Universität Tübingen Fachbereich Mathematik Professor Dr. R

Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
20.04.16
Fourier-Analysis
SS 2016
1.Übung
AUFGABE 1:
Zeigen Sie supp δx = {x} und geben Sie eine Distribution Λ auf Rn mit supp Λ = Rn
an.
AUFGABE 2:
Zeigen Sie ein lineares Funktional Λ auf C0∞ (Ω) mit Ω ⊆ Rn offen und nichtleer, für das
ein N ∈ N0 und C < ∞ mit
|Λϕ| ≤ C k ϕ kN,Ω
∀ϕ ∈ C0∞ (Ω)
existiert, ist eine Distribution auf Ω . Geben Sie umgekehrt eine Distribution Λ auf Ω
an, für die kein solches N ∈ N0 und C < ∞ existiert.
AUFGABE 3:
Zeigen Sie auf C0∞ (Rn ) ist die Konvergenz
ϕk →∗ ϕ :⇐⇒ ∂ γ ϕk → ∂ γ ϕ gleichmässig in Rn für alle Multiindices γ
metrisierbar, d.h. es existiert eine Metrik d∗ auf C0∞ (Rn ) mit
ϕk →∗ ϕ ⇐⇒ d∗ (ϕk , ϕ) → 0.
AUFGABE 4:
Zeigen Sie für die Einheitssprungfunktion H : R → {0, 1} , d.h. H(t) := 1 für t >
0, H(t) := 0 für t ≤ 0 , und die Dirac-Distribution δ0 bei 0 , dass
(ΛH )′ = δ0 ,
wobei Λ′ ϕ := −Λ(ϕ′ ) .
Abgabetermin ist Mittwoch, 27.04.16.
2
Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
27.04.16
Fourier-Analysis
SS 2016
2.Übung
AUFGABE 5:
Zeigen Sie es existiert keine Metrik d auf C0∞ (Ω), Ω ⊆ Rn offen und nichtleer, mit
ϕk → ϕ ⇐⇒ d(ϕk , ϕ) → 0.
(Hinweis: Wählen Sie eine Folge xk ∈ Ω ohne Häufungspunkt in Ω und ϕk ∈
C0∞ (Ω) mit ϕk (xk ) 6= 0 . Zeigen Sie, es existiert Nk ∈ N mit d(ϕk /Nk , 0) < 1/k . Dann
gilt d(ϕk /Nk , 0) → 0 , aber ϕk /Nk 6→ 0 .)
AUFGABE 6:
Es sei Λ eine Distribution auf R mit
Λ′ = Λf
für ein stetiges f : R → R . Zeigen Sie Λ = ΛF für eine Stammfunktion F von f .
AUFGABE 7:
P∞
Zeigen Sie für rk > 0 mit
k=1 rk < ∞ definiert
Λϕ :=
∞
X
(ϕ(rk ) − ϕ(0))
für ϕ ∈ C0∞ (R)
k=1
eine Distribution Λ auf R der Ordnung 1 und mit
supp Λ = {rk | k ∈ N } ∪ {0}.
AUFGABE 8:
Es sei Λ eine Distribution auf Rn mit supp Λ ⊆ B1 (0) . Zeigen Sie für ϕ ∈ C0∞ (Rn )
mit
ϕ = 0 in B1 (0),
dass Λϕ = 0 .
(Hinweis: Gehen Sie den Beweis von Proposition 1.3 durch.)
Abgabetermin ist Mittwoch, 04.05.16.
2
Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
04.05.16
Fourier-Analysis
SS 2016
3.Übung
AUFGABE 9:
Zeigen Sie für Λ ∈ C0∞ (Rn )∗ , ϕ ∈ C0∞ (Rn ) , dass
Λ ∗ Λϕ = ΛΛ∗ϕ .
AUFGABE 10:
Zeigen Sie für die Einheitssprungfunktion H : R → {0, 1} , d.h. H(t) := 1 für t >
0, H(t) := 0 für t ≤ 0 , und die Dirac-Distribution δ0 bei 0 , dass
δ0′ ∗ ΛH = δ0 ,
Λ1 ∗ δ0′ = 0,
insbesondere
Λ1 ∗ (δ0′ ∗ ΛH ) = Λ1 6= 0 = (Λ1 ∗ δ0′ ) ∗ ΛH ,
und die Multiplikation ist nicht assoziativ. Erklären Sie, warum dies nicht im Widerspruch
zu Proposition 1.10 steht.
