für jedes i ist die zurückgeholte Komponentenfunktion
ai : Ui0 = h(Ui ) → R
x 7→ ωϕi (x) (∂1 (x), . . . , ∂n (x)) = (ϕ∗i ω)x (e1 , . . . , en )
(hi )
wobei ∂j (x) := Jϕi (x) (ej ) ≡ ∂j
(x)
A0i
über hi (Ai ) =
integrierbar und
Z
∞
X
ai (x)dx < ∞ ist.
i=1
A0i
Integral von ω über M ist dann durch
Z
Z
∞
X
ω :=
ai (x)dx < ∞
M
i=1
hi (Ai )
wohldefiniert.
36
37
Integration von Differentialformen
37
7.5 Korollar
Ist f : N → M ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus zwischen orientierten
Mf. der Dimension n, ω ∈ Ωn M , dann ist
Z
Z
∗
f ω = ω (Transformationsformel)
M
N
Ist f orientierungsumkehrend, so ist
Z
Z
∗
f ω=− ω
M
N
7.6 Bemerkung
Ist ω ∈ Ωn Rn , also ω = a · det, a ∈ C ∞ (Rn ), also ωx (e1 , . . . , en ) = a(x). Dann ist
Z
Z
ω = a(x)dx für M ⊆ Rn offen
M
M
Sei f : Rn → Rn ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus, dann:
(f ∗ ω)(e1 , . . . , en ) = det Jf (x) · ωf (x) (e1 , . . . , en ) = det Jf (x)a(f (x))
Z
Z
| det Jf (x)|a(f (x)) = a(x)dx
⇒
f −1 (M )
M
(Transformationsformel aus der AmV)
7.7 Definition
Sei M eine n-dim. or. Riemannsche Mf., so heißt
Z
vol(M ) = ωM
M
das Volumen von M , falls es existiert, wobei ωM ∈ Ωn M die eindeutig bestimmte nForm ist, für die ωM,x (v1 , . . . , vn ) = 1, für jede pos. or. ONB von Tx M (Volumenform).
§ 8 Mannigfaltigkeiten mit Rand
8.1 Definition und Notation
Rn− := {(x1 , . . . , xn ) | x1 ≤ 0}
∂ Rn− = {0} × Rn−1
Rn− sei mit der Teilraumtopologie versehen, d. h. U ⊆ Rn− heißt offen in Rn− ⇔ ∃ Ũ ⊆ Rn
offen in Rn mit Ũ ∩ Rn− = U
Sei U ⊆ Rn− offen, dann heißt
∂U = U ∩ ∂ Rn−
der Rand von U .
Vorsicht: Dies ist nicht der topologische Rand von U im Sinne von 2.3
8.3 Definition
Sei U ⊆ Rn− offen, f : U → Rk heiße differenzierbar an der Stelle p ∈ U , wenn es eine
in Rn offene Umgebung Ũ von p gibt und eine diffbare Abbildung f˜ : Ũ → Rk mit
f˜|Ũ ∩U = f |Ũ ∩U .
f˜ heißt dann eine lokale Fortsetzung von f .
Eine Abbildung f : U → V zwischen offenen Teilmengen des Rn− heißt Diffeomorphismus, falls f bijektiv und f und f −1 diffbar sind.
8.5 Lemma
Ist f : U → V ein Diffeomorphismus zwischen in Rn− offenen Teilmengen, so ist
f (∂U ) = ∂V und f |∂U : ∂U → ∂V ist folglich ebenfalls ein Diffeomorphismus.
8.6 Definition
Sei X ein topologischer Raum, U ⊆ X offen.
Ein Homöomorphismus h : U → U 0 , U 0 ⊆ Rn− offen oder U 0 ⊆ Rn offen heißt eine berandete n-dim (top.) Karte für X. Dann sind die Begriffe Atlas, differenzierbarer Atlas,
differenzierbare Struktur sofort auch in der berandeten Variante gegeben. (berandeter
38
39
Mannigfaltigkeiten mit Rand
39
Atlas,...)
Eine n-dim. berandete Mannigfaltigkeit ist ein top. Hausdorffraum, der das 2-te Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, zusammen mit einer berandeten diffbaren Struktur.
Die meisten Begriffe und Ergebnisse aus Abschnitt 3-8 lassen sich auf kanonische Weise
auf berandete Mf. übertragen.
8.8 Definition
p ∈ U heißt Randpunkt, falls für eine (dann jede) Karte (U, h) um p gilt h(p) ∈ ∂U 0 .
