Ganzalgebraische Zahlen und der Satz von Burnside

Ganzalgebraische Zahlen und der
Satz von Burnside
Zusammenfassung Vortrag 12
K. S. Bäuerle
23. Mai 2016
Wir folgen den Kapiteln 22 und 31 der Einführung von James und Liebeck [GJ01].
Sei G eine endliche Gruppe. Alle Ringe seien kommutativ und mit Eins.
Der Begri der ganzalgebraischen Zahl
Denition 11.1. Sei R ⊂ S eine Ringerweiterung, d.h. R und S sind Ringe und R ist
ein Unterring von S . Ein Element x ∈ S heisst ganz
Polynom f ∈ R[X]\{0} gibt, sodass f (x) = 0 gilt.
(über R),
wenn es ein normiertes
Satz 11.2. Sei R ⊂ S eine Ringerweiterung. Sei a ∈ S . Dann sind folgende Aussagen
äquivalent1 :
i)
ii)
iii)
Das Element a ist ganz über R.
Der von a erzeugte Unterring R[a] ist ein endlich erzeugter R-Modul.
Es gibt einen Unterring B ⊂ S , sodass R[a] ⊂ B und B ist als R-Modul endlich
erzeugt.
Denition 11.3. Eine Zahl x ∈ C heisst ganzalgebraisch, falls es ein normiertes Polynom
f ∈ Z[X]\{0} gibt, sodass f (x) = 0, d.h. falls x ganz über Z ist.
Beispiel 11.4. Jede ganze Zahl z ∈ Z ist ganzalgebraisch.
Beispiel 11.5. Sei ωn eine n-te Einheitswurzel. Dann ist ωn ganzalgebraisch.
1 Hier
folgen wir der Darstellung in [Wen12].
1
Proposition 11.6. Eine algebraische komplexe Zahl α ∈ C ist genau dann ganzalgebraisch, wenn das Minimalpolynom ma,Q von α über Q bereits in Z[X] liegt.2
Korollar 11.7. Sei λ ∈ Q. Dann ist λ ganzalgebraisch genau dann, wenn λ bereits in
Z liegt. Das heisst, die Menge der ganzalgebraischen Zahlen von Q ist genau Z.
n p irrational.
Korollar 11.8. Sei n ∈ Z>1 und sei p eine Primzahl. Dann ist √
Proposition 11.9. Eine Zahl α ∈ C ist genau dann ganzalgebraisch, wenn es eine
Matrix A ∈ Zn×n mit ganzzahligen Einträgen und Eigenwert α gibt.
Korollar 11.10. Sei α ∈ C ganzalgebraisch. Dann sind α und −α ganzalgebraisch.
Proposition 11.11. Die Menge der ganzalgebraischen Zahlen bildet einen Unterring
des Ringes C der komplexen Zahlen.
Charaktere und Klassensummen
Korollar 11.12. Sei χ ein Charakter von G sowie g ∈ G. Dann ist χ(g) ∈ C ganzalge-
braisch.
Korollar 11.13. Sei χ ein Charakter von G sowie g ∈ G. Wenn χ(g) in Q liegt, so liegt
χ(g) bereits in Z.
Denition 11.14. P
Sei C ⊂ G eine Konjugationsklasse von G.
Dann heisst C :=
x∈C
x die
Klassensumme
der Konjugationsklasse C .
Lemma 11.15. Für eine Konjugationsklasse C von G liegt eine Klassensumme C im
Zentrum Z(CG) := {z ∈ CG | zr = rz für alle r ∈ CG} der CG-Algebra.
Lemma 11.16. Sei V eine irreduzible Darstellung von G und sei z ∈ Z(CG). Dann
existiert eine komplexe Zahl λ ∈ C, sodass für alle v ∈ V gilt: vz = λv .
Lemma 11.17 (Erinnerung ). Sei g ∈ G. Dann erfüllt die
Konjugationsklasse G g := {hgh−1 |h ∈ G} von g die Gleichung: |G g| = |G : CentG (g)|.
Lemma 11.18. Seien g ∈ G, C eine Konjugationsklasse von G mit g ∈ C und weiters
V eine irreduzible Darstellung mit Charakter χ.
.
Dann gilt für alle v ∈ V : Cv = λv , wobei λ = |Cent|G|G (g)| χ(g)
χ(1)
g
Hierbei ist CentG (x) := {g ∈ G| x = x} der Zentralisator von x.
P
Lemma 11.19. Sei r = αg g ∈ CG, sodass alle αg in Z liegen. Sei v ∈ CG\{0} mit
rv = λv für ein λ ∈ C. Dann ist λ ganzalgebraisch.
Korollar 11.20. Sei χ ein irreduzibler Charakter von G. Sei weiters g ∈ G. Dann ist
die Zahl λ =
|G|
χ(g)
|CentG (g)| χ(1)
ganzalgebraisch.
Lemma 11.21. (Erinnerung; Satz 10.8 ) Sei χ ein irreduzibler Charakter von G. Dann
gilt: χ(1) teilt die Gruppenordnung |G|.
2 Im
Beweis orientieren wir uns an [Ogg].
2
Burnside
Denition 11.22. Sei α ∈ C eine algebraische Zahl. Dann bezeichnen wir ein x ∈ C
mit mα,Q (x) = 0 als
zu
α
(algebraisch) konjugiert.
Proposition 11.23. Seien α, β ∈ C algebraische Zahlen. Dann hat ein zu α + β konjugiertes Element x ∈ C die Form α0 + β 0 , wobei α0 zu α und β 0 zu β konjugiert sind.
Lemma 11.24. Sei χ 6= 0 ein Charakter von G. Sei g ∈ G. Dann ist stets
falls 0 <
| χ(g)
|
χ(1)
< 1, so ist
χ(g)
χ(1)
|χ(g)|
|χ(1)|
≤ 1 und
nicht ganzalgebraisch.
Satz 11.25. Seien p eine Primzahl und r ∈ Z≥1 . Die Gruppe G enthalte eine Konjugationsklasse der Grösse pr . Dann ist G nicht einfach.
Satz 11.26 (Burnsidescher pa qb -Satz). Seien p und q Primzahlen. Seien a, b ∈ Z≥0 ,
sodass a + b ≥ 2. Die Ordnung der Gruppe G sei |G| = pa q b . Dann ist G nicht einfach.
Satz 11.27 (Burnside). Für p und q Primzahlen und a, b ∈ Z≥0 ist jede Gruppe der
Ordnung pa q b auösbar.
Literatur
[GJ01]
: Representations
Groups. Cambridge University Press, 2. Auflage, 2001.
[Ogg]
Oggier, Frédérique: Algebraic Numbers and Algebraic Integers.
http:
//www1.spms.ntu.edu.sg/~frederique/antchap1.pdf. online, zuletzt abge-
Gordon
James,
Martin
Liebeck
and Characters of
rufen am 3. Mai 2016.
[Wen12]
Wendt,
:
Matthias
Skript
zur
Vorlesung
Algebraische
Zahlentheorie.
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws11/azt/
wendt-azt11.pdf, 2012. online, zuletzt abgerufen am 12. Mai 2016.
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