¨Uber die Struktur von Graphen, die keinen induzierten C5 enthalten

Technische Universität München
Fakultät Mathematik
Über die Struktur von Graphen, die keinen
induzierten C5 enthalten
Diplomarbeit von Andreas Würfl
Aufgabensteller: Prof. Dr. Anusch Taraz
Betreuerin:
Dipl. Inf. Julia Böttcher
Abgabetermin:
12. September 2008
Ich erkläre hiermit, dass ich die Diplomarbeit selbständig und nur mit den angegebenen
Hilfsmitteln angefertigt habe.
München, 12. September 2008
..................................................
Andreas Würfl
i
ii
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Erdös, Hajnal und ihre Vermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Cliquen in Graphen mit großer chromatischer
2.1 Eine untere Schranke an hom(G) . . . . .
2.2 Eine obere Schranke an hom(G) . . . . . .
2.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . .
6
9
13
Zahl
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
. . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
3.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Obere Schranken: Die Struktur C5∗ -freier Graphen . . . .
3.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 C5∗ -freie Graphen und gute Baupläne . . . . . . .
3.4 Untere Schranken: Graphenkonstruktion aus Bauplänen .
3.4.1 Baupläne mit gegebener Knotenzahl . . . . . . .
3.4.2 Eine weitere Konstruktion für die untere Schranke
3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Zufällige Graphenprozesse
4.1 Ziele und Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Der gemischte Graphenprozess . . . . . . . .
4.1.2 Der monotone Graphenprozess . . . . . . . .
4.2 Theoretische Resultate . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Ergebnisse für den nicht-induzierten Fall . .
4.2.3 Der induzierte Fall . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Numerische Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Ergebnisse des gemischten Prozesses . . . .
4.3.2 Ergebnisse des monotonen Prozesses . . . .
4.3.3 Interpretation der Daten . . . . . . . . . . .
4.4 Algorithmische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Ein guter Zufallszahlengenerator . . . . . . .
4.4.2 Test auf induzierte C5 . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Identifikation von generalized split Graphen
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Inhaltsverzeichnis
5 Anhang
5.1 Numerische Ergebnisse für den gemischten Graphenprozess
5.1.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Induzierter C5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Numerische Ergebnisse für den monotonen Graphenprozess
5.2.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Subgraph K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Subgraph K4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Subgraph K5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Subgraph C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.6 Induzierter C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.7 Subgraph C5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.8 Induzierter C5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.9 Subgraph C6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.10 Induzierter C6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.11 Subgraph P4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.12 Induzierte P4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.13 Subgraph K1,3 - die Klaue . . . . . . . . . . . . . .
5.2.14 Induzierter K1,3 - die Klaue . . . . . . . . . . . . .
5.2.15 Subgraph Diamant . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.16 Induzierter Diamant . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.17 Subgraph Bull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.18 Induzierter Bull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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99
1 Einleitung
Ausgangspunkt dieser Arbeit ist eine Vermutung von Erdös und Hajnal aus [10]. Diese
besagt, dass für jeden Graphen H eine Konstante ε(H) ∈ R>0 existiert, sodass für alle
hinreichend großen n ∈ N gilt: jeder Graph auf n Knoten, der H nicht als induzierten
Subgraphen enthält, hat eine Clique oder eine stabile Menge der Größe nε(H) . Bisher
konnte die Existenz von ε(H) nur für einige spezielle Graphen H bewiesen werden ([10],
[7]), aber es gibt gute Argumente, die dafür sprechen, dass ε(H) tatsächlich für alle
Graphen H existiert [12]. Dies ist ein erstaunliches Resultat, wenn man es mit den Ergebnissen der Ramsey-Theorie vergleicht.
Ein zentrales Ergebnis der nach dem britischen Mathematiker Frank P. Ramsey benannten Theorie ist, dass jeder Graph auf n Knoten eine Clique oder eine stabile Menge der
Größe 12 log2 n hat. Dabei ist diese untere Schranke bis auf einen konstanten Faktor optimal, wie die Existenz von Graphen ohne Clique oder stabile Menge der Größe 2 log2 n
zeigt. Letzteres wird mit Hilfe von zufälligen Graphen bewiesen.
Wir haben also auf der einen Seite Graphen, deren Cliquen und stabile Mengen nur
logarithmische Größe erreichen. Auf der anderen Seite existieren Graphen, die ein gegebenes H nicht als induzierten Subgraphen enthalten und Cliquen oder stabile Mengen
mit polynomieller Größe besitzen müssen. Also scheint die lokale Struktur entscheidenden Einfluss auf die globale Verteilung der Kanten eines Graphen zu haben. Dieses
Phänomen begründet ein junges und sehr aktives Forschungsgebiet in der extremalen
Graphentheorie.
Wir nähern uns diesem Gebiet, indem wir Graphen ohne induzierten Kreis der Länge
fünf betrachten. Der C5 ist einer der kleinsten Graphen, für den die Vermutung von
Erdös und Hajnal offen ist. In Kapitel 1 definieren wir zunächst wesentliche Begriffe
und verwendete mathematische Werkzeuge und geben einen Überblick über die bereits
bewiesenen Resultate, die im Zusammenhang mit der Vermutung von Erdös und Hajnal interessant sind. Dazu gehört unter anderem das 2002 von Chudnovsky et al. in
[6] bewiesene Strong Perfekt Graph Theorem, das eine Charakterisierung von perfekten
Graphen durch verbotene induzierte Subgraphen liefert. Perfekte Graphen auf n Knoten
√
haben stets eine Clique oder eine stabile Menge der Größe n.
Für Graphen mit sehr großer chromatischer Zahl beweisen wir in Kapitel 2 die Existenz
von großen Cliquen. Es gilt:
Satz (Chromatische Zahl und Cliquenzahl)
Zu jedem ε > 0 existiert n0 ∈ N, sodass für jeden Graphen G auf n ≥ n0 Knoten und
jedes k ∈ N gilt:
Hat G chromatische Zahl χ(G) ≥ nk , so hat G auch Cliquenzahl ω(G) ≥ n1/k−ε .
6
Wir zeigen weiter, dass der Exponent von n für die Cliquengröße bis auf einen Faktor
2 optimal ist, indem wir die Existenz beliebig großer Graphen G auf n Knoten mit
χ(G) ≥ n/k und ω(G) ≤ n2/k nachweisen. Dazu betrachten wir zufällige Graphen.
In Kapitel 3 kommen wir zur Klasse der Graphen ohne induzierten Kreis auf fünf Knoten
zurück. Prömel und Steger haben gezeigt, dass fast alle Graphen ohne induzierten C5
perfekt sind [16]. Damit haben fast alle Graphen auf n Knoten, die keinen induzierten
√
C5 enthalten, eine Clique oder eine stabile Menge der Größe n. Wir bezeichnen die
Menge aller Graphen auf der Knotenmenge {1, . . . , n}, die cn2 Kanten haben und keinen
induzierten C5 enthalten, mit C(n, cn2 ). Um das Ergebnis von Prömel und Steger zu
verallgemeinern, schränken wir die Klasse der Graphen ohne induzierten C5 auf Graphen
mit gegebener Kantenzahl ein. Wir zeigen mit Hilfe von Szemerédis Regularitätslemma:
Satz
Sei P(n) die Menge aller perfekten Graphen auf n Knoten. Dann gilt für 0 < c < 1/2:
log2 |C(n, cn2 )|
log2 |P(n) ∩ C(n, cn2 )|
=
lim
.
n→∞
n→∞
n2
n2
lim
Asymptotisch verhalten sich die Anzahl der perfekten Graphen und die Anzahl der Graphen ohne induzierten C5 also gleich, wenn wir nur Graphen mit bestimmter Kantenzahl
betrachten. In einem Korollar aus den Ergebnissen von Kapitel 3 geben wir die Anzahl
der Graphen mit bestimmter Kantenzahl, die keinen induzierten C5 enthalten, an:
Satz
Für 0 < c < 1/2 und H(c) = −c log2 c − (1 − c) log2 (1 − c) gilt:
 1
 4 n2 +o(n2 )
C(n, cn2 ) = 2 1
2 4 H(4c)n2 +o(n2 )
1/8 ≤ c ≤ 3/8,
sonst.
In Kapitel 4 haben wir Graphen ohne (induzierte) Subgraphen H experimentell untersucht. Die Erzeugung eines zufälligen H-freien Graphen hat sich dabei als nicht-triviales
Problem herausgestellt. Ein häufig benutzter Ansatz scheitert: Ein zufälliger Graph,
der jede Kante mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit enthält, enthält auch asymptotisch fast sicher jeden Subgrahen H. Stattdessen beschäftigen wir uns mit zufälligen
Graphenprozessen für Graphen ohne (induzierten) Subgraphen H. Wir betrachten zwei
unterschiedliche Prozesse: Der gemischte Graphenprozess ist als Markov-Kette definiert.
Die Zustände der Markov-Kette sind dabei die Graphen auf n Knoten ohne induzierten Subgraphen H. Die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen zwei Zuständen ist genau
dann positiv, wenn wir durch Einfügen oder Entfernen einer Kante aus einem Graphen
den anderen erhalten. Der monotone Prozess bringt alle Kanten eines vollständigen Graphen in eine zufällige Reihenfolge und fügt diese dann ausgehend vom leeren Graphen
gemäß dieser Reihenfolge in den Graphen ein, falls die jeweilige Kante keinen (induzierten) Subgraphen H schließt. Letztere Definition findet sich in dem Standardwerk in
7
1 Einleitung
diesem Gebiet, The Probabilistic Method von Alon und Spencer [2]. Ein Graph H heißt
balanciert, falls für alle Subgraphen H 0 gilt:
e(H)
e(H 0 )
≥
.
v(H)
v(H 0 )
Ein Graph H heißt streng 2-balanciert, falls für alle echten Subgraphen H 0 auf mindestens drei Knoten gilt: (e(H)−1)/(v(H)−2) > (e(H 0 )−1)/(v(H 0 )−2). Jeder 2-balancierte
Graph ist auch ein balancierter Graph. Osthus und Taraz haben für streng 2-balancierte
Graphen eine obere und eine untere Schranke an die erwartete Kantenzahl des monotonen Prozesses gezeigt [15]. Der von Osthus und Taraz betrachtete Prozess ist dabei
so definiert, dass er keine (induzierten oder nicht-induzierten) Subgraphen H enthält.
Unsere numerischen Simulationen geben Anlass zu der Vermutung, dass diese Schranken auch im induzierten Fall und für alle balancierten Subgraphen mit mindestens drei
Knoten und mindestens drei Kanten gelten.
Vermutung
Sei H ein balancierter Graph auf mindestens drei Knoten und mindestens drei Kanten.
Dann gilt fast sicher für die Kantenzahl des monotonen Prozesses:
|Mn (H)| = n2−βH +o(1) ,
wobei βH = (v(H)−2)/(e(H)−1) und Mn (H) der Endzustand des monotonen Prozesses
ist.
Die numerischen Ergebnisse des gemischten Graphenprozesses zeigen, dass sich die beobachteten Graphen für kleine n (z.B. n = 1000) anders verhalten, als ein zufällig und
gleichverteilt gewählter Graph ohne induzierten C5 für große n. So hatten praktisch alle
beobachteten Graphen des C5 -freien gemischten Prozesses induzierte Kreise der Länge
sieben, waren also insbesondere nicht perfekt. Dabei lies unser Modell aber keine Schlüsse
auf den tatsächlichen Anteil perfekter Graphen an den Graphen ohne induzierten C5 zu.
Neben einer Zusammenfassung der numerischen Ergebnisse, die im Anhang detailliert
aufgelistet werden, erläutern wir in Kapitel 4 die zur Simulation verwendeten Algorithmen, beweisen deren Korrektheit und geben jeweils eine Laufzeitgarantie.
8
1.1 Grundlagen
1.1 Grundlagen
Notation und Konvention
Wenn wir von Graphen sprechen, so sei im Folgenden stets ein ungerichteter Graph
gemeint. Soweit nicht
anders angegeben ist G = (V, E) ein Graph, V die Menge seiner
V
Knoten und E ⊆ 2 seine Kantenmenge. Wir schreiben v(G) für die Anzahl der Knoten
von G und e(G) für die Anzahl der Kanten. Die Mächtigkeit eines Graphen G ist die
Anzahl seiner Knoten. Der von den Knoten V 0 ⊆ V induzierte Subgraph von G wird
mit G[V 0 ] bezeichnet. Wie üblich ist für einen Graphen G
• ω(G) die Mächtigkeit einer größten Clique,
• α(G) die Mächtigkeit einer größten stabilen Menge,
• χ(G) die chromatische Zahl von G.
An dieser Stelle wollen wir einige Schreibweisen einführen, die wir in dieser Arbeit verwenden werden. So bezeichnet [k] = {1, . . . , k} die Menge der natürlichen Zahlen von 1
bis k. Für Teilmengen X, Y ⊆ V der Knoten von G bezeichne
d(X) =
e(G[X])
|X|
2
die Kantendichte des von X aufgespannten Subgraphen G[X]. Weiter sei
d(X, Y ) =
e(X, Y )
|X| · |Y |
die Dichte zwischen X und Y . Um messen zu können, wie ähnlich sich zwei Graphen
sind, definieren wir folgende Metrik auf der Menge aller Graphen mit n Knoten:
Definition 1 (Edit-Distanz)
Seien G, G0 zwei Graphen auf n Knoten. Dann ist die Edit-Distanz dedit (G, G0 ) definiert
als:
V
e ∈ EG und e ∈
/ EG0 oder e ∈
/ 0
dedit (G, G ) = e ∈
:
.
EG und e ∈ EG0
2
Für die kombinatorischen Argumente in Kapitel 3 werden wir wiederholt die folgende
Abschätzung des Binomialkoeffizienten verwenden:
Lemma 2 (Abschätzung Binomialkoeffizient)
Seien k, n ∈ N mit k ≤ n. Dann gilt:
n k
k
n
ne k
≤
≤
.
k
k
9
1 Einleitung
Beweis
Für die untere Schranke schreiben wir
n
n−k+1
n
n · . . . · (n − k + 1)
= · ... ·
=
k · ... · 1
k
1
k
und erhalten die Ungleichung, da alle Faktoren größer oder gleich n/k sind. Mit der
Stirling-Formel (vergleiche z.B. [5]) für die Fakultät
n n
√
n! ≥ 2πn
e
erhalten wir
nk
n
nk
≤
.
≤
k!
(k/e)k
k
Neben diesen beiden Schranken wird sich folgende asymptotische Abschätzung aus [4]
als sehr hilfreich erweisen:
Lemma 3 (Asymptotik des Binomialkoeffizienten)
Für L ∈ N, 0 < c < 1 und H(c) = −c log2 c − (1 − c) log2 (1 − c) gilt
L
= 2H(c)L+o(L) .
cL
H(c) heißt auch binäre Entropie. Sie ist symmetrisch zu 1/2, wo sich mit H(1/2) = 1
auch das Maximum der Funktion auf (0, 1) befindet. In den beiden Teilintervallen (0, 1/2)
und (1/2, 1) liegt strenge Monotonie vor.
In der Einleitung haben wir bereits über den Begriff des induzierten Subgraphen gesprochen. Diesen wollen wir hier definieren:
Definition 4 (Induzierter Subgraph)
Sei G = (V, E) ein Graph. Wir sagen G hat H als induzierten Subgraph, wenn V 0 ⊆ V
existiert, sodass H isomorph zu
0 V
0
0
G = V ,E ∩
2
ist.
Wenn H kein Subgraph von G ist, so sagen wir, G ist H-frei. Ist H im Sinne von Definition 4 kein induzierter Subgraph von G, so sagen wir, G ist H ∗ -frei. Eine Knotenmenge,
die als Subgraph eine Clique oder eine stabile Menge induziert, heißt homogene Menge.
Weiter definieren wir:
Definition 5 (Größte homogene Menge)
Die Mächtigkeit einer größten homogenen Menge in G ist
hom(G) = max{α(G), ω(G)}.
Für die Menge aller Graphen auf n Knoten, die keinen der Graphen H1 , H2 ,. . . als
induzierten Subgraphen haben, sei
hom(n, H1 , H2 , . . . ) = min{hom(G) : |V (G)| = n, G ist Hi -frei}.
10
1.1 Grundlagen
Eine Klasse von Graphen, für die es leicht ist, eine untere Schranke an hom(G) anzugeben, sind die perfekten Graphen.
Perfekte Graphen
Definition 6 (Perfekter Graph)
Ein Graph G heißt perfekt, falls für jeden induzierten Subgraphen H von G gilt:
ω(H) = χ(H).
Beispiele für perfekte Graphen sind bipartite Graphen und triangulierte Graphen. Da
für perfekte Graphen ω(G) = χ(G) gilt, folgt hier aus n ≤ α(G) · χ(G):
Lemma 7
Sei G ein perfekter Graph. Dann ist
hom(G) ≥
√
n.
Perfekte Graphen besitzen eine Charakterisierung mittels verbotener induzierter Subgraphen. Die folgende Graphenklasse wurde von Claude Berge in [3] eingeführt:
Definition 8 (Berge Graphen)
Ein induzierter Subgraph C2k+1 bzw. C2k+1 mit k ≥ 2 heißt ungerades Loch bzw. ungerades Antiloch. Hat G keine ungeraden Löcher oder Antilöcher, so heißt G Berge
Graph.
Bereits 1960 vermutete Claude Berge, dass die später nach ihm benannten Graphen
gerade die perfekten Graphen sind [3]. Diese Vermutung wurde als Strong Perfect Graph
Conjecture bekannt; sie wurde schließlich 2002 von Chudnovsky, Robertson, Seymour
und Thomas in [6] bewiesen:
Satz 9 (Strong Perfect Graph Theorem)
Ein Graph ist genau dann perfekt, wenn er ein Berge Graph ist.
Zufällige Graphen
In Kapitel 2 und Kapitel 3 werden wir uns immer wieder des Zufalls bedienen, um
die Existenz von Graphen mit bestimmten Eigenschaften zu zeigen. Hier verwenden
wir eine Beweistechnik, die als die ”Probabilistische Methode”von Alon und Spencer in
ihrem gleichnamigen Buch bekannt gemacht wurde [2]. Die Idee ist, für eine gegebene
Klasse von Graphen nachzuweisen, dass ein zufällig und gleichverteilt gewählter Graph
aus dieser Klasse mit positiver Wahrscheinlichkeit die fragliche Eigenschaft hat. Damit
muss mindestens ein Graph mit dieser Eigenschaft in der Klasse existieren. Zu diesem
Zweck definieren wir den Begriff des zufälligen Graphen G(n, p) so wie er z.B. auch von
Alon und Spencer [2] oder Diestel [9] verwendet wird. Der zufällige Graph G(n, p) ist ein
Wahrscheinlichkeitsraum, dessen Elementarereignisse die Graphen auf der Knotenmenge
11
1 Einleitung
V = [n] sind. Für jede Kante e ∈ V2 entscheiden wir durch ein Zufallsexperiment, ob die
Kante in E enthalten ist. Diese Zufallsexperimente werden unabhängig durchgeführt und
haben eine Erfolgswahrscheinlichkeit von p. Wenn wir von einem bestimmten Element
dieses Raumes sprechen, so schreiben wir G(n, p).
Damit ist es nun möglich, für bestimmte Graphenparameter einen Erwartungswert zu
berechnen. So gilt beispielsweise für die erwartete Kantenzahl eines Graphen in G(n, p):
n
E[|G(n, p)|] = p
.
2
Die Markov’sche Ungleichung erlaubt die Abschätzung einer positiven Zufallsgröße durch
deren Erwartungswert:
Lemma 10 (Markov’sche Ungleichung)
Sei X eine positive reellwertige Zufallsvariable und sei a eine positive reelle Zahl. Dann
gilt:
E[X]
.
P[X ≥ a] ≤
a
Beweis
Die Ungleichung folgt direkt aus der Definition des Erwartungswerts und der Tatsache,
dass X eine positive Zufallsvariable ist.
Wir sagen, dass eine Eigenschaft asymptotisch fast sicher (a.a.s.) gilt, falls ihre Wahrscheinlichkeit für n → ∞ gegen 1 geht. Im Folgenden werden wir uns für die erwartete
Cliquen- und Stabilitätszahl und in Kapitel 4 für die erwartete Anzahl der Subgraphen
H bei zufälligen Graphen interessieren.
Extremale Graphentheorie
Wie beeinflussen sich globale Parameter und lokale Strukturen gegenseitig? Mit dieser
Frage beschäftigt sich die extremale Graphentheorie. Ihre so genannten Dichte-Resultate
liefern für Graphen mit hinreichend großer Dichte Aussagen über die Existenz von bestimmten Subgraphen. Ein Ergebnis von Turán ([22], siehe auch Lemma 52 in dieser
Arbeit) besagt beispielsweise, dass jeder Graph ein Dreieck hat, wenn er mehr als n2 /4
Kanten besitzt. Ein ähnliches Ergebnis zeigen wir in Kapitel 2 für Graphen mit hinreichend großer chromatischer Zahl.
Eine weitere interessante Fragestellung der extremalen Graphentheorie betrifft die sogenannten Ramsey-Zahlen:
Definition 11 (Ramsey-Zahlen)
Seien k, l ∈ N. Dann ist die Ramsey-Zahl R(k, l) definiert als die kleinste natürliche
Zahl, für die gilt: Jeder Graph auf R(k, l) Knoten hat eine Clique der Größe k oder eine
stabile Menge der Größe l.
Ramsey selbst bewies in [17] schon 1930:
12
1.2 Erdös, Hajnal und ihre Vermutung
Satz 12 (Ramsey)
Jeder Graph auf n Knoten hat eine homogene Menge der Größe
1
log2 n.
2
Erdös zeigte mit Hilfe des G(n, 1/2), dass diese untere Schranke bis auf einen Faktor 4
optimal ist:
Satz 13
Zu jedem n ≥ 4 gibt es einen Graphen auf n Knoten, der keine homogene Menge der
Größe
2 log2 n
hat.
Beweis
Sei n ≥ 4 und sei k = 2 log2 n. Wir betrachten die Cliquenzahl und die Stabilitätszahl
eines zufälligen Graphen G(n, 1/2). Es gilt:
P[ω(G(n, 1/2)) ≥ k] = P[α(G(n, 1/2)) ≥ k]
Und weiter mit der Markov’schen Ungleichung:
(k2)
n
1
nk
2
P[ω(G(n, 1/2)) ≥ k] ≤
≤ 2−k /2+k/2
k
2
k!
k
2k/2
2k/2
1
2
≤
2−k /2+k/2 =
<
k!
k!
2
Damit existiert für jedes n mit positiver Wahrscheinlichkeit ein Graph G auf n Knoten
mit hom(G) ≤ 2 log2 n.
Also gilt: 2k/2 ≤ R(k, k) ≤ 22k . Die Ramsey-Theorie liefert damit hom(G) ≥ 21 log2 n als
untere Schranke für die Mächtigkeit einer größten homogenen Menge, und diese Schranke
ist im Allgemeinen bis auf eine Konstante optimal.
1.2 Erdös, Hajnal und ihre Vermutung
Am Beispiel des zufälligen Graphen G(n, 1/2) haben wir gesehen, dass Graphen G existieren mit
hom(G) ≤ 2 log2 n.
Es gilt also für jedes ε > 0: Für n hinreichend groß gibt es Graphen G mit hom(G) ≤
nε . Betrachten wir an Stelle der Klasse aller Graphen eine Graphenklasse, die durch
verbotene induzierte Subgraphen charakterisiert ist, zeigt sich ein völlig anderes Bild.
Erdös und Hajnal vermuteten, dass zu jedem Graphen H eine Konstante εH existiert,
13
1 Einleitung
sodass jeder H-freie Graph eine homogene Menge der Größe nε(H) enthält [10]. Durch
lokale Einschränkungen wird so eine globale Struktur, nämlich eine große Clique oder
stabile Menge, erzwungen. Bezüglich der Kantenverteilung unterscheiden sich Graphen
mit verbotenen induzierten Subgraphen also deutlich von zufälligen Graphen. Um dies
quantitativ zu messen, definieren wir
ε(H) = sup {ε ≥ 0 : hom(n, H) ≥ nε für alle n ≥ n0 }.
n0 ∈N
Definition 14 (Erdös-Hajnal-Eigenschaft)
Wir sagen, ein Graph H hat die Erdös-Hajnal-Eigenschaft, wenn ε(H) > 0 gilt.
Für einen Graphen H mit Erdös-Hajnal-Eigenschaft gilt also: Ist G ein H ∗ -freier Graph
auf hinreichend vielen Knoten, so hat G eine homogene Menge der Größe |G|ε(H) . Da
für das Komplement G von G gilt hom(G) = hom(G), folgt aus der Erdös-HajnalEigenschaft von H die Erdös-Hajnal-Eigenschaft von H.
Vermutung 15 (Erdös-Hajnal, [10])
Jeder Graph H hat die Erdös-Hajnal-Eigenschaft.
Für einige Graphen H, die wir im Folgenden aufgelistet haben, ist die Existenz von
ε(H) bekannt. Dabei folgt diese zusammen mit einer unteren Schranke an ε(H) für die
Fälle 1) bis 6) aus einem generellen Argument für sogenannte sehr einfache Graphen.
Der Bull-Graph von Fall 7) ist der erste Graph, für den die Erdös-Hajnal-Eigenschaft
nachgewiesen wurde, ohne dass diese bereits aus dem generellen Argument folgte.
1) ε(K3 ) = 21
Dieser Wert ergibt sich aus der unteren Schranke für die Ramsey-Zahlen R(3, m)
von Erdös in [11].
2) ε(P3 ) = ε(P4 ) =
3)
1
2
≤ ε(C4 ) ≤ 37
Die obere Schranke findet sich als Proposition 6.3 in [12].
1
3
4) ε(Klaue) = 31
Die Klaue ist der K1,3 .
5) ε(Diamant) ≤ 31
Der Diamant ist ein K4 mit einer fehlenden Kante.
6)
≤ ε(K4 ) ≤ 0.4
Dabei ist die obere Schranke von Spencer [19].
1
3
7) ε(Bull) = 14
Der Bull ist ein Dreieck mit zwei an verschiedene Knoten angehefteten Kanten.
14
1.2 Erdös, Hajnal und ihre Vermutung
K3
P3 und P4
C4
Diamant
K4
Bull
Klaue
Abbildung 1: Subgraphen, für die die Erdös-Hajnal-Eigenschaft nachgewiesen wurde
Für alle übrigen nicht sehr einfachen Graphen H mit mindestens 5 Knoten ist die Existenz von ε(H) unbekannt.
Kommen wir nun zu sehr einfachen Graphen und der Begründung, warum daraus direkt
die Erdös-Hajnal-Eigenschaft folgt.
Definition 16 (Sehr einfache Graphen)
Wir definieren die Klasse der sehr einfachen Graphen H wie folgt:
(i) K1 und P4 gehören zu H.
(ii) Für zwei Graphen H1 , H2 ∈ H gehört auch deren disjunkte Vereinigung, zu der
alle oder keine Kanten zwischen den Knoten von H1 und den Knoten von H2
hinzugefügt werden, zu H.
Erdös und Hajnal selbst zeigen in [10], dass ε(H) existiert, falls H wie in Definition 16
aus H1 und H2 entsteht, und ε(H1 ) bzw. ε(H2 ) existieren. Desweiteren sind P4∗ -freie
Graphen perfekt [18], haben also die Erdös-Hajnal-Eigenschaft. Damit gilt:
Satz 17
Sehr einfache Graphen haben die Erdös-Hajnal-Eigenschaft.
