f = 1 T ϕ = 2πγ γ = τ T = c = cg:= t Acos(ωt +φ) g:= t

€
komplexe Exponentialfunktionen
e jb = cos(b) + j sin(b)
jb
cos(b) =
e a + jb
e +e
2
Darstellung von Funktionen
Umrechnung der verschiedenen Formen
phasenverschobene trigonometrische Funktion als Linearkombination von Sinus und
Kosinus
Sinus-Kosinusform -> Amplituden-Phasenform
Acos(ωt + φ ) = Acos(ωt)cos(φ ) − Asin(ωt)sin(φ )
Eulerische Formeln
jb
− jb
sin(b) =
e −e
2j
mit:
− jb
€
€
€
€
€
Amplituden-Phasenform
€
€
phasenverschobenen trigonometrischen Funktionen mit komplexen
Exponentialfunktionen
 e j(ωt +φ ) + e− j(ωt +φ )  Ae jφ jωt Ae− jφ − jωt
Acos(ωt + φ ) = A
e +
e
=
2
2
2


=c
Acos(ωt) = ce jωt + c e− jωt
=c
f (t) = Acos(ωt + ϕ )
€
Sinus-Kosinusform -> Exponentialform
f (t) = acos(ωt) + bsin(ωt)
€
c=
€
g := t  ce jωt + c e− jωt
f (t) = ce jωt + c e− jωt
Amplituden-Phasenform -> Sinus-Kosinusform
€
€
€
Zusammenhänge im komplexen Bereich
€
ϕ = 2πγ
g := t  Acos(ωt + ϕ )
€
€
A
ω
φ
f
T
τ
γ
Argumentberechnung:
ϕ = arg(c)
€
Amplitude
Kreisfrequenz
Phasenwinkel
Frequenz
Periode
Verschiebung
rel. Periodenverschiebung
€
b = j(c + c ) = −2Im(c) = −Asin(€
ϕ)
€
A = 2 c = a2 + b2
 b
Falls a > 0 : ϕ = −arctan 
 a
€
 b
Falls a < 0 : ϕ = −arctan  + π
 a
π
Falls a = 0 ∧ b > 0 : ϕ = −
2
π
Falls a = 0 ∧ b < 0 : ϕ =
2
Falls a = 0 ∧ b = 0 : ϕ nicht definiert
Fouriertransformierte diskreter periodischer Signale Fouriertransformierte kontinuierlicher periodischer Signale €
Fouriertransformierte kontinuierlicher impulsförmiger Signale Mit Additionstheoreme oder
Quadrantenbezeichnungen
umformen.
f (t) = Acos(ωt + ϕ )
€
€
€
Mit Additionstheoreme oder
Quadrantenbezeichnungen
umformen.
Amplituden-Phasenform -> Exponentialform
a = c + c = 2Re(c) = Acos(ϕ )
τ
γ=
T
f (t) = Acos(ωt + ϕ )
f (t) = acos(ωt) + bsin(ωt)
2c = a − jb = Ae jϕ
1
f =
T
a − jb
a + jb
, c=
, ϕ = arg(c)
2
2
€
€
ω = 2πf
Immer Terme mit derselben
Kreisfrequenz ω zusammen
nehmen.
f (t) = acos(ωt) + bsin(ωt)
A = a 2 + b 2 , ϕ = arg(c)
a = Acos(φ ), b = −Asin(φ )
g := t  a ⋅ cos(ωt) + b ⋅ sin(ωt)
€
a
jb
a
= e ⋅ e = e (cos(b) + j sin(b))
€
€
Fourierentwicklung
Darstellung verschiedener Funktionsformen
MatheM4
acos(t) + bsin(t)
a − jb
a + jb
c=
, c=
2
2
f (t) = ce jωt + c e− jωt
Exponentialform -> Amplituden-Phasenform
€
f (t) = ce jωt + c e− jωt
A = 2 c , ϕ = arg(c)
ce jωt + c e− jωt
f (t) = Acos(ωt + ϕ )
€
€
= diskrete Fouriertransformierte
= Fourierreihe
= Fourierintegral
€
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Amplituden-Phasenform
immer cos verwenden!
Exponentialform€
-> Sinus-Kosinusform
− jωt
f (t) = ce jωt + c e€
e jω + e − jω = 2 cos(x),
f (t) = acos(ωt) + bsin(ωt)
€
€
e jω − e − jω
= 2 sin(x)
j
( j + 1)e jω = je jω + e jω
Fourierentwicklung
diskete Foruiertransformation, Fourierreihe, Spektren
MatheM4
Diskrete Fouriertransformation
Signalvektor
s(0)


  s(1) 
s=
 ... 


s(k)
w 0
 0

 w
s =W ⋅c =
 ...
 0
w
N −1
€
s(k)€= ∑ cˆ h e
jhk 2Nπ
h= 0
w0
w1
...
w1(N −1)
diskret,
periodisch
...
w 0  cˆ 0  s(0)
   

...
w (N −1)  cˆ1   s(1) 
⋅
=
... w 2(N −1)   ...  ... 
   