AUFGABE 11:
Es sei f ∈ L1 (Rn ), g(x) := f (Ax) für ein A ∈ Rn×n invertierbar. Berechnen Sie ĝ .
AUFGABE 12:
Es sei fk (x) := 1/(πx) für 1/k < |x| < k, fk (x) := 0 für |x| ≤ 1/k oder k ≤ |x| . Zeigen
Sie fˆk sind gleichmässig beschränkt und
fˆk (y) → −i · sgn(y) für y ∈ R,
wobei sgn(y) := y/|y| für y 6= 0, sgn(0) := 0 das Vorzeichen von y ∈ R ist. Zeigen Sie
andererseits
k fk kL1 (R) → ∞
und schliessen Sie daraus, es gibt kein c0 > 0 mit
k f kL∞ (R) ≥ c0 k f kL1 (R)
∀f ∈ L1 (R).
(Hinweis: Verwenden Sie den Wert des Dirichlet Integrals limt→∞
Abgabetermin ist Mittwoch, 11.05.16.
Rt
0 (sin y/y)
dy = π/2 .)
2
Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
11.05.16
Fourier-Analysis
SS 2016
4.Übung
AUFGABE 13:
Es sei f ∈ L1 (Rn ), f 6= 0, mit fˆ = λf für ein λ ∈ C . Zeigen Sie λ4 = 1 .
AUFGABE 14:
Zeigen Sie für u ∈ Sn ∪ C02 (Rn ) , dass
ξk ξl c
∂d
∆u,
kl u =
|ξ|2
c
insbesondere |∂d
kl u| ≤ |∆u| , wobei ∆u = ∂11 u + . . . + ∂nn u . Schliessen Sie daraus für
2
n
u ∈ Sn ∪ C0 (R ), u harmonisch, d.h. ∆u = 0 , dass u = 0 .
AUFGABE 15:
∞ (Rn ) mit
Zeigen Sie für f ∈ Cloc
(1 + |ξ|2 )N D γ f ∈ L1 (Rn )
∀N ∈ N0 , γ ∈ Nn0 ,
dass f ∈ Sn .
(Hinweis: Zeigen Sie zuerst fˆ ∈ Sn .)
AUFGABE 16:
Zeigen Sie für f, g ∈ L2 (Rn ) , dass
fˆ ∗ ĝ = fcg,
wobei die Faltung für ϕ, ψ ∈ L2 (Rn ) durch
Z
(ϕ ∗ ψ)(x) := ϕ(x − y)ψ(y) dy
Rn
für alle x ∈ Rn wohldefiniert ist.
(Hinweis: Zeigen Sie die Identität zuerst für f, g ∈ Sn .)
Abgabetermin ist Mittwoch, 25.05.16.
2
Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
25.05.16
Fourier-Analysis
SS 2016
5.Übung
AUFGABE 17:
Für f ∈ L2 (R) definieren wir die Hilbert-Transformation
Hf := lim
R→∞
1
y→
7
π
ZR
1/R
+
−1/R
Z
−R
f (y − x)
x
dx .
Zeigen Sie, dass dieser Limes in L2 (R) existiert,
k Hf kL2 (R) ≤k f kL2 (R)
und H 2 f = −f .
(Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 12.)
AUFGABE 18:
Zeigen Sie, die Plancherel-Transformation F : L2 (R2 ) → L2 (R2 ) ist ihre eigene duale
R
≈
Abbildung unter der Isometrie L : L2 (Rn ) −→ L2 (Rn )∗ mit Lf .g := f g dLn .
R
R
(Hinweis: Zeigen Sie f ĝ dLn = fˆg dLn für f, g ∈ L2 (Rn ) .)
AUFGABE 18∗ :
Berechnen Sie die duale Abbildung F ∗ : M(Rn ) ≈ C∗0 (Rn )∗ → L1 (Rn )∗ ≈ L∞ (Rn )
der Fourier-Transformation F : L1 (R2 ) → C∗0 (R2 ) , wobei M(Rn ) den Raum der
endlichen komplexen Borel-Masse auf Rn bezeichnet. Zeigen Sie, dass die Einschränkung
der dualen Abbildung F ∗ auf L1 (Rn ) ֒→ L∞ (Rn )∗ → C∗0 (Rn )∗ ≈ M(Rn ), f 7→ f Ln ,
durch die Fourier-Transformation selbst gegeben ist, d.h.