Sieht man von Komplement-Bildung ab, so gibt es fünf Graphen auf fünf Konten, die
nicht sehr einfach sind. Für einen von diesen, den Bull-Graph, haben Chudnovsky und
Safra in [7] die Erdös-Hajnal-Eigenschaft nachgewiesen. Es verbleiben folgende Graphen,
wobei uns besonders der Fall C5 interessiert:
1) die Klaue mit einer unterteilten Kante
2) P5
3) C4 mit einer angehefteten Kante
4) C5
Falls C5 tatsächlich die Erdös-Hajnal-Eigenschaft besitzt, ist bereits eine obere Schranke
an ε(C5 ) bekannt:
15
1 Einleitung
Klaue mit
unterteilter Kante
P5
C4 mit
angehefteter Kante
C5
Abbildung 2: Einige Subgraphen, für die die Erdös-Hajnal-Eigenschaft unbekannt ist
Lemma 18
Falls ε(C5 ) existiert, gilt
ε(C5 ) ≤
log 3
≈ 0.47712.
log 10
Den Beweis dieser oberen Schranke haben wir dem Übersichtsartikel von Gyárfás [12]
entnommen:
Beweis
Der Graph G = C7 ∪· K3 hat zehn Knoten, und es gilt: ω(G) = α(G) = 3. Ersetzt man
rekursiv in G die Knoten durch Subgraphen G, und die Kanten durch vollständig Paare,
so erhält man beliebig große Graphen mit
hom(G) = |G|log 3/ log 10 .
Damit wissen wir einerseits, dass fast alle C5∗ -freien Graphen perfekt sind, und als solche
eine homogene Menge der Größe |G| 0.5 haben. Andererseits ist dies sicher nicht die korrekte Erdös-Hajnal-Konstante, da es beliebig große C5∗ -freie Graphen gibt, deren größte
homogene Mengen |G| 0.47712... Elemente haben. Eine positive untere Schranke für ε(C5 )
ist jedoch wie gesagt bisher nicht bekannt.
16
2 Cliquen in Graphen mit großer
chromatischer Zahl
Wir betrachten im Folgenden Graphen mit extrem hoher chromatischer Zahl. Für diese
beweisen wir die Existenz von großen Cliquen. Dazu geben wir eine untere Schranke für
die Erdös-Hajnal-Konstante ε(Kk ) der Clique auf k Knoten an und folgern daraus, dass
Graphen mit linearer chromatischer Zahl polynomiell große homogene Mengen besitzen.
2.1 Eine untere Schranke an hom(G)
Unser Ziel in diesem Abschnitt ist es, für einen Graphen G mit χ(G) = n/k die Existenz
einer homogenen Menge der Größe |G|1/k zu zeigen. Der Beweis verwendet eine untere
Schranke für ε(Kk ). Cliquen sind nach unserer Definition sehr einfache Graphen, und
somit gilt die Erdös-Hajnal-Eigenschaft für sie. Hier ein elementarer Beweis:
Lemma 19 (Erdös-Hajnal für Cliquen)
Sei k ≥ 2. Dann hat Kk die Erdös-Hajnal-Eigenschaft, und es gilt:
ε(Kk ) ≥ 1/(k − 1).
Der Beweis von Lemma 19 verwendet eine Idee, die auch im Beweis des Satzes von
Ramsey zum Einsatz kommt [17].
Beweis
Trivialer Weise ist ε(K2 ) = 1. Für k > 2 führen wir den Beweis durch Induktion, die wir
bei k = 3 beginnen:
Sei G ein K3 -freier Graph. Wir setzen C = ∅, wählen einen beliebigen Knoten v1 aus
G und betrachten dessen Nachbarschaft Γ(v1 ). Die Knoten in Γ(v1 ) sind eine stabile
Menge, da jede Kante in Γ(v1 ) in einem induzierten K3 läge. Also gilt: α(G) ≥ |Γ(v1 )|.
Wir löschen {v1 }∪Γ(v1 ) aus G und setzen C = C ∪{v1 }. Nun wählen wir für i = 2, 3, . . .
die vi jeweils beliebig aus den verbleibenden Knoten und verfahren analog. Der Prozess
endet nach dem l-ten Schritt, in dem der letzte Knoten aus G gelöscht wird. Dann
befinden sich genau l Knoten in C und diese l Knoten bilden eine stabile Menge. Es ist
α(G) ≥ max{l, |Γ(v1 )|, . . . , |Γ(vl )|}.
(1)
Nach Konstruktion gilt weiter:
n≤
l
X
i=1
(1 + |Γ(vi )|) ≤ l · 1 + max |Γ(vi )| .
i
17
2 Cliquen in Graphen mit großer chromatischer Zahl
Falls l < n1/2 ist, existiert mindestens ein i mit
√
|Γ(vi )| > n − 1.
√
Aus (1) folgt also α(G) ≥ n. Damit ist die Aussage für k = 3 gezeigt.
Sei nun k ≥ 4. Für einen Kk -freien Graphen G konstruieren wir analog zum Fall k = 3
die Mengen C und Γ(vi ) für i = 1, 2, . . . . Da alle Knoten in Γ(vi ) einen gemeinsamen
Nachbarn vi in G \ Γ(vi ) haben, hat G eine Clique der Größe k, wenn der von Γ(vi )
induzierte Subgraph eine Clique der Größe k − 1 hat. Also wenden wir die Aussage für
k − 1 auf diesen induzierten Subgraphen an, und erhalten dort eine stabile Menge der
Größe |Γ(vi )|1/(k−2) . Insgesamt ergibt sich:
α(G) ≥ max{l, |Γ(v1 )|1/(k−2) , . . . , |Γ(vl )|1/(k−2) }.
(2)
Falls l < n1/(k−1) ist, existiert ein i mit:
|Γ(vi )| >
k−2
n−l
> n k−1 − 1,
l
und weiter
1
1
|Γ(vi )| k−2 > n k−1 − 12 .
Aus (2) folgt, dass G ohne induzierten Kk stets eine stabile Menge der Größe n1/(k−1)
hat.
Wir werden Lemma 19 verwenden, um eine untere Schranke für die Cliquengröße von
Graphen mit großer chromatischer Zahl zu beweisen.
Satz 20 (Untere Schranke an hom(G))
Sei ε > 0 und k ∈ N. Dann gibt es n0 ∈ N, sodass für jeden Graphen G auf n ≥ n0
Knoten mit χ(G) ≥ n/k gilt:
ω(G) ≥ n1/k−ε .
Beweis
Sei n0 so gewählt, dass (n0 )ε ≥ (k(k − 1))1/k gilt, und sei G ein Graph auf n ≥ n0 Knoten
mit χ(G) = n/k. Sei m die maximale Anzahl von disjunkten stabilen Mengen der Größe
mindestens k + 1 in G, und sei G0 der Graph, den wir aus G erhalten, indem wir diese
m stabilen Mengen entfernen. Für G0 gilt α(G0 ) ≤ k. Weiter ist χ(G0 ) ≥ χ(G) − m =
n/k − m, also hat G0 mindestens n/k − m ≥ n/k − n/(k + 1) ≥ n/(k(k + 1)) Knoten.
Wegen α(G0 ) ≤ k, hat das Komplement G0 keinen induzierten Kk+1 . Nach Lemma 19
folgt: ω(G0 ) = α(G0 ) ≥ (n0 )1/k . Für n ≥ n0 gilt damit:
ω(G) ≥ (n )
0 1/k
18
≥
1
k(k − 1)
1/k
n1/k ≥ n1/k−ε .
2.2 Eine obere Schranke an hom(G)
2.2 Eine obere Schranke an hom(G)
Im vorangegangenen Abschnitt haben wir gezeigt, dass Graphen mit chromatischer Zahl
n/k Cliquen der Größe n1/k−ε haben. Dieser Exponent ist bis auf einen Faktor 2 optimal.
Wir zeigen:
Satz 21 (Obere Schranke an hom(G))
Für alle k ≥ 2, ε > 0 und N0 ∈ N existiert ein Graph G auf n ≥ N0 Knoten mit
χ(G) ≥
n
,
k
und ω(G) ≤ n2/k .
Dazu betrachten wir für x > 2/k den zufälligen Graphen G(n, p) mit p = n−x . Für diese
Wahl von p und α > x hat G(n, p) für hinreichend großes n mit positiver Wahrscheinlichkeit weniger als n/2k Cliquen der Größe k und eine Stabilitätszahl, die kleiner als nα
ist. Damit existiert ein Graph G, aus dem durch Entfernen aller k-Cliquen ein Graph G0
mit ω(G0 ) < k und α(G0 ) < nα . Wir gehen zum Komplement über und erhalten einen
Graphen mit den gesuchten Eigenschaften.
Lemma 22
Seien k ≥ 2 und x > 2/k. Dann existiert ein n0 ∈ N, sodass für alle n ≥ n0 gilt:
1
P[X ≥ n/2k] < ,
2
wobei X die Anzahl der k-Cliquen in G(n, n−x ) ist.
Beweis
Sei k ≥ 2, x = 2/k + ε mit ε > 0, und sei E[X] die Anzahl der erwarteten k-Cliquen in
G(n, n−x ). Dann gilt für p = n−(2/k+ε) :
n (k2)
E[X] =
p
k
Wir verwenden Lemma 2, um den Binomialkoeffizienten abzuschätzen:
E[X] ≤
=
ne k
k
e k
k
n−(2/k+ε)
k(k−1)/2
1
n1− 2 εk(k−1)
Nun wählen wir n0 so, dass gilt:
e k
k
− 1 εk(k−1)
n0 2
≤
1
.
5k
Da X eine positive Zufallsvariable ist, folgt für n ≥ n0 mit der Markov’schen Ungleichung
n
(Lemma 10) aus E[X] ≤ 5k
, dass P[X ≥ n/2k] ≤ 25 < 21 ist.
19
2 Cliquen in Graphen mit großer chromatischer Zahl
Lemma 23
Sei x > 0 gegeben. Dann existiert zu jedem α > x ein n0 ∈ N, sodass für den zufälligen
Graphen G(n, n−x ) auf n ≥ n0 Knoten gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass in G(n, n−x )
eine stabile Menge der Größe nα existiert ist kleiner als 1/2.
Beweis
Wir berechnen die erwartete Anzahl X von stabilen Mengen der Größe nα :
α
n
−x (n2 )
E[X] ≤
(1
−
n
)
nα
Mit Lemma 2 und der Ungleichung (1 − x) ≤ e−x , die für alle x ≥ 0 gilt, folgt
e nα
−x (n2α )
(nα )
.
E[X] ≤
n
e−n
α
n
α
Wir wählen n0 so groß, dass (n02) ≥ (n0 )2α /3 und
e
1
α
α−x
−n−x
0 (n0 ) /3
= n01−α e1−n /3 <
n
e
0
α
(n0 )
2
gelten. Damit haben wir für n ≥ n0 :
e nα
−x α nα
(nα )
E[X] ≤
n
e−n n /3
nα
nα
1
1
< .
<
2
2
Mit der Markov’schen Ungleichung (Lemma 10) folgt die Behauptung.
Damit haben wir alle Hilfsmittel, die wir zum Beweis von Satz 21 benötigen:
Beweis (von Satz 21)
2
Seien k ≥ 3 und N0 gegeben. Wir wählen α mit k2 < α < (k−1)
und x mit k2 < x < α.
Nach Lemma 22 und Lemma 23 gibt es ein n0 , sodass für alle n ≥ n0 jeweils mit
Wahrscheinlichkeit > 1/2 gilt:
(i) Die Anzahl der k-Cliquen in G(n, n−x ) ist kleiner als n/(2k).
(ii) Es existiert keine stabilen Mengen der Größe nα in G(n, n−x ).
Damit muss es einen Graphen G auf n ≥ max{2N0 , n0 } Knoten geben, der weniger
als n/(2k) k-Cliquen enthält und gleichzeitig keine stabile Menge der Größe nα hat.
Das Komplement G hat damit höchstens n/(2k) stabile Mengen der Größe k. Durch
Entfernen aller Knoten in stabilen Mengen der Größe k aus G erhalten wir einen Graphen
0
G auf n0 ≥ n/2 Knoten ohne stabile Menge der Größe k. Es ist
n0
χ(G ) ≥
,
k−1
0
20
2.3 Zusammenfassung
0
da Farbklassen immer stabile Mengen sind. G hat als Subgraph des Komplements von
G keine Clique der Größe nα . Für n und damit auch n0 hinreichend groß gilt:
ω(G0 ) ≤ nα ≤ 2 · (n0 )α ≤ (n0 )2/(k−1) .
G0 ist damit ein Graph mit den gesuchten Eigenschaften auf n0 ≥ n/2 ≥ N0 Knoten.
2.3 Zusammenfassung
Für Graphen mit großer chromatischer Zahl wissen wir damit:
Satz 24
Zu jedem ε > 0 existiert n0 ∈ N, sodass für jeden Graphen G auf n ≥ n0 Knoten gilt:
Aus χ(G) ≥ nk folgt ω(G) ≥ n1/k−ε .
Dieser Exponent für die Cliquengröße ist bis auf einen Faktor 2 optimal, da zu jedem
N0 ∈ N und k ≥ 2 ein Graph G auf mindestens N0 Knoten existiert mit
n
χ(G) ≥ , und ω(G) ≤ n2/k .
k
Für Graphen mit linearer chromatischer Zahl existiert also ein ε, sodass
hom(G) ≥ nε
ist. Andererseits ist auch für Graphen mit kleiner chromatischer Zahl eine triviale untere
Schranke an hom(G) bekannt: Hat ein Graph für c < 1 die chromatische Zahl χ(G) = nc ,
so ist wegen χ(G) · α(G) ≥ |G| = n
hom(G) ≥ α(G) ≥ n1−c .
Es bleiben die Graphenklassen, deren chromatische Zahl sublinear aber nicht polynomiell
ist. Der Beweis der Vermutung von Erdös und Hajnal ist damit äquivalent zum Beweis
folgender Aussage:
Vermutung 25
Sei G eine unendliche H ∗ -freie Graphenklasse und sei Gn = {G ∈ G : |G| = n}. Für alle
c ∈ (0, 1) und G ∈ G gelte
|G|c χ(G) |G|.
Dann existieren ε(H) und n0 ∈ N, sodass für alle Graphen G in Gn mit n ≥ n0 gilt:
hom(G) ≥ |G|ε(H) .
Dies ist nur ein geringer Fortschritt, da die chromatische Zahl vieler relevanter Graphen sublinear, aber nicht polynomiell ist. Der zufällige Graph G(n, p) gehört zu diesen
Graphen:
!
n
.
E[χ(G(n, p))] = O
log1/p n
21
2 Cliquen in Graphen mit großer chromatischer Zahl
In diesem Fall versagt unser Argument, da G(n, p) i.A. nur Cliquen der Größe log n hat.
Das Ramsey-Ergebnis aus Satz 12 liefert hier die untere Schranke
hom(G) ≥ 21 log2 |G|,
die für alle Graphen gilt. Die Ramsey-Schranke ist weit von der vermuteten Größenordnung für H ∗ -freie Graphen entfernt. Allerdings ist G(n, p) auch weit davon entfernt,
H ∗ -frei zu sein. Dies deutet darauf hin, dass sich die Struktur des zufälligen Graphen
G(n, p) deutlich von der eines zufälligen H ∗ -freien Graphen unterscheidet.
22
3 Abzählen von C5∗-freien Graphen
3.1 Vorbemerkungen
Ein Graph G heißt C5∗ -frei, wenn er keinen induzierten Subgraphen enthält, der ein Kreis
der Länge 5 ist. Mit C(n) bezeichnen wir die Menge aller C5∗ -freien Graphen auf n Knoten.
C(n, cn2 ) bezeichne die Menge aller Graphen aus C(n), die genau cn2 Kanten haben.
Prömel und Steger haben in [16] unter anderem die Struktur von C(n) beschrieben. Ihr
Ergebnis zeigt, dass fast alle C5∗ -freien Graphen der Klasse der sogenannten generalized
split Graphen angehören.
Definition 26 (Generalized split Graph)
Ein Graph G heißt generalized split Graph, wenn G oder das Komplement von G folgende Bedingungen erfüllen:
(i) Es existiert eine Partition V = V1 ∪ · · · ∪ Vk der Knoten, sodass die Mengen Vi
stabil und paarweise disjunkt sind.
(ii) Für i > j > 1 und alle v ∈ Vi , w ∈ Vj gilt vw ∈ E.
Die Menge aller generalized split Graphen auf n Knoten bezeichnen wir mit S(n).
Nach Prömel und Steger [16] haben generalized split Graphen keine induzierten Löcher
oder Antilöcher der Größe mindestens fünf. Also sind generalized split Graphen BergeGraphen und damit perfekt. Es gilt
S(n) ⊆ Perf(n) ⊆ C(n).
(1)
Insbesondere sind alle generalized split Graphen C5∗ -frei. Wie beispielsweise der C7 zeigt,
sind umgekehrt nicht alle C5∗ -freien Graphen generalized split Graphen. Stattdessen gilt:
Satz 27 (Prömel und Steger, [16])
Fast alle C5∗ -freien Graphen sind generalized split Graphen:
|S(n) ∩ C(n)|
= 1.
n→∞
|C(n)|
lim
Prömel und Steger beweisen so mit (1), dass fast alle Berge-Graphen perfekt sind. Dieses
Ergebnis wurde durch den Beweis der Strong Perfect Graph Conjecture von Chudnovsky
et al. bestätigt [6].
Die Aussage ist auch im Zusammenhang mit der Vermutung von Erdös und Hajnal
interessant, da perfekte Graphen nach Lemma 7 eine Erdös-Hajnal-Konstante von 1/2
haben.
23
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
Die Frage
Satz 27 beschreibt, welche Struktur wir erwarten können, wenn wir zufällig und gleichverteilt Graphen aus C(n) wählen. Gilt dies auch, wenn wir statt aller C5∗ -freien Graphen
auf n Knoten nur Graphen mit einer gegebenen Kantenanzahl betrachten? Ist für alle
c ∈ (0, 1/2)
|S(n) ∩ C(n, cn2 )|
lim
=1?
n→∞
|C(n, cn2 )|
Wie auch Prömel und Steger ([16]) werden wir diese Frage nicht beantworten können.
Stattdessen geben wir eine grobe Abschätzung für die Anzahl der C5∗ -freien Graphen
und der generalized split Graphen auf n Knoten mit cn2 Kanten an. Diese liefern in
führender Ordnung jeweils den gleichen Wert.
Definition 28
Für 0 < c < 1/2 sei
log2 |C(n, cn2 )|
n→∞
n2
F (c) = lim
und
log2 |S(n) ∩ C(n, cn2 )|
.
n→∞
n2
f (c) = lim
Das Hauptresultat dieses Kapitels ist folgender Satz:
Satz 29
Die Grenzwerte aus Definition 28 existieren, und für 0 < c < 1/2 gilt:
(
1
1/8 ≤ c ≤ 3/8,
F (c) = f (c) = 14
H(4c) sonst.
4
Dabei ist H(c) = −c log2 c−(1−c) log2 (1−c) die so genannte binäre Entropie. Der Beweis
erfolgt, indem wir jeweils obere und untere Schranken an |C(n, cn2 )| und |S(n)∩C(n, cn2 )|
zeigen. Wenn wir im Folgenden Aussagen über f (c) bzw. F (c) beweisen, so ist stets
gemeint, dass diese für f (c) bzw. F (c) gelten, falls diese existieren. Wir beginnen mit
einer trivialen oberen Schranke:
Lemma 30
Für 0 < c < 1/2 gilt
1
f (c) ≤ F (c) ≤ .
4
Beweis
Nach Lemma 2.2 aus [16] gibt es
|S(n)| =
24
“
”
n
n
e
n
n2 n
+ log n− log ln n− log +O
2
2
2
log log n
24 2
1
= 24n
2 +o(n2 )
3.2 Regularität
generalized split Graphen auf n Knoten. Da nach Satz 27 fast alle C5∗ -freien Graphen
generalized split Graphen sind, gilt auch
1
2 +o(n2 )
|C(n)| = 2 4 n
.
Daraus folgt direkt die obere Schranke für f (c) und F (c).
Die unteren Schranken werden wir mit Hilfe des Regularitätslemmas beweisen. Dieses
mächtige Werkzeug wollen wir im Folgenden kurz vorstellen.
3.2 Regularität
Endre Szemerédi entwickelte das nach ihm benannte Regularitätslemma, um eine Vermutung von Erdös und Turán aus dem Jahr 1936 zu beweisen. So gelang ihm 1975 der
Nachweis, dass zu jedem 0 < d < 1 und jedem k ∈ N eine natürliche Zahl N (d, k)
existiert, sodass jede dN -elementige Teilmenge von {1, . . . , N } eine arithmetische Progression der Länge k enthält, falls N ≥ N (d, k) ist [21].
Seitdem wurde sein Lemma auf vielfältige Weise angewendet [13]. Bevor auch wir das
Regularitätslemma verwenden, geben wir eine Definition grundlegender Begriffe an:
Definition 31 (ε-regulär)
Sei 0 < ε < 1. Ein bipartiter Graph G = (A ∪· B, E) heißt ε-regulär, wenn für alle
X ⊆ A mit |X| ≥ ε|A| und für alle Y ⊆ B mit |Y | ≥ ε|B| gilt:
|d(A, B) − d(X, Y )| ≤ ε.
G heißt (ε, δ)-regulär, wenn G ε-regulär ist und d(A, B) ≥ δ gilt.
Ist ein Graph ε-regulär, so vererbt sich die Regularität auf hinreichend große Subgraphen:
Lemma 32
Sei 0 < ε < 1 und sei G = (A ∪· B, E) ε-regulär. Dann gilt für ε < c < 1/2 und A0 ⊆ A,
B 0 ⊆ B mit |A0 | ≥ c|A| und |B 0 | ≥ c|B|:
G[A0 ∪ B 0 ] ist ε/c-regulär.
Beweis
Sei 0 < ε < 1 und G = (A ∪· B, E) ε-regulär; weiter seien ε < c < 1/2 und A0 , B 0 wie
in Lemma 32 gegeben. Dann gilt für alle X ⊆ A0 mit |X| ≥ εc |A0 | ≥ ε|A| und für alle
Y ⊆ B 0 mit |Y | ≥ εc |B 0 | ≥ ε|B|:
|d(A, B) − d(X, Y )| ≤ ε.
Auf Grund der ε-Regularität von G = (A ∪· B, E) gilt weiter:
|d(A, B) − d(A0 , B 0 )| ≤ ε.
25
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
Damit haben wir
ε
|d(A0 , B 0 ) − d(X, Y )| ≤ 2ε ≤ ,
c
was die ε/c-Regularität von G[A0 ∪ B 0 ] zeigt.
Definition 33 (Äquipartition)
Eine Partition V = V1 ∪· . . . ∪· Vk heißt Äquipartition, falls für alle i, j ∈ [k] gilt:
||Vi | − |Vj || ≤ 1.
Definition 34 (ε-reguläre Partition)
Sei G = (V, E). Eine Partition V = V1 ∪· . . . ∪· Vk heißt regulär, falls gilt
(i) V = V1 ∪· . . . ∪· Vk ist eine Äquipartition, und
(ii) für höchstens εk 2 Paare {i, j} ∈ [k]
ist G[Vi ∪ Vj ] nicht ε-regulär.
2
Kommen wir nun zu Szemerédis bedeutendem Lemma:
Lemma 35 (Szemerédis Regularitätslemma, [20])
Zu jedem ε > 0 und m ∈ N gibt es M ∈ N, sodass jeder Graph G auf mindestens M
Knoten eine ε-reguläre Partition in k Klassen mit m ≤ k ≤ M hat.
Das Regularitätslemma besagt, dass jeder Graph gut durch die Vereinigung einer konstanten Anzahl von regulären Paaren – zufallsähnlichen bipartiten Graphen – angenähert
werden kann, falls er nur hinreichend groß ist. Ein Beweis findet sich in Szemerédis
Veröffentlichung [20] oder auch in [13].
Für unsere Zwecke wird sich folgende stärkere Version des Regularitätslemmas als sehr
hilfreich erweisen:
Lemma 36 (Starke Regularität)
Zu jedem m und 0 < ε < 1 gibt es N = N (m, ε) und η = η(m, ε) mit folgenden Eigenschaften. Wenn G ein Graph auf n ≥ N Knoten ist, existiert eine Äquipartition
A = {Vi | 1 ≤ i ≤ k} für G und ein induzierter Subgraph G0 von G mit einer
Äquipartition A0 = {Vi0 | 1 ≤ i ≤ k} der Knoten von G0 , sodass gilt:
1) m ≤ k ≤ N
2) Vi0 ⊂ Vi für jedes i ≥ 1 und |Vi0 | ≥ ηn.
3) Alle Paare der Äquipartition A0 sind ε-regulär.
4) Bis auf höchstens ε k2 Paare gilt für 1 ≤ i < j ≤ k:
|d(Vi , Vj ) − d(Vi0 , Vj0 )| < ε.
26
3.3 Obere Schranken: Die Struktur C5∗ -freier Graphen
Diese Aussage findet sich als Korollar 4.2 in [1], wo auch ein Beweis angegeben ist. Mit
einer regulären Partition eines Graphen allein ist uns noch nicht geholfen; wir müssen
daraus auch die Existenz von bestimmten (induzierten) Subgraphen ableiten können.
Dies ermöglicht uns folgendes Lemma, das ebenfalls in [1] als Lemma 3.2 zu finden ist:
Lemma 37 (Counting-Lemma für ind. Subgraphen)
Zu jedem 0 < δ < 1 und zu jedem k gibt es ε = ε(δ, k) und η = η(δ, k) mit folgenden
Eigenschaften. Sei H ein Graph auf den Knoten v1 , . . . , vk und seien V1 , . . . , Vk disjunkte
Teilmengen von V (G), sodass für 1 ≤ i < j ≤ k die Graphen G[Vi ∪ Vj ] ε-regulär sind
und Dichte mindestens δ haben, falls vi vj eine Kante in H ist bzw. Dichte höchstens
Q
1 − δ, falls vi vj keine Kante in H ist. Dann gibt es mindestens η ki=1 |Vi | k-Tupel
w1 ∈ V1 , . . . , wk ∈ Vk , die induzierte Subgraphen H aufspannen. (Dabei spielen die wi
jeweils die Rolle der vi .)
Wir werden Lemma 37 anwenden, um die Struktur von ε-regulären Partitionen von C5∗ freien Graphen zu beschreiben. So können die Dichten der regulären Paare nicht beliebig
verteilt sein, da sonst Lemma 37 die Existenz von induzierten Kreisen der Länge fünf
erzwingt.
3.3 Obere Schranken: Die Struktur C5∗-freier Graphen
3.3.1 Grundlagen
Mit Lemma 30 haben wir bereits eine triviale obere Schranke an f (c) und F (c). Wir
werden in Abschnitt 3.4 sehen, dass diese für 1/8 ≤ c ≤ 3/8 bereits scharf ist. Hier wollen wir nun auch für c < 1/8 bzw. c > 3/8 eine obere Schranke, die sich später als scharf
herausstellen wird, beweisen. Aus der Definition von f und F folgt sofort f (c) ≤ F (c)
für alle c. Es genügt also, eine obere Schranke an die Anzahl der Graphen in C(n, cn2 ) zu
beweisen. Um diese abzuzählen, klassifizieren wir die Graphen in C(n, cn2 ) anhand ihrer makroskopischen Struktur. Dazu verwenden wir sogenannte Baupläne, aus denen in
definierter Weise C5∗ -freie Graphen konstruiert werden. Wir zeigen, dass zu jedem Grae mit kleiner Edit-Distanz dedit (G, G)
e existiert, dessen
phen G in C(n, cn2 ) ein Graph G
Bauplan bestimmte Eigenschaften hat. Eine Abschätzung für die Anzahl der Graphen,
die aus einem Bauplan gewonnen werden kann, liefert dann die gewünschte Schranke.
Zuerst geben wir nun einige Definitionen an, die helfen werden, die Eigenschaften von
Bauplänen, insbesondere im Zusammenhang mit induzierten Subgraphen, zu charakterisieren. Wir definieren einen farbigen Graphen und einen farbigen Homomorphismus:
Definition 38 (Farbiger Graph)
Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Dann heißt Gχ = (G, fχ , gχ ) mit fχ : V →
{w, sw, s}, gχ : E → {w, sw, s} ein farbiger Graph.