... w (N −1)(N −1) cˆ k  s(k)
w=e
j 2Nπ
∫ s(t) ⋅ e
1
T
w0
w1
w0
w2
w0
w3
...
...
2
w€
w3
...
w1(N −1)
w4
w6
...
w6
w9
...
w 2(N −1)
w 3(N −1)
...
...
...
...
∑c e
jkω1 t
k
− jkω1 t
dt € c = 1
k
τ +T
T
0
V =W
∫ s(t)e
τ
− jkω1 t
dt
€
c−k = c k
v 0
v0
 0
v
v1
 1
 1
c = ⋅V ⋅ s = ⋅
N
N  ...
...
 0 1(N −1)
v
v

cˆ h =
€
2π
1 N −1
∑ s(k)e− jhk N
N k= 0
€
...
...
...
...
€
v 0  s(0) cˆ 0 





v (N −1)   s(1)  cˆ1 
⋅
=
€
v 2(N −1)   ...   ...
 
  
v (N −1)(N −1) s(k) cˆ k 
Die Fourierkoeffizienten cˆ k eines
N −1

 2π 
 2π 
s(h) = ∑ aˆ k cos hk  + bˆk sin hk 
 N
 N 
k= 0 
wobei
€
aˆ k =
1
2
T
T
cˆ 0   32  
  −1+ j  
 cˆ1   2  
c=
=
=>
cˆ 2   −12  
 ˆ   −1− j  
c 3   2  
Es kann ein beliebiges Intervall mit
dem Startwert τ und der Länge T
gewählt werden.
0
2
T
T
∫ s(t)cos(kω t)dt
0
∫ s(t)sin(kω t)dt
1
0
a + jbk
ck = k
2
€
ϕ k = arg(c k )
b 
Falls ak > 0 : ϕ = −arctan k 
 ak 
b 
Falls ak = 0 : ϕ = π − arctan k 
 ak 
π
Falls ak < 0 ∧ bk > 0 : ϕ = −
2
π
Falls ak < 0 ∧ bk < 0 : ϕ =
2
Falls ak < 0 ∧ bk = 0 : ϕ nicht definiert
€
€
sin(x − y) = sin(x)cos(y) − cos(x)sin(y)
€
 2π 
 2π 
1 N −1
1 N −1
∑ s(h)cos hk N  und bˆk = N ∑ s(h)sin hk N 
N h= 0
h= 0
aus komplexen Fourierkoeffizienten
aˆ€k = Re(cˆ k ) und bˆk = −Im(cˆ k )
€
umgekehrt: cˆ k = aˆ k − jbˆk
€
€
Phasenspektrum arg(ck)
€
kontinuierliche, periodische Signale (Fourierreihe)
T = 2 (aus Graph)
2π
=π
T
ω1 =
c0 =
cos(x + y) = cos(x)cos(y) − sin(x)sin(y)
cos(x − y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Umwandlung Produkt in Summe
1
[sin(x + y) + sin(x − y)]
2
1
sin(x)sin(y) = [cos(x − y) − cos(x + y)]
2
€
1
cos(x)cos(y) = [cos(x + y) + cos(x − y)]
2
€ Doppelte und halbe Winkel
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
 x  1− cos(x)
sin(x)
tan  =
=
 2
sin(x)
1+ cos(x)
1− cos(2x)
sin(x) 2 =
2
1+ cos(2x)
cos(x) 2 =
2
Matrix-Multiplikation:
1 2 3 −1 1⋅ (−1) + 2 ⋅ (−2) + 3⋅ (−3)  −14
  