Die Menge der Randpunkte bezeichnen wir mit ∂M . ∂M heißt der Rand von M
8.10 Notiz
a) Durch Einschränkung der berandeten Karten auf ∂M ∩ U wird ∂M zu einer
unberandeten Mannigfaltigkeit der Dimension n − 1
b) ∂M ⊆ M ist abgeschlossen in M
8.11 Notiz
a) Differenzierbarkeit ist für Abbildungen zwischen berandeten Mannigfaltigkeiten
ebenso definiert, wie für unberandete.
b) Ist f : M → N ein Diffeomorphismus zwischen berandeten Mf., so ist f |∂M :
∂M → ∂N ebenfalls ein Diffeomorphismus (vgl. 8.5)
c) Ist M berandet und N unberandete Mf., so ist M × N berandete Mf. und ∂(M ×
N ) = ∂M × N , denn
h × k : U × V → U 0 × V 0 , (x, y) 7→ h(x), k(y)
für berandete Karten (U, h) von M , (V, k) von N ist (berandete) Karte von
M × N.
Vorsicht: sind M und N berandet (∂M 6= ∅ und ∂N 6= ∅), so ist M × N keine
berandete Mf. (jedenfalls nicht kanonisch)
8.12 Lemma
Ist M eine unberandete Mf. der Dimension n, f : M → R diffbar, a, b ∈ R reguläre
Werte.
Dann ist f −1 ([a, b]) ⊆ M eine berandete Mf. der Dimension n mit ∂ f −1 ([a, b]) =
f −1 (a) ∪ f −1 (b)
40
Mannigfaltigkeiten mit Rand
40
8.13 Korollar
Ist ψ : Rn → Rn−k , f : Rn → R diffbar, c ∈ Rn−k regulärer Wert, a ∈ R so, dass
(c, a) regulärer Wert von (ψ, f ), dann ist {x ∈ Rn | ψ(x) = c, f (x) ≤ a} eine k-dim.
berandete Umf. von Rn
8.14 Definition
Sei M berandete Mf. Unter einer n-dim. berandeten Umf. N von M versteht man eine
Teilmenge N ⊆ M , so dass es für alle x ∈ N Karten (W, H) von M gibt, mit x ∈ W ,
so dass
H(W ∩ N ) = W 0 ∩ (Rn− ×{0})
m
0
mit W 0 = H(W ) ⊆ Rm
− offen oder W ⊆ R offen, m = dim M
N ⊆ M heißt ordentlich berandet, falls ∂N ⊆ ∂M
8.15 Notiz und Definition
Sei M berandete n-dim. Mf., p ∈ ∂M , dann ist Tp M als Menge von Äquivalenzklassen
Kp (M )/ ∼ wie für unberandete Mf. definiert, wobei
Kp (M ) = {γ : (−ε, 0] → M diffbar, oder γ : [0, ε) → M diffbar mit γ(0) = p}
ist.
Dann ist Tp M ein n-dim. VR, das Differential ist wie im unberandeten Fall definiert,
also Tp M = dϕh(p) (Rn )
Kanonisch ist Tp (∂M ) ⊆ Tp M ein (n−1)-dim. UVR und Tp M \Tp (∂M ) = Tpaußen M ∪˙ Tpinnen M
mit
Tpinnen M = dϕh(p) (Rn− \∂ Rn− )
Tpaußen M = dϕh(p) (Rn \ Rn− )
v ∈ Tp M heißt nach außen (bzw. innen) weisend, falls v ∈ Tpaußen M (bzw. Tpinnen M ) ist.
Dies ist unabhängig von der Wahl der Karte.
8.16 Definition
Orientierung von berandeten Mf. ist wie für unberandete Mf. definiert.
Ist (M, or) eine orientierte berandete Mf., so ist ∂M orientierbar.
Die kanonische Randorientierung von ∂M sei dadurch gegeben, dass v1 , . . . , vm−1 ∈
Tp ∂M pos. or. heißt, falls (w, v1 , . . . , vm−1 ) ∈ Tp M pos. or. in Tp M für ein (dann jedes)
w ∈ Tpaußen M .
41
Mannigfaltigkeiten mit Rand
41
8.17 Definition und Notiz
Riemannsche Metriken sind auf berandeten Mf. wie auf unberandeten definiert.
Ist (M, g) berandete Riemannsche Mf., so ist durch die Einschränkung der Metrik g
auf T (∂M ) (genauso von gx auf Tx ∂M für alle x ∈ ∂M ) eine Riemannsche Metrik auf
∂M gegeben.