Wir sagen, ein Knoten v bzw. eine Kante e ist weiß /schwarz-weiß /schwarz, falls fχ (v)
bzw. gχ (e) = w / sw / s ist.
27
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
Definition 39 (Farbiger Homomorphismus)
Sei H ein ungerichteter Graph, Gχ ein farbiger Graph. Eine Abbildung φ : V (H) →
V (Gχ ) heißt farbiger Homomorphismus, wenn gilt:
∀xy ∈ E(H) :
(φ(x) = φ(y) und fχ (φ(x)) = s | sw) oder
gχ (φ(x)φ(y)) = s | sw,
∀xy ∈
/ E(H) :
(φ(x) = φ(y) und fχ (φ(x)) = w | sw) oder
gχ (φ(x)φ(y)) = w | sw.
χ−Hom
In diesem Fall schreiben wir auch φ : H −→ Gχ .
Beispiel
χ−Hom
Einige Graphen Gχ = (G, fχ , gχ ), für die farbige Homomorphismen C5∗ −→ Gχ existieren: (Dabei seien die Knoten des C5 im mathematisch positiven Sinn mit römischen
Ziffern nummeriert.)
1) G = ({1, 2}, {12}), fχ (1) = sw, fχ (2) = s, gχ (12) = sw
Ein möglicher farbiger Homomorphismus bildet vier Knoten des C5 auf den Knoten
1 ab und den fünften auf Knoten 2.
2) G = ({1, 2, 3}, {12, 23, 13}), fχ (1) = sw, fχ (2) = s, fχ (3) = w, gχ (12) = w,
gχ (23) = sw, gχ (13) = s
Ein möglicher farbiger Homomorphismus bildet Knoten i des C5 auf 1 ab, Knoten
ii und v des C5 auf 2 und Knoten iii und iv des C5 auf 3.
3) G = ({1, 2, 3}, {12, 23, 13}), fχ (1) = fχ (2) = fχ (3) = w, gχ (12) = gχ (23) =
gχ (13) = sw
Abbildung 3 zeigt einen möglichen farbigen Homomorphismus des C5 . Die drei
Knoten von Gχ sind als Kreise dargestellt und mit den Ziffern 1 – 3 nummeriert. Die schwarz-weißen Kanten werden jeweils durch eine unterbrochene und eine
durchgehende schwarze Linie dargestellt. Graue Linien symbolisieren die Kanten
des C5 .
ii 2
iv
iv
iii χ-Hom
v
i
ii
1
i
v
iii
3
Abbildung 3: Homomorphismus des C5 nach Beispiel 3
28
3.3 Obere Schranken: Die Struktur C5∗ -freier Graphen
Definition 40 (Guter Graph)
Ein farbiger Graph Gχ auf mindestens drei Knoten heißt guter Graph, falls es keinen
χ−Hom
farbigen Homomorphismus C5 −→ Gχ gibt.
Bemerkung
In einem guten Graph ist eine schwarz-weiße Kante nie zu einem schwarz-weißen Knoten
inzident: Ein Homomorphismus eines C5 würde sonst vier Knoten in den schwarz-weißen
Knoten und den fünften in den per schwarz-weißer Kante benachbarten Knoten abbilden.
(Vergleiche erstes Beispiel nach Definition 39)
Definition 41 (Bauplan)
Sei Rχ = (R, fχ , gχ ) ein farbiger Graph und G ein Graph auf n Knoten. Wir sagen Rχ
ist ein Bauplan für G, wenn man G aus Rχ erhält, indem man Knoten vi von Rχ durch
Knotenmengen Vi ersetzt, wobei V = V1 ∪· . . . ∪· Vk eine Äquipartition ist. Abhängig von
der Farbe von vi induziert Vi
• eine Clique in G, falls fχ (vi ) = s,
• einen beliebigen C5∗ -freien Graphen, falls fχ (vi ) = sw,
• eine stabile Menge, falls fχ (vi ) = w.
Anschließend werden folgende Kanten zwischen den Klassen Vi eingefügt:
• Alle vw mit v ∈ Vi , w ∈ Vj , falls gχ (vi vj ) = s,
• beliebige Kanten vw mit v ∈ Vi , w ∈ Vj , falls gχ (vi vj ) = sw,
• keine Kante vw mit v ∈ Vi , w ∈ Vj , falls gχ (vi vj ) = w.
Die Menge aller Graphen auf n Knoten, die Rχ als Bauplan haben, sei mit G(Rχ , n)
bezeichnet.
Bemerkung
Im Allgemeinen kann ein Graph mehrere Baupläne haben: Wenn G den farbigen Graphen
Rχ als Bauplan hat, so hat G auch jeden Graphen Rχ0 , der aus Rχ entsteht, indem wir
eine weiße oder schwarze Kante bzw. einen weißen oder schwarzen Knoten durch eine
schwarz-weiße Kante bzw. einen schwarz-weißen Knoten ersetzen, als Bauplan.
An dieser Stelle wollen wir einen speziellen Bauplan definieren, der im weiteren Verlauf
eine herausragende Rolle spielen wird:
Definition 42
Der farbige Graph Bχ ist der Graph auf zwei weißen Knoten mit schwarz-weißer Kante:
Bχ = (({1, 2}, {(12)}), fχ (1) = fχ (2) = w, gχ (12) = sw)
29
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
Definition 43
Für einen Bauplan Rχ definieren wir h(Rχ , c) so, dass gilt:
{G ∈ C(n, cn2 ) : G hat Bauplan Rχ } = 2h(Rχ ,c)n2 +o(n2 ) .
Folgende Grafik soll die Konstruktion von Graphen aus einem Bauplan Rχ veranschaulichen. Weiße Kanten im Bauplan sind durch unterbrochene Linien dargestellt, schwarze
Kanten durch durchgehende Linien, schwarz-weiße Kanten durch Linien beider Art. Der
schwarz-weiße Knoten 1 im Bauplan ist als grauer Knoten dargestellt. Der in Abbildung 4
1
4
3
V2
V1
2
V4
V3
Abbildung 4: Ein Beispiel für einen Bauplan und einen daraus konstruierten Graphen.
verwendete Bauplan erlaubt einen farbigen Homomorphismus eines C5 in den Subgraph,
der von den Knoten {1, 2, 3} aufgespannt wird (vergleiche zweites Beispiel nach Definition 39). Graphen, die aus diesem Bauplan konstruiert werden, sind i.A. nicht C5∗ -frei:
zwei Paare von Knoten in V2 und V3 , die einen Pfad der Länge drei induzieren, können
durch jeden beliebigen Knoten in V1 zu einem induzierten C5 fortgesetzt werden.
3.3.2 C5∗ -freie Graphen und gute Baupläne
In den folgenden Lemmata (Lemma 44, 45, 46) wird der Zusammenhang zwischen den
Eigenschaften
(i) G hat einen guten Bauplan, und
(ii) G ist C5∗ -frei
diskutiert. Ihre Beweise geben wir in eigenem Unterabschnitt an. Zuerst folgern wir die
oberen Schranken für f (c) und F (c).
Lemma 44
Sei G ein Graph auf n Knoten mit cn2 Kanten, ferner habe G einen guten Bauplan Rχ .
Dann gilt G ∈ C(n, cn2 ).
Gute Baupläne sind also eng mit C5∗ -freien Graphen verbunden. Jeder Graph mit gutem
Bauplan ist C5∗ -frei. Das folgende Lemma zeigt, dass außerdem jeder C5∗ -freie Graph
einem Graphen mit gutem Bauplan ähnlich ist:
30
3.3 Obere Schranken: Die Struktur C5∗ -freier Graphen
Lemma 45
Zu jedem µ > 0 und jedem c > 0 existiert N ∈ N, sodass gilt: Sei G ein Graph auf
e der
n ≥ N Knoten mit cn2 Kanten. Wenn G ∈ C(n, cn2 ) ist, gibt es einen Graphen G,
einen guten Bauplan Rχ auf maximal N Knoten hat, und für den weiter gilt:
e ≤ µn2 .
dedit (G, G)
Lemma 45 besagt, dass C5∗ -freie Graphen nahe an Graphen mit gutem Bauplan liegen,
diese aber nicht notwendiger Weise die gleiche Kantenzahl haben.
Lemma 46
Für alle n, alle guten Baupläne Rχ und alle 0 < c ≤ 1/8 gilt:
C(n, cn2 ) ∩ G(Rχ , n) ≤ C(n, cn2 ) ∩ G(Bχ , n) ,
wobei Bχ der Bauplan aus Definition 42 ist. Insbesondere gilt
1
h(Rχ , c) ≤ h(Bχ , c) = H(4c).
4
Lemma 46 besagt, dass der Bauplan auf zwei Knoten für kleine Kantenzahlen alle guten
Baupläne bezüglich der Anzahl der daraus entstehenden Graphen übertrifft. Dies bleibt
in gewisser Weise wahr, wenn man kleine Abweichungen bei der Kantenanzahl erlaubt:
Korollar 47
Für 0 < c < 1/8, 0 < ε < 1/8 − c und einen guten Bauplan Rχ gilt:
√
G ∈ C(n, c0 n2 ) ∩ G(Rχ , n) : c0 ∈ [c − ε, c + ε] ≤ 2(h(Bχ ,c)+ 3 ε)n2 +o(n2 ) .
Beweis
Sei 0 < c < 1/8, 0 < ε < 1/8 − c und sei Rχ ein guter Bauplan. Sei weiter G0 ∈
C(n, c0 n2 )∩G(Bχ , n) mit c0 ∈ [c−ε, c+ε]. Als bipartiter Graph auf zwei Klassen der Größe
n/2 könnte G0 maximal n2 /4 Kanten haben. Es können also jeder Zeit so viele Kanten
zu G0 hinzugefügt oder aus G0 entfernt werden, dass G0 anschließend cn2 Kanten hat
und immer noch bipartit ist. Also existiert zu jedem Graphen G0 ∈ C(n, c0 n2 ) ∩ G(Bχ , n)
mit c0 ∈ [c − ε, c + ε] ein Graph G ∈ C(n, cn2 ) ∩ G(Bχ , n) mit
dedit (G, G0 ) ≤ εn2 .
Nun gilt für i ≤ 81 n2
1 2 1 2
n
n
2 2
≤ 2
.
i−1
i
Damit lässt sich die Anzahl der Graphen G0 , die Edit-Distanz dedit (G, G0 ) ≤ εn2 haben,
durch die Potenzreihe abschätzen:
1 2
εn2 1 2 X
1 2
n
n
2
≤ 2 2 2 ≤ 2 2 n H(2ε)+1
i
εn
i=1
31
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
Weiter gilt für alle positiven ε
Es folgt
√
1
H(2ε) ≤ 3 ε.
2
√
G ∈ C(n, c0 n2 ) ∩ G(Bχ , n) : c0 ∈ [c − ε, c + ε] ≤ 2(h(Bχ ,c)+ 3 ε)n2 +o(n2 ) .
Nach Lemma 46 gilt zudem für alle c0 < 1/8 und n hinreichend groß:
C(n, c0 n2 ) ∩ G(Rχ , n) ≤ C(n, c0 n2 ) ∩ G(Bχ , n) ,
was die Aussage zeigt.
Damit haben wir alle Hilfsmittel zusammen, um wieder zu unserem eigentlichen Ziel,
dem Abzählen der C5∗ -freien Graphen mit gegebener Kantenzahl, zurück zu kommen.
Wir geben für c < 1/8 eine obere Schranke für die Anzahl C5∗ -freier Graphen mit cn2
Kanten an. Die Schranke ist bestmöglich, was wir in Abschnitt 3.4 durch Konstruktion
einer hinreichend großen Klasse von C5∗ -freien Graphen zeigen werden.
Lemma 48
Für ε > 0 und c < 1/8 − ε gilt:
√
C(n, cn2 ) ≤ 2(h(Bχ ,c)+2 3 ε)n2 +o(n2 ) .
In der Notation von Definition 28 bedeutet dies:
√
√
1
F (c) ≤ h(Bχ , c) + 2 3 ε = H(4c) + 2 3 ε
4
für c < 1/8 und jedes ε > 0. Durch Übergang zum Komplement der Graphen in C(n, cn2 )
erhalten wir die Ungleichung auch für c > 3/8. Die triviale obere Schranke aus Lemma 30
liefert für 1/8 ≤ c ≤ 3/8:
1
F (c) ≤ .
4
Beweis (Lemma 48)
Seien ε > 0 und c < 1/8 gegeben, und sei ε < 1/8 − c. Nach Lemma 45 wissen wir,
dass ein N existiert, sodass für n ≥ N jeder Graph in C(n, cn2 ) maximal εn2 Kanten
e entfernt ist, der einen guten Bauplan Rχ auf höchstens N Knoten
von einem Graphen G
e ∈ [(c − ε)n2 , (c + ε)n2 ].
hat. Offensichtlich gilt: |E(G)|
2
2
2 √
3
Korollar 47 besagt nun, dass für c < 1/8−ε pro Bauplan höchstens 2(h(Bχ ,c)n + ε)n +o(n )
Graphen in {G ∈ C(n, c0 n2 ) ∩ G(Rχ , n) | c0 ∈ [c − ε, c + ε]} existieren. Da es nur endlich
viele Baupläne Rχ auf maximal N Knoten gibt (wir bezeichnen deren Anzahl mit C),
e mit Bauplan
und jeder Graph in C(n, cn2 ) maximal εn2 Kanten von einem Graphen G
0 2
Rχ und Dichte c n entfernt ist, haben wir folgende Abschätzung gezeigt:
√
√
C(n, cn2 ) ≤ C · 2 3 εn2 · 2(h(Bχ ,c)+ 3 ε)n2 +o(n2 )
= 2(h(Bχ ,c)+2
√
3
ε)n2 +o(n2 )
.
32
3.3 Obere Schranken: Die Struktur C5∗ -freier Graphen
Abgesehen von den Beweisen für Lemma 44, 45 und 46, die wir im folgenden Unterabschnitt geben, ist Lemma 48 damit bewiesen. Wir ziehen ein direktes Korollar aus
Lemma 48 und aus der trivialen Schranke von Lemma 30:
Korollar 49 (Obere Schranken)
Für 0 < c < 1/2 gilt:
(
F (c) ≤
1
4
1
H(4c)
4
1/8 ≤ c ≤ 3/8,
sonst.
Der Fall c > 3/8 wird dabei auf den Fall c < 1/8 zurückgeführt, indem wir zum Komplement übergehen.
Beweise von Lemma 44, 45 und 46
Wir beginnen mit einem weiteren Lemma zur farbigen Einbettbarkeit von Graphen in
ihre Baupläne.
Lemma 50
Sei G ein Graph mit Bauplan Rχ . Dann existiert ein farbiger Homomorphismus φ, der
G auf Rχ abbildet.
Beweis
Die Knoten von Rχ seien mit v1 , . . . , vk bezeichnet. Sei G aus Rχ entstanden, indem
vi ∈ V (Rχ ) für i ∈ [k] zu einem Subgraphen auf der Knotenmenge Vi erweitert wurde.
Wir definieren nun φ wie folgt: alle Knoten in Vi für i ∈ [k] werden auf vi in Rχ abgebildet,
Kanten- und Knotenfärbungen werden von Rχ übernommen. Da G Bauplan Rχ hat, ist
dies ein zulässiger farbiger Homomorphismus.
Beweis (Lemma 44)
Sei G mit zugehörigem guten Bauplan Rχ gegeben. Angenommen G hätte einen induzierten C5 : Wir bilden G mit dem farbigen Homomorphismus aus Lemma 50 auf Rχ ab.
Dabei wird insbesondere der induzierte C5 nach Rχ abgebildet. Also ist Rχ im Widerspruch zur Annahme keine guter Bauplan.
Zum Beweis von Lemma 45 verwenden wir das Regularitätslemma in den beiden angegebenen Varianten: Lemma 36 liefert eine reguläre Partition eines Subgraphen G0 ⊆ G, die
mit Hilfe von Lemma 35 ein weiteres Mal regularisiert wird. Während wir aus der ersten
Regularisierung einen Bauplan konstruieren, garantiert die zweite Regularisierung, dass
dieser tatsächlich gut ist. Dazu verwenden wir Lemma 37. Nun zum eigentlichen Beweis:
Beweis (Lemma 45)
Sei µ > 0 beliebig. Wir setzen δ = µ/2 und ε = min{δ, ε(δ, 5)} mit ε(δ, 5) wie in
Lemma 37. Das Regularitätslemma (Lemma 35) liefert nun mit m = 2 und ε wie oben ein
M = M (ε). Wir definieren ε0 = ε/M und setzen m0 = 1/δ. Mit diesem ε0 und m0 erhalten
wir aus Lemma 36 ein N = N (m0 , ε0 ) und η = η(m0 , ε0 ), sodass für jeden Graphen G
33
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
V2
V1
V20
V10
Vk0
Vk
Vi0
Vi
Abbildung 5: Partition nach Lemma 36, Kanten symbolisieren Paare (Vi0 , Vj0 ) deren Dichte weniger als ε von der Dichte von (Vi , Vj ) abweicht.
auf mindestens N Knoten eine Äquipartition A = {Vi : i ∈ [k]} und ein induzierter
Subgraph G0 = (V 0 , E 0 ) von G mit den Eigenschaften von Lemma 36 existieren. Aus
der von Lemma 36 versprochenen Äquipartition A0 = {Vi0 : i ∈ [k]} von G0 konstruieren
e sein wird. Rχ ist ein
wir im Folgenden einen farbigen Graphen Rχ , der Bauplan für G
vollständiger Graph und habe für jede Menge Vi0 genau einen Knoten vi mit
(
w falls d(Vi0 ) ≤ 21 ,
f (vi ) =
s falls d(Vi0 ) > 12 .
Die Kanten von Rχ werden ebenfalls


w
g(vi vj ) = sw


s
gefärbt:
falls d(Vi0 , Vj0 ) ≤ 2δ,
falls 2δ < d(Vi0 , Vj0 ) < 1 − 2δ,
falls d(Vi0 , Vj0 ) ≥ 1 − 2δ.
e
Wir zeigen, dass der so entstandene Bauplan Rχ gut ist, und dass daraus ein Graph G
2
mit Bauplan Rχ konstruiert werden kann, der sich höchstens in µn vielen Kanten von
G unterscheidet.
Zum Nachweis, dass Rχ ein guter Bauplan ist, regularisieren wir die Subgraphen G[Vi0 ]
für i ∈ [k] ein weiteres Mal unter Anwendung von Lemma 35 mit m = 2 und ε wie oben.
Wir erhalten für i ∈ [k] die Partition {Vij | j ∈ [ki ]} von Vi0 , die wir verfeinerte Partition
S
nennen. Die zusammengefasste Partition V 0 = i∈[k],j∈[ki ] Vij ist eine ε-reguläre Partition
der Knoten von G0 : nach Konstruktion sind alle bis auf ε k2i viele Paare (Vij , Vij 0 ) mit
Klassen aus dem gleichen Vi0 ε-regulär. Es bleiben die Paare (Vij , Vi0 j 0 ) mit Vij ⊂ Vi0 ,
Vi0 j 0 ⊂ Vi00 , i 6= i0 . (Vi0 , Vi00 ) ist nach Lemma 36 ein ε0 -reguläres Paar, wobei a + 1 ≥ |Vi0 |,
|Vi00 | ≥ a ≥ ηn gilt. Nun ist |Vij |, |Vi0 j 0 | ≥ a/M . Auf Grund der Wahl von ε0 = ε/M folgt
die ε-Regularität von (Vij , Vi0 j 0 ) mit Lemma 32 aus der ε0 -Regularität von (Vi0 , Vi00 ). Da
alle Paare (Vi0 , Vi00 ) regulär sind, sind auch alle Paare (Vij , Vi0 j 0 ) mit Vij ⊂ Vi0 , Vi0 j 0 ⊂ Vi00 ,
i 6= i0 regulär. Damit gibt es insgesamt maximal
P X ki ki
ε
≤ε
2
2
i=1
34
3.3 Obere Schranken: Die Struktur C5∗ -freier Graphen
S
S
irreguläre Paare; es liegt also tatsächlich eine ε-reguläre Partition des von Vij = Vi0
induzierten Subgraphen G0 vor. Wegen der ε0 -Regularität von (Vi0 , Vj0 ) für alle i < j
haben auch alle Paare (Vij , Vi0 j 0 ) der zusammengefassten Partition bis auf ε0 die gleiche
Dichte. Es ist
d(Vij , Vi0 j 0 ) ≥ 2δ − ε0 ≥ δ bzw. d(Vij , Vi0 j 0 ) ≤ 1 − 2δ + ε0 ≤ 1 − δ.
χ−Hom
Falls Rχ kein guter Bauplan ist, existiert ein farbiger Homomorphismus φ : C5 −→ Rχ .
Wir wenden Lemma 37 auf die Partition von G0 an, um die Existenz eines C5∗ und
damit einen Widerspruch zu zeigen. Dazu suchen wir fünf Klassen, die reguläre Paare
mit geeigneter Dichte aufspannen: Da Rχ nach Definition keine schwarz-weißen Knoten
enthält, bildet φ auf jeden Knoten des Rχ höchstens zwei Knoten des C5 ab. Nehmen
wir an, das ist der Fall: Waren diese beiden Knoten benachbart, so wurden sie in einen
schwarzen Knoten vi von Rχ eingebettet; Vi0 hat damit Dichte mindestens 1/2 und wir
finden in der zusammengefassten Partition ein reguläres Paar (Vij , Vij 0 ) mit Dichte größer
δ. Analog finden wir für nicht benachbarte Knoten ein Paar (Vij , Vij 0 ) mit Dichte kleiner
1 − δ. Werden zwei Knoten des C5 in zwei verschiedene Klassen Vi0 , Vj0 eingebettet,
so gilt: d(Vi0 , Vj0 ) ≥ 2δ, falls die Knoten benachbart waren, bzw. d(Vi0 , Vj0 ) ≤ 1 − 2δ
andernfalls. Damit haben wir die Struktur des C5 auf die reguläre Partition übertragen:
Für Knotenpaare des C5 , die in den gleichen Knoten vi von Rχ eingebettet werden,
haben wir Klassen Vij , Vij 0 ⊆ Vi0 , sodass Vij , Vij 0 ein reguläres Paar mit Dichte ≥ δ ist,
falls die Knoten benachbart waren, bzw. Dichte ≤ 1 − δ andernfalls. Für Knotenpaare
des C5 , die in verschiedene Knoten vi , vi0 eingebettet wurden, gilt analog: Vij , Vi0 j 0 ist
regulär mit Dichte ≥ δ, falls die Knoten benachbart waren, bzw. ≤ 1 − δ andernfalls.
Wir wenden Lemma 37 auf die fünf Klassen der zusammengefassten Partition, in die die
fünf Knoten des C5 abgebildet wurden, an und erhalten so die Existenz eines induzierten
C5 in G ∈ C(n).
e ∈ G(Rχ , n) existiert mit dedit (G, G)
e ≤ µn2 . Sei V (G) = S Vi
Es bleibt zu zeigen, dass G
die Äquipartition A, die wir aus Lemma 36 erhalten hatten. Wir übernehmen diese
e und konstruieren G
e aus Rχ in folgender Weise: Knotenmengen Vi ,
Partition für V (G)
die weißen bzw. schwarzen Knoten in Rχ entsprechen, induzieren stabile Mengen bzw.
e Liegt vi vj in einer weißen bzw. schwarzen Kante von Rχ , so ist vi vj ∈
e
Cliquen in G.
/ E(G)
e Falls vi vj in einer schwarz-weißen Kante von Rχ liegt, so ist vi vj ∈
bzw. vi vj ∈ E(G).
e
e einen guten Bauplan. Lemma 44
E(G) genau dann, wenn vi vj ∈ E(G). Damit hat G
e ∈ C(n) ist. Wie groß ist nun die Edit-Distanz dedit (G,
e G)?
garantiert, dass G
Nach Lemma 36 unterscheiden sich die Dichten d(Vi , Vj ) für höchstens ε0 k2 Paare um
mehr als ε0 von den Dichten von d(Vi0 , Vj0 ). Auf diesen Paaren unterscheiden sich G und
e i. A. erheblich, da die Farbe der Kante im Bauplan nicht mit der tatsächlichen Dichte
G
e
des Paares übereinstimmt. Insgesamt verlaufen zwischen diesen Paaren in G bzw. in G
n 2 ε0 2
0 k
ε
·
≤ n
2
k
2
35
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
Kanten. In den übrigen Paaren haben wir Kanten nur dann verändert, falls das Paar
eine schwarze oder weiße Kanten hatte. In diesem Fall war die Dichte ≥ 1 − (ε0 + 2δ)
e unterscheiden sich hier also höchstens in
oder ≤ ε0 + 2δ. G und G
n 2 k ε0 + 2δ
0
(ε + 2δ)
≤
n2
k
2
2
Kanten; innerhalb der Mengen Vi befinden sich insgesamt (k ≥ m0 = 1/δ)
n/k
δ
k
≤ n2
2
2
e beträgt damit maximal
Kanten. Die Edit-Distanz zwischen G und G
ε0 ε0 + 2δ δ
+
+
2
2
2
n2 = ε0 + 32 δ n2 .
Wir erhalten insgesamt:
e ≤ ε0 + 3 δ n2 ≤ 2δn2 = µn2 .
dedit (G, G)
2
e ∈ G(Rχ , n) ∩ C(n) gezeigt, und G und G
e unterscheiden sich
Also ist die Existenz von G
wie behauptet in höchstens µn2 Kanten.
Damit ist ein wesentlicher Teil der Arbeit bereits getan. Für den verbleibenden Beweis
von Lemma 46 verwenden wir zwei einfache Lemmata:
Lemma 51
Ein guter Graph Rχ enthält kein Dreieck mit drei schwarz-weißen Kanten.
Beweis
Unabhängig von der Farbe der Knoten kann in jedes schwarz-weiße Dreieck ein induzierter C5 eingebettet werden (vergleiche drittes Beispiel nach Definition 39).
Lemma 52 (Turáns Theorem, [22])
Sei G = (V, E) ein Graph auf n Knoten mit Cliquengröße ω(G) < k + 1, k ≥ 2. Dann
gilt
1 n2
|E| ≤ 1 −
.
k k
Uns interessiert hier der Fall k = 2, der eine obere Schranke für die Kantenanzahl von
dreiecksfreien Graphen liefert. Diese verwenden wir im Beweis von Lemma 46.
Beweis (Lemma 46)
Sei Rχ ein guter Bauplan auf k ≥ 3 Knoten. Wir zählen für 0 < c ≤ 1/8 die Graphen
mit cn2 Kanten, die Bauplan Rχ haben. Graphen mit Bauplan Rχ können sich nur
36
3.3 Obere Schranken: Die Struktur C5∗ -freier Graphen
in Kanten unterscheiden, die in schwarz-weißen Knoten oder schwarz-weißen Kanten
von Rχ liegen. Wir bezeichnen die Anzahl schwarz-weißer Knoten und Kanten in Rχ
mit #sw. Da in guten Bauplänen schwarz-weiße Kanten nie zu schwarz-weißen Knoten
inzident sind (vergleiche Bemerkung nach Definition 40), und Rχ wegen Lemma 51 kein
schwarz-weißes Dreieck hat, folgt aus Lemma 52:
#sw ≤
Damit liegen maximal
k2
.
4
n 2
n2
(2)
k
4
Kanten in schwarz-weißen Knoten oder Kanten von Rχ . Wir erhalten die Anzahl der
Graphen mit cn2 Kanten und Bauplan Rχ , indem wir bestimmen, wie viele Kanten
dieser Graphen tatsächlich in schwarz-weißen Knoten oder Kanten von Rχ liegen.
