Formelsammlung analytische Geometrie mit Ebenen

Formelsammlung Abitur
Vektorrechnung
Gutenberg-Gymnasium MZ
Vektoren
Betrag eines Vektors
Skalarprodukt
Winkel ϕ zwischen
Vektoren
Vektorprodukt
Geraden
!
| x | = x 21 + x 22 + x 23
! !
a · b = a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3
!
! !
!
a · b = | a |·| b |·cos !
# a b "a b
3 2
% 2 3
!
!
%
a ! b = a 3b 1 " a 1b 3
%
% a 1b 2 " a 2b 1
$
! !
! !
a ! b " a ·b = 0
&
(
(
(
(
'
Parametergleichung
! !
!
g : x = p + r ·u
Koordinatengleichung
a·x 1 + b·x 2 = c (in der Ebene)
Abstand Punkt K zur
! !
!
Geraden g : x = p + r · u
Abstand der Geraden
! !
!
g : x = p + r · u und
! !
!
h : x = q + s ·v
!!!" !!!" !!!"
Ist P ein beliebiger Punkt der Geraden g, bestimme KP = OP ! OK und
!!!"
!!!" "
das Minimum von f (r ) = | KP |2 oder bestimme r so, dass KP ! u .
!!!" !!!" !!!"
Sei P bel. Punkt auf g und Q bel. Punkt auf h. Berechne PQ = OQ ! OP
!!!" "
!!!" "
und bestimme r und s aus dem LGS PQ · u = 0 , PQ · v = 0 . Der Abstand ist
!!!"
nun | PQ | (r und s einsetzen).
Ebenen
Normalenform
Abstand Punkt-Ebene
Winkel
Schnittwinkel zwischen
Geraden
Schnittwinkel zwischen
Gerade und Ebene
Schnittwinkel zwischen
Ebenen
!
p : Stützvektor; Hesse'sche Normalenform: Ersetze
!
!
Normalenvektor n durch Normaleneinheitsvektor n 0
!
r : Ortsvektor des Punktes, E in Hesse'scher Normalenf.
! ! !
(x ! p ) · n = 0
! ! !
d = (r ! p ) · n 0
! !
| a ·b |
!
cos ! = !
| a |·| b |
! !
| a ·n |
sin ! = !
!
| a |·| n |
! !
| n 1 · n2 |
cos ! = !
!
| n 1 |·| n 2 |
! !
a , b : Richtungsvektoren der Geraden
!
!
a : Richtungsvektor von g, n : Normalenvektor von E
! !
n 1 , n 2 : Normalenvektoren der Ebenen
Kreis und Kugel
Kreis/Kugel
Tangente/Tangentialebene im Punkt B
!
!
2
(x ! m ) = r
! !
! !
x
!
m
·
b
( ) ( ! m) = r
2
mit Mittelpunkt M und Radius r
2
mit Mittelpunkt M und Radius r