F ∗ (f Ln ) = Ff
für alle f ∈ L1 (Rn ).
AUFGABE 19:
Zeigen Sie für ϕ, ψ ∈ Sn , dass
k ϕψ kSn ,N ≤ Cn,N k ϕ kSn ,N k ψ kSn ,N .
AUFGABE 20:
Es seien f, g ∈ L1loc (R) mit f (t) := et , g(t) := et cos(et ) . Zeigen Sie für die induzierten
Distributionen Λf , Λg , dass Λg eine gemässigte Distribution ist, während Λf keine
gemässigte Distribution ist.
Abgabetermin ist Mittwoch, 01.06.16.
2
Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
01.06.16
Fourier-Analysis
SS 2016
6.Übung
AUFGABE 21:
∞ (Rn ) ist stetig und S liegt in C ∞ (Rn ) dicht.
Zeigen Sie, die Inklusion i : Sn ֒→ Cloc
n
loc
AUFGABE 22:
Zeigen Sie mit dem Argument zu Beginn des Beweises von Proposition 3.4 für ϕ ∈ Sn , N ∈
N, 0 < |h| ≤ 1 , dass
k ϕ(. + hek ) − ϕ kSn ,N ≤ 4N |h| k ∂k ϕ kSn ,N
und schliessen Sie daraus
k ϕ(. + x) − ϕ kSn ,N ≤ Cn,N |x| k ϕ kSn ,N +1
für |x| ≤ 1.
AUFGABE 23:
Zeigen Sie für Λ ∈ Sn∗ mit ∆Λ = 0 , wobei ∆ = ∂11 + . . . + ∂nn , dass Λ = P (ξ) für ein
harmonisches Polynom P ∈ C[ξ1 , . . . , ξn ] , d.h. ∆P = 0 .
Geben Sie eine harmonische Funktion in Rn , n ≥ 2 , an, die kein Polynom ist.
(Hinweis: Zeigen Sie supp Λ̂ ⊆ {0} und verwenden Sie Proposition 1.3.)
AUFGABE 24:
∞ (Rn ) mit
Zeigen Sie, zu jedem ϕ ∈ Sn , n ≥ 3, existiert ein ψ ∈ Cloc
∆ψ = ϕ in Rn ,
wobei ∆ = ∂11 + . . . + ∂nn .
(Hinweis: Zeigen Sie Λ := −1/|2πξ|2 ist für n ≥ 3 eine gemässigte Distribution und set∞ (Rn ) .)
zen Sie ψ := Λ̂ ∗ ϕ ∈ Cloc
Abgabetermin ist Mittwoch, 08.06.16.
2
Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
08.06.16
Fourier-Analysis
SS 2016
7.Übung
AUFGABE 25:
Zeigen Sie für Λ ∈ H s (Rn ) für ein s ∈ R gilt Λ̂ ∈ L2loc (Rn ) , und schliessen Sie daraus,
dass kein Polynom P ∈ C[ξ1 , . . . , ξn ] − {0} in ∪s∈R H s (Rn ) liegt.
AUFGABE 26:
Es sei
W 1,2 (Rn ) := {f ∈ L2 (Rn ) | ∃fk ∈ L2 (Rn ) : ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ) :
R
R
n
n
Rn f ∂k ϕ dL = − Rn fk ϕ dL , k = 1, . . . , n }
P
mit der Norm k f kW 1,2 (Rn ) :=k f kL2 (Rn ) + nk=1 k fk kL2 (Rn ) . Zeigen Sie H 1 (Rn ) ∼
=
W 1,2 (Rn ) und C0∞ (Rn ) liegt dicht in H 1 (Rn ) ∼
= W 1,2 (Rn ) .
AUFGABE 27:
Zeigen Sie für ϕ ∈ Sn , dass
k ∇ϕ k2L2 (Rn ) ≤k ∆ϕ kL2 (Rn ) k ϕ kL2 (Rn )
und
k (∂kl ϕ)k,l=1,...,n kL2 (Rn ) ≤k ∆ϕ kL2 (Rn )
P
mit |(∂kl ϕ)k,l=1,...,n |2 = nk,l=1 |∂kl ϕ|2 .