Ist (M, g, or) eine orientierte Riemannsche Mf., ωM die kanonische Volumenform auf
M , so ist
ω∂M = i∗ (N yωM )
wobei N das nach außen weisende Normaleneinheitsfeld, also N ∈ Tpaußen M , N (p)⊥Tp (∂M ),
kN (p)k = 1 und i : ∂M → M die Inklusion ist,
die kanonische Volumenform auf ∂M .
§ 9 Die Cartansche Ableitung
9.1 Satz und Definition
Sei M eine n-dim. Mf. Dann gibt es genau eine Möglichkeit eine Sequenz linearer
Abbildungen d(j)
d(0)
d(1)
d(2)
d(n−1)
d(n)
Ω0 M → Ω1 M → Ω2 M → · · · → Ωn M → 0
zu definieren, so dass gilt
(i) d(0) f = df für f ∈ C ∞ M
(ii) (d(j+1) ◦ d(j) )f ≡ d(j+1) d(j) f ≡ d2 f = 0 für f ∈ Ωj M und j ∈ {0, . . . , n − 1}
(iii) d(r+s) (ω ∧ η) = d(r) ω ∧ η + (−1)r ω ∧ d(s) η für ω ∈ Ωr M, η ∈ Ωs M (Produktregel)
Eigenschaft (ii) heißt die Komplexeigenschaft. d(j) heißt Cartansche oder äußere Ableitung. Wir werden im weiteren d statt d(j) schreiben.
9.2 Beispiel
 
v1


3
n
n
n
Sei U ⊆ R , M = R , v ∈ C ∞ (R , R ), v =  : 
vn
ω=
n
X
vi dxi
i=1
n
X
∂vi
⇒ dω =
dxj ∧ dxi
∂xj
j=1
i=1
X ∂vi
∂vj
=
−
dxj ∧ dxi
∂xj
∂xi
i<j
Also für n = 3
dω = β3 dx1 ∧ dx2 + β2 dx3 ∧ dx1 + β1 dx2 ∧ dx3
42
43
Die Cartansche Ableitung

mit β = rot v, wobei rot v =
∂
v
∂x2 3
 ∂
 ∂x3 v1
∂
v
∂x1 2
−
−

∂
v
∂x3 2

∂
v
∂x1 3 
∂
v
∂x2 1
−


∂
v1
∂x
 ∂1   
(Merkregel: rot v =  ∂x2  × v2  = ∇ × v )
∂
v3
∂x3


9.3 Lemma
Ist f : M → N eine diffbare Abb. zwischen Mf., ω ∈ Ωr N so ist
d(f ∗ ω) = f ∗ dω
9.4 Definition
d
d
d
0 → Ω0 M → Ω1 M → · · · → Ωn M → 0
heißt das de-Rham-Komplex von M . Der VR
HkM =
Kern d(k)
Bild d(k−1)
heißt die k-te de-Rham-Kohomologie.
ω ∈ Bild d heißt Corand oder exakte Differentialform.
ω ∈ Kern d heißt Cozykel oder geschlossene Differentialform.
43
§ 10 Der Satz von Stokes und Anwendungen
10.1 Satz
Sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit der Dimension n mit Rand ∂M , ω ∈ Ωn−1 M
eine (n − 1)-Form mit kompakten Träger, d. h.
supp(ω) = {x ∈ M | ωx 6= 0}
ist kompakt. Dann gilt
Z
Z
dω =
ω
M
∂M
10.2 Korollar
Ist M eine geschlossene orientierte Mf., d. h. M kompakt und ∂M = ∅, ω ∈ Ωn−1 M ,
dann ist
Z
dω = 0
M
10.3 Korollar
˙
Ist M eine kompakte orientierte Mf., ∂M = A∪B,
A und B jeweils (n − 1)-dim. Mf.,
ω ∈ Ωn−1 M mit dω = 0, dann ist
Z
Z
ω=− ω
A
B
10.4 Korollar (Satz von Gauss)
Sei M ⊆ Rn kompakte n-dim. Umf., N das nach außen weisende Normaleneinheitsfeld
auf ∂M . Dann ist
Z
Z
n
div(v) |{z}
d x=
< v, N > ω∂M
M
ωM
∂M
44
45
Der Satz von Stokes und Anwendungen
45
wobei v ∈ C ∞ (Rn , Rn ) ein Vektorfeld auf M ist und div(v) durch
d(vyωM ) = div(v)ωM
| {z }
∈Ωn M
definiert
ist.
