Formelsammlung Rechenmethoden

Formelsammlung Rechenmethoden
Daniel Grün
26. Januar 2007
Zusammenfassung
Eine Auistung aller nützlichen Formeln aus den Rechenmethoden
Emmer
1 Vektorrechnung
~a · ~b = |a||b| cos(a, b) =
n
X
(ai · bi ); ~a, ~b ∈ Rn
(1)
i=1
(~a × ~b) · ~c = ~a · (~b × ~c)
(2)
~a × (~b × ~c) = ~b · (~a · ~c) − ~c · (~a · ~b)
(3)
3
X
~a × ~b =
(ai · bj · ~ek εijk )
(4)
i,j,k=1
|~a × ~b| = |~a||~b| sin(a, b)
δnm
εijk · εklm = δil δjm − δim δjl
(
Z
0, n 6= m
1 π
=
= ~en · ~em =
cos nx · cos mxdx
π −π
1n = m
(5)
(6)
(7)
(Kronecker-Symbol)
2 Dierentiale und Integrale
df =
n X
∂f
∂xi
i=1
(8)
(9)
· dxi
totales Dierential von f (x1 , ..., xn )
n
X
df
=
dt
i=1
∂f dxi
·
∂xi dt
totale Ableitung von f (x1 (t), ..., xn (t))
n
X
(ai · dxi ) = ~a · (dx1 , dx2 , dx3 )
i=1
1
(10)
Dierential, innitesimale Änderung; hier in kartesischen Koordinaten, vgl. (73)
Z
~
r2
~
r2
Z
~ad~r =
~
r1
n
X
~
r1
(ai · dri ) =
i=1
n Z
X
i=1
t2
ai ·
t1
dri
dt
dt
(11)
integriertes Dierential, Linienintegral, vgl. (44)
2.1
Mehrdimensionale Integration
Z
b2
Z
!
b1
V =
f (x1 , x2 )dx1
a2
(12)
dx2
a1
Volumen des Körpers zwischen x1 − x2 -Ebene und y = f (x1 , x2 ) im (rechteckigen) Bereich A = [a1 ; a2 ] × [b1 ; b2 ]
Z Z
A=
b
Z
Z
!
go (x1 )
dA =
(dx2 ) dx1
a
(13)
gu (x1 )
Flächeninhalt einer Fläche in der x1 − x2 -Ebene, eingegrenzt durch gu (x1 ) und
go (x1 ), zwischen x1 = a und x1 = b
b
Z
Z
!
go (x1 )
V =
f (x1 , x2 ) (dx2 ) dx1
a
(14)
gu (x1 )
Rauminhalt zwischen einer Fläche (s.o.) und dem Graphen f
Z Z Z
V =
Z Z Z
dV =
dx1 dx2 dx3
(15)
Volumen eines Körpers (mit geeigneten Integrationsgrenzen)
Z Z Z
Z Z Z
dx1 dx2 dx3 =
by1 dy1 by2 dy2 by3 dy3
(16)
im Koordinatensystem aus (y1 , y2 , y3 ), vgl. (73); bei zylinder- und kugelsymmetrischen Körpern und Flächen sehr zu empfehlen
2.1.1 Oberächenintegrale
Z Z
~=
f~dA
Z Z
~ 1 , u2 )) ·
f~(φ(u
Durchuss von f~ durch φ;
!
