SS 17 Musterlösung: Blatt 5 Besprechung: 26.05.2017 1

Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Theorie
der Kondensierten Materie
Moderne Theoretische Physik III (Theorie F – Statistische Mechanik)
SS 17
Musterlösung: Blatt 5
Besprechung: 26.05.2017
Prof. Dr. Alexander Mirlin
PD Dr. Igor Gornyi, Janina Klier
1. Entropie des Boltzmann-Gases:
(8+6=14 Punkte)
Betrachten Sie ein System von N nichtwechselwirkenden ununterscheidbaren Teilchen
(ohne interne Freiheitsgrade) im dreidimensionalen Raum (Volumen V ). Nehmen Sie
an, dass die Gesamtenergie E des Gases erhalten bleibt.
(a) Ausgehend von der mikrokanonischen Gleichgewichtsverteilung leiten Sie die Entropie S(U, V, N ) des idealen Gases im klassischen Limes her.
Lösung:
Die mikrokanonische Verteilungsfunktion ist durch

1


, E < H(~x) < E + ∆E,
Σ(E)∆E
ρ(~x) =


0,
sonst
gegeben. Hier ist Σ(E) die (2N D − 1)-dimensionale Oberfläche konstanter Gesamtenergie einer 2DN -dimensionalen Kugel. Bei einem klassischen nichtrelativistischen
idealen Gas mit N Teilchen gilt für die Gesamtenergie:
N
X
p~i2
H =
2m
i=1
Im Folgenden werden wir das Volumen Ω(E) und daraus mit Σ(E) = dΩ(E)/dE
die Oberfläche (für D = 3) berechnen. Das Volumen Ω(E) einer 6N -dimensionalen
Kugel im Phasenraum lautet:
!
Z Y
N
N
X
1
d3 pi d3 qi
p2i
Ω(E) =
Θ
−E .
N ! i=1 (2π~)3
2m
i=1
Der Faktor 1/N ! berücksichtigt die Ununterscheidbarkeit der Teilchen.
Die Integration über die Ortskoordinaten führt zu dem Faktor V N . Die verbleibende
Integration im Impulsraum wird analog zu Aufgabe
qP 2b Blatt 4 in Kugelkoordinaten
N
2
ausgeführt. Mit der radialen Koordinate p =
i=1 pi dies führt zu
√
N
V
Ω(E) =
N !(2π~)3N
Z
d3N p Θ
2
p
−E
2m
N
V
=
σ3N
N !(2π~)3N
Z2mE
dpp3N −1 ,
0
wobei die Oberfläche einer Einheitskugel im n-dimensionalen Raum durch
σn =
2 π n/2
Γ(n/2)
(1)
gegeben ist (s. Aufgabe 2 Blatt 4 und die Bemerkung unten). Daher erhalten wir
Ω(E) =
VN
2π 3N/2 (2mE)3N/2
.
N !(2π~)3N
3N Γ 3N
2
Die (6N − 1)-dimensionale Oberfläche lautet nun
VN
Σ(E) =
N !Γ 3N
2
mE
2π~2
3N
2
1
.
E
Die Entropie S(E, V, N ) kann aus
S = −kB hln ρi
berechnet werden. Zudem kann man im thermodynamischen Limes großer N die
Stirling-Formel (Aufgabe 1 Blatt 1) und mit der Definition der Gammafunktion
über die Fakultät die Näherung
3N
3N
3N 2
Γ
≈
2
2e
mit der Eulerschen Zahl e verwenden. Dies führt zu
!
1
5
8V (πmE)3/2
S = −kB ln
+ N kB .
≈ N kB ln
|{z}
3/2
3
5/2
Σ(E)∆E
3 (2π~) N
2
(2)
N 1
Bemerkung:
Man kann die Oberfläche σn einer Einheitskugel im n-dimensionalen Raum mit Hilfe
der Integrale der Funktion
!
n
X
zi2
f (z1 , . . . , zn ) = exp − 12
i=1
in kartesischen Koordinaten und in Kugelkoordinaten bestimmen:
Z
n Z ∞
Y
n
1 2
f dVn =
exp − 2 zi dzi = (2π) 2 ,
i=1
Z
Z
f dVn = σn
−∞
∞
dr r
n−1
exp
0
− 21 r2
= 2
|{z}
t=r2 /2
n−2
2
Z
σn
0
|
∞
e−t t
{z
(3)
n−2
2
Γ(n/2)
dt .
}
(4)
Vergleichen liefert Gl. (1), wobei Γ(x) die Eulersche Gammafunktion ist.
(b) Aus S(U, V, N ) finden Sie die Temperatur, den Druck und das chemische Potential.
Lösung:
Wir gehen aus von der Entropie, Gl. (2), die wir in Aufgabe 1(a) berechnet haben.
Im mikrokanonische Ensemble ist die innere Energie festgelegt: U = E. Also gilt
für die Funktion S offensichtlich S = S(U, V, N ). Dann benutzen wir die thermo”
