¨Ubung Elektrische und magnetische Felder WiSe 2011/12

Übung
Elektrische und magnetische Felder
WiSe 2011/12
Strömungsfeld
Aufgabe 20
Gegeben sind die folgenden Widerstände mit entsprechender Leitfähigkeit κ(z):
z
z
!(z )
b
a
0
a
0
a
!0
!0
!(z )
!
z"
" $$$1 % ###
$&
a '#
y
b
1%
3z 2
2a 2
y
x
x
In den folgenden Berechnungen sind Randeffekte in Feldstrukturen zu vernachlässigen.
20.1 Leiten Sie unabhängig von der Geometrie und ausgehend von den Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik und der Kontinuitätsgleichung eine partielle Differentialgleichung zur Bestimmung des
Potentials φ her. Begründen Sie dabei Ihr Vorgehen.
20.2 Lösen Sie diese Differentialgleichung für die oben abgebildeten Anordnungen. Benutzen Sie dabei ein entsprechendes Koordinatensystem und passen Sie Ihre Randbedingungen bezüglich des
Potentials φ an. Berechnen Sie zudem das elektrische Feld E~ und die Stromdichte ~j der Anordnungen.
20.3 Berechnen Sie mittels der Stromdichte ~j den Strom I, der durch die jeweilige Anordnung fließt.
Bestimmen Sie im Anschluß die zugehörigen Widerstände für den Fall, dass φ 0 > 0 gilt.
Nun werden die Widerstände folgendermaßen verschaltet (es ändert sich nur die Höhe der Widerstände, alle anderen Grössen bleiben unverändert):
R3
R2
R1
3
b ! 2a
1
2
b !a
b ! 2a
R5
4
b !a
R4
b ! 4a
9U 0
20.4 Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Schaltung. Benutzen Sie dabei Ihre vorherigen Ergebnisse und die Definition des Widerstandes R0 = κ01a .
20.5 Berechnen Sie die Potentiale φ1 , φ2 , φ3 und φ4 in Anhängigkeit von der Quellspannung U0 .
20.6 Anwendung diskutieren (SMD Bausteine, räumlich verteilte Bauelemente der HF-Technik: Mikrostreifenleiter etc.).
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Lehrstuhl für Theoretische Elektrotechnik
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Übung
Elektrische und magnetische Felder
WiSe 2011/12
Aufgabe 21
Gegeben ist der dargestellte Leiter mit rechteckigem Querschnitt. Bei ϕ = 0 liegt der Leiter auf dem
konstanten Potential φ0 und bei ϕ = π/2 ist der Leiter geerdet. Die Leitfähigkeit κ(~r ) im Innenraum des
Leiters ist endlich und vom Ort abhängig.
y
z
φ=0
κ(~r)
h
φ = φ0
x
R0
3
2
R0
Für die Leitfähigkeit des Leiters gilt
κ(~r ) = κ0
R ϕ2 + π2 /4
R0
πϕ
21.1 Berechnen Sie das Potential φ und die elektrische Feldstärke E~ für den Innenraum des Leiters.
21.2 Berechnen Sie die Stromdichte ~j und den Gesamtstrom I im Innenraum des Leiters.
21.3 Berechnen Sie den ohmschen Widerstand RΩ des Leiters und die im System umgesetzte Verlustleistung PΩ .
Die folgende Aufgabe kann zu Hause bearbeitet und beim Übungsleiter zur Korrektur abgegeben
werden.
Aufgabe 22
Gegeben ist der dargestellte kreiszylindrische Leiter mit Länge 2L und Radius R. Die Leitfähigkeit κ(~r)
sei endlich und vom Ort abhängig. Bei z = −L bzw. z = L wird der Leiter auf den konstanten Potentialen
φ1 und φ2 gehalten. An der Stelle z = 0 ist eine Kerze positioniert, deren Wärme folgende Leitfähigkeit
im Leiter erzeugt:
φ1
φ2
κ
2R
2
2
z +a
.
κ = κ(z) = κ0 2
z + a2 + 1
z = −L
z=0
z=L
22.1 Berechnen Sie das elektrische Potential φ, die elektrische Feldstärke E~ und die elektrische Stromdichte ~j im Innenraum des Leiters.
22.2 Berechnen Sie den elektrischen Strom I, den Ohmschen Widerstand RΩ des Leiters und die umgesetzte Verlustleistung P.
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