Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Prof. Dr. H. Abels, Dr. H. Farshbaf-Shaker
NWF I - Mathematik
Universität Regensburg
SoSe 09
20.04.2009
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Übungsblatt 1
Abgabe: 27.04.2009, 14 Uhr (in den Übungskästen)
Aufgabe 1 (3 Punkte)
Es seien A, B und C drei Ereignisse aus einer Menge Ω von Elementarereignissen. Drücken Sie
mit Hilfe von Mengenoperationen die folgenden Ereignisse aus:
A1: Mindestens eines der Ereignisse A, B und C tritt ein.
A2: Keines der drei Ereignisse A, B und C tritt ein.
A3: Genau eines der Ereignisse A, B und C tritt ein.
A4: Genau zwei der Ereignisse A, B und C treten ein.
A5: Mindestens eins der drei Ereignisse A, B und C tritt nicht ein.
Aufgabe 2 (3 Punkte)
Bei einer Spielshow kann der Kandidat ein Auto gewinnen. Dem Spiel liegen die folgenden Regeln
zugrunde.
(i) Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.
(ii) Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar
sind.
(iii) Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
(iv) Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig
ausgewählt eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.
(v) Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige
der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
(vi) Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das
andere ungeöffnete Tor zu wählen.
(vii) Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird geöffnet und er erhält das Auto, falls es
sich hinter diesem Tor befindet.
Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt. Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden,
um seine Gewinnchance zu maximieren?
Bitte wenden!
Aufgabe 3 (3 Punkte)
Wir spielen ein Glücksspiel, bei dem es mit Wahrscheinlichkeit q ∈ (0, 1] einen Erfolg gibt und
sonst keinen. Wir spielen solange bis wir das erste Mal einen Erfolg haben und hören dann auf.
(i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit p(k), wobei k ∈ N, haben wir genau nach dem k−ten Spiel
das erste Mal einen Erfolg?
(ii) Zeigen Sie, dass (N, p), wobei p(k) für k ∈ N die Wahrscheinlichkeit aus Teil (i) ist, ein
diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist.
(iii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nach 10 Spielen noch kein Erfolg eingetreten
ist.
Aufgabe 4 (3 Punkte)
Seien A und B zwei Ereignisse in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, p) mit P (A) =
und P (B) = 34 . Zeigen Sie:
(i) P (A ∩ B) ≤
1
2
,
(ii) P (A ∩ B) ≥
1
4
,
1
2
(iii) Die obigen Abschätzungen sind “scharf”. Suchen Sie also jeweils ein (Ω, p), und A, B ⊂ Ω
mit P (A) = 21 und P (B) = 34 , so dass aus der Ungleichung eine Gleichung wird.
Zusatzaufgabe
Es sei (Ω, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und P das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß. Zeigen Sie, dass für beliebige Menge A1 , . . . , Am ⊆ Ω, m ∈ N, gilt:
P (A1 ∪ . . . ∪ Am ) =
(m)
S1
−
(m)
S2
+ ... +
(m)
(−1)m+1 Sm
=
m
X
k=1
wobei
(m)
Sk
=
X
P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ).
1≤i1 <...<ik ≤m
Viel Erfolg!
(m)
(−1)k+1 Sk