~
~
∂φ
∂φ
(u1 , u2 ) ×
(u1 , u2 ) du1 du2
∂u1
∂u2
~
∂φ
∂u1 (u1 , u2 )
(17)
~
∂φ
× ∂u
(u1 , u2 ) ist Normalenvektor
2
Z Z
Z Z Z
~=
F~ dA
div(F~ )dV
(18)
Satz von Gauss: Durchuss durch Hülläche ist Integral der Divergenz des eingeschlossenen Volumens
Z
F~ d~r =
Z Z
~
rot(F~ )dA
(19)
Satz von Stokes: Integral entlang eines geschlossenen Weges ist Integral der
Rotation der eingeschlossenen Fläche
2
3 Bahnkurve ~r(s)
Z
t
(|~r˙ (t̃)|dt̃)
s(t) =
(20)
t0
3.1
Begleitendes Dreibein
~t =
d~
r
dt
r
| d~
dt |
=
d~r
ds
1
d~t
|; ρ =
ds
κ
d~
t
d~t
~n = ds~ = ρ
dt
ds
|
| ds
(22)
~b = ~t × ~n
(24)
κ=|
d ~
d~n
d~b
=
(t × ~n) = ~t ×
= −τ · ~n
ds
ds
ds
d~b
τ = − · ~n
ds
d~n
= τ · ~b − κ · ~t
ds
3.2
(21)
(23)
(25)
(26)
(27)
Geschwindigkeit und Beschleunigung
d~r
ds ~
=
·t
dt
dt
ds
|~v (t)| =
dt
dv ~ v 2
·t+
· ~n
~a = ~atan + ~az =
dt
ρ
(28)
X ∂ϕ
∂ϕ
∂
xi
= (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) =
(x1 , ..., xn ) ·
∂t
∂t
∂x
dt
i
i
∂
∂
~ =
∇
, ...,
∂x1
∂xn
(31)
~ · ~a
div~a = ∇
(33)
~ × ~a
rot~a = ∇
(34)
~
gradφ = ∇φ
(35)
~ · ∇)~
~ a = grad(div~a) − rot(rot~a)
4~a = (∇
(36)
~ · ∇)ϕ
~
4ϕ = (∇
= div(gradϕ)
(37)
(38)
(39)
~v (t) =
(29)
(30)
4 Felder
div(rot~a) = 0
rot(gradϕ) = 0
3
(32)
4.1
Potential
~a = gradφ
(40)
~a ist Gradientenfeld von φ, φ ist Potential von ~a
∂ai
∂aj
rot~a = ~0 ⇔
=
∀i, j ⇔ ∃φ : ~a = gradφ
∂xj
∂xi
(41)
falls ~a einfach zusammenhängend
div~a = 0 ⇔ ∃~b : ~a = rot~b
4.2
(42)
Extrema von Feldern
(43)
~ = ~0
∇ϕ
notwendige Bedingung für Extremum
Extrema mit Nebenbedingung im Langrange-Verfahren siehe Skript
4.3
Linienintegral
Im Feld ~a entlang einer Kurve ~r von ~ra nach ~re :
Z
~
re
∆ϕ =
Z
te
(~a(~r))d~r =
~
ra
ta
d~r
dt
~a(~r(t)) ·
dt
(44)
es gilt: (41) ⇔ Integral über geschlossener Kurve = 0 ⇔ Integral zwischen zwei
Punkten unabhängig vom Weg gleich
vgl. (11)
5 Hyperbolische Funktionen
ex − e−x
2
ex + e−x
cosh(x) =
2
(sinh(x))0 = cosh(x)
sinh(x) =
0
(cosh(x)) = sinh(x)
(45)
(46)
(47)
(48)
6 Koordinatensysteme
jeweils Angabe aller Einheitsvektoren ~ei und Streckfaktoren bi für alle Koordinaten
6.1
Kartesische Koordinaten,
Rn
~ex1 = (1, 0, 0, . . .) . . .
bxi = 1∀i
~ei ⊥ ~ej ∀i, j
4
(49)
(50)
(51)
6.2
Polarkoordinaten
~r(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ); r ∈ R+
0 , ϕ ∈ [0; 2π)
~er =
~eϕ =
6.3
1 ∂~r
= (cos ϕ, sin ϕ)
∂r
(53)
1 ∂~r
= (− sin ϕ, cos ϕ)
∂ϕ
(54)
r
| ∂~
∂r |
∂~
r
|
| ∂ϕ
br = 1
(55)
bϕ = r
(56)
~eϕ ⊥ ~er ∀ϕ, r
(57)
Zylinderkoordinaten
~r(r, ϕ, x3 ) = (r cos ϕ, r sin ϕ, x3 ); r ∈ R+
0 , ϕ ∈ [0; 2π), x3 ∈ R
~er =
~eϕ =
6.4
(52)
(58)
1 ∂~r
= (cos ϕ, sin ϕ, 0)
∂r
(59)
1 ∂~r
= (− sin ϕ, cos ϕ, 0)
∂ϕ
(60)
r
| ∂~
∂r |
∂~
r
| ∂ϕ
|
~ex3 = (0, 0, 1)
(61)
br = bx3 = 1
(62)
bϕ = r
(63)
~eϕ ⊥ ~er ⊥ ~ex3 ⊥ ~eϕ ∀ϕ, r, x3
