B - Max-Planck-Institut für Plasmaphysik

Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
Phänomene astrophysikalischer Plasmen und deren Beschreibung
Zusammenfassung des 1. Teils und Ausblick auf den 2. Teil
Abbildung: http://de.wikipedia.org/wiki/Magnetosph%C3%A4re
Wolfgang Suttrop, Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, Garching
1
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
2
Inhalt
• Phänomene
Hydrostatische Gleichgewichte (Sterninneres, Atmosphäre/Ionosphäre); Teilchenbewegung
im Magnetfeld, ionosphärische elektrische Ströme; Magnetfeldtransport, Rekonnektion,
Magnetosphäre; Sonnenkorona, Sonnenwind; Diskontinuitäten: Stoßwellen,
Magnetopause; Wellenanregung, -ausbreitung; Instabilitäten
• Beschreibung
Einzelteilchenbeschreibung, Kinetische Beschreibung, Flüssigkeitsbild,
Ein-Flüssigkeitsnäherung (MHD), Magnetischer Drucktensor, Wellen und Instabilitäten
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
3
Literaturempfehlung
Gurnett, Bhattacharjee
Introduction to plasma physics
ISBN 0-521-36483-3
Boyd, Sanderson
The Physics of Plasmas
ISBN 0-521-45290-2
Baumjohann, Treumann
Basic Space Plasma Physics
ISBN 1-86094-017-X
Treumann, Baumjohann
Advanced Space Plasma Physics
ISBN 1-86094-026-9
F F Chen
Introduction to Plasma Physics and controlled fusion
ISBN 0-306-41332-9
Goldston, Rutherford
Introduction to Plasma Physics
ISBN 0-7503-0325-5
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
4
Erdatmosphäre, Ionosphäre
• Gleichgewicht Gravitation - kinetischer Druck
(Neutrale und Ionen!)
barometrische Höhenformel
• Heizung, Ionisation durch Sonneneinstrahlung und
(UV-)Licht
Ionisationsgrad gegeben durch Ratengleichgewicht
– Photo-, Elektronenstoß-Ionisation
– (dissoziative) Rekombination
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
5
Sterneninneres
Korona
Chromosphäre
Photosphäre
Konvektionszone
StrahlungsZone
Kern
• Kraftgleichgewicht
Gravitation ↔ kin. Druck (2.2 × 1017 Pa)
(1-D Problem)
• Heizung durch Kernfusion
– CNO-Zyklus
– P-P Kette
→ Tc = 15 Mio. K
vollständig ionisiertes Plasma
• Wärmetransport
– Strahlung Ls ∝ T 3 dT /dr → heisses
Sonneninneres (< 0.7R⊙ )
– Konvektion (R > 0.7R⊙ )
- begrenzt Temperaturgradient:
dT
1 T (r) dp
= 1−
dr
γ p(r) dr
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
6
Sternentwicklung
106
O
B
Spektralklasse
A
F
G
K
M
-10
-5
He flash
AGB
2
10
L/L
Hau
ptre
1
0
RGB
ihe
+5
Abkühlen des
Kerns
10-2
-4
10
0
Weisse Zwerge
Absolute Helligkeit (Magnitude)
Abstoßen der Hülle
104
+15
(Schwarze Zwerge)
10
-6
30
+20
20
14
10
7
5
Oberflächentemperatur (1000 K)
3
2
Gravitation vs. Fusionreaktion
Kollaps bei Abbrand von H, He, . . .