 
v1
n
  X ∂vi
(div  :  =
für ein M ⊆ Rn , n-dim. Umf.)
∂x
i
i=1
vn
10.7 Korollar (klassischer Satz von Stokes)
Ist M ⊆ R3 eine 2-dim. kompakte orientierte berandete Mf., v ein diffbares VF auf M ,
dann ist
Z
Z
< rot v, N > ωM =
M
< v, T > ω∂M
∂M
wobei N das orientierungs definierende NEF auf M ist und T das pos. orientierte
tangentiale Einheitsfeld an ∂M
10.8 Korollar
Ist M ⊆ Rn eine kompakte 1-dim. berandete Mf., M = γ([0, L]) wobei γ : [0, L] → Rn
diffbar. Sei f ∈ C ∞ (M ), dann ist
ZL
< ∇f (γ(t)), γ̇(t) > dt = f (γ(L)) − f (γ(0))
0
10.9 Satz
Sei M eine kompakte orientierte berandete n-dim. Mf., ∂M 6= ∅. Dann gibt es keine
Retraktion von M auf den Rand, d. h. es gibt keine diffbare Abbildung r : M → ∂M
mit r|∂M = id
10.10 Definition
Sei g, h : M → N zwei C k -diffbare Abbildungen zwischen differenzierbaren Mf. Eine
C k -Homotopie zwischen g und h ist eine C k -Abbildung
F : [0, 1] × M → N
(t, p) 7→ F (t, p) = Ft (p)
mit F0 = g und F1 = h
Zwei Abbildungen f , und g heißen homotop, wenn es eine Homotopie zwischen f und
g gibt (Notation: f ' g) .
46
Der Satz von Stokes und Anwendungen
46
10.11 Satz
Sei M eine m-dim. geschlossene (unberandet, kompakt) Mf., N eine n−dim. Mf., α ∈
Ωm N mit dα = 0. Sind f, g : M → N homotope Abbildungen, so ist
Z
Z
∗
f α = g∗α
M
M
10.12 Definition
M heißt zusammenziehbar, falls die Identität id : M → M homotop zu einer konstanten
Abbildung prp : M → M, m 7→ p, für alle m ∈ M
Beispiel: S 1 ist nicht zusammenziehbar.
10.14 Korollar
Ist M eine geschlossene Mf., so ist M nicht zusammenziehbar.
10.16 Korollar (Satz vom Igel)
Für n gerade gibt es kein diffbares VF auf S n mit v(x) 6= 0 für alle x ∈ S n
§ 11 Zerlegung der Einheit und Beweis des Satzes von
Stokes
11.1 Spezialfall des Satzes von Stokes
Sei (U, h) eine berandete Karte für M , oBdA orientierungserhaltend.
Sei supp ω ⊆ U kompakt, so gilt
Z
Z
dω =
ω
M
∂M
11.2 Definition
Sei M eine Mf., (Ui )i∈I eine offene Überdeckung von M . Unter einer differenzierbaren
(Ui )i∈I untergeordneten Z.d. 1 versteht man eine Familie {τα }α∈A von C ∞ -Abbildungen
τα : M → [0, 1] mit den Eigenschaften
(i) Für jedes α ∈ A existiert ein iα ∈ I mit supp τα ⊆ Uiα
(ii) τα ist lokal endlich, d. h. für jedes p aus M existiert eine offene Umgebung Vp
und eine endliche Teilmenge A0 ⊆ A so, dass τα (p0 ) = 0 für alle p0 ∈ Vp und alle
α∈
/ A0
(iii) Für alle p ∈ M gilt
P
τα (p) = 1
α∈A
11.3 Satz
Auf einer diffbaren Mf. gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine untergeordnete Z.d.
1, die abzählbar ist.
11.5 Lemma
Auf jeder or. Riemannschen Mf. gibt es eine Volumenform, d. h. ein ωM ∈ Ωn M mit
ωM (e1 , . . . , en ) = 1 für jede pos. or. ONB
47
§ 12 Die de Rham Komologie
12.1 Lemma
Sei M eine n-dim. diffbare Mf. Dann gilt
a) H k M = 0, k > n
b) Ist M zusammenhängend, so ist H 0 M = R
c) Ist M eine geschlossene n-dim. Mf., so ist H n M 6= 0
d) H r M × H s M → H r+s M , [ω], [η] 7→ [ω ∧ η] ist eine wohldefinierte bilineare
Abbildung
e) Ist f : M → N eine diffbare Abb., so ist f ∗ : H k N → H k M eine wohldefinierte
lin. Abb.