Sei also G ein Graph in C(n, cn2 ) ∩ G(Rχ , n). Die gegebenen Kantenzahl cn2 und der
Bauplan Rχ legen fest, wie viele Kanten von G in schwarz-weißen Knoten oder schwarzweißen Kanten von Rχ liegen. Wir bezeichnen die Anzahl dieser freien Kanten mit #f k
und definieren c0 = #f k/n2 . Es gibt also
#sw ·
C(n, cn2 ) ∩ G(Rχ , n) =
≤
„ 0 2«
2
#sw
ck
n2 +o(n2 )
H
#sw nk2
2
k
#sw
=
2
c0 n 2
(3)
Graphen mit cn2 Kanten und Bauplan Rχ , wobei die zweite Gleichheit aus Lemma 3
folgt. Wir vergleichen mit dem Bauplan Bχ :
C(n, cn2 ) ∩ G(Bχ , n) =
1
n2
cn2
4
1
2 +o(n2 )
= 2 4 H(4c)n
.
(4)
Da G nur cn2 Kanten hat, gilt c0 ≤ c. Aus der Monotonie des Binomialkoeffizienten im
ersten bzw. zweiten Argument und aus (2) folgt für c0 ≤ c ≤ 1/8
1 2 1 2
2
#sw nk2
n
n
≤ 40 2 ≤ 4 2 .
0
2
cn
cn
cn
Diese Ungleichung liefert mit (3) und (4) die Aussage des Satzes. Insbesondere gilt für
c ≤ 1/8:
#sw c0 k2 1
h(Rχ , c) = 2 H #sw
≤ 4 H(4c) = h(Bχ , c).
k
Damit ist der Beweis von Lemma 48 vollständig, und wir haben eine obere Schranke
an f (c) und F (c) gezeigt. Wie sich im folgenden Abschnitt herausstellen wird, ist diese
Schranke bereits scharf.
37
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
3.4 Untere Schranken: Graphenkonstruktion aus
Bauplänen
In diesem Abschnitt werden wir untere Schranken für |S(n)∩C(n, cn2 )| bzw. für f (c) angeben. Dies geschieht durch Konstruktion einer hinreichend großen Anzahl von Graphen
aus geschickt gewählten Bauplänen. Dazu verallgemeinern wir den Begriff des Bauplans:
Anders als in Abschnitt 3.3 sagen wir G hat Bauplan Rχ , wenn man G erhält, indem
man die Knoten vi von Rχ durch Vi ⊂ V (G) mit beliebiger Größe ersetzt. Die Kanten
werden wie in Definition 41 gesetzt. Der einzige Unterschied zur bisherigen Definition
ist also, dass die Klassen Vi i.A. nicht die gleich Anzahl an Knoten haben müssen.
Da wir an einer Schranke für |S(n) ∩ C(n, cn2 )| interessiert sind, wählen wir unsere Baupläne so, dass daraus nur generalized split Graphen konstruiert werden können. Solche
Baupläne Rχ haben entweder nur weiße oder nur schwarze Knoten und besitzen eine
Clique bzw. eine stabile Menge auf |Rχ | − 1 Knoten.
Im Folgenden werden wir auf zwei verschiedene Weisen die unteren Schranken
(
1
1/8 ≤ c ≤ 3/8,
F (c) ≥ f (c) ≥ 41
H(4c) sonst.
4
herleiten. Diese folgen in Abschnitt 3.4.1 aus einer Abschätzung für die Anzahl der
Graphen, die einen gemeinsamen Bauplan auf k Knoten haben. Anschließend geben wir
in Abschnitt 3.4.2 eine zweite kompaktere Herleitung an.
3.4.1 Baupläne mit gegebener Knotenzahl
In diesem Abschnitt bestimmen wir für k ∈ N die Anzahl der generalized split Graphen,
die einen gegebenen Bauplan auf k Knoten haben. Daraus kann bereits eine optimale
untere Schranke für f (c) gewonnen werden; in Abschnitt 3.4.2 geben wir allerdings eine
einfachere Konstruktion für diesen Zweck an.
Für die folgenden Überlegungen betrachten wir meist nur c ∈ (0, 1/4]. Daraus erhalten
wir auch die Ergebnisse für c ∈ (1/4, 1/2), indem wir bei allen Graphen zum Komplement
übergehen.
Wie viele generalized split Graphen mit zwei Klassen gibt es?
Sei G ∈ C(n, cn2 ) ein generalized split Graph, dessen Knoten zwei disjunkte stabile
Mengen V1 , V2 der Größe αn bzw. (1 − α)n mit α ≤ 1/2 bilden. Für c ≤ α(1 − α) gibt
es
«
„
c
n2 +o(n2 )
α(1−α)H
α(1 − α)n2
α(1−α)
=
2
cn2
Graphen, die durch Einfügen von cn2 Kanten zwischen Knoten aus V1 und V2 entstehen.
Wir maximieren diese Anzahl in Abhängigkeit
von α, indem wir die Monotonie des Bi2
nomialkoeffizienten ausnutzen: α(1−α)n
nimmt
für α = 1/2 sein eindeutiges Maximum
cn2
38
3.4 Untere Schranken: Graphenkonstruktion aus Bauplänen
an. Die Anzahl der erzeugten Graphen für diese Wahl von α beträgt damit
1
2 +o(n2 )
2 4 H(4c)n
.
Damit haben wir für 0 < c ≤ 1/4 folgende untere Schranke an f (c) gezeigt:
Lemma 53
Für 0 < c ≤ 1/4 gilt:
1
f (c) ≥ H (4c) .
4
Für das Intervall (0, 1/8] haben wir diesen Wert bereits in Korollar 49 als obere Schranke
für F (c) bzw. f (c) bestimmt. Für c ≤ 1/8 gilt also:
f (c) = F (c) = 41 H(4c).
Es gibt allerdings noch zwei weitere Baupläne mit schwarz-weißer Kante auf zwei Kno-
Abbildung 6: Erzielte Koeffizienten für Baupläne auf zwei Knoten
ten: mit einem bzw. mit zwei schwarzen Knoten. Hier sind zusätzlich n/2
bzw. 2 n/2
2
2
Kanten innerhalb der Vi . Dementsprechend gibt es zu diesen beiden Baupläne für c = 1/4
bzw. c = 3/8
1
24n
2 +o(n2 )
Graphen. Die entstandenen Graphen sind dabei in allen Fällen generalized split Graphen.
In Abbildung 6 haben wir für die drei Baupläne auf zwei Knoten jeweils h(Rχ , c) für
c ∈ (0, 1/2) grafisch dargestellt. Wir halten fest:
Lemma 54
Es gilt:
f
1
4
1
≥ .
4
39
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
Dies liefert ebenfalls mit Korollar 49:
1
4
f
=F
1
4
1
= .
4
Um die Schwierigkeiten beim Abzählen für komplexere Baupläne aufzuzeigen, diskutieren wir Baupläne auf drei Knoten. Bereits für diese konnten wir die optimale untere
Schranke nicht explizit angeben.
Wie viele generalized split Graphen mit drei Klassen gibt es?
Wir verwenden folgenden Bauplan, um eine untere Schranke an die Anzahl der Graphen,
die sich einen Bauplan mit drei Knoten teilen, zu finden: Rχ = (R, fχ , gχ ) mit fχ (1) =
fχ (2) = fχ (3) = w und gχ (12) = gχ (13) = sw, gχ (23) = s. Die drei Klassen V1 , V2 , V3
haben Größe 1 − α − β, α und β mit α ≥ β (vergleiche Abbildung 7). Sei cn2 die
αn Knoten
(1 − α − β)n Knoten
βn Knoten
Abbildung 7: Der dominante Bauplan auf drei Knoten
gewünschte Kantenzahl von G. Mit diesem Bauplan und der gegebenen Knotenverteilung
können
(1 − α − β)(α + β)n2
(c − αβ)n2
Graphen konstruiert werden. Wir wollen diesen Wert in Abhängigkeit von c maximieren
und unterscheiden dabei folgende Fälle:
Fall c < 1/8:
In diesem Fall reichen die freien Kanten nicht aus, um auf den schwarz-weißen Kanten
des Bauplans eine Dichte von 1/2 zu erzeugen. Dies wäre aber hinsichtlich der Anzahl
der erzeugten Graphen optimal. Deshalb degeneriert der Bauplan: Die optimale Lösung
setzt α = 1/2, β = 0 und erzielt dadurch die Lösung des Bauplans mit zwei Klassen.
Dies war zu erwarten, da Lemma 54 zeigt, dass der Bauplan mit zwei Klassen für c ≤ 1/8
den bestmöglichen Exponenten liefert.
Fall 1/8 ≤ c ≤ 3/16:
Für 1/8 ≤ p
c ≤ 3/16 erzielen wir das beste Ergebnis mit folgender Konstruktion: Setze
α = 1/4 + 3/16 − c, β = 1/2 − α, und erhalte
1
n2
2
1 2
n
4
1
2 +o(n2 )
= 24n
Graphen. Dies ist optimal, wie wir aus Korollar 49 wissen.
40
3.4 Untere Schranken: Graphenkonstruktion aus Bauplänen
Fall 3/16 ≤ c ≤ 1/4:
Hier ist für gegebene Summe α + β = Sα,β eine beste Lösung stets für α = β gegeben;
es gilt:
Sα,β (1 − Sα,β )n2
(α + β)(1 − α + β)n2
.
=
max
α+β=Sα,β
(c − (Sα,β /2)2 )n2
(c − αβ)n2
Im Folgenden setzen wir also stets α = β und erhalten in Abhängigkeit von α als optimale
Graphenanzahl
„
«
c−α2
2α(1−2α)H
n2 +o(n2 )
2α(1 − 2α)n2
2α(1−2α)
=
2
.
(5)
(c − α2 )n2
c−α2
Wir bezeichnen den Exponenten mit fα (c) = 2α(1 − 2α)H 2α(1−2α)
und maximieren
diesen in Abhängigkeit von α:
c − α2
fα (c) = −(c − α ) log2
2α(1 − 2α)
2
− (2α(1 − 2α) − (c − α2 )) log2
2α(1 − 2α) − (c − α2 )
2α(1 − 2α)
= −(c − α2 ) log2 (c − α2 )
+ (c − α2 ) log2 2α(1 − 2α)
− (2α(1 − 2α) − (c − α2 )) log2 2α(1 − 2α) − (c − α2 )
+ (2α(1 − 2α) − (c − α2 )) log2 2α(1 − 2α)
= 2α(1 − 2α) log2 2α(1 − 2α)
− (c − α2 ) log2 (c − α2 )
− (2α(1 − 2α) − (c − α2 )) log2 (2α(1 − 2α))
fα (c) ist nicht algebraisch. Die Ableitung bestimmt sich zu
c − α2
c − 2α + 3α2
d
f (c) = 2α log2
+ 2(−1 + 3α) log2 −
.
dα α
2α − 4α2
2α − 4α2
Auch mit Mathematica 1 war es nicht möglich, das Maximum in Abhängigkeit von c exakt
zu bestimmen. Wir können lediglich ein Intervall angeben, in dem sich das optimale α
befinden muss. Wie man am Binomialkoeffizient in (5) sieht, ist die untere Intervallgrenze
1/4. Indem wir α so wählen, dass die Kantendichte zwischen V1 und √V2 ∪ V3 gerade 1/2
ist, erhalten wir die obere Grenze des Intervalls. Dies ist für α = 1− 21−4c der Fall. Wir
haben also
h
i
√
α ∈ 14 , 1− 21−4c .
Numerische Ergebnisse zeigen, dass das Maximum nicht an den Rändern liegt. Für diese
erhalten wir folgende untere Schranken:
(
1
erste Schranke
H 4c − 14
4
√
√
max fα (c) ≥
α
(1 − 1 − 4c) 1 − 4c zweite Schranke
41
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
Bauplan 2,
exakt
1/16 0.20281. . .
1/8 0.25
3/16 0.20281. . .
1/5 0.18042. . .
5/24 0.16250. . .
2/9 0.12581. . .
1/4 0
c
Bauplan 3,
erste Schranke
0.20281. . .
0.25
0.25
0.24819. . .
0.24496. . .
0.23590. . .
0.20281. . .
Bauplan 3,
zweite Schranke
0.20281. . .
0.25
0.25
0.24721. . .
0.24158. . .
0.22222. . .
0
Bauplan 3,
num. Maximum
0.20281. . .
0.25
0.25
0.24893. . .
0.24699. . .
0.24143. . .
0.22043. . .
Tabelle 1: Vergleich der Baupläne: Es ist jeweils fα (c) angegeben.
In Tabelle 1 haben wir fα (c) für verschiedene c aufgeführt. Die erste Spalte gibt die
Werte für den Bauplan mit zwei Knoten und α = 1/2 an; die Spalten zwei bis vier geben
fα (c)
für den Bauplan auf drei Knoten und verschiedene Wahlen von α an: α = 1/4, α =
√
1− 1−4c
und der numerisch berechnete optimale Wert für α. Letztere wurden zusätzlich
2
in Tabelle 2 aufgelistet. Daneben wurde dort nochmals der mit diesem α erreichte Wert
fα (c) angegeben. Eine genauere Bestimmung dieser unteren Schranken für |C(n, cn2 )|
c
3/16
1/5
5/24
2/9
1/4
α
fα (c)
0.25
0.25
0.26030. . .
0.24893. . .
0.26699. . .
0.24699. . .
0.27774. . .
0.24143. . .
0.29753. . .
0.22043. . .
Tabelle 2: Optimale Werte für α und daraus resultierende Werte für fα (c)
lohnt nicht: im Folgenden werden wir sie durch die Verwendung von Bauplänen auf
k > 3 Knoten verbessern.
Allgemeine generalized split Graphen mit k Klassen
Für eine untere Schranke an die Anzahl der Knoten, die sich einen Bauplan auf k Knoten
teilen betrachten wir folgende Baupläne Rχ . Sei k ≥ 3 und sei Rχ = (R, fχ , gχ ) der
Bauplan auf den Knoten 1, . . . , k mit fχ (i) = w für i ∈ [k] und gχ (1i) = sw für i =
2, . . . , k und gχ (ij) = s für 1 < i < j ≤ k. Sei cn2 die gewünschte Kantenzahl von G.
Wir unterscheiden drei Fälle:
Fall c < 1/8:
Wie im Fall k = 3 erreichen wir die optimale untere Schranke, indem |V1 | = |V2 | = n/2
und |Vi | = 0 für i ≥ 3 wählen.
1
Mathematica 6.0, Wolfram Research, Inc., www.wolfram.com/products/mathematica
42
3.4 Untere Schranken: Graphenkonstruktion aus Bauplänen
Fall
1
8
≤c≤
1
8
1+
k−2
k−1
:
Für diese Kantenzahl wird die optimale
untere Schranke f (c) = 1/4 erreicht. Wir setzen
1
1
|V1 | = 2 n, |V2 | = 2 − (k − 2)α n und |Vi | = α für i = 3, . . . , k, wobei
!
r
k−1
1
1− 1+
(1 − 8c)
α=
2(k − 1)
k−2
so gewählt wird, dass die Kantendichte zwischen V1 und V2 ∪ · · · ∪ Vk gerade
c−
1
2
− (k − 1)α α +
2 1
α =
2
k−2
2
ist (siehe auch Abbildung 8). Zu einem Bauplan mit dieser Knotenverteilung gibt es
dann
1 2
1 2
n
n +o(n2 )
2
4
=
2
1 2
n
4
Graphen.
α
α α
k − 2 Klassen a αn Knoten
1
2
n
2
− (k − 2)α n Knoten
Abbildung 8: Bauplan auf k Knoten für 1/8 ≤ c ≤
Fall c >
1
8
1+
k−2
k−1
Knoten
1
8
1+
k−2
k−1
:
Wie bereits im vorangehenden Absatz für Baupläne auf drei Knoten können wir keine
geschlossene Form für das optimale α in Abhängigkeit von c angeben. Für eine untere
k − 1 Klassen a αn Knoten
α
α α
(1 − α(k − 1))n Knoten
Abbildung 9: Bauplan auf k Knoten für c ≥
1
8
1+
k−2
k−1
Schranke setzen wir |V1 | = (1 − α(k − 1))n und |Vi | = αn für i = 2, . . . , k (siehe
Abbildung 9) und erhalten
An2
Cn2
(k−1)
2 +o(n2 )
= 2A(k−1)H(C/A)n
43
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
mit
A = α − (k − 1)α2
und
C=
c
(k − 2) 2
−
α .
(k − 1)
2
Damit ergibt sich
fα (c) = A(k − 1)H
C
A
.
Wie zuvor können wir nur ein Intervall für das optimale α angeben. Dabei folgen wir
dem gleichen Argument und erhalten:
q
1
8c2
1
.
α ∈ 2(k−1) , 2 1 − 1 − k−1
Numerische Ergebnisse zeigen, dass das Optimum im Inneren liegt. Wir schätzen den
1
maximalen Wert durch den Wert für α = 2(k−1)
nach unten ab:
1 fα (c) ≥ H 4c −
4
k−2
2(k−1)
.
k−2
Auch für optimales α wird der Wert der oberen Schranke F (c) = 1/4 für c > 18 1 + k−1
nicht erreicht. In Abbildung 10 haben wir die erzielten Werte für fα (c) im Intervall
(0, 1/4] aufgetragen.
Abbildung 10: Erzielte Werte von fα (c) für k = 2, 3, 4, 5
Wir fassen die Ergebnisse aus Abschnitt 3.4.1 zusammen:
Ergebnisse der ersten Konstruktion
In diesem Abschnitt haben wir folgenden Satz bewiesen:
Satz 55
Zu jedem k ∈ N und c ∈ [1/8, 81 1 + k−2
] existiert ein Bauplan Rχ auf k Knoten, sodass
k−1
gilt:
1
G(Rχ , n) ∩ S(n) ∩ C(n, cn2 ) = 2 4 n2 +o(n2 ) .
44
3.4 Untere Schranken: Graphenkonstruktion aus Bauplänen
Insbesondere gilt folgende untere Schranke für c ∈ [1/8, 81 1 +
k−2
k−1
]:
1
f (c) ≥ .
4
Zu jedem c ∈ [1/8, 1/4) gibt es also k ∈ N, sodass ein Bauplan auf k Knoten die Schranke
f (c) ≥ 1/4 liefert. Zusammen mit Lemma 53 und Lemma 54 haben wir gezeigt:
(
1
1/8 ≤ c ≤ 3/8,
4
f (c) ≥ 1
H(4c) sonst.
4
Dabei erhalten wir die Schranke für c > 1/4, indem wir zum Komplement übergehen.
3.4.2 Eine weitere Konstruktion für die untere Schranke
Wie bereits in Abschnitt 3.4.1 beschrieben, gilt für c ≤ 1/8
1
G(Bχ , n) ∩ C(n, cn2 ) = 2 4 H(4c)n2 +o(n2 ) ,
was die untere Schranke an f (c) bzw. F (c) zeigt. Ebenso wird für c = 1/4 die optimale
untere Schranke f (c) = 1/4 erreicht. Im Folgenden soll eine einfache Konstruktion angegeben werden, die für jedes c ∈ (1/8, 1/4) die optimale untere Schranke liefert.
Sei also c ∈ (1/8, 1/4). k sei so gewählt, dass
k n2
n
2
−k −
=
cn − k
2
2
8
gilt. Dies ist für n hinreichend groß immer möglich:
p
1
k=
n − 1 − (2 − 8c)n2 − 2n − 1 .
2
Wir betrachten nun den Bauplan Rχ = (R, fχ , gχ ) auf den Knoten 1, . . . , k + 2 mit
fχ (i) = w für i ∈ [k + 2] und gχ (1i) = sw für i = 2, . . . , k + 2 und gχ (ij) = s für
1 < i < j ≤ k + 2. Die Klasse V1 habe n/2 Knoten, die Klasse V2 habe n/2 − k Knoten
V3 , . . . , Vk+2
jeweils ein Knoten
1
n
2
− k Knoten
n
2
Knoten
V1
V2
Abbildung 11: Optimaler Bauplan für c ∈ (1/8, 1/4)
und die restlichen k Klassen jeweils genau einen Knoten. Mit der Wahl von k gilt dann,
dass genau n2 /8 Kanten zwischen V1 und V2 ∪ · · · ∪ Vk+2 verlaufen.
45
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
Es gibt also
1
n2
4
1 2
n
8
1
2 +o(n2 )
= 24n
Graphen mit diesem Bauplan und der gegebenen Knotenanzahl pro Klasse. Damit folgt
ein zweites Mal für c ∈ (1/8, 1/4) die untere Schranke
1
f (c) ≥ .
4
(6)
Durch Übergang zum Komplement erhalten wir den selben Wert auch für c ∈ (1/4, 3/8).
3.5 Zusammenfassung
In Abschnitt 3.3 haben wir die oberen Schranken aus Korollar 49 bewiesen:
(
1
1/8 ≤ c ≤ 3/8,
F (c) ≤ 41
H(4c) sonst.
4
Weiter haben wir in Abschnitt 3.4 durch Konstruktion hinreichend großer Graphenklassen untere Schranken für |S(n) ∩ C(n, cn2 )| bzw. f (c) gezeigt. Für c ≤ 1/8 hat sich der
Bauplan Bχ auf zwei Knoten als optimal erwiesen. Er liefert:
1
C(n, cn2 ) ≥ 2 4 H(4c)n2 +o(n2 ) .
Für c ∈ (1/8, 1/4) bzw. c ∈ (1/4, 3/8) verwenden wir den Bauplan aus Abschnitt 3.4.2
(siehe Abbildung 11) und erhalten wegen (6):
1
C(n, cn2 ) ≥ 2 4 n2 +o(n2 ) .
Es bleibt der Fall c = 1/4, in dem der Bauplan auf einem weißen und einem schwarzen
Knoten ebenfalls
1
C(n, cn2 ) ≥ 2 4 n2 +o(n2 )
erzielt. Damit sind folgende untere Schranken für f (c) gezeigt:
Korollar 56 (Untere Schranken)
Für 0 < c < 1/2 gilt:
(
f (c) ≥
1
4
1
H(4c)
4
1/8 ≤ c ≤ 3/8,
sonst.
Mit den Ergebnissen aus Abschnitt 3.3 und Abschnitt 3.4 erhalten wir Satz 29, das
Hauptergebnisses dieses Kapitels.
46
3.5 Zusammenfassung
Beweis (Satz 29)
Sei 0 < c < 1/2. Die obere Schranke aus Korollar 49 und die untere Schranke aus
Korollar 56 sind beide scharf. Damit ist die Existenz von f (c) bzw. F (c) gezeigt, und es
gilt:
(
1
1/8 ≤ c ≤ 3/8,
4
F (c) = f (c) = 1
H(4c) sonst.
4
Daraus folgt insbesondere:
Korollar 57
Für die Anzahl C5∗ -freier Graphen auf n Knoten mit cn2 Kanten gilt:
 1
2
2
2 4 n +o(n )
1/8 ≤ c ≤ 3/8,
2
C(n, cn ) =
1
2
2
2 4 H(4c)n +o(n ) sonst.
47
3 Abzählen von C5∗ -freien Graphen
48
4 Zufällige Graphenprozesse
4.1 Ziele und Methoden
Neben theoretischen Überlegungen sind oft auch numerische Experimente eine gute
Grundlage, um Eigenschaften mathematischer Objekte zu erkennen. Im Zusammenhang
mit der Vermutung von Erdös und Hajnal für den C5 wäre es beispielsweise sehr interessant, Aussagen oder wenigstens Vermutungen über C5∗ -freie Graphen, die keine generalized split Graphen sind, machen zu können. Erste Fragen sind hier: Wie erzeugt man
gleichverteilt C5∗ -freie Graphen? Und wie erkennt man einen generalized split Graph?
Die Idee, zufällige Graphen zur Erzeugung von C5∗ -freien Graphen zu verwenden, scheitert: Jedes H, also auch der C5 , ist asymptotisch fast sicher in G(n, p) als induzierter
Subgraph enthalten. Zudem ist uns kein Verfahren bekannt, das zu einem beliebigen
e mit minimaler oder auch nur relativ kleiner
Graphen G einen C5∗ -freien Graphen G
Edit-Distanz findet. Stattdessen verwenden wir zufällige Graphenprozesse, um C5∗ -freie
Graphen zu erzeugen. Ein zufälliger Graphenprozess ist dabei eine diskrete endliche
Markov-Kette, deren Zustandsraum jeweils eine Klasse von Graphen, hier meist die
C5∗ -freien Graphen, ist. Die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen zwei Zuständen ist
positiv, wenn wir durch Einfügen oder Entfernen einer Kante von einem Graphen zum
anderen kommen. Wir starten diese Markov-Kette bei dem leeren Graphen und generieren so eine Folge von Graphen ohne induzierten Kreis der Länge fünf. Mit fortschreitender Zeit betrachten wir verschiedene Graphenparameter wie Kantenzahl, Minimal- und
Maximalgrad, Cliquenzahl oder chromatische Zahl. Dabei stellen sich folgende Fragen:
(1) Ist die Markov-Kette zusammenhängend?
Sprich: Kann der Prozess von jedem Zustand zu jedem anderen Zustand gelangen?
(2) Lässt sich die Entwicklung von Parametern wie die Kantenzahl oder der Minimalgrad vorhersagen?
(3) Konvergiert die Markov-Kette fast sicher gegen einen generalized split Graph?
Die erste Frage wird durch den Netzgraphen eines Kuboktaeders (siehe Abbildung 12)
negativ beantwortet: Dieser archimedische Körper hat 14 Flächen, 12 Ecken und 24 Kanten, wobei die Flächen sechs Quadrate und acht gleichseitige Dreiecke sind. Selbige sind
so angeordnet, dass jede Kante zugleich Seite eines Quadrates und eines Dreiecks ist.
Deshalb entsteht durch Entfernen einer Kante zwingend ein induzierter Kreis der Länge
fünf. Wie man leicht überprüfen kann, entsteht auch durch Einfügen einer beliebigen
Kante ein induzierter C5 . Ein C5∗ -freier Graph, der den Netzgraphen des Kuboktaeder
49
4 Zufällige Graphenprozesse
Abbildung 12: Der Kuboktaeder: Man erhält den Kuboktaeder, indem man von einem
Einheitswürfel die acht Ecken so abschneidet, dass
p die Schnittflächen jeweils ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge 1/2 bilden.
als induzierten Subgraphen enthält, kann also durch den Prozess von keinem C5∗ -freien
Graphen erreicht werden, der auf den gleichen Knoten einen anderen induzierten Subgraphen hat.
Die Fragen (2) und (3) haben wir im Folgenden anhand numerischer Simulationen untersucht. Dazu wurden zwei unterschiedliche Graphenprozesse nicht nur für den C5∗ , sondern
für allgemeine verbotene Subgraphen – induziert und nicht-induziert – betrachtet. In den
Abschnitten 4.1.1 und 4.1.2 beschreiben wir diese beiden Prozesse zunächst.
4.1.1 Der gemischte Graphenprozess
Der gemischte Prozess startet wie oben beschrieben zur Zeit t = 0 beim leeren Graphen
auf n Knoten. In jedem Schritt wird zufällig und gleichverteilt eine Knotenpaar {v, w} ⊂
V (G) gewählt. Ist vw ∈ E(G), so wird die Kante entfernt, falls G dabei H-frei bleibt; ist
vw ∈
/ E(G), so wird die Kante eingefügt, falls G dabei H-frei bleibt. Andernfalls wird
wiederholt ein neues Knotenpaar gewählt, bis eine Kante eingefügt oder entfernt wurde.
So wird in jedem Schritt genau eine Kante des Graphen geändert. Wir bezeichnen den
Zustand des gemischten Prozesses nach dem Zeitschritt t ∈ N0 mit G(n, t). G(n, 0) ist
also stets der leere Graph und dedit ((G(n, t), G(n, t + 1)) = 1.