  
4 5 6 −2 = 4 ⋅ (−1) + 5 ⋅ (−2) + 6 ⋅ (−3) = −32
7 8 9 −3 7 ⋅ (−1) + 8 ⋅ (−2) + 9 ⋅ (−3) −50
2
T
=t⋅
T
2
1
0
sin(kπt)
−
kπ
0
2
T
=t⋅
0
1
sin(kπt) cos(kπt)
sin(kπ ) cos(kπ ) 1
+
=
+
−
kπ
kπ
kπ
kπ
kπ
0
cos(kπ ) 1
cos(kπ ) − 1
= 0+
−
=
kπ
kπ
kπ
ck =
€
Periodizität
Matrix
Inventierte Matrix W
Signalvektor
Fourierkoeffizienten
Kreisfrequenz
bk =
1
∫ 1sin(kπt)dt
€
N
W
V
s
c
ω1
€
1
∫ s(t) cos(kω t)dt = 2 ∫ t cos(kπt)dt
=t⋅
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€
 32 
0
 2
 3π 

c =  12  = arg(c) =  4 
2
π 
 2
−3 π 
 4 
2






Amplitudenspektrum |ck|
ak =
sin(x)cos(y) =
e
e
e
e
€
A
f (t) = 0 + ∑ Ak cos(kω1t + ϕ k )
2 k=1
Ak = 2 c k = ak2 + bk2
T
Additionstheoreme
sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
€
3 j0
2
3π
2 j 4
2
1 jπ
2
3π
2 −j 4
2
∞
€
1
2
bk = −2Im(c k ) =
T
2. Daraus ergeben sich die
Beträge und Argumente
A0 = 2c 0 = a0
∫ s(t)dt
ak = 2Re(c k ) =
diskrete, periodische Signale (Fouriertransformation)
Amplituden-Phasen-Form
a0
+ ∑ [ ak cos(kω1t) + bk sin(kω1t)]
2 k=1
a0 = 2c 0 =
Spektren I
1. Fourierkoeffizienten in
Exponentialform bringen
Goniometrie
diskreten, reellen Signals mit der
Periode N sind paarweise konjugiert
komplex, nämlich:
€
cˆ N −n = cˆ n für n = 1... N −1
reelle Darstellung
aus reellem Signal €
f (t) =
€
Bestimmung Fourierkoeffizienten
€
dt
3. Graphische Darstellung
€
Sinus-Kosinus-Form
w0 

w N −1 €
2(N −1) 
w

w 3(N −1) 
€
... 

w (N −1)(N −1) €
€
e− jω1 t
∫ s˙(t) ⋅ − jω
T
j
j
s(t) ⋅ e− jω1 t −
∫ s˙(t) ⋅ e− jω1t dt
0
ω1
ω1
T

T
j
e− jω1 t 
=  s(t) ⋅ e− jω1 t − s˙(t) ⋅
0
ω1 
− jω1 0 
2π
mit: ω1 =
T
T
∫ s(t)e
e− jω1 t
−
− jω1 0
reell
€
alle Terme, welche einen Imaginäranteil j
beinhalten invertieren.
dt = s(t) ⋅
=
∞
w 0
 0
w
w 0
W = 0
w
 ...
 0
w
− jω1 t
0
k=−∞
ck =
T
T
komplex
f := t 
Kann als Kontrolle nach der
Bestimmung der Fourierkoeffizienten
€
verwendet werden.
W h,k = w (h−1)(k−1)
kontinuierlich, periodisch
∞
j
€
Fourierreihe
1
T
T
1
1
1 1 2 
1
∫ s(t)dt = 2 ∫ s(t)dt = 2 ⋅ 2 t 
0
0
0
T
=
1
1
[1− 0] =
4
4
1
2
∫ s(t) sin(kω t)dt = 2 ∫ t sin(kπt)dt
1
0
0
− cos(kπt)
+
kπ
1
∫ 1 cos(kπt)dt
0
1
− cos(kπt) sin(kπt)
− cos(kπ ) sin(kπ )
+
=
+
kπ
kπ 0
kπ
kπ
− cos(kπ ) − cos(kπ )
= 0+
=
kπ
kπ
=t⋅
a k + jbk cos(πk) − 1
cos(πk)
=
+j
2
2πk
€ 2 πk
für k ≠ 0
Fourierentwicklung
Fourierintegral
MatheM4
Fourierintegral
Spektren II
kontinuierlich und impulsförmig
Überprüfen, ob das Signal s(t) ein Fourierintegral besitzt
Bsp:
∞
∫
f (t) dt = reeller Wert (≠ ∞)
1 für 0 ≤ t < 2
s(t) = 
0 sonst
−∞
impulsförmige, kontinuierliche Signale (Fourierintegral)
2
∞
∫ s(t) dt
= ∫ 1dt = 2
a(ω ) =
0
−∞
1
π
∞
1
2
∫ s(t) cos(ωt)dt = π ∫ 1 cos(ωt)dt
0
−∞
2
1 sin(ωt)
sin(2ω )
=
=
π ω 0
πω
Achtung: e-t ist ein Fourierintegral
€
€
€
Fourierintegral berechnen
∞
∫ s(t)e
F(ω ) =
− jωt
2
∞
dt
F(−ω ) = F(ω )
−∞
F(ω ) =
∫ s(t)e
− jωt
dt = ∫ 1e− jωt dt
F (ω ) = π ( a(ω ) − j(b(ω )))
0
−∞
e jkω = cos(kω ) + j sin(kω )
€
€
2π/3
∞
a(ω ) =
1
∫ s(t)cos(ωt)dt
π −∞
∞
f (t) =
2π/3
=
∞
b(ω ) =
1
∫ s(t)sin(ωt)dt
π −∞
Sinus-Kosinusform
€
2π/3
f (t) =
0
€
∫ [ A(ω )cos(ωt + ϕ (ω ))]dω
€
sin(2ω ) + j(cos(2ω ) − 1)
ω
2
2
 sin(2ω ) 
 cos(2ω ) 
= 
 + j
 =
 ω 
 ω 
∞
∞
∫ [a(ω )cos(ωt) + b(ω )sin(ωt)]dω
F (ω ) =
e−∞ = 0
Amplituden-Phasenform
€
sin(2ω ) + j (cos(2ω ) − 1)
ω
Amplitudendichtespektrum
e0 = 1
2(1 − cos(2ω ))
=
ω
4 sin(2ω ) 2
sin(2ω )
=2
ω
ω
e =∞
0
€
€
€
Zusammenfassung
€
Re(F(x))
a(ω ) =
π
b(ω ) = −
€
Im(F(x))
π
1
ϕ (ω ) = arg(F(ω ))
A(ω ) = F(ω )
π
€
F (ω ) = π ( a(ω ) − j(b(ω )))
Phasendichtespektrum
b
b
∫ t ⋅e
€
€
Komplexe Fourierreihe:
e − jkω t
1
dt = t ⋅ −
+
jkω1 a jkω1
1
− jkω 1t
a
=
kω1
dt = −
e − jkω t
jkω1
b
a
1
jkω1
+
e − jkω b − e − jkω a
k 2ω12
1
1
€
1
j (e − jkω b − e − jkω a )
1
=
b
 e − jkω t 
⋅ −