12.2 Satz (Monodromie Satz)
Sind f und g homotop, so ist f ∗ = g ∗ : H k N → H k M
12.3 Korollar (Poincaré Lemma)
Ist f : M → N homotop zu einer konstanten Abbildung, so ist
f ∗ : H kN → HkM
die Nullabbildung. Insbesondere gilt:
Ist M zusammenziehbar, so ist H k M = 0 für alle k > 0
12.4 Korollar
Für jedes p ∈ M gibt es eine offene Umgebung U ⊆ M , so dass H k U = 0 für alle k > 0,
also gilt auf U :
Zu jedem ω ∈ Ωk M mit dω = 0 gibt es ein α ∈ Ωk−1 U mit dα = ω|U
48
49
Die de Rham Komologie
49
12.5 Korollar (Stammformel)
Ist X ⊆ Rn eine bezüglich x0 = 0 sternförmige Umgebung von 0, ω ∈ Ωk X ein Kozykel,
also dω = 0. Dann ist
α=
X
k
X
µ1 <···<µk i=1
(−1)i−1
Z1
d
tk−1 ωµ1 ,...,µk (tx)dt xµi dxµ1 ∧ · · · ∧ dx
µi ∧ · · · ∧ dxµk
0
α ∈ Ωk−1 mit dα = ω
12.6 Definition
Eine diffbare Abbildung f : M → N heißt eine Homotopieäquivalenz, wenn es eine
diffbare Abbildung g : N → M gibt, so dass f ◦ g ' idN und g ◦ f ' idM .
g heißt Homotopieinverses zu f
12.8 Korollar
Ist f : M → N eine Homotopieäquivalenz, so ist f ∗ : H k N → H k M für jedes k ein
Isomorphismus, denn ist g ein Homotopieinverses zu f , so ist
f ∗ ◦ g ∗ = idH k M , g ∗ ◦ f ∗ = idH k N
Also ist f ∗ ein Isomorphismus
§ 13 Krümmung von Kurven
13.1 Definition
Sei γ : [0, 1] → Rn eine auf Bogenlänge Parametrisierte Kurve, (d. h. kγ̇(t)k = 1), so
heißt
κ[γ]t := kṪ (t)k = kγ̈(t)k
T (t) = γ̇(t)
die Krümmung von γ an der Stelle γ(t).
Ist γ̃ eine regulär parametrisierte Kurve (˜˙γ(t) 6= 0 für alle t), γ̃ ◦ ϕ ihre Umparametrisierung auf Bogenlänge, so setze
κ[γ̃]ϕ(t) := κ[γ̃ ◦ ϕ]t
Ist n = 2 so definieren wir
κor [γ]t :=< Ṫ (t), N (t) > , wobei N (t) =
!
0 −1
1
0
T (t)
als orientierte Krümmung von γ.
Analog auch für beliebige reguläre Kurven (Umparametrisierung!)
13.2 Notiz
Ist n = 2, so ist kκor [γ]t k = κ[γ]t
13.4 Definition
Eine auf Bogenlänge parametrisierte Kurve γ heißt Frenet Kurve, falls für alle t ∈ I
gilt (γ̇(t), γ̈(t), . . . , γ (n−1) (t)) sind linear unabhängig.
13.5 Definition und Satz
Sei γ eine Frenet Kurve, dann gibt es n Abbildungen ei : I → Rn , so dass gilt

1 i = j
< ei (t), ej (t) >= δij =
0 sonst
50
51
Krümmung von Kurven
51
und der von {e1 (t), . . . , ek (t)} aufgespannte UVR ist gleich dem von {γ̇(t), . . . , γ (k) (t)}
aufgespannten UVR für jedes k ∈ {1, . . . , n − 1} und det(e1 (t), . . . , en (t)) = 1
Die dadurch gegebene Abbildung (e1 , . . . , en ) : I → SO(n) heißt das begleitende n-Bein
der Kurve
13.7 Satz und Definition
Ist γ : I → Rn eine Frenet Kurve, (e1 , . . . , en ) das begleitende n-Bein, so gibt es (n − 1)
Funktionen ω1 , . . . , ωn−1 : I → R, so dass
ė1 (t) = ω1 (t)e2 (t)
ė2 (t) = −ω1 (t)e1 (t) + ω2 (t)e3 (t)
ė3 (t) = −ω2 (t)e2 (t) + ω3 (t)e4 (t)
..
