Theoretische Physik 7. November 2014 Thermodynamik and

Theoretische Physik
Thermodynamik and statistische Physik (T4)
Prof. Dr. U. Schollwöck
7. November 2014
Blatt 4
Wintersemester 2014
Aufgabe 6: Grenzflächenspannung
Thermodynamische Eigenschaften von Grenzflächen zwischen zwei Phasen werden durch
die Grenzflächenspannung S beschrieben. Diese ist durch die Arbeit, welche benötigt
wird, um die Grenzfläche um dA zu vergrößern, definiert; d.h. dW = SdA.
a) Zeigen Sie, dass der Druck innerhalb eines sphärischen Wassertropfens mit Radius
R um 2S/R größer ist als der Druck ausserhalb des Wassertropfens, indem Sie die
Arbeit betrachten, welche gegen die Grenzflächenspannung bei einer infinitesimalen
Änderung des Radius verrichtet wird.
b) Ein Wassertropfen kondensiere auf einer festen Oberfläche. Dabei spielen drei verschiedene Grenzflächenspannungen eine Rolle: Saw , Ssw und Ssa . Hierbei stehen a,
s und w jeweils für Luft, die feste Oberfläche und Wasser. Berechnen Sie den Kontaktwinkel Θ zwischen der Oberfläche und dem Wassertropfen und finden Sie die
Bedingung für das Auftreten eines Wasserfilms.
Abbildung 1: Ein auf einer festen Oberfläche kondensierter Wassertropfen mit eingezeichnetem Kontaktwinkel Θ.
c) Im Grenzfall großer Systeme kann man Oberflächeneffekte verglichen mit bspw. der
Gravitationskraft meist vernachlässigen. Bei kleineren Systemen können diese Effekte jedoch wichtig werden. Schätzen Sie die typische Längenskala, welche große“ von
”
kleinen“ Systemen trennt, in den folgenden Situationen ab. Benutzen Sie als Grenz”
flächenspannung von Wasser in Luft bei T = 300 K den Wert So ≈ 7 × 10−2 Nm−1 .
(a) Ein kleiner Wassertropfen befindet sich auf einer Oberfläche ohne Benetzung.
Die Grenzflächenspannung verhindert, dass der Tropfen wesentlich durch die
Gravitationskraft verformt wird.
(b) Ein Geltropfen befindet sich in gesättigtem Wasserdampf. Der durch die Grenzflächenspannung verursachte Druckunterschied innerhalb und außerhalb des Geltropfens verhindert dessen Anwachsen. Der osmotische Druck beträgt typischerweise 1 atm.
1
Aufgabe 7: Grenzflächenaktive Substanzen
Grenzflächenaktive Moleküle, wie sie zum Beispiel in Spülmitteln oder Haarwaschmitteln
vorkommen, sammeln sich an der Grenzfläche zwischen Luft und Flüssigkeit, anstatt
sich in der Flüssigkeit zu lösen. Dadurch wird die Grenzflächenspannung reduziert. Ein
typisches Beispiel ist ein Haar, welches auf einer Wasserfläche schwimmt, bis zu dieser
etwas Spülmittel hinzugegeben wird. Der Verlust an Grenzflächenspannung führt zum
Versinken des Haares.
a) Die Luft-Wasser-Grenzflächenspannung So einer Grenzfläche A wird in etwa um
N kb T /A reduziert, wenn dem Wasser N grenzflächenaktive Moleküle hinzugefügt
werden. Geben Sie hierfür eine qualitative Erklärung.
b) Geben Sie einen Wassertropfen auf eine glatte Oberfläche. Beobachten Sie den Kontaktwinkel Θ, während Sie etwas Spülmittel zum Tropfen hinzugeben. Erklären Sie
die Beobachtung.
c) Genauere Versuche zeigen, dass bei höheren Konzentrationen grenzflächenaktiver Moleküle
2
N kB T
∂T A − Nb
2a N
∂S =
und
=−
−
(1)
2
∂A T
(A − N b)
A A
∂S A
N kb
mit Konstanten a und b gelten. Bestimmen Sie den Ausdruck für S(A, T ) und erklären
Sie qualitativ den Ursprung der durch a und b beschriebenen Konstanten.
,
d) Die spezifische Wärmekapazität bei konstanter Oberflächenspannung ist CS ≡ ∂Q
∂T S
. Finden Sie einen Ausdruck für CS − CA
jene bei konstanter Oberfläche
CA ≡ ∂Q
∂T A
= ∂E , S, ∂S and ∂T .
als Funktion von ∂E
∂A T
∂A S
∂A T
∂S A
Aufgabe 8: Zustandsgleichungen
Die Zustandsgleichung schränkt die Form der inneren Energie ein. Dies soll in den folgenden Beispielen demonstriert werden.
a) Zeigen Sie ausgehend von dE = T dS−P dV , dass die Zustandsgleichung P V = N kB T
impliziert, dass E nur von T abhängen kann. Sie können
∂X ∂Y dL = Xdx + Y dy ⇒
=
(2)
∂y ∂x x
y
benutzen.
b) Was ist die allgemeinste Zustandsgleichung, die konsistent ist mit der Annahme, dass
die innere Energie E nur von der Temperatur T abhängt?
c) Die Zustandsgleichung des Van-der-Waals-Gases lautet
2 !
N
P −a
(V − N b) = N kB T .
V
ausschliesslich von T abhängig ist.
Zeigen Sie, dass in diesem Fall CV ≡ ∂E
∂T V
2
(3)