Barbara Gentz`s cover letter

Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Barbara Gentz
SS 2013
Vertiefung NWI: 11. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Mittwoch, 26.6.2013
11. Zufallsgrößen mit Dichten
Erinnerung
Der Satz von de Moivre-Laplace zeigt für eine mit Parametern n und p binomialverteilte Zufallsgröße
Sn , daß
Z b
Sn − np
ϕ(x) dx für n → ∞.
≤b →
P a< p
np(1 − p)
a
Motivation
p
Für große n können wir also die Ws., daß die ZV (Sn − np)/ np(1 − p) in einem Intervall (a, b]
liegt, durch ein Integral approximieren. Wir möchten nun allgemeiner Zufallsgrößen mit Werten im
Kontinuum (z.B. R , [0, ∞), [0, T ], [0, T )) mit Hilfe solcher Integrale einführen.
Definition: Dichte
Eine Funktion f : R → [0, ∞), die stückweise stetig ist, heißt Dichte, sofern
Z +∞
f (x) dx = 1
−∞
gilt.
Erläuterung
Für eine Funktioin
g ≥ 0, die auf jedem kompakten Intervall [−N, +N ] Riemann-integrierbar ist, ist
R +N
die Folge { −N
g(x) dx}N ∈N monoton wachsend in N . Ist die Folge unbeschränkt, so setzen wir
R +∞
−∞ g(x) dx = ∞, andernfalls
Z +∞
Z +N
g(x) dx = lim
−∞
N →∞ −N
g(x) dx .
Beispiele von Dichten
• Dichte der Standardnormalverteilung, vgl. Satz von de Moivre-Laplace
1
2
ϕ(x) = √ e−x /2 .
2π
• Dichte der Normalverteilung mit Erwartungswert µ ∈ R und Varianz σ 2 > 0
ϕ(x; µ, σ 2 ) = √
1
2 /2σ 2
2πσ 2
e−(x−µ)
.
Die Substitution y = (x − µ)/σ zeigt, daß x 7→ ϕ(x; µ, σ 2 ) eine Dichte ist.
• Dichte der uniformen Verteilung auf [a, b] für −∞ < a < b < ∞
(
f (x) =
1
b−a
für x ∈ [a, b]
sonst
0
• Dichte der Exponentialverteilung zum Parameter α > 0
(
f (x) =
für x < 0
für x ≥ 0
0
α e−αx
Definition: Dichte und Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße
f sei eine Dichte. Dann heißt eine Zufallsgröße X absolutstetig mit Dichte f , falls
FX (x) := P{X ≤ x} =
Z x
f (y) dy
−∞
∀x ∈ R .
Die Funktion FX heißt Verteilungsfunktion von X.
Warnung
Angenommen, wir haben eine ZV X derart, daß
P{a < X ≤ b} =
(∗)
Z b
f (x) dx
a
für alle a, b mit a < b (mit einer über ganz R integrierbaren Funktion f ). Dann gilt für jedes n
0 ≤ P{X = a} ≤ P{a − 1/n < X ≤ a} =
Z a
f (x) dx → 0
für n → ∞
a−1/n
Das heißt, für jedes a gilt
P{X = a} = 0 .
Eine diskrete Zufallsgröße kann somit die Eigenschaft (*) nicht haben!
2
Bemerkungen
• Im Rahmen dieser Vorlesung nehmen wir einige Einschränkungen in Kauf: Wir zeigen z.B. nicht,
unter welchen Voraussetzungen eine Dichte existiert. Auch spezifizieren wir den Wahrscheinlichkeitsraum nicht. Hier gilt es zu beachten, daß P{X ∈ A} in der Regel nicht für alle Teilmengen
von R definiert werden kann. Uns soll genügen, daß alles gutgeht, wenn wir uns auf Mengen A beschränken, die durch höchstens abzählbare Vereinigungen und Schnitte von Intervallen
dargestellt werden können.
• Vergleichen Sie die bekannten Eigenschaften der Verteilungsfunktion für diskrete Zufallsgrößen
mit jenen der Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße mit Dichte:
– Verteilungsfunktionen sind monoton wachsend
– Es gelten limx→−∞ FX (x) = 0 und limx→∞ FX (x) = 1
– Falls die Zufallsgröße X eine Dichte hat, so ist die Verteilungsfunktion FX stetig. Für
diskrete Zufallsgrößen dagegen ist die Verteilungsfunktion stückweise konstant.
(Machen Sie zwei Skizzen!)
• Dichten sind nicht eindeutig bestimmt.
