Übungen zur Topologie Aufgabe 13 (4 P) Aufgabe 14 (2 P) Aufgabe

SS 2009
Prof. Dr. Duco van Straten
Übungen zur Topologie
Blatt 3 – 04.05.2009
mündliche Aufgaben:
R
• Sei X = × {0, 1} wir definieren zwei Äquivalenzrelationen auf X: (x, 0) ∼1 (x, 1)
für alle x ≤ 0 und (x, 0) ∼1 (x, 1) für alle x < 0. Welcher der Quotientenräume X/∼1
und X/∼2 ist bezüglich seiner Quotiententopologie ein Hausdorffraum?
• Zeigen Sie, dass der Quotientenraum eines Quotientenraumes ein Quotientenraum
ist. Sind dazu X ein topologischer Raum ∼1 eine Äquivalenzrelation auf X und
Y := X/∼1 der Quotientenraum zu ∼1 . Auf Y ist eine weitere Äquivalenzrelation
∼2 gegeben, zeigen Sie, dass Y /∼2 ein Quotientenraum von X ist.
R
Q
• Wir wählen auf
folgende Äquivalenzrelation x ∼ y : ⇔ x − y ∈ . Zeigen Sie,
dass X := / ∼ unendlich viele Punkte hat und die Quotiententopologie die triviale
Topologie ist T = {∅, X}.
R
Aufgabe 13 (4 P)
Sind M und N zwei Mannigfaltigkeiten der Dimension m beziehungsweise n, Zeigen Sie,
dass dann auch M × N eine Mannigfaltigkeit der Dimension m + n ist.
Aufgabe 14 (2 P)
Sind zwei stetige Abbildungen f : X → Y und g : X → Z gegeben, so ist die Abbildung
f × g : X → Y × Z, (f × g)(x) := (f (x), g(x)) bezüglich der Produkttopologie stetig.
Aufgabe 15 (4 P)
Sei X ein topologischer Raum, X/ ∼ ein Quotientenraum und f : X → X/ ∼ die Projektion auf den Quotientenraum. Zeigen Sie, dass eine Abbildung g : X/ ∼→ Z in einen
topologischen Raum Z genau dann stetig ist, wenn g ◦ f stetig ist.
Aufgabe 16 (4 P)
R
Sei (X, T ) ein kompakter topologischer Raum, f : X →
eine stetige Abbildung (Abbildungen nach
nennen wir auch Funktionen). Zeigen Sie, dass die Funktion f auf X ihr
Maximum und Minimum annimmt.
R
Aufgabe 17 (4 P)
(a) (2 P) Sei X ein Hausdorffraum, A ⊂ X kompakt und p ∈ X \ A ein Punkt, zeigen
Sie, dass es offene Umgebungen U ⊃ A und V 3 p gibt, so dass V ∩ U = ∅.
(b) (2 P) Sind A und B kompakte Teilmengen des Hausdorffraumes X, so ist auch A ∩ B
kompakt.
Aufgabe 19 (3 P)
R
Z
S
exp : R/ ∼Z → S1 ⊂ C, ϕ 7→ cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Warum ist exp : R → S1 stetig.
Zeigen Sie, dass R/ ∼Z kompakt ist. (Hinweis: [0, 2π] ist kompakt)
Auf definieren wir folgende Äquivalenzrelation: x ∼Z y : ⇔ (x − y) ∈ . Wir wollen nun
zeigen, dass / ∼Z homöomorph zur 1 ist. Betrachten Sie dazu die Abbildung
(a)
(b)
R
(c) Verwenden Sie Aussage (2.6) aus der Vorlesung um zu zeigen, dass exp :
ein Homöomorphismus ist.
RZ
RZ
R/ ∼Z → S1
Bemerkung: Aus der Vorlesung wissen Sie, dass man mit / auch den Raum bezeichnet,
der entsteht wenn man in alle Elemente aus miteinander verklebt. Der in dieser Aufgabe
betrachtete Raum wird häufig mit dem selben Symbol / bezeichnet!
R
Z
1
Aufgabe 20 (3 P)
Wir betrachten die Teilmenge aus
R2 , die durch
:= {(x, y) ∈
R2 | x ∈ [0, 1], y ∈ [− 21 , 12 ]}
definiert ist. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf durch:
(x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) : ⇔ x2 = y2 = −
1
2
oder x2 = y2
1
2
und x1 = 1, y1 = 0
oder x2 = y2
und x1 = 0, y1 = 1
oder x2 = y2 =
Zeigen Sie, dass X := / ∼ homöomorph zur
e:
R2 → R3 ,
S2 ist. Betrachten Sie dazu die Abbildung:
(x, y) 7→ (cos(πy) · sin(2πx), cos(πy) · cos(2πx), sin(πy)).
Abgabe: Bis Mo.11.05.2009, 10 Uhr
2