Ausdehnung / Explosion bei plötzlichem
Einsetzen von Fusionsreaktion des nächst
schweren Elements (“He”-flash, Roter
Riese→Weisser Zwerg, Novae,
Supernovae)
Gegendruck:
“Normale” Sterne: Kinetischer Druck
Weisse Zwerge: Entartung der Elektronen,
“Fermi-Gas”
Neutronensterne: Neutronen-Entartung
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
7
Teilchenbewegung im Magnetfeld
Anisotropie:
• k~B:
“freie Teilchenbewegung”
(Stösse bestimmen Beweglichkeit)
Birkeland-Leitfähigkeit, ~j ∝ ~Ek
• ⊥ ~B:
Gyrationsbewegung
Pedersen-Leitfähigkeit, ~j ∝ ~E⊥
Hall-Leitfähigkeit, ~j ∝ ~E⊥ × ~B
Teilchendriften ⊥ ~B
• ~E × ~B-Drift z.B. um die Plasmasphäre
• grad B- und Krümmungsdrift
z.B. ionosphärischer
Ost-West-Driftstrom
mv2⊥
2B
Erhaltung des magn. Moments µ =
→ magnetischer Spiegel, Endverluste
abhängig vom pitch-Winkel tan α = vv⊥
k
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
8
Elektrischer Strom durch Massenströmung im Magnetfeld
Konvektives ~E-Feld:
12h
~E = −~v × ~B
Ionosphäre:
E
v
18h
• Solar Quiet Stromsystem (Winde)
15
6h
-25 kV
10
Magnetosphäre: Konvektion, Kreisstrom
• Abschirmung durch ~B × ∇B-Drift
• Plasmasphäre: ~E-Feld durch Erdrotation,
• Plasmapause: geschlossene ~E-Feldlinien
5
5
Ec
0
6h
y / RE
15
10
• Pedersen-, Hall-Ströme in der Polregion
0h
B
y / RE
• equatorial electrojet:
Erhöhte (“Cowling”-) Leitfähigkeit durch
(vertikales) ~E-Feld (Hall-Effekt)
6h
12h
Ecr
Elektronen
Es
0h
0V
0
12h
1 kV
-5
-5
E
Plasmapause
-10
-10
18h
-15
-15
0h
ΩE
Ionen
-10
-5
0
18h
+25 kV
-15
5
10
x / RE
15
-15
-10
-5
0
5
10
x / RE
15
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
9
Magnetfeld-Transport
Endlicher elektrischer Widerstand:
~E = −~v × ~B + η~j
⇒ Magnetfeld-Transport
~B˙ = ∇ × ~v × ~B − η ∇2 ~B
|
{z
} |µ0{z }
“Konvektion′′
“Diffusion′′
Elektrischer Widerstand = null:
R
Magnetischer Fluss Φ = ~Bd~S bleibt erhalten
dΦ
=
dt
Z
d (∆ S) = vdt x dl
v dt
Resistive Zeitskala (Skalenlänge L):
τR = L2 /DB = L2 µ0 /η
Skin-Tiefe:
λR =
r
η
µ0 ω
∇ × (~v × ~B) · d~S +
Z
dl
~S)
d(∆
~B ·
=0
dt
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
10
Rekonnektion
Endliche Leitfähigkeit:
Dissipation magnetischer Energie bei grad ~B 6= 0 (~j!)
vout
• Diffusion (Zerfall) von ~B und/oder
• Energiezufuhr durch Konvektion
Sweet-Parker-Modell:
2η
vin =
µ0 ∆
vout =
s
B20
= vA (Alfvén − Geschwindigkeit)
µ0 ρm
1/2
√ L
2ηL
2 1/2
=
∆=
vA µ0
S
Aber:
- Kollisionsfreie Rekonnektion möglich
- Störung der Verteilungsfunktion (beams)
vin
vin
L
∆
vout
Wichtige Beispiele:
Sonnenwind - Magnetosphäre,
Sonnenkorona
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
Die Magnetosphäre
Rekonnektionszonen (neutrale Linie, X-Linie)
B
v
Schweif
Schock
Magnetopause
11
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
12
Dynamische Vorgänge in der Magnetosphäre
Änderungen des Sonnenwinds lösen Veränderungen in
der Magnetosphäre aus
→ Magnetische Stürme
Magnetische Substürme
DNL
Strömungsgeschwindigkeit, Massenfluß:
Änderung der Rekonnektionsrate, Flußtransport.