.
ėn−1 (t) = −ωn−2 (t)en−2 (t) + ωn−1 (t)en (t)
ėn (t) = −ωn−1 (t)en−1 (t)
ωi (t) heißt die i-te Krümmung von γ und im Fall n = 3 heißt ω1 die Krümmung und
ω2 ≡ τ die Torsion
13.8 Definition
Sei M ⊆ Rm eine n-dim. Mf., γ : I → M eine auf Bogenlänge parametrisierte Kurve.
Für x ∈ M bezeichne
prM,x : Rm → Tx M und
pr⊥,x : Rm → (Tx M )⊥
die beiden Orthogonalprojektionen (bzgl. des kanonischen Skalarprodukts)
Dann heißt
prM,γ(t) (γ̈(t)) = g[γ]t
geodätische Krümmung von γ an den Stellen γ(t) und
pr⊥,γ(t) (γ̈(t)) = k[γ]t
Normalenkrümmung von γ an der Stelle t.
Ist g[γ]t ≡ 0 für alle t, so heißt γ geodätische Kurve.
52
Krümmung von Kurven
52
Ist dim M = m − 1 und M orientiert durch U : M → (T M )⊥ ein Normaleneinheitsfeld,
so heißt
k[γ]t =< γ̈(t), U (γ(t)) >
die (orientierte) Normalenkrümmung.
Ist dim M = 2 und M orientiert, so heißt
g[γ]t =< γ̈(t), V (γ(t)) >,
wobei γ̇(t), V (γ(t)) eine pos. or. ONB von Tγ(t) M ist, die (orientierte) geodätische
Krümmung von γ an der Stelle t.
13.9 Notiz
a) Ist M eine 2-dim. or. Fläche, γ : I → M eine auf Bogenlänge parametrisierte
Kurve, so ist kg[γ]t k = g[γ]t
b) Ist M ⊆ Rm eine (m − 1)-dim. or. Fläche, so ist kk[γ]t k = k[γ]t
c) Es gilt stets
(κ[γ]t )2 = (g[γ]t )2 + (k[γ]t )2
Insbesondere ist γ genau dann geodätisch, wenn κ[γ]t = k[γ]t für alle t ⇔ γ̈(t) ∈
(Tγ(t) M )⊥
13.11 Notation
Ist M ⊆ Rm , v : M → T M ⊆ Rm ein Vektorfeld, so schreibt man
(∇w v)(x) := prM (dv)x (w), w ∈ Tx M
| {z }
∈Rm
Ist v : I → Rm ein Vektorfeld längs γ, so schreibt man
∇
v = prM,γ(t) v̇(t)
dt
13.12 Notiz
Ist γ : I → M Kurve mit kγ̇(t)k = 1, so ist γ genau dann geodätische Kurve wenn
∇
γ̇(t)
dt
=0
§ 14 Krümmungen von 2-dim. Flächen im R3
M ⊆ R3 sei stets eine 2-dim. or. Fläche im R3 mit orientierungsdefinierendem Normaleneinheitsfeld. γ : I → M sei eine auf Bogenlänge parametrisierte Frenetkurve
14.1 Lemma
Für die orientierte Normalenkrümmung von γ gilt
k[γ]t = − < γ̇(t), dUγ(t) (γ̇(t)) >, t ∈ I
14.2 Korollar und Definition
Xp := {k[γ]0 | γ : (−ε, ε) → M, γ auf Bogenlänge param. Frenetkurve, γ(0) = p} ⊆ R
ist das Bild der stetigen Abbildung
Tp M ⊇ S 1 → R, v 7→< v, −dUγ(0) (v) >
also ist Xp kompakt.