AUFGABE 28:
Zeigen Sie die Abbildung
Λ ∈ H s (Rn ) 7→ Λ −
1
∆Λ ∈ H s−2 (Rn )
4π 2
∼ H s−2 (Rn ) für alle s ∈ R . Schliessen Sie daraus, zu
ist eine lineare Isometrie H s (Rn ) =
jeder Distribution Λ mit kompaktem Träger supp Λ ⊆ Ω, Ω ⊆ Rn offen, existieren
fγ ∈ C00 (Ω) für |γ| ≤ N ∈ N mit
X
Λ=
∂ γ fγ .
|γ|≤N
(Hinweis: Verwenden Sie das Sobolev-Lemma.)
Abgabetermin ist Mittwoch, 15.06.16.
2
Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
15.06.16
Fourier-Analysis
SS 2016
8.Übung
AUFGABE 29:
Es sei Λ ∈ C0∞ (Ω)∗ , Ω ⊆ Rn offen. Zeigen Sie, zu jedem Ω0 ⊂⊂ Ω existiert ein t ∈ R
mit
t
Λ ∈ Hloc
(Ω0 ).
s (Ω), s ∈ R, ψ ∈ C ∞ (Ω), γ ∈ Nn , dass
Zeigen Sie weiter für Λ ∈ Hloc
0
loc
s−|γ|
D γ Λ ∈ Hloc
s
ψΛ ∈ Hloc
(Ω).
(Ω),
AUFGABE 30:
P
γ der Ordnung N ∈ N auf Ω ⊆
Für einen Differentialoperator L =
|γ|≤N cγ D
n
∞
R offen, nichtleer, mit cγ ∈ Cloc (Ω) , ist der adjungierte Differentialoperator L∗ definiert
durch
X
∞
(Ω).
L∗ u :=
D γ (c̄γ u) für u ∈ Cloc
|γ|≤N
Zeigen Sie
L∗ =
X
c∗γ D γ
|γ|≤N
∞ (Ω) und für die charakteristischen Polynome
mit geeigneten c∗γ ∈ Cloc
¯ für ξ ∈ Cn , x ∈ Ω,
PL∗ (x, ξ) = PL (x, ξ)
insbesondere ist L elliptisch genau dann, wenn L∗ elliptisch ist.
Zeigen Sie weiter
Z
Z
n
Lu · v̄ dL = u · L∗ v dLn
Ω
Ω
∞ (Ω), supp(uv)
Cloc
für u, v ∈
⊆ Ω kompakt und L∗∗ = L .
(Hinweis: Beachten Sie Dk = (2πi)−1 ∂k , also D̄k = −Dk .)
AUFGABE 31:
Zeigen Sie, der Differentialoperator L := ∂12 ist nicht elliptisch, und weiter ist für
f, g ∈ L1loc (R), F (x, y) := f (x) + g(y) , eine Lösung von
LF = 0 in R2
mit F ∈ L1loc (R2 ) ⊆ S2∗ und F ∈ ∪t∈R H t (Rn ) , wenn f, g kompakte Träger haben.
AUFGABE 32:
Es sei L ein Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten und mit der Regularität
für alle Ω offen, beschränkt,
u ∈ L2 (Ω), Lu = 0 =⇒ Du ∈ L2loc (Ω).
Zeigen Sie
∞
u ∈ L2 (Ω), Lu = 0 =⇒ u ∈ Cloc
(Ω).
(Hinweis: Beachten Sie Lu = 0 ⇒ L(Du) = 0 und verwenden Sie eine adaptierte Version
von Aufgabe 26 und das Sobolev-Lemma.)
Abgabetermin ist Mittwoch, 22.06.16.
2
Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
22.06.16
Fourier-Analysis
SS 2016
9.Übung
AUFGABE 33:
Zeigen Sie
ϕα (z) :=
z−α
ᾱz − 1
für |z| < 1
ist für |α| < 1 harmonisch in B1 (0) ⊆ C mit
|ϕα | ≤ 1,
|ϕ′α (α)| = (1 − |α|2 )−1 → ∞ für |α| → 1.
AUFGABE 34:
∞ (B (0), C), B (0) ⊆ C , mit
Es sei ϕ, a ∈ Cloc
1
1
∂z̄ ϕ = aϕ in B1 (0),
∞ (B
wobei ∂z̄ = (∂1 + i∂2 )/2 . Zeigen Sie, es existiert g ∈ Cloc
1/2 (0), C), g 6= 0 in B1/2 (0) ,
so dass ϕg holomorph ist, insbesondere können sich für ϕ 6≡ 0 die Nullstellen von
ϕ in B1 (0) nicht häufen.