DNL
Dynamisches Gleichegewicht Magnetfeldspannung kinetischer Druck bestimmt Form der Magnetopause.
zweite Nacht-Rekonnektionszone (Near Earth Neutral
Line), Bildung und Ablösung von Plasmoiden,
Magnetischer Substurm
Unterbrechung der polaren Stromsysteme, substorm
current wedge, stärkere atmosphärische Ströme →
messbare ~B-Störung, Polarlichter
NENL
DNL
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
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Sonnenwind, Sonnenkorona
Statisches Modell des Sonnenwinds (Parker):
Für r > rA , u > vA (rA ≈ 1/4A.U.)
Hohe Leitfähigkeit: Massenströmung und B gekoppelt.
• r < rA : Masse “hängt” am Magnetfeld, azimuthale
Strömung durch Sonnenrotation,
Drehimpulsverlust der Sonne durch Abströmung
• r > rA : Magnetfeld hängt an Masse,
Drehimpulserhaltung in der Strömung
u<v
A
u>v
A
r
A
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
14
Diskontinuitäten: Bugstoßwelle, Magnetopause
Überschallströmung trifft auf Hindernis
(Magnetosphäre) → Stoßwelle.
en
Sonnenwind
Ursache für Diskontinuität: Nichtlinearität,
Heissere Wellenphase schneller.
Magnetopause
Grenzschicht:
Massen-, Impuls-, Energie-Erhaltung.
→ Rankine-Hugoniot-Bedingungen
u
B
e
Schnelle Stosswelle: hun i > (γ − 1) H
{B2t } γhpi
(mnun H ≡ 4µ0 + γ−1 )
⇒ {B2t } > 0 Tangentialfeld-Erhöhung
Teilchenbeschleunigung:
B
• Stoss-Driftbeschleunigung
• “diffusive” Beschleunigung
Bugstossfront
en
et
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
Wellenanregung
Teilchenstrahlen
(erzeugt durch Stoßwellen,
Rekonnektion)
können elektromagnetische
Strahlung erzeugen
“Type II” Strahlungs-bursts,
verursacht durch interplanetare Stoßwelle
• Bremsstrahlung
(thermische Elektronen
→ Kontinuum)
• Langmuir-Wellen (ω ≈ ω pe )
← Teilchenstrahl-Instabilität
→ Nicht-thermische Emission
Quelle: G. Thejappa et al, Astrophysical Journal 544 L163
15
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
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Wellenausbreitung
Dispersionsrelation ω(k)
Whistler-Mode (Spektogramm)
Brechungsindex, Phasengeschwindigkeit:
~N ≡ c ~k,
ω
vph =
c
ω
=
k
N
Cut-off (Reflektion): N → 0
Resonanz (Absorption): N → ∞
Gruppengeschwindigkeit:
dω
vg =
dk
Beispiel Whistler-Mode:
Quelle: www.auroralchorus.com
Empfänger
ω
ω1/2 (ωc,e − ω)3/2
vg = 2c
ωc,e ω p,e
ωR
keine Ausbreitung
ωc,e
Blitz
Blitz
Äquator
Empfänger
geogr. Breite
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
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Beschreibung von Plasmen
Maxwell-Gleichungen - Beziehung zwischen elektrischen und magnetischen Feldern, Ladung,
Strom
Einzelteilchen-Beschreibung - Teilchen-Bewegungsgleichungen im (gemeinsamen) Feld
Rückwirkung auf ~E, ~B entweder vernachlässigt oder durch Aufsummierung für grosses
Ensemble (particle in cell-Methode)
kinetische Beschreibung - kontinuierliche Verteilungsfunktion f (~x,~v,t) im 6-dim. Phasenraum
Voraussetzung: Hinreichend langreichweitige Wechselwirkung
Beobachtbare Grössen (Ort, Geschwindigkeit) sind Momente der Verteilungsfunktion
“Bewegungsgleichungen”: Vlasov-Gl. (stossfrei), Gyrokinetische Gl. (Mittelung über
Gyrobewegung), Boltzmann-Gl. (mit Stoßoperator, z.B. nach Krook).
Flüssigkeitsbeschreibung - Dichte, Temperatur etc. (Momente der Verteilungsfunktion) im
Ortsraum
Voraussetzung: I.a. Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung
Bewegungsgleichungen für Momente: mittlere Geschwindigkeit, Temperatur, ...