κ1 (p) = min Xp und κ2 (p) = max Xp
heißen die beiden Hauptkrümmungen von M an der Stelle p,
G(p) = κ1 (p)κ2 (p) die Gaußsche Krümmung
1
H(p) = (κ1 (p) + κ2 (p)) die mittlere Krümmung
2
14.3 Definition und Notiz
Die lineare Abbildung
Sp : Tp M → Tp M, v 7→ −dUp (v)
heißt der Weingartenoperator an der Stelle p. Es ist Sp (v) ∈ Tp M , denn ist γ eine v
repräsentierende Kurve, so ist
d kU (γ(t))k = 0 ⇒ 2 < dUp (v), U (p) >= 0
dt t=0
⇒ dUp (v) ∈ Tp M
53
Krümmungen von 2-dim. Flächen im R3
54
54
14.4 Lemma und Definition
Sp ist selbstadjungiert, d. h. < Sp (v), w >=< v, Sp (w) > für alle v, w ∈ Tp M
Die Abbildung
IIp : Tp M → R, v 7→< v, Sp (v) >
heißt die 2te Fundamentalform von M . Die Hauptkrümmung von M an der Stelle p
sind die Eigenwerte von Sp , die Gaußsche Krümmung ist die Determinante von Sp
14.5 Notiz
Ist γ : I → M mit kγ̇(t)k ≡ 1, γ̇(0) = v (vgl. 14.2), so ist
k[γ]t = IIγ(0) (v)
14.7 Definition
p ∈ M heißt hyperbolischer Punkt falls G(p) < 0, elliptischer Punkt falls G(p) > 0,
parabolischer Punkt falls G(p) = 0 und Flachpunkt falls Sp = 0.
M heißt Minimalfläche falls H ≡ 0
14.8 Notiz
a) Wegen H =
κ1 +κ2
2
und G = κ1 κ2 gilt: Ist M Minimalfläche, so ist G(p) ≤ 0 für
alle p
ohne Bew.
( =⇒
M ist nicht geschlossen)
b) Ist p Flachpunkt, so gilt für alle γ : I → M mit γ(0) = p: k[γ]0 = 0 ⇒ |κ[γ]0 | =
|g[γ]0 |
c) Ist p elliptischer Punkt, so hat < γ̈(0), U > für alle Kurven γ dasselbe Vorzeichen
§ 15 Das Theorema Egregium
15.1 Lemma
Die geodätische Krümmung ist eine Isometrieinvariante, d. h. ist f : M → M 0 eine
Isometrie, so ist g[f ◦ γ]t = g[γ]t
15.2 Theorema Egregium (Gauß)
Ist f : M → N eine lokale Isometrie, so gilt für alle p ∈ M : GM (p) = GN (f (p)), wobei
GX die Gaußsche Krümmung der Fläche X bezeichnet.
Korollar : Es gibt keine isometrischen, d. h. Längen und Winkel erhaltenden Landkar”
ten“
da GS 2 = 1 und GR2 = 0
15.3 Definition
Sei X ⊆ M , E1 : X → T M ⊆ R3 ein tangentiales Einheitsfeld, also E1 (x) ∈ Tx M ⊆ R3 ,
kE1 (x)k = 1
Es heißt (E1 , U × E1 , U ) = (E1 , E2 , E3 ) das durch E1 definierte 3-Bein auf M
15.4 Erinnerung
E1 existiert zwar lokal stets, aber X kann in vielen Fällen nicht gleich M sein (z. B.
M = S 2 ).
15.5 Definition
Sei (E1 , E2 , E3 ) wie in 15.3. Definiere ωij ∈ Ω1 (X), i, j = 1, 2, 3 durch
ωij (v) =< dEi (v), Ej >
15.6 Notiz
Es gilt ωij (v) = −ωji (v) wegen < Ei , Ej >≡ δij
15.7 Lemma
Es gilt −Sp (ξ) = ω31 (ξ) + ω32 (ξ)E2
Also det Sp = G(p) = (ω13 ∧ ω23 )(E1 , E2 )
55
56
Das Theorema Egregium
56
15.8 Strukturgleichungen der Flächentheorie
Sei M ⊆ R3 eine durch U orientierte Fläche, X ⊆ M offen, E1 : X → T M ein
tangentiales Einheitsfeld, ωij ∈ Ω1 X wie in (∗) definiert.
Sei weiter ωi ∈ Ω1 X,i = 1, 2 durch ωi (Ej ) = δij definiert. Dann gilt
dω1 = ω12 ∧ ω2
dω2 = −ω12 ∧ ω1
ω1 ∧ ω13 = −ω2 ∧ ω23
15.9 Korollar
Es ist dω12 = ω13 ∧ ω32
also (dω12 )(E1 , E2 ) = −G(p) (15.7)
15.10 Bemerkung
Ist (M, g) Riemannsche Mf., X ⊆ M offen, E1 : X → T M tangentiales Einheitsfeld,
(E1 (x), E2 (x)) ONB in Tx M , (U ≡ E3 nicht gegeben!, dEi nicht definiert!), so definiert
man:
ωi ∈ Ω1 (M ), ωi (Ej ) = δij , kω12 := dω1 (E1 , E2 )ω1 + dω2 (E1 , E2 )ω2 k.
