Stochastik Prof. Dr. I. Veselic Hausaufgabe 3 Abgabe

Stochastik
Prof. Dr. I. Veselić
Hausaufgabe 3
Abgabe bis 3. Mai 13:00 Uhr
Definition. Ein Mengensystem J ⊂ P(Ω) heißt Halbring (oder Semi-Ring) über Ω, falls
(i) ∅ ∈ J ,
(ii) A, B ∈ J ⇒ A ∩ B ∈ J ,
(iii) A, B ∈ J ⇒ ∃ n ∈ N und C1 , . . . , Cn ∈ J paarweise disjunkt mit A \ B = C1 ∪ . . . ∪ Cn .
Aufgabe 1. (a) Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und B ∈ A mit P (B) > 0. Setzen Sie
PB (C) := P (C | B) und rechnen Sie nach, dass PB σ-additiv auf A ist. Setzen Sie weiterhin
AB := {A ∩ B | A ∈ A} und zeigen Sie, dass (B, AB , PB ) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist.
(b) Sei J ⊂ P(Ω) ein durchschnittsstabiles Mengensystem. Beweisen oder wiederlegen Sie:
(i) n ∈ N, A1 , . . . , An ∈ J ⇒ ∩ni=1 ∈ J ,
(ii) Ai ∈ J , i ∈ N ⇒ ∩i∈N ∈ J ,
(iii) Ai ∈ J , i ∈ R ⇒ ∩i∈R ∈ J .
(c) Sei J ⊂ P(Ω) durchschnittsstabil. Geben Sie einen vollständigen Beweis für die Tatsache,
dass das von J erzeugte Dynkinsystem D(J ) eine σ-Algebra ist.
(d) Zeigen Sie: Jede Algebra ist ein Halbring.
Aufgabe 2. Sie haben sich im Nationalpark von Oberrabenstein verlaufen. Von den Besuchern
im Park sind zwei Drittel Touristen. Fragen nach der Richtung zum Ausgang werden von diesen mit Wahrscheinlichkeit 3/4 richtig beantwortet. Die Touristen sind sich jedoch unsicher und
ändern manchmal ihre Meinung. Daher kommt es, dass die Antworten ein und desselben Touristen
bei mehrmaligem Nachfragen unabhängig voneinaner sind. Wenn man hingegen einen Oberrabensteiner fragt, ist die Antwort immer falsch.
(a) Sie fragen eine Person, ob der Ausgang sich in Richtung Osten oder Westen befindet. Als
Antwort erhalten Sie Osten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das richtig ist?
(b) Sie fragen dieselbe Person nochmals und bekommen dieselbe Antwort. Zeigen Sie, dass die
Wahrscheinlichkeit, nun die richtige Antwort erhalten zu haben, 1/2 beträgt.
(c) Sie richten dieselbe Frage ein drittes Mal an dieselbe Person. Wieder mit der Antwort Osten.
Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass die Antwort stimmt?
(d) Ein viertes Mal wird der geduldige Passant von ihnen gefragt, doch die Antwort ist wieder
Osten. Zeigen Sie, dass die Antwort mit Wahrscheinlichkeit 27/70 richtig ist.
(e) Zeigen Sie für den Fall, dass die vierte Antwort Westen wäre, dass die Richtung Osten mit
Wahrscheinlichkeit 9/10 zutrifft.
Aufgabe 3. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie die folgende Aussage mit
Induktion: Sind A1 , . . . , An ∈ A unabhängige Ereignisse und Bi ∈ {Ai , AC
i } für alle 1 ≤ i ≤ n,
dann sind die Ereignisse B1 , . . . , Bn unabhängig. (Vgl. Hausaufgabenblatt 2.)
Aufgabe 4. Ein Mann hat sich k Euro für einen Jaguar gespart, der N Euro kostet (0 < k < N ).
Um den fehlenden Betrag zu gewinnen, lässt er sich auf folgendes Spiel ein: Er wirft wiederholt
eine faire Münze. Erscheint Kopf, dann erhält er einen Euro, kommt hingegen Zahl, so zahlt er
einen Euro an die Bank. Er spielt so lange, bis eine der folgenden zwei Möglichkeiten eintritt:
Entweder er verliert das ganze Geld, oder er gewinnt genug, um sich den Jaguar leisten zu können.
Sei A das Ereignis, dass der Mann alles verliert, und pk = Pk (A) die Wahrscheinlichkeit dafür
zum Startwert k. Zeigen Sie
1
pk = (pk+1 + pk−1 ),
2
0 < k < N,
und lösen Sie diese Differenzengleichung zu den Randbedingungen p0 = 1 und pN = 0.