Separat für jede Spezies, oder als eine Füssigkeit (Elektronen und Ionen gemeinsam)
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
Kinetische Beschreibung
Hergeleitet aus Erhaltung der Teilchenzahl in konvektiertem Phasenraumvolumen:
f (~x,~v,t) d3 x d3 v = f (~x′ ,~v′ ,t) d3 x′ d3 v′
Newton’sche Kraftgleichung
~F(~x,~v) = m d~v
dt
kinetische Bewegungsgleichung (stoßfrei):
∂f
+ ∇x · (~v f ) + ∇v ·
∂t
~F
f
m
!
dt = 0
Formal: Kontinuitätsgleichung für f (im 6-D Phasenraum)!
dto. mit Stössen (Boltzmann-Gleichung):
~F
∂f
+~v · ∇x f + · ∇v f =
∂t
m
δf
δt c
| {z }
Stossoperator
18
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
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Momentengleichungen
k-tes Moment, Boltzmann-Gleichung:
Z
Z
~
∂
f
F
~vk d3 v + ~vk+1 · ∇x f d3 v + ~vk · ∇v f d3 v = ~vk
∂t
m
v
v
v
v
Z
Z
δf
δt
d3 v
c
verknüpft k-te und k + 1-te Potenz von ~v - “Schliessungsproblem”
Lösung: Zusätzliche (thermodynamische) Beziehung einführen.
Triviale Schliessung nach 1. Moment (Kraftgleichung) → kaltes Plasma, T = 0 → p = 0,
Schliessung nach 2. Moment: Adiabatengleichung für Druck.
• ideales Gas, ohne Magnetfeld: p = p0 (n/n0 )γ , γ = z + 2/z (z Freiheitsgrade)
• anisotroper Druck im ~B-Feld mit geringer Kopplung v⊥ ↔ vk :
pk = pk,0 (n/n0 )3 , p⊥ = p⊥,0 (n/n0 )2
• Chew-Goldberger-Low-Zustandsgleichungen (Erhaltung der adiabatischen Invarianten)
Ideales Gas: T⊥ ∝ B, Tk ∝ (n/B)2
Schliessung nach 3. Moment: Braginski-Gleichungen (für Wärmefluß)
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
(Mehr-) Flüssigkeitsgleichungen
Bewegungsgleichungen, separat für jede Spezies (Elektronen, Ionen)
Kontinuitätsgleichung:
∂ns
+ ∇ · (ns us ) = 0
∂t
Kraftgleichung:
h
i
∂
δc ps
~
~
(ms ns ~us ) + ∇ · (ms ns ~us~us ) = ns qs E +~us × B − ∇ · Ps +
∂t
δt
Neutralität:
ρ = ∑ qs ns = 0
s
20
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
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Flüssigkeitsbild vs. Teilchenbild
Aus Flüssigkeits-Kraftgleichung:
p
p
j
d
diamagnetische Drift
Unterschiedliche Driftrichtung für Elektronen und Ionen
→ Diamagnetischer Strom (senkt ~B ab).
Teilchenbild:
∆
~E×~B−Drift
B
∆
~E × ~B
1 ~
~us =
B × ∇p
+
2
2
|B
{z } |qs ns B {z
}
j
d
B
d
mv2 ~E × ~B
mv2⊥ ~
k ~
~B · ∇)~B
B
×
∇B
B
×
(
+
vD =
+
2
3
qB4
|B
{z } |2qB {z
} |
{z
}
~E×~B−Drift
∇B−Drift
Kruemmungsdrift
Die diamagnetische Drift ist Folge der Überlagerung vieler Teilchenbahnen in einem
Flüssigkeitselement, daher keine Einzelteilcheneigenschaft.
Grad ~B-und Krümmungsdrift der Teilchen heben sich im Mittel über ein Flüssigkeitselement
mit der gleichzeitig auftretenden Drift durch den Unterschied zwischen Teilchen- und
Gyrozentrumsdichte auf.