Dies ist unabhängig von der Wahl von E1 ! Definiere:
GωM = −dω12
§ 16 Die Totalkrümmung
M 2 ⊆ R3 orientierte Fläche, U Normaleneinheitsfeld, U : M → S 2 ⊆ R3
16.1 Definition
Ist G die Gaußsche Krümmung von M , so heißt
Z
GM ωM = KM
M
die Totalkrümmung von M
16.2 Bemerkung
Z
2
Ist U : M → S ein Diffeomorphismus, so ist
GM ωM = 4π
M
16.3 Lemma
Ist M geschlossene Fläche und existiert auf M ein nirgends verschwindendes VF, v(x) 6=
0 ∀ x ∈ M , dann ist KM ≡ 0
16.4 Korollar
a) Ist M ∼
= S 1 × S 1 (diffeomorph,

 nicht notwendig isometrisch), so ist KM ≡ 0
− sin ϕ


 cos ϕ 
iϕ iθ

Setze v(e , e ) = 
 0 


0
b) Ist M eine geschlossene Fläche mit G(p) ≥ 0 für alle p ∈ M und G(p0 ) > 0 für
mindestens ein p0 ∈ M , so ex. auf M kein VF ohne Nullstelle (z. B. M = S 2 )
16.5 Lemma
Ist X ⊆ M , E1 ein Vektorfeld auf M , kE1 k = 1 und ω12 die dadurch definierte 1-Form,
ω12 =< dE1 , E2 >,
57
58
Die Totalkrümmung
58
γ : I → X eine auf Bögenlänge parametrisierte Kurve,
ϑ : I → R eine durch cos ϑ(t) =< γ̇(t), E1 (γ(t)) > gegebene diffbare Funktion (ϑ ist bis
auf einen konstanten Summanden 2π wohldefiniert), dann ist
Zb
Z
ω12 = −(ϑ(b) − ϑ(a)) +
γ
g(s)ds, I = [a, b]
a
g = g[γ].
16.7 Korollar
Ist X ⊆ M eine berandete 2-dim. Umf. von M auf der ein nirgends verschwindendes
VF existiert, γ : I → ∂X eine Randdurchlaufung, ϑ wie in 16.5, so ist
Zb
Z
GωM = −
g(s)ds + ϑ(b) − ϑ(a)
a
X
Insbesondere ist ϑ(b) − ϑ(a) unabhängig von der Wahl von E1
16.8 Proposition
Ist X ∼
= D2 , v : X → T X ein nicht verschwindendes VF, E1 =
eine Randdurchlaufung, cos ϑ(t) =< γ̇(t), E1 (γ(t)) >, so ist
ϑ(b) − ϑ(a) = 2π
(folgt aus Stetigkeitsüberlegungen und 16.6)
16.10 Bemerkung
M1 = X1 ∪ X2 , X ∼
= D 2 , X1 ∩ X2 ∼
= S 1 = ∂X1 = ∂X2
Z
Z
Z
Z
0
GωM = GωM + GωM =
ω12 + ∂X2 ω12
M
X1
X2
Z
=−
g(s)ds −
g(s)ds +2π + 2π = 4π
γ−
γ
|
∂X1
Z
{z
=0
}
v
,
kvk
γ : I → ∂X ∼
= S1
59
Die Totalkrümmung
59
16.11 Bemerkung
16.6 gilt analog auch falls X Ecken“ hat. Anwendung auf geodätische Dreiecke, d. h.
”
∂X besteht aus Geodäten
Z
GωM = ϑ1 (b) − ϑ1 (a) + ϑ2 (b) − ϑ2 (a) + ϑ3 (b) − ϑ3 (a) = α + β + γ − π
⇒
X
16.12 Definition und Proposition
Ist v : M → T M Vektorfeld und v(p) = 0, dann ist indp (v) folgendermaßen wohldefiniert:
Sei (U, h) Karte um p, D2 ⊆ (U ), h(p) = 0. Sei γ(t) = h−1 (cos t, sin t), E1 : U → T M
mit kE1 k = 1,
v(γ(t))
<
, E1 > =: cos ϑ(t). Dann ist
kv(γ(t))k
indp v := ϑ(2π) − ϑ(0)
X
Ind v =
indp v
p isol.
NST
Satz
Ist v ein Vektorfeld auf M , das nur isolierte NST hat, so hängt Ind v nicht von v ab,
sondern nur von M und es gilt
KM = Ind v = χM
die Eulercharakteristik
Wichtige Formel:
K = 4π(1 − g)
g = Anzahl der Löcher“
”