dynamische Fundamentalbeziehung“:
T S = U + pV − µN
⇒
S =
U + pV − µN
T
Wir berechnen das Differential
∂S ∂S dS =
dU +
∂U ∂V p
µ
∂S 1
dV −
dN = dU + dV − dN
∂N V,U
T
T
T
U,N
V,N
damit erhalten wir dann:
1
∂S 2E
3 N kB
=
⇒
T =
,
=
T
∂U V,N
2 U
3N kB
p
∂S N kB
N kB T
2E
=
=
⇒
p =
=
T
∂V U,N
V
V
3V
und:
µ
∂S 8V (πmE)3/2
= −
= −kB ln 3/2
T
∂N U,V
3 (2π~)3 N 5/2
⇒
⇒
mkB E
E
ln
2
N 3π~ kB N (N/V )2/3
mkB T
3kB T
ln
µ=−
,
2
2π~2 n2/3
µ=−
wobei wir die Dichte n = N/V gesetzt haben.
Wir haben also jeweils für die Temperatur und den Druck die ideale Gasgleichung
reproduziert, wobei wir von der statistischen Definition der Entropie ausgegangen
sind.
2. Harmonischer Oszillator:
(8+8=16 Punkte)
(a) Betrachten Sie den eindimensionalen harmonischen Oszillator mit der klassischen
Hamilton-Funktion
mω 2 q 2
p2
+
.
H=
2m
2
Ausgehend vom kanonischen Zustandsintegral,
Z
dqdp −βH
Z=
e
,
2π~
berechnen Sie (i) die freie Energie, (ii) die Entropie, (iii) die innere Energie und (iv)
die spezifische Wärme als Funktionen der Temperatur.
Lösung:
Zustandsintegral:
Z
Z
Z
β 2
m 2 2
dqdp −βH
1
kB T
− 2m
p
Z=
e
=
⇒
dp e
dq e−β 2 ω q
Z=
.
2π~
2π~
~ω
|
{z
} |
{z
}
1/2
2πm 1/2
2π
( β )
βmω 2
Damit erhalten wir
F = −kB T ln Z
⇒
F = −kB T ln
∂F
∂T
⇒
S = kB ln
⇒
U = kB T
⇒
cV = kB
S=−
U = F + TS
∂U
cV =
∂T V
kB T
~ω
kB T
+ kB
~ω
(b) Wiederholen Sie die unter (a) durchgeführten Berechnungen für den quantenmechanischen Fall,
1
†
Ĥ = ~ω â â +
2
indem Sie von der kanonischen Zustandssumme
Z=
∞
X
e−βEn ,
n=0
ausgehen. Diskutieren Sie die innere Energie und die spezifische Wärme für hohe
und tiefe Temperaturen.
Lösung:
Z=
∞
X
e−β~ω(n+1/2) = e−β~ω/2
n=0
F = −kB T ln Z
∂F
S=−
∂T
∂U
∂T
⇒
V
~ω
2T
2
1
cV =
kB
U = kB T,
T →0 :
~ω
U=
coth
2
⇒
T →∞ :
1
cV =
kB
Z=
1
2 sinh (β~ω/2)
~ω
F = kB T ln 2 sinh
2kB T
⇒
U = F + TS
cV =
⇒
~ω
~ω
~ω
coth
S = −kB ln 2 sinh
+
2kB T
2T
2kB T
⇒
1
1 − e−β~ω
~ω
exp −
kB T
U=
~ω
2
~ω
2T
cV = kB
~ω
2kB T
2
sinh2
1
~ω
2kB T
(wie klassisch)
(Nullpunktsenergie)
∆2
∆
∝ 2 exp −
,
T
kB T
3. Schwankungen im großkanonischen Ensemble:
∆ = ~ω = Energielücke.
(10 Punkte)
Beweisen Sie die folgende Relation für die Kleinheit der Energie- und Teilchenzahlschwankungen im großkanonischen Ensemble:
p
p
h(∆E)2 i
h(∆N )2 i
1
∝
∝ √ → 0.
hEi
hN i
N
Hinweis: analog zum Beweis für Energieschwankungen im kanonischen Ensemble aus
der Vorlesung können Sie hier h(∆N )2 i auch als eine Ableitung eines entsprechenden
Mittelwertes darstellen.
Lösung:
Zustandssumme:
ZG (T, µ, V ) =
X
e−β(Eα −µNα )
α
1 X
U = hEi =
Eα e−β(Eα −µNα ) ,
ZG α
N = hN i =
1 X
Nα e−β(Eα −µNα ) .
ZG α
Schwankung der Teilchenzahl:
X
1 ∂ZG
∂ZG
−β(Eα −µNα )
= β
Nα e
⇒
= βhN i
∂µ β
Z
∂µ
β
α
1 ∂ 2 ZG
= β 2 hN 2 i
Z
∂µ2 β
2
∂hN i
1 ∂ 2 ZG
1 ∂ZG
β
=
−
= β 2 hN 2 i − (βhN i)2
∂µ β
Z
∂µ2 β Z 2 ∂µ β
∂N
1 ∂hN i
2
= kB T
⇒ h(∆N ) i =
β
∂µ β
∂µ T,V
⇒
µ – intensive Größe
∂N
∂µ
∝N
⇒
h(∆N )2 i ∝ N,
⇒
p
h(∆N )2 i
1
∝ √ → 0. (6)
hN i
N
(5)
T,V
Schwankung der Energie:
Es ist sinnvoll, β und βµ als unabhängige Variablen zu betrachten:
X
e−βEα +βµNα .
ZG = ZG (β, βµ, V ) =
α
Dann
1 ∂ 2 ZG
= −hEi ,
= hE 2 i.
2
Z
∂β
βµ
βµ
∂hEi
∂U
∂U
2
2
h(∆E) i = −
=−
= kB T
.
∂β βµ
∂β βµ,V
∂T µ ,V
1
ZG
⇒
∂ZG
∂β
T
U = hEi ∝ N
⇒
⇒
h(∆E)2 i ∝ N,
p
h(∆E)2 i
1
∝ √ → 0.
hEi
N
(7)
(8)