4.1.2 Der monotone Graphenprozess
Neben dem gemischten Prozess, der Kanten mehrfach hinzufügt oder entfernt, interessieren wir uns auch für den monotonen Prozess, der jede Kante genau ein Mal betrachtet
und diese einfügt, wenn der Graph dabei H-frei bleibt. Zur Beschreibung verwenden
wir die Notation von Alon und Spencer aus [2], die auch Osthus und Taraz in [15] verwenden. Dabei wird jeder Kante des vollständigen Graphen auf n Knoten zufällig und
gleichverteilt ein reeller Wert in [0, 1] zugewiesen. Diese Werte werden als sogenannte
50
4.2 Theoretische Resultate
Geburtszeiten für die Kanten interpretiert. Der Prozess startet bei der Zeit t = 0 und
endet bei t = 1. Für zunehmende Zeiten werden die Kanten gemäß ihrer Geburtszeit
eingefügt, falls der Graph dabei H-frei bleibt. Mn,p (H) bezeichnet den Graphen des Hfreien Prozesses zum Zeitpunkt p ∈ [0, 1]; den Endzustand Mn,1 (H) bezeichnen wir kurz
mit Mn (H).
Den monotonen Prozess für induzierte Subgraphen H definieren wir analog: hier wird
eine Kante genau dann eingefügt, wenn sie keinen induzierten Subgraphen H erzeugt.
Wir schreiben Mn,p (H ∗ ) bzw. Mn (H ∗ ) für den Prozess zur Zeit p bzw. zur Zeit 1.
Für gewisse nicht-induzierte Subgraphen H ist bekannt, welche Kantenanzahl Mn (H) im
Erwartungswert minimal bzw. maximal erreicht. Diese Resultate von Osthus und Taraz
stellen wir in Abschnitt 4.2 vor. Es ist uns nicht gelungen, alle Ergebnisse auf induzierte
Subgraphen H zu übertragen. Die empirischen Daten legen aber nahe, dass diese hier
ebenso gelten. Darauf gehen wir in Abschnitt 4.3.3 nochmals ein.
4.2 Theoretische Resultate
4.2.1 Definitionen
In der Arbeit [15] haben Osthus und Taraz den monotonen Prozess für gewöhnliche
Subgraphen untersucht. Für streng 2-balancierte Subgraphen H zeigen sie eine untere
und eine obere Schranke an die erwartete Kantenzahl des H-freien Prozessgraphen.
Definition 58 (Streng 2-balanciert, balanciert)
Ein Graph G heißt streng 2-balanciert, falls G mindestens drei Knoten und drei Kanten
hat, und falls für jeden echten Subgraphen G0 von G auf mindestens drei Knoten gilt:
e(G0 ) − 1
e(G) − 1
>
.
v(G) − 2
v(G0 ) − 2
Ein Graph G heißt balanciert, falls für alle Subgraphen G0 gilt:
e(G)
e(G0 )
≥
.
v(G)
v(G0 )
Ein Graph, der streng 2-balanciert ist, ist auch balanciert. Beispiele für 2-balancierte
Graphen sind Kreise, vollständige Graphen und vollständig r-partite Graphen. In Abschnitt 4.2.2 fassen wir zentrale Aussagen aus [15] zusammen.
4.2.2 Ergebnisse für den nicht-induzierten Fall
Für die folgenden Resultate geben wir lediglich eine Beweisskizze an; die vollständigen
Beweise finden sich in [15]. Die beiden Schranken für den Durchschnittsgrad bzw. für den
Maximalgrad von Mn (H) werden durch den Vergleich von drei verschiedenen Prozessen
gewonnen. Mn,p (H) ist dabei wie bisher definiert, Gn,p ist der Graph mit allen Kanten, deren Geburtszeit kleiner oder gleich p ist. Weiter ist Gn,p (H) der Graph, der aus
51
4 Zufällige Graphenprozesse
Gn,p entsteht, indem alle Kanten, die in einem Subgraphen H liegen, gelöscht werden.
Offensichtlich gilt:
Gn,p (H) ⊆ Mn,p (H) ⊆ Gn,p .
Zu einem Subgraphen H sei βH = (vH − 2)/(eH − 1).
Satz 59 (Untere Schranke)
Sei H balanciert. Dann gibt es eine Konstante c = c(H), sodass Mn (H) a.a.s mindestens
folgenden Durchschnittsgrad hat:
cn1−βH .
Der Beweis von Satz 59 zeigt dabei sogar, dass dieser Durchschnittsgrad bereits für
p = c0 n−βH mit ce0H −1 eH = 1/8 erreicht wird. Zu diesem Zeitpunkt ist die erwartete
Anzahl X der Kopien von H in Gn,p gerade so groß, dass
eH E[X] ≤ eH nvH peH ≤ eH n2 pc0eH −1 = pn2 /8
gilt. e(Gn,p ) − eH X ist eine untere Schranke für die Anzahl der Kanten in Gn,p (H) und
damit auch für die Anzahl der Kanten in Mn,p (H) und Mn (H). Es ist
n
n2
e(Gn,p ) − eH X ≥ p
−p ,
8
2
also gibt es eine Konstante c = c(H) mit:
cn2−βH ≤ e(Gn,p (H)) ≤ e(Mn (H)).
Aus dieser Kantenzahl folgt der behauptete Durchschnittsgrad.
Satz 60 (Obere Schranke)
Sei H streng 2-balanciert. Dann existiert eine Konstante C = C(H), sodass Mn (H)
a.a.s höchstens folgenden Maximalgrad hat
Cn1−βH (log n)1/(∆(H)−1) .
Sei t = Cn1−βH (log n)1/(∆(H)−1) . Der Beweis von Satz 60 verwendet die Tatsache, dass
bis zu einem gewissen Zeitpunkt p nur wenige Subgraphen H entstanden sind. So unterscheiden sich die Graphen Gn,p (H) und Gn,p noch nicht wesentlich. Ziel ist es nun
zu zeigen, dass die zu diesem Zeitpunkt vorhandenen Kanten ausreichen, um in Mn (H)
einen Subgraphen H zu erzwingen, falls Mn (H) einen Knoten vom Grad t hat. Dazu
wird der Begriff der Erweiterung definiert: Für einen Knoten y und eine Knotenmenge
T mit y ∈
/ T sagen wir (T, y) ist (H, x)-erweiterbar in G, wenn gilt:
(i) x ist ein Knoten maximalen Grades in H,
(ii) H \ x (der induzierte Subgraph von H auf V (H) \ {x}) kann in G eingebettet
werden, sodass alle Nachbarn von x in H auf Knoten von T abgebildet werden
und die restlichen Knoten auf V (G) \ (T ∪ {y}).
52
4.3 Numerische Resultate
Wenn also y zu allen Knoten von T benachbart ist, kann y zu einer Kopie von H erweitert
werden, wobei x auf y und die Nachbarn von x auf Knoten in T abgebildet werden. Die
restlichen Knoten werden nach V (G) \ (T ∪ {y}) abgebildet.
Der Beweis betrachtet nun Gn,p (H) für p = c0 n−βH . Osthus und Taraz zeigen: jedes
Paar (T, y) mit |T | = t ist asymptotisch fast sicher erweiterbar. Falls also ein Knoten y
in Mn (H) mit Grad t existiert, so ist (T = N (y), y) erweiterbar in Gn,p (H) und damit
auch in Mn,p (H) und Mn (H). Mn (H) hätte also einen Subgraphen H im Widerspruch
zur Definition.
4.2.3 Der induzierte Fall
Die Ergebnisse von Osthus und Taraz lassen sich teilweise direkt auf induzierte Subgraphen übertragen. So basiert der Beweis der unteren Schranke auf einem Satz von
Erdös und Rényi (siehe Satz 4.2 in Kapitel 4 von [2]), der auch für induzierte Subgraphen H gilt. Im Übrigen wird nur mit den Graphen Gn,p (H) und Gn,p gearbeitet, deren
Definition ebenfalls direkt für induzierte Subgraphen übernommen werden kann. Dabei
werden in Gn,p (H) weiterhin alle Kopien von (nicht notwendig induzierten) Subgraphen
H gelöscht. Somit hat auch der induziert H-freie Prozess erwarteten Durchschnittsgrad
von mindestens cn1−βH :
Korollar 61
Sei H ein balancierter Graph. Dann gibt es eine Konstante c∗ = c∗ (H), sodass Mn (H ∗ )
a.a.s mindestens folgenden Durchschnittsgrad hat:
c∗ n1−βH .
Der Beweis der oberen Schranke hingegen kann nicht auf induzierte Subgraphen H
übertragen werden. Im induzierten Fall folgt aus der Existenz einer Erweiterung für
ein Paar (T, y) in Mn,p (H ∗ ) im Allgemeinen nicht die Existenz eines induzierten Subgraphen H in Mn (H ∗ ). Das Argument, dass Strukturen aus einem frühen Stadium des
Prozesses am Ende zwingend zu Subgraphen H ∗ führen, scheitert daran, dass wir nicht
zeigen können, dass diese Subgraphen tatsächlich auch induzierte Subgraphen wären.
Umso interessanter ist es, dass die empirischen Ergebnisse scheinbar den gleichen Zusammenhang zwischen H und der erwarteten Knotenzahl von Mn (H ∗ ) liefern.
4.3 Numerische Resultate
In diesem Abschnitt geben wir eine Zusammenfassung und eine Interpretation unserer numerischen Resultate an. Simuliert wurden sowohl der gemischte wie auch der
monotone Graphenprozess. Die dabei verwendeten Algorithmen sind in Abschnitt 4.4
beschrieben. Die detaillierten Ergebnisse aller Simulationen befinden sich in Kapitel 5
(Anhang).
53
4 Zufällige Graphenprozesse
4.3.1 Ergebnisse des gemischten Prozesses
Für den gemischten Prozess haben uns zwei Fragen interessiert:
(1) Konvergiert die Kantenzahl der Prozessgraphen gegen einen bestimmten Wert?
(2) Welche Eigenschaften können wir für C5∗ -freie Graphen ablesen?
Dazu haben wir für Graphen mit n = 1000 Knoten jeweils 2 000 000 Schritte des gemischten Graphenprozesses berechnet. Neben der Kantenzahl, Minimal- und Maximalgrad der Prozessgraphen haben wir unter anderem auch bestimmt, ob diese generalized
split Graphen sind. An dieser Stelle geben wir nur eine Zusammenfassung der wichtigsten Beobachtungen an. Die detaillierten Ergebnisse sind in Kapitel 5, Tabelle 6 bis 21
auf den Seiten 66 ff. aufgelistet.
Von den untersuchten Parametern wollen wir hier insbesondere auf die Kantenzahl und
die Akzeptanz bei einzufügenden Kanten eingehen. Letzteres ist der Quotient aus der
Anzahl der eingefügten Kanten und der zum Einfügen ausgewählten Kanten; diesen
bezeichnen wir mit Acc1 . Analog bezeichnen wir den Quotient aus der Anzahl der entfernten Kanten und der zum Entfernen ausgewählten Kanten mit Acc2 . Während der
monotone Prozess eine deutliche Konzentration der erreichten Kantenzahlen zeigt, variieren diese im gemischten Fall stark. So stellt sich zwar bei allen beobachteten Prozessen
nach 500 000 bis 1 000 000 Schritten eine Kantenzahl ein, von der der Prozess anschließend nur noch marginal abweicht, allerdings unterscheidet sich der Wert von Prozess zu
Prozess deutlich (vergleiche Tabelle 5 auf Seite 65). In Abbildung 13 wurde die Kantenzahl von G(1000, t) gegen die Zeit t angetragen.
In Abbildung 14 haben wir die Akzeptanz bei den einzufügenden Kanten (Acc1 ) dargestellt. Diese ist zu Beginn des gemischten Prozesses 100 Prozent. Sie weist bei t = 10 000
mit 1 Prozent ein Minimum auf, um anschließend wieder auf Werte zwischen 10 und
18 Prozent zu steigen. Dieses Verhalten stimmt mit den Beobachtungen des monotonen
Prozesses überein: Mit 5000 Kanten erreicht der gemischte Prozess bei t = 10 000 und
n = 1000 in etwa die Kantenzahl, die auch der monotone Prozess für p = 1 und n = 1000
erreicht (vergleiche Tabelle 29 auf Seite 89).
Auffällig ist weiterhin, dass bereits ab einer Kantenzahl von 1 000 alle beobachteten
Prozessgraphen induzierte Kreise der Länge sieben haben und damit keine generalized
split Graphen sind. Dies ist nur scheinbar ein Widerspruch zu Satz 27. Das Ergebnis von
Prömel und Steger ist eine asymptotische Aussage, und es ist nicht bekannt, welcher
Anteil der Graphen in C(n) für feste n generalized split Graphen sind.
Im Zusammenhang mit der Vermutung von Erdös und Hajnal ist interessant, dass wir
auch unter den Graphen ohne generalized split Struktur keine Graphen mit kleiner homogener Menge gefunden haben. Während die Cliquenzahl der beobachteten Graphen
maximal 4 beträgt, haben alle beobachteten Graphen große stabile Mengen: in jedem
Fall war die chromatische Zahl ≤ 14. So haben wir auch für C5∗ -freie Graphen, die keine
generalized split Graphen sind, keine Beispiele gefunden, die die Vermutung von Erdös
und Hajnal in Frage stellen würden.
54
4.3 Numerische Resultate
Abbildung 13: Entwicklung der Kantenzahl: e(G(1000, t)) für t ∈ {0, . . . , 2 000 000}
Abbildung 14: Entwicklung von Acc1 für t ∈ {0, . . . , 2 000 000}
4.3.2 Ergebnisse des monotonen Prozesses
Für den monotonen Prozess haben wir uns mit Blick auf die Schranken von Osthus
und Taraz besonders für die erreichte Kantenzahl von Mn (H) interessiert. Satz 59 und
Satz 60 zeigen, dass für streng 2-balancierte nicht-induzierte Subgraphen H folgendes
asymptotisches Verhalten gilt:
e(Mn (H)) = nρH +o(1) ,
(1)
wobei
vH − 2
eH − 1
ist. In Anlehnung an (1) haben wir beim monotonen Prozess für verschiedene induzierte
und nicht-induzierte Subgraphen H die Größe
ρH = 2 −
ρeH =
log(e(Mn (H)))
log(n)
55
4 Zufällige Graphenprozesse
zu verschiedenen n bestimmt. An dieser Stelle wird nur eine Zusammenfassung der Resultate präsentiert. Die detaillierten Ergebnisse sind in Kapitel 5, Tabelle 23 bis 39 auf
den Seiten 83 ff. aufgelistet. Dort sind für Mn (H) neben erreichter Kantenzahl, Minimalgrad und Maximalgrad auch eine durch den Greedy-Algorithmus bestimmte obere
Schranke für die chromatische Zahl, die exakte Cliquenzahl und die benötigte Rechenzeit
tr aufgeführt.
Für folgende Subgraphen H wurde zu n = 500, 1000, 2000, 4000 und 8000 der Prozess
Mn,p (H) simuliert:
(1) K3 , K4 , K5
(2) C4 , C5 , C6 jeweils induziert und nicht-induziert
(3) P4 , K1,3 , Diamant induziert und nicht-induziert
(4) Bull induziert und nicht-induziert
Die Ergebnisse von Osthus und Taraz gelten dabei nur für balancierte bzw. streng 2balancierte nicht-induzierte Subgraphen H. Wir berechnen ρeH auch für nicht (streng 2-)
Subgraph H
vH
eH
K3
K4
K5
C4
C4 ind.
C5
C5 ind.
C6
C6 ind.
P4
P4 ind.
K1,3
K1,3 ind.
Diamant
Diamant ind.
Bull
Bull ind.
3
4
5
4
4
5
5
6
6
4
4
4
4
4
4
5
5
3
6
10
4
4
5
5
6
6
3
3
3
3
5
5
5
5
Exponent ρH
nach O. & T.
str. 2-balanc. 0,50
1,50
str. 2-balanc. 0,40
1,60
str. 2-balanc. 0, 33
1, 66
str. 2-balanc. 0, 66
1, 33
(str. 2-balanc.) 0, 66
(1, 33)
str. 2-balanc. 0,75
1,25
(str. 2-balanc.) 0,75
(1,25)
str. 2-balanc. 0,80
1,20
(str. 2-balanc.) 0,80
(1,20)
balanciert
1,00
1,00
(balanciert)
1,00
(1,00)
balanciert
1,00
1,00
(balanciert)
1,00
(1,00)
(balanciert)
0,50
(1,50)
(balanciert)
0,50
(1,50)
–
0,75
(1,25)
–
0,75
(1,25)
balanciert
βH
beobachteter
Exponent ρeH
1,523. . .
1,600. . .
1,650. . .
1,331. . .
1,331. . .
1,244. . .
1,244. . .
1.181. . .
1,183. . .
1,000. . .
1,025. . .
1,000. . .
1,057. . .
1,523. . .
1,523. . .
1,506. . .
1,507. . .
Tabelle 3: Vergleich der Exponenten; eingeklammerte Werte verdeutlichen, dass Satz 59
bzw. Satz 60 auf diesen Fall nicht anwendbar sind. Der beobachtete Exponent
ρeH bezieht sich hier jeweils auf die größte berechnete Instanz.
56
4.3 Numerische Resultate
balancierte Subgraphen bzw. für induzierte Subgraphen und vergleichen die Ergebnisse
in Tabelle 3.
Daneben haben wir die Laufzeiten bei der Berechnung des monotonen Prozesses für
die verschiedenen Instanzen gemessen. Die in Tabelle 4 angegebenen Zeiten beziehen
sich auf die Berechnung von Mn (H) ausgehend vom leeren Graph. Wir haben einen
in n polynomiellen Zusammenhang beobachtet. So ergibt sich für den H-freien Prozess
auf n Knoten eine Laufzeit von Θ(nτ (H) ), wobei der Exponent τ (H) vom betrachteten
Subgraphen abhängt.
Subgraph H
500
1000
2000
4000
8000
K3
K4
K5
C4
C4 ind.
C5
C5 ind.
C6
C6 ind.
P4
P4 ind.
K1,3
K1,3 ind.
Diamant
Diamant ind.
Bull
Bull ind.
<1s
1s
4s
1s
1s
4s
4s
5s
15s
<1s
<1s
<1s
<1s
<1s
<1s
1s
1s
1s
9s
48s
7s
45s
322s
33s 261s 1971s
6s
56s
520s
7s
63s
573s
34s 333s 3400s
35s 340s 3556s
44s 471s 5371s
156s 1731s 19528s
2s
13s
94s
2s
15s
98s
2s
14s
99s
3s
16s
115s
2s
8s
47s
2s
9s
52s
4s
22s
160s
4s
25s
189s
301s
2329s
16699s
4995s
5250s
35998s
36969s
58782s
–
673s
738s
729s
843s
280s
322s
1111s
1294s
Laufzeitexponent τ (H)
2,6
2,9
3,1
3,3
3,2
3,4
3,4
3,5
3,5
2,8
2,9
2,9
2,9
2,6
2,6
2,8
2,8
Tabelle 4: Laufzeiten für den monotonen Prozess in Abhängigkeit von der Graphengröße
4.3.3 Interpretation der Daten
Erreichte Kantenzahl im gemischten Prozess
Anders als beim monotonen Prozess kann für den gemischten C5∗ -freien Prozess keine
Vorhersage für die maximale Kantenzahl getroffen werden. Die beobachteten Prozesse
auf 1000 Knoten erreichten Kantenzahlen zwischen 54 000 und 78 000, wobei die Kantenzahl ab einem bestimmten Zeitpunkt jeweils nur noch geringfügig schwankte. Es ist
fraglich, ob durch eine größere Anzahl von Zeitschritten auch eine deutliche größere Anzahl von Kanten erreicht wird.
Nehmen wir an, der Anteil C5∗ -freier Graphen wäre unabhängig von der Kantenzahl, d.h.
57
4 Zufällige Graphenprozesse
es gelte für c ∈ (0, 1/2)
|C(n)|
|C(n, cn2 )|
≈
,
|G(n, cn2 )|
|G(n)|
wobei G(n) die Menge aller Graphen auf n Knoten und G(n, cn2 ) die Menge aller Graphen
auf n Knoten mit cn2 Kanten bezeichnet. Dann wäre zu erwarten, dass der gemischte
Prozess für steigende t Graphen liefert, deren Kantenzahl bei n2 /4 liegen, da |G(n, cn2 )|
für c = 1/4 maximal ist. Dies scheint aber nicht der Fall zu sein.
Ein weiteres Argument für die ungleichmäßige Verteilung der C5∗ -freien Graphen sind
die hohen Akzeptanzraten Acc1 und Acc2 für t ∈ {1 · 106 , 2 · 106 }. Diese legen nahe, dass
die C5∗ -freien Graphen hier relativ dicht liegen, d.h. dass für die Graphen G = G(1000, t)
und r ∈ N hinreichend klein gilt:
|{G0 ∈ C(n) : dedit (G, G0 ) ≤ r}|
|C(n)|
.
0
0
|{G ∈ G(n) : dedit (G, G ) ≤ r}|
|G(n)|
Damit liegt die Vermutung nahe, dass sich zumindest für n = 1000 die Verteilung der
erwarteten Kantenzahlen für zufällig und gleichverteilt gewählte Graphen aus C(n) deutlich von der Verteilung der bei zufällig und gleichverteilte gewählten Graphen aus G(n)
unterscheidet.
Strukturelle Erkenntnisse aus dem gemischten Prozess
In unseren Augen ist es nur bedingt möglich, anhand des gemischten Prozesses Aussagen
über allgemeine Eigenschaften von C5∗ -freien Graphen zu treffen. Die von uns betrachteten Graphenparameter ergaben lediglich, dass für hinreichend große t alle beobachteten
Graphen G(1000, t) Cliquengröße 3 und meist einstellige chromatische Zahl hatten, und
dass für t ≥ 5 000 gilt: alle beobachteten Graphen G(1000, t) haben einen induzierten C7 .
Damit hat der gemischte Prozess in unseren Experimenten beinahe ausnahmslos Graphen erzeugt, die keine generalized split Graphen sind. Allerdings ist fraglich, ob bereits
für n = 1000 ein signifikanter Anteil der Graphen in C(n) generalized split Graphen sind.
Satz 27 von Prömel und Steger ist ein asymptotisches Ergebnis, das für diesen Fall keine
Aussage zulässt.
Erreichte Kantenzahl im monotonen Prozess
Die empirischen Ergebnisse für e(Mn (H)) zeigen hier für alle betrachteten Subgraphen
H – induzierte wie nicht-induzierte – und alle Knotenzahlen n eine starke Konzentration.
So ist bei n = 8000 die empirische Standardabweichung der Kantenzahlen von Mn (H) für
alle Subgraphen H kleiner als ein Prozent des Durchschnittswerts für |Mn (H)| (vergleiche
Tabelle 22 auf Seite 82). Die beobachteten Kantenzahlen legen für alle balancierten
Subgraphen – induzierte wie nicht-induzierte – einen Zusammenhang der Form
|Mn (H)| = n2−βH +o(1)
nahe, wobei βH = (v(H) − 2)/(e(H) − 1) ist. Für den nicht-induzierte Fall und streng
2-balancierte Subgraphen H wurde dies durch die beiden Schranken in Satz 59 und
Satz 60 von Osthus und Taraz vorhergesagt.
58
4.3 Numerische Resultate
Vermutung 62
Sei H ein balancierter Graph auf mindestens drei Knoten und mindestens drei Kanten.
Dann gilt fast sicher für die Kantenzahl des monotonen Prozesses:
|Mn (H)| = n2−βH +o(1) ,
wobei βH = (v(H) − 2)/(e(H) − 1) ist.
Dabei wissen wir bereits aus Korollar 61, dass der Exponent für die Kantenanzahl mindestens 2 − βH ist. Es bleibt natürlich fraglich, ob Instanzen der Größe 8000 schon das
asymptotische Verhalten zeigen. Verglichen mit den Größenordnungen der Konstanten
des Regularitätslemmas ist dies verschwindend klein. Trotzdem stimmen beobachtete
und erwartete Exponenten für die Subgraphen, für die wir ein theoretisches Ergebnis
kennen, gut überein. Die Abweichung beträgt hier maximal 5 Prozent. Dagegen zeigt
der Exponent beim Bull-Graph, der nicht balanciert ist, eine deutliche Differenz (> 20%)
zum Formelwert.
Rechenzeiten im monotonen Prozess
Eine einfache Analyse lässt erwarten, dass die Rechenzeit exponentiell von der Knotenzahl des betrachteten Subgraphen H abhängt. Für den C5∗ wäre die erwartete Laufzeit
demnach von der Ordnung Θ(n5 ): Zu jeder der betrachteten Θ(n2 ) Kante wird ein O(n3 )Test auf C5∗ -Freiheit durchgeführt. Bei einer Knotenverdoppelung haben wir allerdings
stets nur einen Laufzeitfaktor von 10,4 beobachtet1 (siehe Tabelle 4 auf Seite 57). Dies
entspricht einer Laufzeit von Θ(n3,4 ). Eine Erklärung für dieses Verhalten ist, dass der
Test auf H-Freiheit im Mittel eine deutlich bessere Laufzeit hat als im worst case. Wir
unterscheiden zwei Fälle:
1. Fall: Negativer Test – die eingefügte Kante schließt keinen (induzierten) Subgraphen
H.
In diesem Fall müssen alle potentiellen Subgraphen durchlaufen werden. Mittels Branchand-Cut können allerdings viele Subgraphen bereits auf Grund der Kantenkonstellation
in einem Teilgraphen ausgeschlossen werden.
2. Fall: Positiver Test – die eingefügte Kante schließt einen (induzierten) Subgraphen H.
Dies ist der bei weitem häufigere Fall. Sobald H gefunden wurde, wird der Test abgebrochen. Offensichtlich geschieht dies im Erwartungswert bereits nach der Kontrolle von
sehr wenigen der potentiellen Subgraphen. Dies legt nahe, dass eine Änderung, die einen
(induzierten) Subgraphen H erzeugt, im Erwartungswert zugleich eine große Zahl von
(induzierten) Subgraphen H erzeugt.
1
Durch Speichereffekte wäre der gegenteilige Effekt zu erwarten gewesen: Die Adjazenzmatrix hat z.B.
für n = 4000 eine Größe von 2 MB, was auf unserem System die Größe des verfügbaren L2-Caches
ist.
59
4 Zufällige Graphenprozesse
4.4 Algorithmische Aspekte
Alle numerischen Ergebnisse wurden auf einer Workstation mit Intel(R) i686 -Architektur unter Ubuntu Linux oder auf einem Server mit Sun sparc-Architektur unter SunOS
5.10 ermittelt. Die verwendeten Algorithmen wurden in C programmiert und mit dem
gcc in Version 4.2.3 bzw. Version 3.4.3 compiliert. Der Quellcode findet sich auf der
beiliegenden CD oder unter http://www.in.tum.de/∼wuerfla/da/code.
4.4.1 Ein guter Zufallszahlengenerator
Eine gute numerische Berechnung eines zufälligen Graphenprozesses benötigt an erster
Stelle eine gute Quelle für (Pseudo-)Zufallszahlen. Deshalb haben wir an Stelle der in C
üblichen Befehle srand(time(NULL)) und rand() % N den Mersenne Twister genannten Zufallszahlengenerator von Matsumoto und Nishimura [14] in einer Implementierung
von Geoff Kuenning2 verwendet.
4.4.2 Test auf induzierte C5
Der Nachweis, dass ein Graph keinen (induzierten) Subgraphen auf k Knoten hat, kann
immer durch einen naiven O(nk )-Algorithmus erbracht werden: Die Untersuchung aller
Subgraphen von G auf k Knoten liefert einen polynomiellen Test. Die Frage ”G ∈ C(n) ?”