(Hinweis: Setzen Sie g := e−A für ∂z̄ A = a .)
AUFGABE 35:
Zeigen Sie
λ−n
[
−λ = c
|ξ|
für 0 < λ < n
n,λ |ξ|
mit
cn,λ = π
λ−(n/2)
n−λ
)
2
λ
Γ( )
2
Γ(
für die Γ−Funktion, und schliessen Sie
Γ∆ = cn |ξ|2−n
für n ≥ 3
ist eine Fundamentallösung des Laplaceoperators ∆ für cn = (n(2 − n)ωn )−1 mit ωn =
Ln (B1 (0)) .
[
−λ = f ∈
(Hinweis: Beachten Sie |ξ|−λ ∈ L1 (R) + L2 (Rn ) für n/2 < λ < n , also |ξ|
λ
C∗0 (Rn ) + L2 (Rn ) ⊆ L1loc (Rn ) , und zeigen Sie fλ ist rotationssymmetrisch, d.h. fλ (x) =
fλ (|x|) , und homogen vom Grad λ−n . Den Wert der Konstanten
ergibt sich
R mit Hilfe der
R
Funktion Φ = Φ̂ = exp(−π|ξ|2 ) aus der Identiät cn,λ Rn |ξ|λ−n Φ dLn = Rn |ξ|−λ Φ dLn
und den Eigenschaften der Γ−Funktion.)
AUFGABE 36:
Zeigen Sie für den Cauchy-Riemman Differentialoperator L = ∂z̄ = (∂1 + i∂2 )/2 in C mit
charakteristischem Polynom P (z) = P (x + iy) = πi(x + iy) = πiz ist
\
\
ΓCR := 1/P
(−ξ) = −1/(πiz)
eine Fundamentallösung von ∂z̄ und schliessen Sie, dass ψ := ΓCR |C0∞ (C − {0})
holomorph in C − {0} und vom Grad −1 ist, also ψ(z) = c/z für ein c ∈ C . Schliessen
Sie weiter, da ψ ∈ L1loc (C) ⊆ C0∞ (C)∗ eine Distribution auf ganz C ist, dass
d = −πiΓCR = −cπi/z +
1/z
X
cγ D γ δ0
γ
mit endlicher Summe und cγ ∈ C . Rechnen Sie weiter
X
−1/z = F 2 (1/z) = F − cπi/z +
cγ D γ δ0 =
γ
= −c2 π 2 /z −
X
cπicγ D γ δ0 +
γ
X
cγ ξ γ ,
γ
und schliessen Sie (cγ )γ = 0, c = 1/π , also
d = −i/z
1/z
und ΓCR = 1/(πz).
Abgabetermin ist Mittwoch, 29.06.16.
2
Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
29.06.16
Fourier-Analysis
SS 2016
10.Übung
AUFGABE 37:
Zeigen Sie 4∂z z̄ = ∆, 2∂z log |z| = 1/z und rechnen Sie mit partieller Integration und
Abschneiden
Z
Z
1
1
−1
2
−
z ∂z̄ ϕ(z) dL (z) =
log |z| · ∆ϕ(z) dL2 (z) für ϕ ∈ C0∞ (C).
π
2π
C
C
Schliessen Sie daraus
∆
und
Γ∆ :=
1
log |ξ| = δ0
2π
1
log |ξ| für n = 2,
2π
ist eine Fundamentallösung von ∆ .
(Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 36.)
AUFGABE 38:
Bestimmen Sie für das System L(u, p) := (∆u + ∇p, div u)T = (Pkl (D))kl (u, p)T , (u, p) =
(u1 , . . . , un , p), div u = ∂1 u1 + . . . ∂n un , Gewichte s1 , . . . , sn+1 ≤ 0, t1 , . . . , tn+1 ≥ 0 mit
deg Pkl (ξ) ≤ sk + tl
und
N=
für k, l = 1, . . . , n + 1,
n+1
X
(sk + tk ),
k=1
wobei N = 2n die Ordnung von L ist.