(64)
Kugelkoordinaten
~r(r, ϕ, ϑ) = (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ); r ∈ R+
0 , ϕ ∈ [0; 2π), ϑ ∈ [0; π)
1 ∂~r
= (cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ)
~er = ∂~r
| ∂r | ∂r
br = 1
(67)
1 ∂~r
= (− sin ϕ, cos ϕ, 0)
∂~
r ∂ϕ
| ∂ϕ
|
∂~r bϕ = = r · sin ϑ
∂ϕ
(68)
1 ∂~r
= (cos ϕ cos ϑ, sin ϕ cos ϑ, − sin ϑ)
∂ϑ
∂~r bϑ = = r
∂ϑ
(70)
~eϕ =
~eϑ =
(65)
(66)
∂~
r
| ∂ϑ
|
~eϕ ⊥ ~er ⊥ ~eϑ ⊥ ~eϕ ∀ϕ, r, ϑ
5
(69)
(71)
(72)
6.5
Rechenregeln
d~r(x1 , . . . , xn ) =
n
X
dyi · byi · ~eyi
(73)
i=1
verallgemeinertes Dierential in Koordinatensystem aus (y1 , y2 , y3 ), vgl. (10)
~ =
∇
1 ∂
1 ∂
1 ∂
,
,
by1 ∂y1 by2 ∂y2 by3 ∂y3
(74)
verallgemeinerter Nabla-Operator in Koordinatensystem aus (y1 , y2 , y3 )
7 Taylor-Reihenentwicklung
Tf,x0 (x) =
k
X
1 (i)
f (x0 ) · (x − x0 )i
i!
i=0
(75)
Näherung der Funktion f um Punkt x0 ; je gröÿer k, desto besser (konvergiert
gegen f für k → ∞)
7.1
Spezielle Taylor-Reihen
ex =
∞
X
xi
i=0
cos x =
∞
X
(−1)i
i=0
sin x =
(76)
i!
(2i)!
x2i
∞
X
(−1)i 2i+1
x
(2i + 1)!
i=0
8 Komplexe Zahlen
i=
√
−1
C = {z : z = a + ib|a, b ∈ R}
b
|ϕ = arctan , a > 0
a
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) = z = |z| cos ϕ + i|z| sin ϕ = |z| · eiϕ
(77)
(78)
(79)
(80)
(81)
(82)
Addition zweier komplexer Zahlen entspricht Vektoraddition
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(83)
Multiplikation mit einer komplexen Zahl entspricht Drehung um deren Winkel
und Streckung mit deren Betrag
|z1 | · eiϕ1 · |z2 | · eiϕ2 = |z1 ||z2 |ei(ϕ1 +ϕ2 )
(84)
(a + bi) = z ⇔ (a − bi) = z̄
(85)
(konjugiert komplexe Zahl)
6
√
|z| =
(86)
(87)
z · z̄
z n = |z|n · einϕ
1
ϕa +2kπ
n
1
a n = |a| n · ei
k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
eiϕ + e−iϕ
2
eiϕ − e−iϕ
sin ϕ = −i
2
cos ϕ =
(88)
(89)
(90)
9 Fourier
a0 =
f (x)dx
(91)
f (x) · cos(n · x)dx
(92)
f (x) · sin(n · x)dx
(93)
−π
−π
Z π
1
π
bn =
π
Z
π
Z
1
an =
π
1
π
−π
f gerade ⇔ bn = 0 ∀n;
F (x) =
f ungerade ⇔ an = 0 ∀n
∞
X
a0
(an cos(n · x) + bn sin(n · x))
+
2
n=1
(94)
(95)
alles falls f (x) eine 2π -periodische Funktion; F (x) = f (x) im gutartigen Fall
Für eine T -periodische Funktion f (x) gilt:
a0 =
Z
T /2
f (x)dx
−T /2
T /2
2
T
Z
2
bn =
T
Z
an =
2
T
(96)
f (x) · cos(
2nπ
x)dx
T
(97)
f (x) · sin(
2nπ
x)dx
T
(98)
−T /2
T /2
−T /2
∞
F (x) =
a0 X
2nπ
2nπ
+
(an cos(
x) + bn sin(
x))
2
T
T
i=1
(99)
Mit Additionstheorem zusammengefasst:
An =
p
a2n + b2n
(100)
an
bn
(101)
(Frequenzspektrum)
tan ϕn =
(Phasenspektrum)
∞ 2nπ
A0 X
F (x) =
+
An cos
x + ϕn
2
T
i=1
7
(102)
in komplexer Darstellung, T -periodisch:
T
Z
1
cn =
T
f (x) · e−i
2nπ
T x
(103)
dx
0
∞
X
F (x) =
cn ei
(104)
2nπ
T x
n=−∞
9.1
Fouriertransformation
für allgemeine, nicht periodische Funktionen mit