Algorithmus 1 : Test auf C5∗ -Freiheit
Input : C5∗ -freier Graph G, Kante e = {v, w}
Output : TRUE, falls G + {v, w} C5∗ -frei, ansonsten FALSE
Stufe 1
Stufe 2
Stufe 3
begin
foreach x ∈ V (G) \ {v, w} do
if edge(x,v) or not edge(x,w) then
continue
foreach y ∈ V (G) \ {v, w, x} do
if edge(y,v) or edge(y,w) or not edge(y,x) then
continue
foreach z ∈ V (G) \ {v, w, x, y} do
if not edge(z,v) or edge(z,w) or edge(z,x) or not edge(z,y)
then
continue
else
/* induzierter C5 gefunden */
return FALSE
return TRUE
end
2
http://www.cs.hmc.edu/∼geoff/mtwist.html
60
4.4 Algorithmische Aspekte
kann also mit einer naiven Implementierung in Laufzeit von Θ(n5 ) beantwortet werden.
Unter Ausnutzung der Tatsache, dass sich der neue Graph nur in einer Kante von einem
C5∗ -freien Graphen unterscheidet, kann ein O(n3 )-Test gefunden werden. Dieser ist in
Algorithmus 1 angegeben.
Da ein induzierter C5 die Kante vw enthalten muss, sucht Algorithmus 1 nach Kreisen
auf den Knoten v, w, x, y, z. Der Algorithmus ist korrekt und hat Laufzeit O(n3 ), ist
aber in der Praxis deutlich schneller, da nicht alle Teilmengen {x, y, z} ⊆ V durchlaufen
werden müssen. Falls bereits in Stufe 1 oder Stufe 2 ausgeschlossen werden kann, dass
auf diesen Knoten ein induzierter C5 existiert, steigt der Algorithmus nicht weiter ab.
4.4.3 Identifikation von generalized split Graphen
Generalized split Graphen sind perfekt, und perfekte Graphen können in polynomieller
Zeit erkannt werden [8]. Andererseits sind fast alle perfekten Graphen generalized split
Graphen (Satz 27, [16]). Es ist uns aber kein (polynomieller) Algorithmus bekannt, der
entscheidet, ob ein perfekter Graph ein generalized split Graph ist. Auch die C5∗ -freien
Graphen sind fast alle generalized split Graphen, und auch hier konnten wir keinen
Algorithmus finden, der für G ∈ C(n) die Frage ”G ∈ S(n) ?” in polynomieller Zeit
entscheidet. Stattdessen verwenden wir zwei Heuristiken: Algorithmus 2 und Algorithmus 5.
Algorithmus 2 : Erste Heuristik für generalized split Graphen
Input : Graph G = (V, E)
Output : FALSE, falls G einen induzierten C7 hat, ansonsten UNKNOWN
begin
if G hat induzierten C7 then
return FALSE
else
return UNKNOWN
end
Algorithmus 2 ist korrekt, da G als generalized split Graph perfekt wäre, und insbesondere keine induzierten ungeraden Kreise der Länge größer drei enthielte. Diese Heuristik
ist sehr einfach zu implementieren, und hat sich in der Praxis als völlig ausreichend
erwiesen. Nahezu alle beobachteten Prozessgraphen, die nicht generalized split Graphen
waren, hatten auch induzierte Kreise der Länge sieben. Falls kein induzierter C7 gefunden wird, ist keine Aussage möglich.
Unsere zweite Heuristik verwendet die Tatsache, dass für bestimmte induzierte Subgraphen eine eindeutige Zuordnung von Knoten zu den Klassen V1 bzw. Vi mit i > 1
existiert.
Lemma 63
Sei G ein generalized split Graph, dessen Klassen Cliquen sind, und in den auf den
61
4 Zufällige Graphenprozesse
Knoten v, w, x, y, z ein P5 induziert wird. Dann gilt für den mittleren Knoten x:
x ∈ V1 .
Beweis
G sei ein generalized split Graph auf den Klassen Vi und habe einen induzierten Pfad auf
den Knoten v, w, x, y, z. Weil alle Klassen Vi Cliquen sind, kann x weder in der Klasse
von v noch in der Klasse von z liegen. Zudem können v und z nicht in der gleichen
Klasse liegen. Da mindestens einer von zwei Endknoten eines induzierten P3 in V1 liegen
muss, folgt x ∈ V1 .
Algorithmus 3 : GSG auf Cliquen
Input : Graph G = (V, E)
Output : UNKNOWN, falls keine Aussage getroffen werden kann, andernfalls:
TRUE, falls G ∈ S(n), FALSE, falls G ∈
/ S(n)
Schritt 1
Schritt 2
begin
V1 ←− ∅;
Vr ←− ∅;
foreach induced P5∗ = (v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ) in G do
V1 ←− V1 ∪ {v3 }
/* Mittelknoten von ind. P5 liegen in V1 ! */
if not InduziertClique(V1 ) then
return FALSE
/* V1 muss eine Clique induzieren! */
foreach v ∈ V \ V1 do
if ∃w ∈ V1 : not edge(v,w) then
/* Knoten in V1 sind zu allen Knoten in V1 benachbart! */
Vr ←− Vr ∪ {v}
Schritt 3
Schritt 4
if not Partition(G, Vr ) then
return FALSE
else
if |V1 | + |Vr | = |V | then
return TRUE
else
return UNKNOWN
end
Mit Lemma 63 erhalten wir Algorithmus 3. Diese Heuristik testet, ob es sich bei G
um einen generalized split Graphen handelt, dessen Klassen Cliquen induzieren. Der
Fall, dass G ein generalized split Graph ist, dessen Klassen stabile Mengen sind, wird
später auf den ersten Fall zurückgeführt, indem wir das Komplement von G betrachten.
Algorithmus 3 besteht aus vier Schritten:
62
4.4 Algorithmische Aspekte
1: Suche nach induzierten P5
Alle Mittelknoten müssen nach Lemma 63 in der Klasse V1 liegen. Laufzeit: O(n5 ).
2: Cliquentest für V1
Laufzeit: O(n + m).
3: Bestimmung von Vr
Vr ist die Menge der Knoten, die sicher nicht in V1 liegen, weil sie nicht zu allen
Knoten in V1 benachbart sind. Diese Menge kann in O(n + m) bestimmt werden.
4: Partitionierung von Vr
Ist G ein generalized split Graph, dessen Klassen Cliquen induzieren, so kann
Vr = V \V1 in Cliquen partitioniert werden, zwischen denen keine Kanten verlaufen.
Falls also alle Knoten in V eindeutig einer der beiden Menge V1 und Vr zugeordnet
werden können, kann Algorithmus 3 entscheiden, ob G ein generalized split Graph
ist. Dieser Teil wurde in Algorithmus 4 implementiert; er hat eine Laufzeit von
O(n + m).
Algorithmus 4 : Partition
Input : Graph G = (V, E), Vr ⊆ V
Output : TRUE, falls G[Vr ] eine Partition in disjunkte Cliquen hat, zwischen
denen keine Kanten verlaufen, sonst FALSE
Schritt 1
begin
i ←− 2;
while v ∈ Vr do
Vi ←− {v} ;
Vr ←− Vr \ {v};
foreach w ∈ Vr do
if edge(v,w) then
Vi ←− Vi ∪ {w} ;
Vr ←− Vr \ {w};
if InduziertClique(Vi ) then
i ←− i + 1
else
return FALSE
Schritt 2
foreach v ∈ Vi , w ∈ Vj mit i 6= j do
if edge(v,w) then
return FALSE
return TRUE
end
Algorithmus 4 nimmt in Schritt 1 eine Zuordnung der Knoten aus Vr in die Klassen Vi mit
i > 1 zu. Dabei müssen alle benachbarten Knoten im gleichen Vi liegen, weil zischen den
63
4 Zufällige Graphenprozesse
Klassen keine Kanten verlaufen. Induzieren alle Vi Cliquen in G und verlaufen zwischen
diesen keine Kanten – dies wird in Schritt 2 überprüft – so ist eine Partition gefunden,
die zu einem generalized split Graphen gehört.
Damit ist Algorithmus 3 vollständig. Er hat eine Laufzeit von O(n5 ), welche durch die
Suche nach allen induzierten Subgraphen P5∗ in Schritt 1 bedingt ist. Die Schritte 2 - 4
haben jeweils eine Laufzeit von O(n + m).
Wir wenden Algorithmus 3 sowohl auf G als auch auf dessen Komplement an, und
erhalten mit Algorithmus 5 unsere zweite Heuristik.
Korollar 64
Algorithmus 5 ist korrekt und hat eine Laufzeit von O(n5 ).
Der direkte Vergleich der Laufzeit-Ordnungen der beiden Heuristiken ist wenig aussagekräftig: beide Algorithmen können i.A. verschiedene Instanzen von ”G ∈ S(n) ?” entscheiden. Zudem ist die durchschnittliche Laufzeit der ersten Heuristik deutlich besser
als O(n7 ).
Algorithmus 5 : Zweite Heuristik für generalized split Graphen
Input : Graph G = (V, E)
Output : UNKNOWN, falls keine Aussage getroffen werden kann, andernfalls:
TRUE, falls G ∈ S(n), FALSE, falls G ∈
/ S(n)
begin
if GSGaufCliquen(G) = TRUE or
GSGaufCliquen( Komplement(G)) = TRUE then
return TRUE
else if GSGaufCliquen(G) = UNKNOWN or
GSGaufCliquen( Komplement(G)) = UNKNOWN then
return UNKNOWN
else
return FALSE
end
64
5 Anhang
5.1 Numerische Ergebnisse für den gemischten
Graphenprozess
5.1.1 Übersicht
Alle betrachteten Instanzen des gemischten Prozesses haben n = 1000 Knoten. Die
Rechenzeit tr ist die Laufzeit für jeweils 5000 Schritte (bzw. für 1000 Schritte bei den
ersten 10 000 Schritten). Dabei ist zu beachten, dass die Prozesse 1 - 4 auf der schnelleren
Intel -Architektur berechnet wurden, während die Prozesse 5-8 auf sparc-Systemen liefen.
Tabelle 5 fasst die Ergebnisse zusammen: Kantenzahl 1 und Kantenzahl 2 geben dabei
die Kantenzahl des Prozessgraphen nach 1 000 000 bzw. 2 000 000 Schritten an, Min
und Max sind die minimale bzw. maximale beobachtete Kantenzahl e(G(1000, t)) für
t ∈ {1 · 106 , . . . , 2 · 106 }, der Durchschnitt der Kantenzahlen bezieht sich ebenfalls auf
dieses Intervall.
Prozess Kantenzahl 1
1
53042
60018
2
3
62644
4
51210
57920
5
6
54466
7
73454
8
71884
Kantenzahl 2 Min
56732
53042
59788
59520
63086
62352
54306
51198
58712
57812
54560
54184
75572
73358
77544
71836
Max Durchschnitt
56816
55652,0
60172
59841,1
63294
62817,5
54366
52837,4
59220
58592,6
55174
54713,9
75720
75004,5
77544
74978,4
Tabelle 5: Erreichte Kantenzahlen für die gemischten Prozesse
5.1.2 Induzierter C5
Es folgen die Daten aus acht gemischten Prozessen für n = 1000 und t ∈ {0, . . . , 2 · 106 }.
Neben der aktuellen Kantezahl e(G) sind für G = G(1000, t) jeweils angegeben: die
Akzeptanzen Acc1 und Acc2 , Minimalgrad δ(G) und Maximalgrad ∆(G), eine mit dem
Greedy-Algorithmus berechnete obere Schranke χ
e(G) an die chromatische Zahl, die exakte Cliquenzahl ω(G) und die Rechenzeit tr für die letzten 1000 bzw. 5000 Schritte.
65
5 Anhang
Schritte
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
40 000
45 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
100 000
120 000
140 000
160 000
180 000
200 000
220 000
240 000
260 000
280 000
300 000
320 000
340 000
360 000
380 000
400 000
e(G)
994
1986
2960
3878
4530
4780
4850
4922
4988
5024
5226
5576
6072
6938
8012
9290
10632
12018
14386
16714
18942
20952
22598
25506
27832
29706
31470
32992
34244
35420
36324
36938
37972
38706
39154
39936
40402
40960
Acc1
0.9911
0.9046
0.5833
0.1994
0.0403
0.0154
0.0108
0.0103
0.0100
0.0102
0.0105
0.0110
0.0144
0.0208
0.0238
0.0331
0.0338
0.0385
0.0460
0.0540
0.0597
0.0619
0.0630
0.0700
0.0724
0.0732
0.0780
0.0789
0.0801
0.0867
0.0852
0.0867
0.0890
0.0901
0.0901
0.0908
0.0886
0.0940
Acc2 δ(G)
1.0000
0
1.0000
0
1.0000
1
1.0000
3
0.9775
5
0.9640
5
0.9667
5
0.9528
5
0.9531
5
0.9414
6
0.9565
6
0.9197
5
0.9478
4
0.9751
5
0.9701
6
0.9613
4
0.9760
5
0.9778
4
0.9797
4
0.9846
5
0.9898
5
0.9936
5
0.9963
5
0.9935
5
0.9946
5
0.9952
5
0.9965
5
0.9966
5
0.9965
6
0.9953
6
0.9979
6
0.9942
5
0.9979
5
0.9975
6
0.9983
6
0.9963
5
0.9968
6
0.9975
6
∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
8
4
3 ja
12
5
3 ja
14
6
3 ja
15
7
3 ja
16
7
3 ja
16
8
3 ja
16
7
3 ja
16
8
3 ja
18
8
3 ja
15
7
3 ja
17
8
3 ja
19
8
3 ja
24
8
3 ja
28
9
3 ja
35
8
3 ja
39
10
3 ja
45
10
3 ja
53
9
3 ja
61
13
3 ja
73
10
3 ja
78
11
3 ja
82
7
3 ja
91
8
3 ja
100
10
3 ja
109
8
3 ja
114
7
3 ja
121
9
3 ja
121
8
3 ja
131
11
3 ja
131
7
3 ja
129
8
3 ja
129
8
3 ja
128
10
3 ja
132
7
3 ja
139
6
3 ja
136
7
3 ja
141
7
3 ja
139
10
3 ja
tr
0s
0s
1s
0s
2s
3s
4s
5s
4s
4s
4s
4s
3s
3s
3s
4s
21s
25s
31s
37s
45s
54s
61s
74s
88s
99s
109s
121s
128s
138s
155s
162s
167s
195s
186s
195s
205s
204s
Tabelle 6: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 1, Teil 1
66
5.1 Numerische Ergebnisse für den gemischten Graphenprozess
Schritte
400 000
450 000
500 000
550 000
600 000
650 000
700 000
750 000
800 000
850 000
900 000
950 000
1 000 000
1 050 000
1 100 000
1 150 000
1 200 000
1 250 000
1 300 000
1 350 000
1 400 000
1 450 000
1 500 000
1 550 000
1 600 000
1 650 000
1 700 000
1 750 000
1 800 000
1 850 000
1 900 000
1 950 000
2 000 000
e(G)
40960
42380
43608
44826
45708
46588
47670
48490
48898
49552
50606
52196
53042
53592
54218
54484
54956
55190
55294
55756
55698
56218
56204
56330
56254
55894
56176
56248
56484
56620
56280
56416
56732
Acc1
0.0940
0.0971
0.0979
0.1020
0.1052
0.1069
0.1107
0.1114
0.1110
0.1127
0.1156
0.1162
0.1181
0.1203
0.1225
0.1218
0.1204
0.1252
0.1245
0.1263
0.1222
0.1281
0.1246
0.1253
0.1246
0.1233
0.1249
0.1208
0.1246
0.1284
0.1236
0.1276
0.1262
Acc2 δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
0.9975
6
139
10
3 ja
0.9992
6
144
6
3 ja
0.9988
7
150
7
3 ja
0.9984
6
149
6
3 ja
0.9988
8
145
9
3 ja
0.9984
5
145
5
3 ja
0.9979
9
158
9
3 ja
0.9988
5
155
5
3 ja
0.9988
13
156
4
3 ja
0.9996
15
154
7
3 ja
0.9992
23
152
6
3 ja
0.9988
20
155
5
3 ja
0.9992
20
158
7
3 ja
0.9992
20
156
5
3 ja
0.9988
24
157
4
3 ja
0.9992
22
156
5
3 ja
0.9992
17
165
7
3 ja
0.9996
18
162
6
3 ja
0.9992
21
158
7
3 ja
0.9984
24
167
7
3 ja
0.9992
23
168
4
3 ja
1.0000
23
163
7
3 ja
1.0000
20
164
5
3 ja
0.9988
16
166
7
3 ja
0.9996
16
161
6
3 ja
0.9988
19
163
4
3 ja
0.9980
18
158
7
3 ja
0.9996
20
165
6
3 ja
0.9988
20
167
5
3 ja
1.0000
17
166
6
3 ja
0.9996
22
164
6
3 ja
0.9992
22
168
7
3 ja
1.0000
26
168
5
3 ja
tr
204s
220s
211s
253s
256s
240s
279s
253s
256s
258s
264s
280s
293s
292s
282s
313s
320s
295s
315s
388s
314s
303s
306s
323s
332s
317s
319s
312s
324s
313s
318s
313s
320s
Tabelle 7: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 1, Teil 2
67
5 Anhang
Schritte
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
40 000
45 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
100 000
120 000
140 000
160 000
180 000
200 000
220 000
240 000
260 000
280 000
300 000
320 000
340 000
360 000
380 000
400 000
e(G)
1000
1996
2982
3924
4558
4816
4898
4924
4988
5006
5142
5342
5670
6310
7234
8446
9704
11272
14234
16878
19436
21752
24090
28146
31698
34634
37318
40004
42360
44336
46218
47580
48892
50302
51588
52564
53270
53928
Acc1
0.9960
0.9181
0.5831
0.1918
0.0396
0.0141
0.0102
0.0097
0.0099
0.0095
0.0100
0.0105
0.0126
0.0152
0.0225
0.0287
0.0307
0.0391
0.0486
0.0562
0.0657
0.0701
0.0740
0.0854
0.0914
0.0990
0.1019
0.1078
0.1125
0.1170
0.1256
0.1198
0.1257
0.1234
0.1264
0.1253
0.1272
0.1288
Acc2 δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
nan
0
7
5
3 ja
1.0000
0
10
5
3 ja
1.0000
0
13
6
3 ja
0.9667
3
14
7
3 ja
0.9683
4
15
7
3 ja
0.9611
6
15
7
3 ja
0.9464
6
15
7
3 ja
0.9530
6
15
7
3 ja
0.9416
5
16
7
3 ja
0.9282
5
17
7
3 ja
0.9240
6
18
7
3 ja
0.9246
4
19
8
3 ja
0.9177
6
22
8
4 ja
0.8968
5
25
8
4 ja
0.9548
5
36
10
4 ja
0.9424
4
46
10
4 ja
0.9615
4
50
10
4 ja
0.9630
4
57
11
4 ja
0.9787
4
71
9
3 ja
0.9793
4
80
8
3 ja
0.9804
3
87
14
3 ja
0.9893
3
94
7
3 ja
0.9883
4
99
11
3 ja
0.9852
4
115
7
3 ja
0.9875
4
121
7
3 ja
0.9935
4
128
7
3 ja
0.9933
4
136
8
3 ja
0.9950
4
138
11
3 ja
0.9941
4
146
6
3 ja
0.9934
3
146
9
3 ja
0.9951
3
157
7
3 ja
0.9958
3
157
5
3 ja
0.9931
4
156
6
3 ja
0.9949
5
157
7
3 ja
0.9946
6
164
7
3 ja
0.9938
6
164
6
3 ja
0.9958
17
166
6
3 ja
0.9959
16
168
5
3 ja
tr
0s
1s
0s
1s
2s
5s
6s
5s
5s
4s
5s
5s
4s
5s
4s
5s
27s
25s
43s
52s
64s
80s
83s
109s
128s
154s
178s
203s
214s
394s
261s
254s
271s
288s
317s
313s
322s
340s
Tabelle 8: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 2, Teil 1
68
5.1 Numerische Ergebnisse für den gemischten Graphenprozess
Schritte
400 000
450 000
500 000
550 000
600 000
650 000
700 000
750 000
800 000
850 000
900 000
950 000
1 000 000
1 050 000
1 100 000
1 150 000
1 200 000
1 250 000
1 300 000
1 350 000
1 400 000
1 450 000
1 500 000
1 550 000
1 600 000
1 650 000
1 700 000
1 750 000
1 800 000
1 850 000
1 900 000
1 950 000
2 000 000
e(G)
53928
56404
57222
58080
58498
59060
59042
59426
59424
59500
59654
59866
60018
59934
60046
59970
59714
59898
59810
59698
59808
60020
59776
59776
59690
59864
60024
59932
59770
59644
59848
59988
59788
Acc1
0.1288
0.1319
0.1291
0.1326
0.1353
0.1353
0.1299
0.1319
0.1310
0.1338
0.1402
0.1361
0.1323
0.1324
0.1347
0.1349
0.1321
0.1356
0.1353
0.1338
0.1315
0.1333
0.1358
0.1363
0.1322
0.1380
0.1364
0.1364
0.1305
0.1323
0.1332
0.1376
0.1329
tr
Acc2 δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
0.9959
16
168
5
3 ja 340s
0.9954
21
168
5
3 ja 351s
0.9957
22
171
11
3 ja 363s
0.9955
22
176
5
3 ja 388s
0.9984
18
171
6
3 ja 398s
0.9984
20
169
5
3 ja 400s
0.9980
19
173
5
3 ja 368s
0.9992
18
175
5
3 ja 577s
0.9992
18
176
6
3 ja 384s
0.9984
15
174
7
3 ja 373s
0.9992
14
171
7
3 ja 354s
0.9988
19
172
6
3 ja 359s
0.9980
19
173
5
3 ja 363s
0.9980
21
180
6
3 ja 412s
1.0000
18
177
7
3 ja 366s
0.9984
26
177
9
3 ja 402s
1.0000
22
173
8
3 ja 373s
1.0000
28
174
6
3 ja 393s
0.9996
23
173
10
3 ja 375s
0.9992
26
176
5
3 ja 385s
0.9996
26
176
7
3 ja 383s
0.9992
23
173
7
3 ja 390s
0.9988
22
174
5
3 ja 385s
0.9984
28
172
4
3 ja 379s
0.9996
20
174
7
3 ja 381s
0.9992
26
177
5
3 ja 429s
0.9996
27
175
7
3 ja 514s
1.0000
24
175
5
3 ja 376s
0.9992
24
173
6
3 ja 389s
0.9992
22
171
4
3 ja 391s
0.9992
26
183
4
3 ja 363s
0.9984
22
179
4
3 ja 568s
0.9988
22
174
7
3 ja 557s
Tabelle 9: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 2, Teil 2
69
5 Anhang
Schritte
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
40 000
45 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
100 000
120 000
140 000
160 000
180 000
200 000
220 000
240 000
260 000
280 000
300 000
320 000
340 000
360 000
380 000
400 000
e(G)
998
1994
2982
3900
4578
4828
4886
4944
4978
4998
5232
5482
5946
6716
7728
9110
10362
11710
14482
17018
19366
21590
23816
27752
31068
34050
36466
38954
40970
43224
44744
46362
48198
49818
51302
52690
53814
54876
Acc1
0.9930
0.9081
0.5823
0.1953
0.0385
0.0142
0.0102
0.0101
0.0106
0.0097
0.0115
0.0117
0.0145
0.0195
0.0239
0.0302
0.0330
0.0381
0.0491
0.0551
0.0618
0.0685
0.0729
0.0835
0.0916
0.0952
0.0986
0.1068
0.1079
0.1124
0.1146
0.1178
0.1287
0.1293
0.1301
0.1349
0.1353
0.1325
Acc2 δ(G)
1.0000
0
1.0000
0
1.0000
0
0.9762
3
0.9758
4
0.9591
5
0.9272
5
0.9401
5
0.9288
6
0.9351
5
0.9006
5
0.9327
6
0.9359
5
0.9401
4
0.9492
5
0.9611
4
0.9680
5
0.9713
3
0.9842
5
0.9797
5
0.9842
4
0.9862
5
0.9914
4
0.9893
4
0.9916
5
0.9920
3
0.9937
4
0.9940
4
0.9956
4
0.9925
4
0.9943
3
0.9962
4
0.9969
4
0.9957
4
0.9983
4
0.9966
4
0.9983
6
0.9987
6
∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
11
4
3 ja
12
5
3 ja
15
6
3 ja
16
6
3 ja
16
8
3 ja
15
7
3 ja
16
8
3 ja
16
7
3 ja
16
7
3 ja
15
7
3 ja
18
8
4 ja
21
8
3 ja
23
8
3 ja
32
8
3 ja
39
9
3 ja
47
8
3 ja
55
9
3 ja
61
8
3 ja
71
10
3 ja
80
10
3 ja
87
10
3 ja
103
7
3 ja
106
7
3 ja
119
10
3 ja
122
7
3 ja
131
7
3 ja
140
8
3 ja
146
10
3 ja
145
6
3 ja
151
6
3 ja
156
6
3 ja
162
7
3 ja
161
9
3 ja
172
5
3 ja
171
8
3 ja
171
7
3 ja
168
5
3 ja
182
11
3 ja
tr
0s
0s
1s
0s
2s
4s
5s
5s
5s
4s
5s
4s
4s
4s
4s
6s
25s
35s
41s
52s
65s
76s
132s
166s
202s
246s
271s
314s
332s
370s
361s
276s
290s
312s
326s
337s
352s
367s
Tabelle 10: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 3, Teil 1
70
5.1 Numerische Ergebnisse für den gemischten Graphenprozess
Schritte
400 000
450 000
500 000
550 000
600 000
650 000
700 000
750 000
800 000
850 000
900 000
950 000
1 000 000
1 050 000
1 100 000
1 150 000
1 200 000
1 250 000
1 300 000
1 350 000
1 400 000
1 450 000
1 500 000
1 550 000
1 600 000
1 650 000
1 700 000
1 750 000
1 800 000
1 850 000
1 900 000
1 950 000
2 000 000
e(G)
54876
56380
58154
58938
59518
59944
60834
61446
61928
61986
62278
62364
62644
62682
62684
62692
62942
62908
62776
62932
62898
62906
62674
62924
62844
63052
62762
62716
62680
62598
62862
62970
63086
Acc1
0.1325
0.1351
0.1379
0.1374
0.1413
0.1381
0.1387
0.1426
0.1393
0.1442
0.1441
0.1431
0.1399
0.1418
0.1439
0.1408
0.1447
0.1439
0.1445
0.1434
0.1443
0.1429
0.1397
0.1431
0.1453
0.1441
0.1418
0.1451
0.1430
0.1442
0.1457
0.1476
0.1474
Acc2 δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
0.9987
6
182
11
3 ja
0.9964
7
176
7
3 ja
0.9959
6
182
8
3 ja
0.9980
6
191
6
3 ja
0.9988
8
187
5
3 ja
0.9992
9
187
5
3 ja
0.9976
14
184
6
3 ja
0.9996
15
187
5
3 ja
0.9988
14
195
6
3 ja
0.9984
14
191
6
3 ja
1.0000
14
191
6
3 ja
0.9992
12
193
6
3 ja
0.9996
13
196
4
3 ja
0.9992
10
198
8
3 ja
0.9992
11
190
6
3 ja
0.9984
11
193
6
3 ja
0.9980
9
193
4
3 ja
0.9984
10
196
9
3 ja
0.9988
13
195
6
3 ja
0.9996
15
191
4
3 ja
0.9984
14
197
7
3 ja
0.9980
12
197
4
3 ja
0.9984
12
195
6
3 ja
0.9980
11
194