AUFGABE 39:
Es sei Ω ⊆ Rn offen, nichtleer,
W 1,2 (Ω) := {u ∈ L2 (Ω) | ∃uk ∈ L2 (Ω) : ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) :
R
R
n
n
Rn u ∂k ϕ dL = − Rn uk ϕ dL , k = 1, . . . , n }
ein Unterraum des Hilbertraums L2 (Ω, Rn+1 ) = {(u, u1 , . . . , un )}
C0∞ (Ω) . Zeigen Sie, die duale der Abbildung
div : W01,2 (Ω, Rn ) → L2 (Ω), u 7→ div u,
und
W01,2 (Ω) =
ist −∇ : L2 (Ω) → W01,2 (Ω, Rn )∗ mit
Z
(∇p)u := − p · div u dLn
für u ∈ W01,2 (Ω, Rn )n .
Ω
Zeigen Sie für beschränktes Ω , das eine Poincaré-Ungleichung erfüllt, d.h.
für alle u ∈ W01,2 (Ω, Rn ),
k u kL2 (Ω) ≤ C k ∇u kL2 (Ω)
ist
hhu, vii :=
Z
∇u · ∇v dLn
Ω
ein Skalarprodukt, das eine äquivalente Norm auf W01,2 (Ω, Rn ) erzeugt, und zu jedem
f ∈ L2 (Ω, Rn ) existiert genau ein u ∈ ker div ⊆ W01,2 (Ω, Rn ) mit
Z
Z
n
− ∇u · ∇v dL = f · v dLn für alle v ∈ ker div.
Ω
Ω
(Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Riesz für das Skalarprodukt hh., .ii auf ker div .)
Zeigen Sie für Λ = (Λk )k=1,...,n mit Λk := fk − ∆uk ∈ C0∞ (Ω)∗ , dass
div u := ∂k uk = 0 als Distribution,
div Λ := ∂k Λk = div f,
∂l Λk = ∂k Λl für k, l = 1, . . . , n,
n
P
∆Λk =
∂ll Λk = ∂k div f für k = 1, . . . , n.
l=1
∞ (Ω, Rn ) , so schliessen Sie Λ , u ∈ C ∞ (Ω) , und ist weiter zusätzlich
Ist zusätzlich f ∈ Cloc
k k
loc
∞ (Ω, R) mit ∇p = Λ .
Ω einfach zusammenhängend, so schliessen Sie, es existiert p ∈ Cloc
∞ (Ω)n+1 ist eine Lösung von
Zeigen Sie schliesslich, (u, p) ∈ Cloc
L(u, p) := (∆u + ∇p, div u) = (f, 0)
in Ω.
∗ Geht
dies auch für nicht einfach zusammenhängendes Ω ?
AUFGABE 40:
Es seien X, Y topologische Vektorräume, deren Topologie durch die Familien von SemiY
normen (k . kX
i )i∈I bzw. (k . kj )j∈J erzeugt werden. Zeigen Sie eine lineare Abbildung
T : X → Y ist stetig genau dann, wenn
∀j ∈ J : ∃i1 , . . . , iK ∈ I : ∀x ∈ X : k T x kYj ≤ Cj,i1 ,...,iK
K
X
k x kX
ik
k=1
für ein Cj,i1 ,...,iK < ∞ . Insbesondere ist ein lineares Funktional Λ : X → C genau dann
stetig, wenn C < ∞, i ∈ I existieren mit
|Λx| ≤ C k x kX
i
für alle x ∈ X.
Abgabetermin ist Mittwoch, 06.07.16.
2
Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
06.07.16
Fourier-Analysis
SS 2016
11.Übung
AUFGABE 41:
Es sei C0∞ (Ω), Ω ⊆ Rn offen und nichtleer, ein topologischer Vektorraum, für den die
Evaluationen
δx : C0∞ (Ω) → C, ϕ 7→ ϕ(x), für alle x ∈ Ω stetig sind.
Zeigen Sie, C0∞ (Ω) ist von erster Kategorie, d.h. C0∞ (Ω) ist eine abzählbare Vereinigung
von abgeschlossenen, nirgends dichten Mengen.
(Hinweis: Zeigen Sie, die Unterräume DK := {ϕ ∈ C0∞ (Ω) | supp ϕ ⊆ K } sind für alle
kompakten K ⊆ Ω abgeschlossen und nirgends dicht.)