 jkω1 a
+
1
kω1
1
− jkω 1t
 sin(2ω ) + j(cos(2ω ) − 1) 
ϕ (ω ) = arg(F (ω )) = arg



ω
dt
a
j ( a ⋅ e − jkω a − b ⋅ e − jkω b )
b
∫ 1⋅e
− jkω 1t
1
1
=
∫e
j ( a ⋅ e − jkω a − b ⋅ e − jkω b )
1
€
b
1
kω1
a
Reelle Fourierreihe (Re (ak)):
€
b
∫
a
b
 sin( kω1 t ) 
1
t ⋅ cos( kω1 t )dt =  t ⋅
 −
kω1 a kω1

Reelle Fourierreihe (Im (bk)):

b
b
1
1
a
a
b
=
 cos kω t 
1
(b ⋅sin(kω1b) − a ⋅sin(kω1 a)) + kω1 ⋅  k(ω 1 ) 
kω1
a
1 
1
=

1 
1
(b ⋅sin( kω1b) − a ⋅sin( kω1 a)) +
(cos(kω1b) − cos(kω1 a))
kω1 
kω1
=
=
b ⋅sin( kω1b) − a ⋅sin( kω1 a) cos( kω1b) − cos( kω1 a )
=
+
kω1
k 2ω12
kω1
b
1
1
a
a
sin( kω1 t )
sin( kω1b) − sin( kω1 a)
=
kω1 a
kω1
€
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€
b
∫ cos(kω t )dt
1
a
b
+
1  sin( kω1 t ) 
⋅

kω1  kω1 
a
a ⋅ cos( kω1 a) − b ⋅ cos( kω1b) sin( kω1b) − sin( kω1 a )
+
kω1
k 2ω12
b
b
cos( kω1 t ) 
1
 +
kω1 a kω1
a ⋅ cos( kω1 a) − b ⋅ cos( kω1b)
∫ 1 ⋅ sin(kω t)dt = −
b
∫ 1⋅ cos( kω t)dt =
b
∫ t ⋅ sin(kω t)dt = t ⋅−
∫ sin(kω t)dt
cos( kω1 t )
cos( kω1 a ) − cos( kω1b)
=
kω1
kω1
a
1
π
1
=
π
 sin(2ω )  cos(2ω ) − 1 
= π
− j −



πω
 πω
€
reelle Darstellung
€ Fourierintegral
b(ω ) =
€
∞
1
2
∫ s(t) sin(ωt)dt = π ∫ 1sin(ωt)dt
−∞
0
 cos(ωt) 2  cos(2ω ) − 1
−
=
ω 0 
πω