7
3 ja
0.9992
10
194
4
3 ja
0.9984
8
195
6
3 ja
0.9972
9
186
4
3 ja
0.9988
11
189
11
3 ja
0.9988
8
193
6
3 ja
0.9980
11
190
6
3 ja
0.9988
9
195
7
3 ja
0.9992
13
194
6
3 ja
0.9988
14
202
6
3 ja
tr
367s
388s
407s
427s
432s
434s
451s
458s
472s
465s
474s
472s
482s
480s
476s
478s
456s
469s
457s
458s
462s
461s
459s
460s
456s
463s
453s
460s
453s
453s
456s
460s
459s
Tabelle 11: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 3, Teil 2
71
5 Anhang
Schritte
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
40 000
45 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
100 000
120 000
140 000
160 000
180 000
200 000
220 000
240 000
260 000
280 000
300 000
320 000
340 000
360 000
380 000
400 000
e(G)
996
1992
2976
3906
4558
4758
4848
4928
4994
4982
5170
5306
5698
6392
7398
8450
9744
11004
13484
15836
18314
20404
22232
25156
28098
30598
32844
35220
37168
38762
40404
41554
42762
43936
45114
46010
46634
47324
Acc1
0.9980
0.9181
0.6078
0.2018
0.0397
0.0134
0.0109
0.0105
0.0100
0.0092
0.0105
0.0105
0.0137
0.0165
0.0201
0.0237
0.0296
0.0349
0.0434
0.0503
0.0586
0.0603
0.0649
0.0698
0.0788
0.0836
0.0861
0.0950
0.0927
0.0991
0.0992
0.1013
0.1059
0.1078
0.1105
0.1122
0.1086
0.1091
Acc2 δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
1.0000
0
8
4
3 ja
1.0000
0
11
5
3 ja
1.0000
0
14
6
3 ja
1.0000
3
14
7
3 ja
0.9560
5
16
7
3 ja
0.9662
5
15
7
3 ja
0.9459
5
15
7
3 ja
0.9350
5
16
8
3 ja
0.9211
6
15
8
3 ja
0.9250
6
15
7
3 ja
0.9124
6
15
8
3 ja
0.9200
6
16
8
3 ja
0.9249
6
19
8
4 ja
0.9392
6
23
8
3 ja
0.9494
6
29
9
3 ja
0.9619
5
34
9
3 ja
0.9581
5
40
11
3 ja
0.9669
5
45
11
3 ja
0.9810
5
56
8
3 ja
0.9830
5
63
10
3 ja
0.9867
4
63
8
3 ja
0.9906
4
71
13
3 ja
0.9883
5
77
8
3 ja
0.9917
4
81
10
3 ja
0.9949
5
91
9
3 ja
0.9932
5
96
7
3 ja
0.9938
6
103
9
3 ja
0.9968
4
113
6
3 ja
0.9938
4
116
7
3 ja
0.9957
5
118
7
4 ja
0.9939
6
118
7
4 ja
0.9971
5
121
7
3 ja
0.9954
5
121
6
3 ja
0.9967
5
126
9
3 ja
0.9974
4
128
5
3 ja
0.9962
8
132
6
3 ja
0.9960
11
132
7
3 ja
0.9942
16
135
7
3 ja
tr
0s
0s
0s
1s
3s
5s
6s
6s
7s
7s
7s
8s
6s
7s
6s
6s
32s
34s
44s
51s
66s
74s
88s
107s
124s
141s
158s
178s
198s
213s
230s
237s
252s
244s
183s
188s
197s
204s
Tabelle 12: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 4, Teil 1
72
5.1 Numerische Ergebnisse für den gemischten Graphenprozess
Schritte
400 000
450 000
500 000
550 000
555 000
600 000
650 000
700 000
750 000
800 000
850 000
900 000
950 000
1 000 000
1 050 000
1 100 000
1 150 000
1 200 000
1 250 000
1 300 000
1 350 000
1 400 000
1 450 000
1 500 000
1 550 000
1 600 000
1 650 000
1 700 000
1 750 000
1 800 000
1 850 000
1 900 000
1 950 000
2 000 000
e(G)
47324
48154
49312
49792
49938
50358
50558
50554
50804
50870
50978
51182
51116
51210
51460
51798
51894
51780
52328
52512
52502
52574
52628
52604
53158
53358
53368
53040
53468
53470
53774
53810
53964
54306
Acc1
0.1091
0.1104
0.1125
0.1095
0.1139
0.1117
0.1101
0.1147
0.1133
0.1116
0.1095
0.1177
0.1144
0.1159
0.1195
0.1190
0.1150
0.1118
0.1136
0.1166
0.1172
0.1156
0.1199
0.1205
0.1219
0.1216
0.1193
0.1124
0.1190
0.1206
0.1243
0.1219
0.1243
0.1187
tr
Acc2 δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
0.9942
16
135
7
3 ja 204s
0.9984
21
134
5
3 ja 206s
0.9980
20
142
7
3 ja 214s
0.9956
20
151
5
3 ja 221s
0.9963
22
149
9
3 ja 219s
0.9988
23
135
6
3 ja 228s
0.9984
26
137
5
3 ja 222s
0.9980
20
135
6
3 ja 223s
0.9992
19
137
8
3 ja 232s
0.9984
22
148
9
3 ja 229s
0.9977
20
134
12
3 ja 232s
0.9980
20
150
7
3 ja 234s
0.9988
19
138
4
3 ja 231s
1.0000
19
142
9
3 ja 233s
1.0000
18
140
6
3 ja 232s
0.9996
18
140
5
3 ja 238s
0.9988
19
143
6
3 ja 238s
0.9980
18
142
6
3 ja 235s
0.9992
18
146
7
3 ja 246s
0.9992
15
145
11
3 ja 248s
0.9988
15
144
5
3 ja 245s
0.9980
18
141
6
3 ja 245s
0.9977
19
140
4
3 ja 250s
0.9988
13
140
8
3 ja 247s
1.0000
30
143
7
3 ja 248s
0.9984
26
148
9
3 ja 249s
0.9992
27
144
6
3 ja 253s
0.9992
36
144
4
3 ja 245s
1.0000
32
146
5
3 ja 260s
0.9996
30
147
6
3 ja 255s
0.9992
26
143
6
3 ja 258s
0.9984
29
146
5
3 ja 259s
0.9996
25
145
5
3 ja 258s
1.0000
31
148
7
3 ja 262s
Tabelle 13: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 4, Teil 2
73
5 Anhang
Schritte
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
40 000
45 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
100 000
120 000
140 000
160 000
180 000
200 000
220 000
240 000
260 000
280 000
300 000
320 000
340 000
360 000
380 000
400 000
e(G)
998
1994
2986
3916
4540
4774
4878
4954
4944
5000
5144
5384
5758
6394
7340
8606
9854
11170
14108
16880
19594
22194
24596
28874
32488
35968
38882
41484
43572
45658
47078
48438
49374
50266
50982
51718
52302
52568
Acc1
0.9980
0.9241
0.5975
0.1864
0.0395
0.0152
0.0115
0.0103
0.0093
0.0099
0.0103
0.0112
0.0148
0.0166
0.0231
0.0274
0.0308
0.0358
0.0485
0.0585
0.0684
0.0750
0.0810
0.0903
0.1008
0.1041
0.1061
0.1167
0.1133
0.1193
0.1160
0.1206
0.1189
0.1238
0.1209
0.1250
0.1190
0.1203
Acc2 δ(G)
1.0000
0
1.0000
0
1.0000
1
1.0000
3
0.9792
5
0.9721
5
0.9353
5
0.9259
5
0.9132
5
0.9147
5
0.9108
5
0.9258
6
0.9493
5
0.9576
5
0.9447
5
0.9661
4
0.9660
5
0.9731
5
0.9771
5
0.9792
4
0.9847
4
0.9797
4
0.9836
4
0.9808
4
0.9878
4
0.9887
4
0.9924
3
0.9921
4
0.9924
4
0.9942
4
0.9946
4
0.9952
6
0.9938
6
0.9941
6
0.9922
5
0.9967
3
0.9939
4
0.9931
4
∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
8
4
2 ja
12
5
3 ja
15
6
3 ja
16
7
3 ja
16
7
4 ja
16
8
3 ja
16
7
3 ja
15
8
3 ja
15
7
3 ja
15
7
3 ja
18
8
4 ja
17
8
3 ja
23
8
3 ja
31
9
3 ja
33
8
3 ja
42
10
3 ja
50
9
3 ja
58
9
3 ja
72
10
3 ja
82
8
3 ja
90
10
3 ja
99
7
3 ja
106
7
3 ja
117
10
4 ja
124
7
4 ja
130
7
4 ja
139
9
4 ja
142
9
4 ja
150
8
4 ja
158
9
4 ja
158
7
4 ja
158
6
4 ja
161
5
4 ja
160
6
4 ja
163
9
4 ja
164
6
4 ja
166
9
4 ja
173
5
4 ja
tr
0s
0s
1s
2s
8s
14s
16s
17s
17s
18s
17s
16s
14s
16s
15s
16s
91s
105s
134s
167s
202s
234s
275s
339s
386s
449s
507s
546s
588s
633s
661s
692s
700s
722s
744s
747s
774s
784s
Tabelle 14: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 5, Teil 1
74
5.1 Numerische Ergebnisse für den gemischten Graphenprozess
Schritte
400 000
450 000
500 000
550 000
600 000
650 000
700 000
750 000
800 000
850 000
900 000
950 000
1 000 000
1 050 000
1 100 000
1 150 000
1 200 000
1 250 000
1 300 000
1 350 000
1 400 000
1 450 000
1 500 000
1 550 000
1 600 000
1 650 000
1 700 000
1 750 000
1 800 000
1 850 000
1 900 000
1 950 000
2 000 000
e(G)
52568
53808
55026
55546
56242
56580
56842
56992
57360
57238
57466
57718
57920
58000
58182
58198
58316
58478
58526
58522
58640
58662
58536
58390
58934
58882
59216
58938
59022
58772
58806
58860
58712
Acc1
0.1203
0.1273
0.1308
0.1324
0.1279
0.1258
0.1282
0.1291
0.1317
0.1316
0.1344
0.1301
0.1314
0.1326
0.1357
0.1352
0.1329
0.1364
0.1310
0.1356
0.1342
0.1345
0.1310
0.1280
0.1378
0.1351
0.1359
0.1333
0.1356
0.1318
0.1338
0.1306
0.1322
Acc2 δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
0.9931
4
173
5
4 ja
0.9947
6
165
7
3 ja
0.9959
8
181
7
4 ja
0.9976
12
175
6
3 ja
0.9968
13
177
5
3 ja
0.9952
12
182
10
3 ja
1.0000
13
174
7
3 ja
0.9996
13
181
7
3 ja
0.9972
14
183
4
3 ja
0.9968
15
178
7
3 ja
0.9980
17
178
5
3 ja
0.9980
18
179
5
3 ja
0.9988
12
177
4
3 ja
0.9988
11
180
4
3 ja
0.9988
9
179
7
3 ja
0.9984
15
180
5
3 ja
0.9992
21
179
9
3 ja
0.9983
20
182
6
3 ja
0.9976
20
182
4
3 ja
0.9988
20
180
5
3 ja
0.9984
19
179
7
3 ja
0.9980
18
185
4
3 ja
1.0000
19
183
6
3 ja
0.9996
18
182
7
3 ja
0.9979
20
183
8
3 ja
0.9992
24
182
4
3 ja
0.9992
21
178
4
3 ja
0.9984
22
185
6
3 ja
0.9988
26
181
4
3 ja
0.9984
21
182
5
3 ja
0.9984
22
183
6
3 ja
0.9984
19
177
5
3 ja
0.9980
25
182
5
3 ja
tr
784s
795s
835s
843s
902s
917s
958s
938s
908s
900s
907s
920s
924s
923s
923s
914s
908s
906s
908s
908s
906s
926s
927s
954s
943s
951s
981s
915s
917s
907s
909s
905s
903s
Tabelle 15: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 5, Teil 2
75
5 Anhang
Schritte
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
40 000
45 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
100 000
120 000
140 000
160 000
180 000
200 000
220 000
240 000
260 000
280 000
300 000
320 000
340 000
360 000
380 000
400 000
e(G)
996
1992
2978
3902
4556
4740
4806
4912
4964
5002
5204
5496
5932
6712
7778
9108
10506
11998
14950
17760
20306
22590
24828
28966
32120
35224
37874
40090
41972
43490
44652
45608
46312
47052
47682
48270
48710
49306
Acc1
0.9950
0.9131
0.5858
0.1914
0.0373
0.0139
0.0108
0.0109
0.0099
0.0098
0.0104
0.0119
0.0157
0.0186
0.0240
0.0279
0.0349
0.0407
0.0520
0.0613
0.0687
0.0754
0.0805
0.0882
0.0916
0.1042
0.0992
0.1074
0.1065
0.1097
0.1107
0.1081
0.1093
0.1093
0.1145
0.1115
0.1161
0.1131
Acc2 δ(G)
1.0000
0
1.0000
0
1.0000
0
0.9744
3
0.9505
5
0.9533
6
0.9511
5
0.9313
5
0.9080
6
0.9268
5
0.9228
5
0.9239
6
0.9378
5
0.9354
5
0.9520
5
0.9673
5
0.9652
4
0.9653
4
0.9811
4
0.9800
4
0.9905
4
0.9827
4
0.9845
4
0.9876
4
0.9872
4
0.9944
4
0.9893
4
0.9903
3
0.9905
5
0.9936
6
0.9928
5
0.9946
6
0.9939
6
0.9955
5
0.9932
6
0.9951
6
0.9963
8
0.9938
7
∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
9
5
3 ja
11
5
3 ja
11
6
3 ja
13
7
3 ja
14
7
3 ja
15
7
3 ja
15
7
3 ja
17
7
3 ja
16
7
3 ja
16
7
3 ja
17
8
4 ja
18
8
3 ja
22
9
3 ja
31
9
3 ja
35
9
3 ja
41
11
3 ja
48
12
3 ja
53
9
3 ja
63
7
3 ja
74
9
3 ja
82
9
3 ja
90
7
3 ja
94
8
3 ja
100
7
3 ja
103
8
3 ja
112
9
3 ja
119
9
3 ja
121
9
3 ja
130
5
3 ja
129
8
4 ja
134
9
4 ja
133
7
3 ja
133
5
3 ja
137
5
3 ja
139
5
3 ja
141
5
3 ja
139
7
3 ja
142
5
3 ja
tr
0s
1s
1s
3s
11s
20s
23s
23s
24s
26s
23s
23s
19s
19s
22s
24s
122s
144s
180s
218s
254s
285s
323s
402s
461s
510s
574s
625s
663s
707s
736s
758s
765s
792s
814s
826s
834s
858s
Tabelle 16: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 6, Teil 1
76
5.1 Numerische Ergebnisse für den gemischten Graphenprozess
Schritte
400 000
450 000
500 000
550 000
600 000
650 000
700 000
750 000
800 000
850 000
900 000
950 000
1 000 000
1 050 000
1 110 000
1 200 000
1 250 000
1 300 000
1 350 000
1 400 000
1 450 000
1 500 000
1 550 000
1 600 000
1 650 000
1 700 000
1 750 000
1 800 000
1 850 000
1 900 000
1 950 000
2 000 000
e(G)
49306
50052
51230
51604
52526
53096
53456
53496
53964
54450
54490
54384
54466
54184
54578
54548
54276
54596
54614
55014
54900
54806
55174
54902
54946
54816
54854
54854
54800
54678
54504
54560
Acc1
0.1131
0.1123
0.1191
0.1170
0.1222
0.1209
0.1217
0.1223
0.1248
0.1240
0.1261
0.1216
0.1241
0.1222
0.1235
0.1233
0.1236
0.1200
0.1218
0.1247
0.1254
0.1215
0.1275
0.1212
0.1251
0.1222
0.1215
0.1255
0.1243
0.1209
0.1209
0.1230
tr
Acc2 δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
0.9938
7
142
5
3 ja 858s
0.9968
3
142
5
3 ja 892s
0.9967
3
142
5
3 ja 919s
0.9964
5
143
7
3 ja 939s
0.9967
14
146
6
3 ja 937s
0.9980
13
146
7
3 ja 966s
0.9992
29
146
6
3 ja 971s
0.9976
29
152
5
3 ja 975s
0.9980
25
153
6
3 ja 980s
0.9992
27
157
5
3 ja 1051s
0.9996
25
156
4
3 ja 1084s
1.0000
29
156
9
3 ja 1029s
0.9988
29
165
10
3 ja 1006s
0.9981
27
160
6
3 ja 985s
0.9976
26
156
6
3 ja 1013s
0.9988
29
153
7
3 ja 1003s
0.9988
29
157
10
3 ja 999s
0.9972
26
151
4
3 ja 1060s
0.9960
27
158
7
3 ja 1007s
0.9980
27
169
7
3 ja 1032s
0.9996
23
157
6
3 ja 1047s
0.9988
24
155
5
3 ja 1013s
0.9992
25
155
9
3 ja 1031s
0.9984
27
154
6
3 ja 1015s
0.9980
27
160
6
3 ja 1018s
0.9972
29
156
7
3 ja 1023s
0.9980
30
165
4
3 ja 1006s
0.9976
27
157
6
3 ja 1023s
0.9968
26
161
6
3 ja 1009s
0.9976
26
157
6
3 ja 1008s
0.9988
27
160
5
3 ja 992s
0.9980
27
157
5
3 ja 996s
Tabelle 17: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 6, Teil 2
77
5 Anhang
Schritte
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
40 000
45 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
100 000
120 000
140 000
160 000
180 000
200 000
220 000
240 000
260 000
280 000
300 000
320 000
340 000
360 000
380 000
400 000
e(G)
996
1992
2974
3902
4510
4768
4844
4908
4982
4996
5160
5508
6000
6806
7894
9252
10654
12074
14888
17656
20498
23232
25888
30456
34842
38442
41540
44332
46728
48764
50702
52496
54068
55586
57030
58424
59546
60546
Acc1
0.9980
0.9081
0.5992
0.1955
0.0417
0.0160
0.0111
0.0108
0.0102
0.0099
0.0115
0.0121
0.0142
0.0176
0.0243
0.0317
0.0337
0.0395
0.0506
0.0620
0.0733
0.0826
0.0889
0.0977
0.1105
0.1133
0.1219
0.1307
0.1293
0.1272
0.1366
0.1425
0.1426
0.1464
0.1516
0.1521
0.1537
0.1472
Acc2 δ(G)
1.0000
0
1.0000
0
1.0000
1
1.0000
2
0.9899
5
0.9488
5
0.9747
5
0.9323
6
0.9223
5
0.9426
5
0.9474
5
0.9131
5
0.9333
6
0.9431
5
0.9429
5
0.9645
5
0.9615
5
0.9624
5
0.9731
3
0.9841
3
0.9788
4
0.9868
4
0.9867
4
0.9925
4
0.9929
4
0.9919
4
0.9915
4
0.9944
4
0.9933
4
0.9961
4
0.9960
4
0.9947
4
0.9948
4
0.9957
5
0.9944
4
0.9948
4
0.9937
5
0.9917
4
∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
8
4
3 ja
12
5
3 ja
13
6
3 ja
15
7
3 ja
15
7
3 ja
15
7
3 ja
15
7
3 ja
15
8
3 ja
15
7
3 ja
16
7
3 ja
16
7
3 ja
20
8
4 ja
21
8
3 ja
30
9
3 ja
39
10
3 ja
47
11
3 ja
58
8
4 ja
62
8
4 ja
72
8
4 ja
89
8
3 ja
99
8
3 ja
111
7
3 ja
114
12
3 ja
125
8
4 ja
133
7
4 ja
143
7
3 ja
148
7
3 ja
155
6
3 ja
161
6
3 ja
165
9
3 ja
173
9
3 ja
174
6
3 ja
181
7
3 ja
186
9
3 ja
189
9
3 ja
192
9
3 ja
191
5
3 ja
198
6
3 ja
tr
1s
0s
0s
1s
4s
8s
8s
9s
9s
9s
8s
9s
9s
8s
9s
10s
56s
68s
89s
113s
141s
170s
198s
262s
350s
384s
435s
513s
539s
585s
646s
655s
699s
736s
760s
804s
839s
861s
Tabelle 18: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 7, Teil 1
78
5.1 Numerische Ergebnisse für den gemischten Graphenprozess
Schritte
400 000
450 000
500 000
550 000
600 000
650 000
700 000
750 000
800 000
850 000
900 000
950 000
1 000 000
1 050 000
1 100 000
1 150 000
1 200 000
1 250 000
1 300 000
1 350 000
1 400 000
1 450 000
1 500 000
1 550 000
1 600 000
1 650 000
1 700 000
1 750 000
1 800 000
1 850 000
1 900 000
1 950 000
2 000 000
e(G)
60546
63000
64758
66232
67594
68548
69794
71014
71578
71992
72322
72860
73454
74036
74430
74534
74604
74764
74964
74800
74708
74910
75114
75440
75720
75524
75410
75438
75308
75542
75686
75440
75572
Acc1
0.1472
0.1603
0.1591
0.1646
0.1650
0.1671
0.1628
0.1723
0.1679
0.1695
0.1769
0.1778
0.1761
0.1761
0.1759
0.1792
0.1741
0.1745
0.1745
0.1712
0.1784
0.1773
0.1816
0.1811
0.1816
0.1747
0.1845
0.1794
0.1822
0.1783
0.1774
0.1746
0.1823
Acc2 δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
0.9917
4
198
6
3 ja
0.9933
4
203
7
3 ja
0.9970
6
215
5
3 ja
0.9964
5
207
5
3 ja
0.9975
5
210
6
3 ja
0.9968
7
214
8
3 ja
0.9940
8
219
4
3 ja
0.9955
5
215
5
3 ja
0.9968
7
217
6
3 ja
0.9968
8
216
9
3 ja
0.9992
7
219
6
3 ja
0.9988
12
220
7
3 ja
0.9988
4
222
5
3 ja
0.9992
16
226
5
3 ja
0.9984
15
234
7
3 ja
1.0000
17
232
4
3 ja
0.9996
14
230
7
3 ja
0.9988
18
225
8
3 ja
1.0000
14
225
6
3 ja
0.9992
13
229
6
3 ja
0.9988
13
229
5
3 ja
0.9996
11
224
4
3 ja
0.9996
11
226
4
3 ja
1.0000
10
223
7
3 ja
0.9988
10
232
5
3 ja
1.0000
13
227
7
3 ja
0.9984
13
223
4
3 ja
0.9992
10
230
4
3 ja
0.9996
10
225
4
3 ja
1.0000
10
227
5
3 ja
0.9992
11
226
4
3 ja
1.0000
10
223
4
3 ja
1.0000
8
223
4
3 ja
tr
861s
924s
974s
1012s
1043s
1075s
1104s
1141s
1156s
1161s
1162s
1182s
1199s
1250s
1239s
1242s
1243s
1235s
1256s
1255s
1239s
1245s
1253s
1260s
1266s
1274s
1261s
1255s
1250s
1245s
1274s
1261s
1255s
Tabelle 19: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 7, Teil 2
79
5 Anhang
Schritte
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
40 000
45 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
100 000
120 000
140 000
160 000
180 000
200 000
220 000
240 000
260 000
280 000
300 000
320 000
340 000
360 000
380 000
400 000
e(G)
994
1984
2962
3904
4552
4750
4880
4904
4994
5054
5182
5422
5880
6678
7642
8920
10302
11752
14636
17142
19672
22340
24644
29040
33100
36722
39908
42412
44822
46934
48878
50556
52120
53642
55048
56426
57314
58966
Acc1
0.9960
0.9112
0.6135
0.1940
0.0392
0.0143
0.0118
0.0103
0.0117
0.0106
0.0104
0.0111
0.0150
0.0180
0.0208
0.0303
0.0337
0.0385
0.0507
0.0571
0.0653
0.0730
0.0830
0.0905
0.1031
0.1078
0.1140
0.1173
0.1234
0.1262
0.1264
0.1319
0.1384
0.1443
0.1406
0.1420
0.1419
0.1565
Acc2 δ(G)
1.0000
0
1.0000
0
1.0000
0
1.0000
3
0.9888
5
0.9347
6
0.9436
5
0.9531
6
0.9305
6
0.9363
4
0.9087
5
0.9321
5
0.9118
5
0.9558
4
0.9413
5
0.9609
5
0.9587
4
0.9636
4
0.9787
4
0.9799
4
0.9834
4
0.9828
4
0.9891
4
0.9882
3
0.9911
5
0.9884
5
0.9930
5
0.9936
5
0.9927
6
0.9942
5
0.9934
5
0.9934
5
0.9952
5
0.9948
5
0.9958
3
0.9941
4
0.9955
3
0.9965
4
∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
8
4
3 ja
12
5
3 ja
14
6
3 ja
14
7
3 ja
16
7
3 ja
14
7
3 ja
14
7
3 ja
15
8
3 ja
15
7
3 ja
15
7
4 ja
16
7
3 ja
18
8
3 ja
22
9
3 ja
29
8
3 ja
38
9
3 ja
44
9
3 ja
52
8
3 ja
58
9
3 ja
83
10
3 ja
87
10
3 ja
100
8
3 ja
105
8
3 ja
107
14
3 ja
122
9
3 ja
141
7
3 ja
141
7
3 ja
152
6
3 ja
161
7
3 ja
167
6
3 ja
176
8
3 ja
172
7
3 ja
176
6
3 ja
188
7
3 ja
186
8
3 ja
180
8
3 ja
188
9
3 ja
188
7
3 ja
205
8
3 ja
tr
1s
0s
1s
2s
8s
15s
16s
17s
16s
17s
18s
17s
15s
15s
16s
17s
98s
120s
158s
196s
243s
291s
329s
417s
505s
592s
680s
744s
798s
855s
892s
963s
990s
1041s
1079s
1111s
1136s
1170s
Tabelle 20: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 8, Teil 1
80
5.1 Numerische Ergebnisse für den gemischten Graphenprozess
Schritte
400 000
450 000
500 000
550 000
600 000
650 000
700 000
750 000
800 000
850 000
900 000
950 000
1 000 000
1 050 000
1 100 000
1 150 000
1 200 000
1 250 000
1 300 000
1 350 000
1 400 000
1 450 000
1 500 000
1 550 000
1 600 000
1 650 000
1 700 000
1 750 000
1 800 000
1 850 000
1 900 000
1 950 000
2 000 000
e(G)
58966
61992
64182
65740
66540
67358
68026
69078
69780
70386
70846
71228
71884
71988
72554
72916
73238
73448
73770
74094
74746
75090
75168
75800
75922
75824
76284
76644
76612
76662
76826
77090
77544
Acc1
0.1565
0.1557
0.1537
0.1563
0.1616
0.1590
0.1623
0.1663
0.1631
0.1728
0.1646
0.1703
0.1710
0.1671
0.1671
0.1749
0.1825
0.1729
0.1787
0.1790
0.1816
0.1761
0.1829
0.1781
0.1831
0.1779
0.1823
0.1803
0.1797
0.1816
0.1821
0.1814
0.1858
Acc2 δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G) C7∗
0.9965
4
205
8
3 ja
0.9945
6
221
5
3 ja
0.9948
7
226
6
3 ja
0.9934
7
236
6
3 ja
0.9984
6
232
5
3 ja
0.9988
6
204
5
3 ja
0.9988
6
206
8
3 ja
0.9984
6
204
6
3 ja
0.9972
5
209
5
3 ja
0.9992
5
215
4
3 ja
0.9996
5
216
5
3 ja
0.9988
5
216
6
3 ja
0.9996
6
217
7
3 ja
0.9992
13
209
5
3 ja
0.9988
13
213
4
3 ja
0.9988
14
211
6
3 ja
0.9988
16
212
4
3 ja
0.9996
18
207
4
3 ja
0.9988
17
208
9
3 ja
0.9996
19
215
4
3 ja
0.9992
12
212
11
3 ja
1.0000
15
218
6
3 ja
0.9992
13
217
9
3 ja
0.9992
11
230
4
3 ja
0.9988
8
216
4
3 ja
0.9996
9
221
6
3 ja
1.0000
8
224
6
3 ja
1.0000
13
222
5
3 ja
0.9996
21
215
7
3 ja
0.9996
18
226
4
3 ja
0.9992
18
222
4
3 ja
1.0000
21
219
6
3 ja
0.9996
19
218
6
3 ja
tr
1170s
1269s
1339s
1407s
1414s
1469s
1467s
1499s
1527s
1553s
1581s
1574s
1600s
1595s
1613s
1613s
1628s
1641s
1635s
1637s
1690s
1710s
1696s
1717s
1704s
1703s
1737s
1740s
1739s
1740s
1741s
1768s
1757s
Tabelle 21: Ergebnisse für Graphen auf n = 1000 Knoten, Durchlauf 8, Teil 2
81
5 Anhang
5.2 Numerische Ergebnisse für den monotonen
Graphenprozess
5.2.1 Übersicht
In diesem Abschnitt sind die Ergebnisse des monotonen Prozesses aufgelistet. Zu jedem
betrachteten Subgraphen H wurden für den nicht-induzierten und den induzierten Fall
jeweils fünf Instanzen der Größe n = 500, 1000, 2000, 4000 und 8000 berechnet. Angegeben sind die erreichte Kantenzahl, Minimal- und Maximalgrad, eine Greedy-Schätzung
der chromatischen Zahl und die exakte Cliquenzahl. Die angegebenen Laufzeiten tr
wurden unter Ubuntu Linux auf einer Workstation mit Intel(R) Pentium(R) D CPU
3.00GHz und 2 GB Arbeitsspeicher ermittelt. Wir geben in Tabelle 22 eine Zusammenfassung einiger Werte an; auf Seite 83 ff. finden sich die ausführlichen Ergebnisse.