AUFGABE 42:
X sei ein reeller oder komplexer Vektorraum und k . k eine Seminorm auf X . Zeigen
Sie
Y := {x ∈ X | k x k= 0 }
ist ein Unterraum und
k x + Y k:=k x k
für x + Y ∈ X/Y
ist wohldefiniert und eine Norm auf X/Y .
AUFGABE 43:
Es sei X ein reeller oder komplexer Vektorraum und X ′ ein Unterraum der linearen
Funktionale auf X , der separierend ist, d.h. für x 6= y ∈ X gilt Λx 6= Λy für ein Λ ∈ X ′ .
Zeigen Sie
k x kΛ := |Λx| für x ∈ X
definiert eine separierende Familie von Seminormen (k . kΛ )Λ∈X ′ auf X , die X zu einem
lokalkonvexen topologischen Vektorraum macht, dessen stetige lineare Funktionale gerade
durch die Funktionale in X ′ gegeben sind, d.h. für den Dualraum X ∗ = X ′ , und in dem
die Konvergenz gegeben ist durch
xk → x ⇐⇒ ∀Λ ∈ X ′ : Λxk → Λx.
Diskutieren Sie für einen normierten Raum X den Zusammenhang zur schwachen Topologie auf X und der schwach∗ Topologie auf X ∗ .
(Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 40 und das Argument am Schluss vom Beweis von Proposition 1.3.)
AUFGABE 44:
Zeigen Sie in einem topologischen Vektorraum X , dessen Topologie durch eine separierende Familie von Seminormen (k . ki )i∈I erzeugt ist,
A ⊆ X ist beschränkt ⇐⇒ ∀i ∈ I :k . ki ist beschränkt auf A.
Abgabetermin ist Mittwoch, 13.07.16.
2
Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
13.07.16
Fourier-Analysis
SS 2016
12.Übung
AUFGABE 45:
X sei ein topologischer Vektorraum, dessen Topologie durch eine invariante Metrik erzeugt
wird, d.h. d(x + z, y + z) = d(x, y) für x, y, z ∈ X . Zeigen Sie eine Folge in X ist
eine Cauchyfolge in X als topologischem Vektorraum genau dann, wenn die Folge eine
Cauchyfolge bezüglich d ist, insbesondere ist X in einer invarianten, die Topologie
erzeugenden Metrik vollständig, so ist X in jeder invarianten, die Topologie erzeugenden
Metrik vollständig.
AUFGABE 46:
∞ (Ω) bzw. D , K ⊆ Ω kompakt, Ω ⊆ Rn offen, seien die lokalkonvexen topologischen
Cloc
K
Vektorräume mit der invarianten Metrik
d(ϕ, ψ) :=
∞
X
2−N min(1, k ϕ − ψ kN,ΩN ),
N =1
wobei ΩN ⊆ ΩN +1 offen, ΩN ⊆ Ω kompakt und Ω = ∪∞
N =1 ΩN . Zeigen Sie keiner der
Bälle
B̺ (0) bzw. B̺ (0) ∩ DK für ̺ > 0
∞ (Ω) bzw. D
ist in Cloc
K beschränkt.
AUFGABE 47:
Zeigen Sie die stetigen linearen Funktionale auf C0∞ (Ω) mit Ω ⊆ Rn offen, d.h. die
Distributionen auf Ω , sind separierend auf C0∞ (Ω) .
(Bemerkung: Mit dem Satz von Hahn-Banach ist für jeden lokalkonvexen topologischen
Vektorraum X der Dualraum X ∗ separierend.)
Zeigen Sie ϕk → ϕ konvergiert in der schwachen Topologie auf C0∞ (Ω) aus Aufgabe 43
genau dann, wenn
ϕk → ϕ in C0∞ (Ω).
Schliessen Sie
idC0∞ (Ω) : C0∞ (Ω) → C0∞ (Ω)w := C0∞ (Ω), schwache Topologie
ist stetig und die Inverse ist folgenstetig. Zeigen Sie idC0∞ (Ω) ist kein Homoemorphismus
und schliessen Sie C0∞ (Ω) ∼
6 C0∞ (Ω)w .
=
(Hinweis: Schliessen Sie aus ϕk → ϕ schwach in C0∞ (Ω) mit dem Prinzip der gleichmässigen Beschränkheit in L1 (Ω)∗ = L∞ (Ω) , dass {∂ γ ϕk }k∈N für alle Multiindices
γ beschränkt in L∞ (Ω) ist.
