Hausaufgabe 7 Abgabe am 27. Mai bzw. am 29. Mai

Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. I. Veselić, C. Schumacher, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Stochastik
Hausaufgabe 7
Abgabe am 27. Mai bzw. am 29. Mai in der Übung
Aufgabe 1. Eine Münze mit Wahrscheinlichkeit p ≥ 1/2 für „Zahl“ wird wiederholt
geworfen. Sei Ak , k ∈ N, das Ereignis, dass bei den Würfen 2k , 2k + 1, . . . , 2k+1 − 1
mindestens k mal in Folge „Zahl“ fällt. Zeigen Sie, dass
P(Ak tritt für unendlich viele k ein) = 1.
Hinweis: Definieren Sie das Ereignis Ei,k = {Xj = 1 für alle j = 2k + ik, 2k + ik +
1, . . . , 2k + ik + k − 1}, k ∈ N und i = 0, . . . b2k /k − 1c. Benutzen Sie einen Satz von
Borel-Cantelli.
Aufgabe 2. Sie haben sich im Nationalpark von Oberrabenstein verlaufen. Von den
Besuchern im Park sind zwei Drittel Touristen. Fragen nach der Richtung zum Ausgang
werden von diesen mit Wahrscheinlichkeit 3/4 richtig beantwortet. Die Touristen sind sich
jedoch unsicher und ändern manchmal ihre Meinung. Daher kommt es, dass die Antworten
ein und desselben Touristen bei mehrmaligem Nachfragen unabhängig voneinaner sind.
Wenn man hingegen einen Oberrabensteiner fragt, ist die Antwort immer falsch.
(a) Sie fragen eine Person, ob der Ausgang sich in Richtung Osten oder Westen befindet.
Als Antwort erhalten Sie Osten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das stimmt?
(b) Sie fragen dieselbe Person nochmals und bekommen dieselbe Antwort. Zeigen Sie,
dass die Wahrscheinlichkeit, nun die richtige Antwort erhalten zu haben, 1/2 beträgt.
(c) Sie richten dieselbe Frage ein drittes Mal an dieselbe Person. Wieder mit der Antwort
Osten. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass die Antwort stimmt?
(d) Ein viertes Mal wird der geduldige Passant von ihnen gefragt, doch die Antwort ist
wieder Osten. Zeigen Sie, dass die Antwort mit Wahrscheinlichkeit 27/70 richtig ist.
(e) Zeigen Sie für den Fall, dass die vierte Antwort Westen wäre, dass die Richtung
Osten mit Wahrscheinlichkeit 9/10 zutrifft.
Aufgabe 3. Angenommen, die Anzahl der Geburten an einem Tag in einem Krankenhaus
ist Poissonverteilt mit Parameter λ. Jede Geburt ist ein Junge mit Wahrscheinlichkeit p
und ein Mädchen mit Wahrscheinlichkeit q = 1 − p, unabhängig von anderen Geburten
und unabhängig von der Gesamtzahl der Geburten. Seien J und M die Zahl der Jungen
beziehungsweise Mädchen.
(λp)j e−λp (λq)m e−λq
(a) Zeigen Sie P(J = j, M = m) =
·
.
j!
m!
(b) Folgern Sie, J und M sind unabhängig und Poissonverteilt mit Parameter λp bzw. λq.
Aufgabe 4. Es seien X und Y reellwertige Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Zeigen Sie:
(a) Falls Y mit Wahrscheinlichkeit Eins konstant ist, so sind X und Y unabhängig.
(b) Sind X und Y unabhängig, so gilt für jedes A ∈ σ(X) ∩ σ(Y )
P(A) = 0 oder P(A) = 1.
(c) Sei Y nichtnegativ. Y ist genau dann σ(X)-messbar, wenn es eine Borel-messbare
Funktion g : R → [0, ∞] gibt mit Y = g ◦ X.
Hinweis: Für Teil (c) könnte ein Approximationssatz aus der Maßtheorie nützlich sein.