In Tabelle 22 ist jeweils der Durchschnitt und die empirische Standardabweichung aus
den Ergebnissen von fünf simulierten monotonen Prozessen zu n = 8000 Knoten angegeben. Dabei ist die empirische Standardabweichung der jeweiligen Größe mit σ bezeichnet.
e
σ(e)
Subgraph
K3
881411,6 238,9
1761424,8 307,0
K4
K5
2765992,0 363,9
C4
156847,4
44,6
C4 ind.
157584,8
54,9
71815,0
36,6
C5
C5 ind.
72155,0
43,1
C6
41003,0
15,0
–
–
C6 ind.
P4
7589,4
42,3
P4 ind.
10127,6
78,3
K13
7999,8
0,4
K13 ind.
13413,2
16,1
Diamant
881470,2 145,1
Diamant ind. 881277,2 274,2
Bull
758212,0 2155,3
761766,0 6628,1
Bull ind.
δ
203,4
418,4
665,4
33,4
33,4
14,0
14,0
7,2
–
1,0
1,0
1,6
2,0
203,6
204,2
28,0
23,8
σ(δ)
0,547
2,073
2,073
0,547
0,547
0,000
0,000
0,447
–
0,000
0,000
0,894
0,000
1,140
0,836
4,949
7,791
∆
237,8
462,8
718,0
46,2
46,4
24,4
24,0
16,8
–
7,2
9,0
2,0
6,4
238,2
237,6
441,2
429,6
σ(∆)
χ
e
σ(e
χ)
0,836 53,2 0,447
2,490 91,6 0,547
2,915 133,8 0,447
0,836 17,0 0,000
0,894 17,0 0,000
2,073 10,6 0,547
0,707 10,8 0,447
0,836
8,0 0,000
–
–
–
0,836
4,0 0,000
1,000
6,0 0,000
0,000
3,0 0,000
0,547
5,2 0,447
1,094 53,2 0,447
1,516 53,2 0,447
5,215 48,0 0,000
8,792 48,2 0,836
Tabelle 22: Durchschnittswerte und Standardabweichungen der jeweiligen monotonen
Prozesse für n = 8000
82
5.2 Numerische Ergebnisse für den monotonen Graphenprozess
5.2.2 Subgraph K3
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G)
ρ
11769
40
54
17
2 1.5083. . .
11865
40
55
16
2 1.5096. . .
11844
41
54
18
2 1.5093. . .
11848
40
56
18
2 1.5093. . .
11854
40
56
17
2 1.5094. . .
35007
61
79
22
2 1.5147. . .
34960
60
77
23
2 1.5145. . .
34965
62
80
23
2 1.5145. . .
34945
62
80
22
2 1.5145. . .
34929
60
79
23
2 1.5144. . .
102975
92
115
30
2 1.5185. . .
103019
91
114
30
2 1.5186. . .
102966
92
114
30
2 1.5185. . .
102896
93
116
30
2 1.5184. . .
102926
92
114
30
2 1.5185. . .
301756
137
165
39
2 1.5213. . .
301484
138
164
40
2 1.5211. . .
301527
137
163
40
2 1.5212. . .
301604
137
165
40
2 1.5212. . .
301938
137
165
40
2 1.5213. . .
881470
203
238
53
2 1.5232. . .
881023
204
237
53
2 1.5231. . .
881476
203
238
53
2 1.5232. . .
881413
204
237
53
2 1.5232. . .
881676
203
239
54
2 1.5232. . .
tr
1s
1s
9s
48s
301s
Tabelle 23: Ergebnisse für K3
83
5 Anhang
5.2.3 Subgraph K4
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G) ∆(G)
20563
72
91
20481
75
90
20481
74
90
20442
74
90
20475
73
91
62740
114
135
62779
114
135
62813
116
137
62689
115
136
62784
113
135
191315
178
205
191171
178
204
191080
178
205
191184
179
204
191351
177
205
580690
276
306
580854
273
306
580882
273
306
580908
273
309
580836
273
308
1761759
418
467
1761395
418
461
1761586
417
462
1761447
417
463
1760937
422
461
χ
e(G) ω(G)
ρ
24
3 1.5980. . .
26
3 1.5974. . .
26
3 1.5974. . .
26
3 1.5971. . .
25
3 1.5974. . .
35
3 1.5992. . .
35
3 1.5993. . .
35
3 1.5993. . .
35
3 1.5991. . .
35
3 1.5993. . .
48
3 1.6000. . .
49
3 1.5999. . .
49
3 1.5999. . .
49
3 1.5999. . .
48
3 1.6001. . .
66
3 1.6002. . .
66
3 1.6002. . .
66
3 1.6002. . .
67
3 1.6002. . .
67
3 1.6002. . .
92
3 1.6003. . .
91
3 1.6002. . .
92
3 1.6002. . .
92
3 1.6002. . .
91
3 1.6002. . .
Tabelle 24: Ergebnisse für K4
84
tr
1s
7s
45s
49s
322s
2329s
5.2 Numerische Ergebnisse für den monotonen Graphenprozess
5.2.4 Subgraph K5
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G)
28299
104
28334
103
28409
104
28383
102
28401
104
89445
166
89447
167
89538
168
89470
166
89497
166
281247
265
281115
266
281063
266
281064
261
281179
265
881739
422
882095
424
882175
419
882176
416
881777
422
2766157
667
2765467
662
2765762
667
2766290
666
2766284
665
∆(G)
123
123
124
123
123
193
192
191
191
192
300
298
295
299
298
461
461
460
461
462
720
715
716
722
717
χ
e(G) ω(G)
ρ
34
4 1.6494. . .
34
4 1.6496. . .
34
4 1.6501. . .
33
4 1.6499. . .
34
4 1.6500. . .
48
4 1.6505. . .
47
4 1.6505. . .
46
4 1.6507. . .
47
4 1.6506. . .
47
4 1.6506. . .
65
4 1.6507. . .
66
4 1.6507. . .
66
4 1.6506. . .
65
4 1.6506. . .
66
4 1.6507. . .
96
4 1.6505. . .
95
4 1.6506. . .
95
4 1.6506. . .
94
4 1.6506. . .
94
4 1.6505. . .
134
4 1.6505. . .
133
4 1.6504. . .
134
4 1.6504. . .
134
4 1.6505. . .
134
4 1.6505. . .
tr
4s
33s
261s
1971s
16699s
Tabelle 25: Ergebnisse für K5
85
5 Anhang
5.2.5 Subgraph C4
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G)
ρ
3480
11
18
9
3 1.3122. . .
3482
10
18
8
3 1.3123. . .
3477
11
19
9
3 1.3121. . .
3478
11
19
9
3 1.3121. . .
3486
11
18
8
3 1.3125. . .
9045
15
22
11
3 1.3188. . .
9042
15
23
10
3 1.3188. . .
9071
15
23
11
3 1.3192. . .
9030
14
24
10
3 1.3186. . .
9026
14
24
11
3 1.3185. . .
23470
19
29
12
3 1.3240. . .
23435
19
29
13
3 1.3238. . .
23407
19
29
13
3 1.3236. . .
23419
19
29
12
3 1.3237. . .
23396
19
29
13
3 1.3236. . .
60695
26
37
14
3 1.3279. . .
60712
25
37
14
3 1.3279. . .
60678
26
36
15
3 1.3279. . .
60695
25
37
14
3 1.3279. . .
60733
26
37
14
3 1.3280. . .
156891
33
45
17
3 1.3311. . .
156910
33
47
17
3 1.3312. . .
156843
34
46
17
3 1.3311. . .
156826
33
47
17
3 1.3311. . .
156867
34
46
17
3 1.3311. . .
Tabelle 26: Ergebnisse für den C4
86
tr
1s
6s
56s
520s
4995s
5.2 Numerische Ergebnisse für den monotonen Graphenprozess
5.2.6 Induzierter C4
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G) ∆(G)
3578
11
18
3573
11
18
3572
11
19
3575
11
18
3582
11
18
9216
14
24
9210
15
23
9207
15
23
9196
15
25
9192
15
23
23681
20
31
23706
19
29
23698
20
28
23686
20
29
23683
19
28
61133
25
35
61178
25
37
61064
26
36
61067
26
36
61109
25
36
157571
34
47
157607
34
45
157520
33
47
157666
33
47
157560
33
46
χ
e(G) ω(G)
ρ
9
4 1.3167. . .
9
5 1.3164. . .
9
4 1.3164. . .
9
4 1.3165. . .
9
3 1.3168. . .
11
4 1.3215. . .
11
4 1.3214. . .
11
4 1.3214. . .
11
4 1.3212. . .
10
4 1.3211. . .
12
4 1.3252. . .
12
4 1.3253. . .
13
4 1.3253. . .
13
4 1.3252. . .
12
4 1.3252. . .
15
4 1.3288. . .
15
4 1.3288. . .
14
4 1.3286. . .
15
4 1.3286. . .
15
4 1.3287. . .
17
4 1.3316. . .
17
4 1.3317. . .
17
4 1.3316. . .
17
4 1.3317. . .
17
4 1.3316. . .
tr
1s
7s
63s
573s
5250s
Tabelle 27: Ergebnisse für C4∗
87
5 Anhang
5.2.7 Subgraph C5
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G)
ρ
2477
6
15
7
3 1.2575. . .
2397
6
16
7
3 1.2522. . .
2462
6
16
7
4 1.2565. . .
2486
6
15
8
4 1.2581. . .
2432
6
15
8
3 1.2545. . .
5580
7
16
8
3 1.2489. . .
5623
7
17
8
3 1.2500. . .
5620
8
16
8
3 1.2499. . .
5599
8
16
8
3 1.2494. . .
5599
7
16
8
3 1.2494. . .
12962
10
18
9
3 1.2459. . .
12968
9
19
9
3 1.2459. . .
12895
9
17
9
3 1.2452. . .
12965
9
17
9
3 1.2459. . .
12957
10
18
9
3 1.2458. . .
30418
11
20
10
3 1.2446. . .
30396
11
22
10
3 1.2445. . .
30385
11
20
9
3 1.2445. . .
30399
11
20
10
3 1.2445. . .
30369
11
20
9
3 1.2444. . .
71815
14
24
10
3 1.2442. . .
71755
14
28
11
3 1.2441. . .
71835
14
24
10
3 1.2442. . .
71818
14
23
11
3 1.2442. . .
71852
14
23
11
3 1.2443. . .
Tabelle 28: Ergebnisse für den C5
88
tr
4s
34s
333s
3400s
35998s
5.2 Numerische Ergebnisse für den monotonen Graphenprozess
5.2.8 Induzierter C5
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G) ∆(G)
2523
7
15
2511
6
14
2527
6
15
2479
7
16
2539
6
15
5712
7
18
5731
7
16
5736
8
16
5679
8
18
5708
7
18
13132
10
18
13137
9
19
13138
9
18
13117
9
18
13097
9
19
30587
12
21
30595
11
21
30595
11
21
30669
11
20
30624
11
20
72148
14
25
72104
14
24
72158
14
23
72223
14
24
72142
14
24
χ
e(G) ω(G)
ρ
7
4 1,2604. . .
8
3 1,2604. . .
7
3 1,2596. . .
7
3 1,2576. . .
7
4 1,2614. . .
8
3 1,2522. . .
8
4 1,2527. . .
8
3 1,2528. . .
8
3 1,2522. . .
8
3 1,2521. . .
8
3 1,2475. . .
9
4 1,2476. . .
9
3 1,2476. . .
9
3 1,2474. . .
8
3 1,2472. . .
10
3 1,2452. . .
9
3 1.2453. . .
10
3 1.2453. . .
10
3 1.2456. . .
10
3 1,2454. . .
10
3 1,2447. . .
11
3 1.2446. . .
11
3 1.2447. . .
11
3 1.2448. . .
11
3 1.2447. . .
tr
4s
35s
340s
3556s
36969s
Tabelle 29: Ergebnisse für C5∗
89
5 Anhang
5.2.9 Subgraph C6
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G)
1427
3
1436
3
1426
3
1428
3
1431
4
3305
4
3311
4
3307
4
3306
4
3312
4
7680
5
7661
5
7654
5
7657
5
7665
5
17728
6
17724
6
17721
6
17761
6
17724
6
40999
7
40995
8
40989
7
41028
7
41004
7
∆(G) χ
e(G) ω(G)
ρ
10
6
3 1.1688. . .
10
6
3 1.1698. . .
9
6
3 1.1686. . .
10
6
3 1.1689. . .
9
6
3 1.1692. . .
12
6
3 1.1731. . .
11
6
3 1.1733. . .
12
6
3 1.1731. . .
12
6
3 1.1731. . .
10
7
3 1.1734. . .
12
7
3 1.1770. . .
13
7
3 1.1767. . .
13
6
3 1.1766. . .
13
7
3 1.1766. . .
12
7
3 1.1768. . .
15
7
3 1.1795. . .
14
7
3 1.1795. . .
15
7
3 1.1795. . .
15
7
3 1.1797. . .
14
7
3 1.1795. . .
17
8
3 1.1818. . .
16
8
3 1.1818. . .
17
8
3 1.1818. . .
16
8
3 1.1819. . .
18
8
3 1.1818. . .
Tabelle 30: Ergebnisse für den C6
90
tr
5s
44s
471s
5371s
58782s
5.2 Numerische Ergebnisse für den monotonen Graphenprozess
5.2.10 Induzierter C6
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
e(G) δ(G)
1603
4
1602
4
1620
4
1609
4
1609
3
3554
5
3577
5
3581
5
3572
5
3591
5
8042
5
8050
5
8073
5
8054
5
8065
5
18328
7
18306
6
18338
6
18344
7
18349
6
∆(G) χ
e(G) ω(G)
ρ
13
6
4 1.1875. . .
10
6
3 1.1874. . .
9
6
4 1.1892. . .
12
6
4 1.1881. . .
11
6
4 1.1881. . .
11
6
3 1.1836. . .
14
6
3 1.1845. . .
11
7
3 1.1847. . .
11
7
4 1.1843. . .
13
6
4 1.1851. . .
13
7
4 1.1831. . .
15
7
3 1.1832. . .
14
7
4 1.1836. . .
13
7
4 1.1833. . .
14
7
4 1.1835. . .
14
8
3 1.1835. . .
15
7
3 1.1834. . .
14
8
3 1.1836. . .
15
7
3 1.1836. . .
14
7
3 1.1837. . .
tr
15s
156s
1731s
19528s
Tabelle 31: Ergebnisse für den C6∗
91
5 Anhang
5.2.11 Subgraph P4
Knoten e(G) δ(G)
500
457
1
500
478
1
463
1
500
500
463
1
500
480
1
1000
947
1
1000
943
1
983
1
1000
1000
943
1
1000
962
1
2000 1881
1
1
2000 1873
2000 1908
1
2000 1896
1
2000 1900
1
4000 3777
1
1
4000 3781
4000 3768
1
4000 3835
1
1
4000 3785
8000 7539
1
8000 7603
1
8000 7564
1
1
8000 7590
8000 7651
1
∆(G) χ
e(G)
5
4
6
3
7
4
6
3
7
4
6
4
5
3
6
4
6
4
5
4
6
4
6
4
6
4
9
4
7
4
8
4
7
4
6
4
8
4
6
4
6
4
7
4
7
4
8
4
8
4
ω(G)
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Tabelle 32: Ergebnisse für P4
92
ρ
0.9855. . .
0.9928. . .
0.9876. . .
0.9876. . .
0.9934. . .
0.9921. . .
0.9915. . .
0.9975. . .
0.9915. . .
0.9944. . .
0.9919. . .
0.9914. . .
0.9938. . .
0.9930. . .
0.9933. . .
0.9931. . .
0.9932. . .
0.9928. . .
0.9949. . .
0.9933. . .
0.9934. . .
0.9943. . .
0.9938. . .
0.9941. . .
0.9950. . .
tr
¡1s
2s
13s
94s
673s
5.2 Numerische Ergebnisse für den monotonen Graphenprozess
5.2.12 Induzierte P4
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G)
645
1
649
1
644
1
642
1
636
1
1318
1
1283
1
1262
1
1315
1
1251
1
2504
1
2586
1
2558
1
2500
1
2587
1
5135
1
5122
1
5027
1
5059
1
4960
1
10100
1
10077
1
10077
1
10264
1
10120
1
∆(G) χ
e(G) ω(G)
ρ
8
6
7 1.0410. . .
7
6
7 1.0420. . .
6
5
5 1.0407. . .
7
5
5 1.0402. . .
6
6
7 1.0387. . .
8
6
7 1.0400. . .
7
6
7 1.0361. . .
7
5
5 1.0337. . .
8
6
7 1.0396. . .
7
5
5 1.0324. . .
8
6
7 1.0296. . .
8
5
5 1.0338. . .
10
6
7 1.0324. . .
8
5
5 1.0294. . .
8
5
5 1.0339. . .
8
6
7 1.0301. . .
10
6
7 1.0298. . .
10
6
7 1.0276. . .
7
6
7 1.0283. . .
9
6
7 1.0259. . .
8
6
7 1.0259. . .
9
6
7 1.0257. . .
10
6
7 1.0257. . .
10
6
7 1.0277. . .
8
6
7 1.0262. . .
tr
1s
2s
15s
98s
738s
Tabelle 33: Ergebnisse für P4∗
93
5 Anhang
5.2.13 Subgraph K1,3 - die Klaue
Knoten e(G) δ(G)
500
500
2
500
500
2
500
500
2
500
500
2
500
2
500
1000 1000
2
1000 1000
2
2
1000 1000
1000 1000
2
2
1000 1000
2000 2000
2
2000 2000
2
2
2000 2000
2000 2000
2
2000 2000
2
4000 4000
2
4000 4000
2
2
4000 4000
4000 4000
2
4000 4000
2
8000 7999
0
2
8000 8000
8000 8000
2
8000 8000
2
2
8000 8000
∆(G) χ
e(G)
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
ω(G)
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
ρ
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
1.0000. . .
Tabelle 34: Ergebnisse für K1,3
94
tr
1s
2s
14s
99s
729s
5.2 Numerische Ergebnisse für den monotonen Graphenprozess
5.2.14 Induzierter K1,3 - die Klaue
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G)
874
2
879
2
882
2
882
2
879
2
1730
2
1728
2
1736
2
1719
2
1725
2
3382
2
3399
2
3430
2
3405
2
3379
2
6733
2
6781
2
6782
2
6802
2
6724
2
13398
2
13429
2
13419
2
13394
2
13426
2
∆(G) χ
e(G)
6
5
6
5
7
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
7
6
6
5
7
5
6
5
8
6
6
6
6
5
6
6
7
6
7
5
6
5
6
5
7
5
7
6
6
5
6
5
ω(G)
5
5
5
5
5
5
5
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
ρ
1.0899. . .
1.0908. . .
1.0913. . .
1.0913. . .
1.0908. . .
1.0793. . .
1.0792. . .
1.0798. . .
1.0784. . .
1.0789. . .
1.0691. . .
1.0698. . .
1.0710. . .
1.0700. . .
1.0690. . .
1.0628. . .
1.0636. . .
1.0637. . .
1.0640. . .
1.0626. . .
1.0574. . .
1.0576. . .
1.0576. . .
1.0573. . .
1.0576. . .
tr
1s
3s
16s
115s
843s
∗
Tabelle 35: Ergebnisse für K1,3
95
5 Anhang
5.2.15 Subgraph Diamant
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G)
ρ
11779
40
54
17
2 1.5084. . .
11762
41
54
17
2 1.5082. . .
11802
40
55
17
2 1.5087. . .
11835
41
55
17
2 1.5092. . .
11843
41
58
17
2 1.5093. . .
34990
60
78
23
2 1.5146. . .
34912
61
80
22
2 1.5143. . .
35022
60
81
23
2 1.5148. . .
35080
62
81
23
2 1.5150. . .
35046
61
80
23
2 1.5149. . .
102944
94
115
30
2 1.5185. . .
102905
90
117
29
2 1.5184. . .
102971
93
114
30
2 1.5185. . .
102949
90
113
30
2 1.5185. . .
102952
94
114
31
2 1.5185. . .
301735
134
165
39
2 1.5212. . .
301586
138
166
40
2 1.5212. . .
301685
137
165
39
2 1.5212. . .
301601
139
168
40
2 1.5212. . .
301666
136
165
40
2 1.5212. . .
881599
204
238
53
2 1.5232. . .
881526
205
238
53
2 1.5232. . .
881474
202
238
54
2 1.5232. . .
881529
203
237
53
2 1.5232. . .
881223
204
240
53
3 1.5232. . .
Tabelle 36: Ergebnisse für den Diamant
96
tr
< 1s
2s
8s
47s
280s
5.2 Numerische Ergebnisse für den monotonen Graphenprozess
5.2.16 Induzierter Diamant
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G)
ρ
11872
40
57
17
3 1.5097. . .
12058
40
54
18
3 1.5122. . .
11850
39
55
17
3 1.5094. . .
11836
41
54
18
3 1.5092. . .
11809
40
54
17
3 1.5088. . .
34932
61
78
22
3 1.5144. . .
34930
62
81
23
3 1.5144. . .
34869
62
79
22
3 1.5141. . .
35973
63
85
23
3 1.5187. . .
35016
60
81
23
3 1.5148. . .
102931
92
114
30
3 1.5185. . .
106112
96
117
31
3 1.5225. . .
102893
91
114
29
3 1.5184. . .
102803
93
115
30
3 1.5183. . .
103023
90
115
30
3 1.5186. . .
301677
137
165
39
3 1.5212. . .
310757
142
171
41
3 1.5248. . .
301718
139
166
39
3 1.5212. . .
301485
137
165
40
3 1.5211. . .
301869
137
164
41
3 1.5213. . .
881716
205
238
53
3 1.5232. . .
881069
205
236
53
3 1.5232. . .
881346
204
237
54
3 1.5232. . .
881040
203
240
53
3 1.5232. . .
881215
204
237
53
3 1.5232. . .
tr
< 1s
2s
9s
52s
322s
Tabelle 37: Ergebnisse für den induzierten Diamant
97
5 Anhang
5.2.17 Subgraph Bull
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G)
ρ
10511
14
76
17
4 1.4901. . .
9734
10
82
16
4 1.4777. . .
10149
12
80
16
4 1.4844. . .
10044
14
79
16
4 1.4828. . .
10231
7
83
15
4 1.4857. . .
30548
13
129
22
4 1.4950. . .
30029
4
113
21
4 1.4925. . .
29964
10
116
21
4 1.4922. . .
30109
19
125
21
4 1.4929. . .
29912
19
121
21
4 1.4919. . .
89647
13
186
28
4 1.5003. . .
89336
11
188
29
4 1.4998. . .
88916
28
188
28
4 1.4992. . .
88821
6
190
28
4 1.4991. . .
88822
18
191
28
4 1.4991. . .
260010
20
280
37
4 1.5033. . .
259893
21
290
37
4 1.5032. . .
260551
16
291
38
4 1.5036. . .
258264
24
286
36
4 1.5025. . .
262937
13
306
37
4 1.5047. . .
754937
24
443
48
4 1.5060. . .
760882
29
440
48
4 1.5068. . .
757928
22
447
48
4 1.5064. . .
758302
31
443
48
4 1.5065. . .
759011
34
433
48
5 1.5066. . .
Tabelle 38: Ergebnisse für den Bull-Graph
98
tr
1s
4s
22s
160s
1111s
5.2 Numerische Ergebnisse für den monotonen Graphenprozess
5.2.18 Induzierter Bull
Knoten
500
500
500
500
500
1000
1000
1000
1000
1000
2000
2000
2000
2000
2000
4000
4000
4000
4000
4000
8000
8000
8000
8000
8000
e(G) δ(G) ∆(G) χ
e(G) ω(G)
ρ
10269
11
76
17
4 1.4863. . .
10123
10
79
16
4 1.4840. . .
10123
10
79
17
4 1.4840. . .
10171
13
86
17
4 1.4848. . .
10338
11
74
16
4 1.4874. . .
29962
17
122
20
4 1.4922. . .
29702
12
121
21
4 1.4909. . .
29631
16
132
21
4 1.4906. . .
30132
21
122
21
4 1.4930. . .
29534
13
124
21
5 1.4901. . .
89291
18
190
29
4 1.4998. . .
88031
5
197
27
5 1.4979. . .
89047
15
177
28
4 1.4994. . .
88000
15
185
27
4 1.4979. . .
89576
26
189
28
4 1.5002. . .
260616
31
291
36
4 1.5036. . .
259215
20
281
37
5 1.5029. . .
257569
37
292
37
4 1.5022. . .
263824
18
274
37
4 1.5051. . .
259851
17
298
37
4 1.5032. . .
771730
11
432
49
4 1.5084. . .
761015
30
420
48
4 1.5069. . .
762518
22
421
48
4 1.5071. . .
753201
27
440
47
4 1.5057. . .
760366
29
435
49
4 1.5068. . .
tr
1s
4s
25s
189s
1294s
Tabelle 39: Ergebnisse für den induzierten Bull
99
5 Anhang
100
Literaturverzeichnis
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Arithmetica, 27 (75), pp. 199–245.
[22] P. Turán, On an extremal problem in graph theory, 48 (1941), pp. 436–452.
102
“Leider lässt sich eine wahrhafte Dankbarkeit mit Worten
nicht ausdrücken.”
Johann Wolfgang von Goethe
An dieser Stelle möchte ich meinen beiden Betreuern Julia Böttcher und Anusch Taraz
danken. Ich habe in den vergangenen Monaten unglaublich viel von ihnen gelernt, und
diese Arbeit wäre ohne sie nie zu dem geworden, was sie jetzt ist.
Dieser Dank gilt Anusch Taraz, der ein interessantes Thema vorgeschlagen hat und mir
viel Freiheit für eigene Experimente lies. In zahlreichen Diskussionen hat er mich immer
wieder mit neuen Ideen versorgt, was in Phasen versiegender Intuition und Motivation
unbezahlbar war.
Genauso danke ich Julia Böttcher, die sich ebenfalls jederzeit meiner Fragen und Probleme angenommen hat. Ihre gründliche Art über Mathematik nachzudenken und Mathematik aufzuschreiben hat mir sehr geholfen. Erst durch ihre Verbesserungsvorschläge
und Korrekturen wurde diese Arbeit zu einem mathematischen Text.
Die beiden und der ganze Lehrstuhl M9 haben eine Atmosphäre geschaffen, in der ich
mich von Anfang an wohl gefühlt habe – fachlich und menschlich. Danke!