Zeigen Sie, falls ∪∞
k=1 supp ϕk 6⊆ K für alle kompakten K ⊆ Ω , so existiert nach Überk−1
gang zu einer Teilfolge xk ∈ Ω − ∪l=1
supp ϕl , ϕk (xk ) 6= 0 und xP
haben keik
∞
nen Häufungspunkt in Ω . Betrachten Sie nun die Distribution Λ :=
k=1 αk δxk ∈
C0∞ (Ω)∗ mit geeigneten αk ∈ C .
(Bemerkung: Da {ϕk |k ∈ N} in C0∞ (Ω) schwach beschränkt ist, ist diese Menge auch in
C0∞ (Ω) beschränkt, siehe [Ru-b] 3.18.)
Schliessen Sie, wenn idC0∞ (Ω) ein Homoemorphismus wäre, so wäre auch idDK : DK →
DK,w ein Homoemorphismus, was aber mit Aufagbe 47∗ nicht der Fall ist.)
AUFGABE 47∗ :
∞ (Ω) mit Ω ⊆ Rn offen, sind separieZeigen Sie die stetigen linearen Funktionale auf Cloc
∞ (Ω) , und ϕ → ϕ konvergiert in der schwachen Topologie auf C ∞ (Ω) aus
rend auf Cloc
k
loc
Aufgabe 43 genau dann, wenn
∞
ϕk → ϕ in Cloc
(Ω).
Schliessen Sie
id
∞ (Ω)
Cloc
:
∞ (Ω)
Cloc
→
∞ (Ω)
Cloc
w
∞
:= Cloc (Ω), schwache Topologie ,
idDK : DK → DK,w für K ⊆ Ω kompakt,
sind stetig und die Inversen sind folgenstetig. Zeigen Sie
∞
(Ω)w
Cloc
und DK,w für int(K) 6= ∅
∞ (Ω) ∼
6
besitzen keine abzählbaren lokalen Umgebungsbasen bei 0 , insbesondere Cloc
=
∞
∼
Cloc (Ω)w und DK =
6 DK,w für int(K) 6= ∅ .
∞ (Ω) mit dem Prinzip der gleichmässi(Hinweis: Schliessen Sie aus ϕk → ϕ schwach in Cloc
1
∗
∞
gen Beschränkheit in L (K) = L (K) für alle kompakten K ⊆ Ω , dass {∂ γ ϕk }k∈N
für alle Multiindices γ beschränkt in L∞ (K) ist.
Zeigen Sie, würden abzählbare viele Seminormen (k . kΛk )k∈N , Λk ∈ X ∗ , X =
∞ (Ω) oder D
Cloc
K , aus Aufgabe 43 bereits die schwache Topologie von X erzeugen,
so wäre X ∗ = span{Λk |k ∈ N} . Da aber {δx }x∈Ω oder int(K) ⊆ X ∗ linear unabhängig
∞ (Ω) oder D mit int(K) 6= ∅ ist, ist dies nicht möglich.)
und überabzählbar für X = Cloc
K
AUFGABE 48:
Zeigen Sie eine Folge von Distributionen Λk , Λ auf Ω ⊆ Rn offen, d.h. Λk , Λ ∈ C0∞ (Ω)∗ ,
konvergiert Λk → Λ in der schwach∗ Topologie auf C0∞ (Ω)∗ aus Aufgabe 43 genau dann,
wenn
Λk ϕ → Λϕ für alle ϕ ∈ C0∞ (Ω).
Zeigen Sie in diesem Fall weiter für alle Multiindices γ
∂ γ Λk → ∂ γ Λ
schwach∗ in C0∞ (Ω)∗ .
AUFGABE 48∗ :
Für Distributionen Λk ∈ C0∞ (Ω)∗ mit Ω ⊆ Rn offen existiere
Λϕ := lim Λk ϕ für alle ϕ ∈ C0∞ (Ω).
k→∞
2
Zeigen Sie Λ ∈ C0∞ (Ω)∗ und Λk → Λ schwach∗ in C0∞ (Ω)∗
∞ (Ω) , dass
ψ in Cloc
ψk Λk → ψΛ schwach∗ in C0∞ (Ω)∗ .
und weiter für
ψk →
(Hinweis: Verwenden Sie das Prinzip der gleichmässigen Beschränkheit auf den FrechetRäumen DK .)
Keine Abgabe.
3
4