−∞
|f (x)|dx ∈ R:
∞
1
A(ω) =
π
Z
1
B(ω) =
π
Z
C(ω) =
R∞
(f (x) cos(ωx)dx)
(105)
(f (x) sin(ωx)dx)
(106)
−∞
1
2π
∞
−∞
Z
∞
(107)
(f (x)e−iωx dx)
−∞
(Amplitudenfunktion)
Z
F (x) =
∞
Z
∞
(A(ω) cos(ωx) + B(ω) sin(ωx)dω) =
−∞
0
(Fouriertransformierte)
(C(ω)eiωx dω)
C(ω) = A(ω) · ei·ϕ(ω)
(108)
(109)
mit Amplitudenspektrum A(ω) = |C(ω)| ∈ R und Phasenspektrum ϕ(ω)
10 Wahrscheinlichkeitsrechnung
10.1
Kombinatorik
10.1.1 Permutationen
Möglichkeiten, n unterscheidbare Elemente anzuordnen:
n! = n · (n − 1) · ... · 2 · 1
(110)
PkMöglichkeiten, n Elemente anzuordnen, von denen jeweils n1 , n2 , ...nk mit
i=1 ni = n nicht unterscheidbar sind:
n!
n1 ! · n2 ! · . . . · nk !
8
(111)
10.1.2 Kombinationen
Möglichkeiten (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) bei der Auswahl von k
Elementen (d.h. Kombination k-ter Ordnung) aus einer Menge von n unterscheidbaren Elementen ohne Zurücklegen:
n!
n
=
k
k! · (n − k)!
mit Zurücklegen:
n+k−1
k
=
(n + k − 1)!
k! · (n − 1)!
(112)
(113)
10.1.3 Variationen
siehe Kombinationen ohne Zurücklegen
10.2
Wahrscheinlichkeiten
Sei Ω die Menge der Ergebnisse eines Zufallsexperiments (Ergebnisraum), A =
P(Ω) die Menge der Ereignisse (Ereignisraum), P (A) ∈ [0; 1], A ∈ A die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
P (Ω) = 1
(114)
(115)
P (Ω\A) = 1 − P (A)
(116)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
(117)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit von B , wenn A bereits eingetroen ist:
P (A ∩ B)
(118)
P (B|A) =
P (∅) = 0
P (A)
Für paarweise disjunkte Ereignisse Ai gilt:
P (A1 ∪ A2 ∪ . . .) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . .
(119)
A und B heiÿen statistisch/stochastisch unabhängig, falls
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
(120)
P (A|B) = P (A)
(121)
beziehungsweise
10.2.1 Wahrscheinlichkeitsbäume
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses F , zu dem mehrere zweistuge Pfade jeweils über ein Ereignis Ai mit P (Ai ) = pi , P (F |Ai ) = pj führen:
P (F ) =
X
Pfade
pi pj =
n
X
P (Ai ) · P (B|Ai )
(122)
i=1
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit (Aj Ergebnis auf dem Weg zu B ):
P (Aj |B) =
P (Aj ) · P (B|Aj )
P (Aj ) · P (B|Aj )
= Pn
P (B)
i=1 P (Ai ) · P (B|Ai )
9
(123)
10.2.2 Verteilungsfunktion
F (x) ist die Verteilungsfunktion, die angibt wie groÿ die Wahrscheinlichkeit ist,
dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt.
F ist monoton wachsend
(124)
lim F (x) = 1
(125)
lim F (x) = 0
(126)
x→∞
x→−∞
∀a < b : P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
(127)
10.2.3 Wahrscheinlichkeitsdichte
f (x) ist Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn F (x) =
funktion.