(Beispiel: weitere Dichten für die uniforme Verteilung)
• Ist die Dichte f stetig in einem Punkt a, so gilt
dFX (y) .
f (a) =
dy y=a
Beispiele
• Verteilungsfunktion der uniformen Verteilung
• Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung
• Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
Sprechweise
Eine ZG heißt normalverteilt, uniform verteilt, exponentialverteilt, etc, falls sie eine entsprechende
Dichte hat.
Rechenregeln
Hat X eine Dichte f , so gelten für alle −∞ ≤ a < b ≤ ∞
• P{a < X < b} = P{a ≤ X ≤ b} = P{a ≤ X < b} = P{a < X ≤ b}
• P{a < X ≤ b} =
Z b
a
f (x) dx = P{X ≤ b} − P{X ≤ a} = FX (b) − FX (a)
• P{X ≤ b} = FX (b) =
• P{a < X} =
Z ∞
a
Z b
f (x) dx
−∞
f (x) dx = 1 −
Z a
−∞
f (x) dx = 1 − P{X ≤ a} = 1 − FX (a)
3
Beispiel
Berechnen der Wahrscheinlichkeit, daß eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit Parameter α einen
Wert größer als a annimmt bzw. einen Wert zwischen a und b.
• Direktes Ausrechnen des entsprechenden Integrals
• Erst Berechnen der Verteilungsfunktion, dann der Ws.
Definition: Erwartungswert und Varianz
Sei X eine Zufallsgröße mit einer Dichte f .
∞
• Falls −∞
|x|f (x) dx < ∞, so sagen wir, daß der Erwartungswert von X existiert. Er ist in
diesem Fall gegeben durch
R
E[X] =
Z ∞
Z N
xf (x) dx = lim
N →∞ −N
−∞
xf (x) dx .
(Warnung: So dürfen wir nur rechnen, wenn wir bereits gezeigt haben, daß der Erwartungswert
existiert.)
• Falls der Erwartungswert von X existiert, definieren wir die Varianz von X als
Z ∞
Var(X) =
−∞
(x − E[X])2 f (x) dx .
Ist Var(X) < ∞, so sagen wir, daß die Varianz existiert.
Bemerkung
Vergleichen Sie mit dem Fall diskreter Zufallsgrößen.
Beispiele (siehe Tabelle im Anhang)
• Uniforme Verteilung (direktes Ausrechnen – warum ist der Erwartungswert (a + b)/2 ?)
• Normalverteilung (verwende Substitution)
• Exponentialverteilung (verwende partielle Integration)
Bemerkung
Die bekannten Rechenregeln gelten weiter:
• Linearität des Erwartungswerts
• Var(aX + b) = a2 Var(X) für a, b ∈ R
• Var(X) = E[X 2 ] − (E[X])2
• Tschebyscheffsche Ungleichung
4
p
=
=
µ = 0,
µ = 0,
p
2
3/2
=1
µ = 1/2,
Normalverteilung
= 1)
(µ = 0,
Parameter
Standardnormalverteilung
Verteilung
-4
-4
-4
-4
-2
-2
-2
-2
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.1
0.2
0.3
0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
2
2
2
2
Dichte
4
4
4
4
Verteilungsfunktion
↵=2
↵ = 1/2
↵=1
a = 0, b = 3/2
uniforme
Verteilung
Exponentialverteilung
Parameter
Verteilung
0.4
1
2
3
3
5
5
-1
0.5
1
1.5
2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
-1
-1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
0.4
0.2
0.4
0.6
0.2
0.6
4
4
1
2
0.8
1
1
0.1
0.2
0.3
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
Verteilungsfunktion
0.8
-1
0.6
0.5
Dichte
Exponentialverteilung
uniforme
Verteilung
µ ∈ R, σ > 0
Normalverteilung



ϕ(x; µ, σ) = √
α>0
f (x) =

0


 αe−αx
e
−(x−µ)2 /2σ 2
sonst
für x ≥ 0
sonst
für x ∈ [a, b]
2πσ 2
1
1
2
ϕ(x) = √ e−x /2
2π
Dichte
1
b−a
a, b ∈ R, a < b f (x) =

0
(µ = 0, σ = 1)
Parameter
Standardnormalverteilung
Verteilung
x
−∞
Z
−∞
x
F (x) =

 1 − e−αx


0
für x ≥ 0
für x < 0
für x > b
für a ≤ x ≤ b
für x < a
ϕ(y; µ, σ) dy
ϕ(y) dy



0


x−a
F (x) =

b−a



1
F (x) =
Φ(x) =
Z
Verteilungsfunktion
Zufallsgrößen mit Dichten
1/α
(a + b)/2
µ
0
Erwartungswert
1/α2
(a − b)2 /12
σ2
1
Varianz