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
Ein-Flüssigkeits-Modell
Masse m, Massendichte ρm , Teilchendichte n = ρm /m Geschwindigkeit ~u:
m = ∑ ms , ρm = ∑ ρm,s , n =
s
s
1
1
m
n
,
~
u
=
ms ns~us
s s
∑
∑
m s
mn s
Aus Summe der Spezies-Gleichungen ⇒ Kontinuitätsgleichung, Kraftgleichung (s.u.)
Aus Differenz Kraftgleichung Ionen-Elektronen ⇒ verallgemeinertes Ohm’sches Gesetz:
"
#
~j
1
m
∂
1
e
~E +~u × ~B − η0~j = ~j × ~B −
∇ · Pe + 2
+ ∇ · ~u~j + ~j~u
en
en
ne ∂t
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Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
MHD-Näherung (Einflüssigkeitsbild)
Kontinuitätsgleichung:
∂
n + ∇ · (n~u) = 0
∂t
Kraftgleichung:
d
∂~u
m (n ~u) = m n + mn (~u · ∇)~u = ρ~E + ~j × ~B − ∇ · P0
dt
∂t
Verallgemeinertes Ohm’sches Gesetz (einfachste Näherung):
~E +~u × ~B = η0~j
Zustandsgleichung, z.B. adiabatisch mit z Freiheitsgraden:
d p
z+2
=
0,
γ
=
dt nγ
z
Maxwell-Gleichungen (~E statisch, Ladungsneutralität):
ρ !
~
~
= 0,
∇ × ~E = − ∂∂tB ,
∇·E =
ε0
~
∇ · ~B = 0, ∇ × ~B = µ0~j + ε0 µ0 ∂∂tE ≈ µ0~j
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Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
Magnetischer vs. kinetischer Druck
Magnetischer Drucktensor:
T ≡−
B2
2µ0
| {z }
!
1 +
isotroper Magnetfelddruck
~B~B
µ0
| {z }
Zugspannung in ~B−Richtung
stabilisierende Zugspannung entlang des Magnetfeldes!
Def. Plasma-β:
p
β≡ 2
B /2µ0
Grenzfälle:
• β ≪ 1: Magnetfelddruck bestimmt Plasmabewegung
• β ≈ 1 (und höher): kinetischer Druck bestimmt Plasmabewegung
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Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
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Rezept der linearen MHD für Wellen, Instabilitäten,...
1. Schritt: Linearisierung
MHD-Gleichungen in 1. Ordnung der zeitabhängigen Grössen (0. Ordnung abgezogen, höhere
Ordnungen vernachlässigt)
Kontinuitäts-Gl., Kraftgl., Ohm’sches Gesetz (η = 0)
∂
n1 + n0 (∇ ·~u1 ) = 0,
∂t
∂
1 mn0 ~u1 =
∇ × ~B1 × ~B0 − ∇p1 ,
∂t
µ0
Zustandsgleichung, Schallgeschwindigkeit:
p0
p1 = γ
n1 ,
n0
p0
2
vs = γ
mn0
∂~B1
= ∇ × ~u1 × ~B0
∂t
γ kB T
=
m
2. Schritt: Ansatz ebene Welle in linearisierte Gl. einsetzen → Gl-sys für Störungsgrössen
∂
~
~
→ −iω
X1 ≡ X̃ exp ik~x − iωt
⇒ ∇ → ik,
∂t
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
Elektromagnetische Wellen: Maxwell-Gleichungen
3. Schritt: Verknüpfung mit Ampère’schem Gesetz durch Dielektrizitätstensor bzw.
Leitfähigkeitstensor:
∇ × ~B = µ0 ε · ~E˙
ε = ε0
i
1+
σ = ε0 εr
ε0 ω
~j = σ~E
4. Schritt: Lösungsbedingung ergibt Dispersionsrelation
26
Astrophysikalische Plasmen
Zusammenfassung 1. Teil und Ausblick
Themen - Ausblick auf den 2. Teil
• MHD - Gleichgewicht und makroskopische Instabilitäten
• Magnetfeld - Dynamo (Sonne, Erde)
• Kinetische Wellen, stossfreie Dämpfung, instabile Verteilungsfunktionen
• Nichtlineare Beschreibung, Wellenmischung und Turbulenz
• ...
27