Rx
−∞
f (x)dx, F (x) Verteilungs-
f (x) ≥ 0∀x
Z
∞
f (x)dx = F (∞) = 1
−∞
dF (x)
= f (x)
dx
Z b
P (a < X ≤ b) =
f (x)dx
in geeigneten Fällen:
(128)
(129)
(130)
(131)
a
10.2.4 Erwartungswert
falls X diskrete Zufallsvariable:
E(X) =
X
xi pxi
(132)
falls X stetige Zufallsvariable:
Z
∞
x · f (x)dx
E(X) =
−∞
(133)
falls g(X) Funktion des Ausganges der Zufallsexperimentes (z.B. man bekommt bei Erwürfeln von X den Betrag g(X) ausgezahlt):
E(g(X)) =
Z
g(xi )f (xi )
(134)
g(x) · f (x)dx
(135)
X
∞
E(g(X)) =
−∞
Varianz:
Var(X) = E(X 2 ) − E2 (X)
Standardabweichung:
σ=
p
Var(X)
10
(136)
(137)
10.3
Bernoullikette
Zufallsexperiment n-fach wiederholt jeweils mit Ausgang 1 oder 0 (Wahrscheinlichkeit jeweils p und q = 1 − p;
(138)
X : {0, 1}n → {0, 1, . . . , n}
(Anzahl der 1en)
P (X = k) =
n
· pk · q n−k
k
(139)
(140)
E(X) = n · p
p
√
σ = npq = np(1 − p)
(141)
10.3.1 Poisson-Verteilung
falls bei Unterteilung in (n) feinere Intervalle die Wahrscheinlichkeit pn der
Eintretens im einzelnen Intervall dergestalt gegen 0 geht, dass n · pn → µ, µ
Erwartungswert (erwartete Anzahl der einzutretenden 1en im Beobachtungszeitraum)
µn −µ
e
(142)
P (X = n) =
n!
∞
X
n
µ −µ
e =1
n!
n=0
E(X) =
(143)
∞
∞
X
X
µk
µk −µ
n e−µ = µ
e =µ
k!
k!
n=0
n=0
(144)
(145)
Var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = µ2 + µ − µ2 = µ
10.3.2 Normalverteilung
Falls bei immer mehr Intervallen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens im einzelnen Intervall konstant bleibt erhält
man durch geeignetes Verschieben um
√
E(X) = np und Stauchen um σ = npq die Gauss'sche Normalverteilung.
P (X ≤ x) = Φ
x−µ
σ
=Φ
f (t) =
x − np
√
npq
=
1
√
σ 2π
(t−µ)2
1
√ e− 2σ2
σ 2π
Z
x
−∞
e−
(t−µ)2
2σ 2
dt
(146)
(147)
(Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung mit Erwartungswert µ und
Streuung σ )
11
11 Entropie
(148)
Ix = −ld(px ) = −log2 (px )
(Informationsgehalt eines Ereignisses mit Wahrscheinlichkeit px )
I = −ld(
1
) = ld(N )
N
(149)
(Informationsgehalt eines von N Laplace-Ereignissen mit gleichen Wahrscheinlichkeiten)
S=−
X
Ereignisse px
(150)
px ld(px )
(Entropie; evtl. mit ln statt ld deniert)
12
δ -Funktion
(
0, x 6= 0
δ(x) =
∞, x = 0


Z a
0, a < x0
k · δ(x − x0 )dx = k2 , a = x0

−∞

k, a > x0
(151)
= H(a)
(152)
(Heavisidefunktion)


0, a < x0
f (x) · δ(x − x0 )dx = f (x2 0 ) , a = x0

−∞

f (x0 ), a > x0
Z
a
δ(αx) =
1
δ(x) α 6= 0
|α|
(153)
(154)
(man beachte den Eekt, falls α eine dimensionsbehaftete Gröÿe ist)
δ(g(x)) =
n
X
1
|g 0 (xi )|
i=1
δ(x − xi ) xi einfache Nullstellen mit g 0 (xi ) 6= 0 (155)
δ(~r − r~0 ) = δ(x − x0 )δ(y − y0 )δ(z − z0 )
1
δ(y1 − y10 )δ(y2 − y20 )δ(y3 − y30 )
by 1 by 2 by 3
(
Z
0, r~0 ∈
/V
f (~r) · δ(~r − r~0 )dV =
f (r~0 ), r~0 ∈ V
V
δ(~r − r~0 ) =
(156)
(157)
(158)
13 Dierentialgleichungen
f˙(x) = λ · f (x) ⇒ f (x) = f0 · eλ(x−x0 )
12
(159)
14 Disclaimer
alle Angaben ohne Gewähr, Korrekturen&Ergänzungen bitte an [email protected]
13