Automaten, Sprachen und Komplexität, ¨Ubungsblatt 1

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Martin Huschenbett, Roy Mennicke
Besprechung am 23.10. bzw. 24.10.
Automaten, Sprachen und Komplexität, Übungsblatt 1
(1) Entscheiden Sie für jede der folgenden Mengen, ob sie eine formale Sprache ist.
(a) alle deutschen Städte
(d) alle geraden Primzahlen echt größer 2,
(b) die Namen der Einwohner Pekings
(e) die Dezimaldarstellungen nat. Zahlen
(c) alle natürlichen Zahlen
(f) die Dezimaldarstellungen reeller Zahlen
(2) Sei Σ = {a, b, c}. Unter den folgenden 16 Sprachen über Σ befinden sich acht Paare gleicher Sprachen. Finden Sie heraus, welche Paare das sind und geben Sie jeweils eine kurze
Begründung für die entsprechende Gleichheit.
L1 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = |w|b }
L9 = L31
L2 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = 0}
L10 = (L2 L3 )2
L3 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = 2}
L11 = Σ∗ \ L2
∗
L4 = {w ∈ Σ | |w|a = 4}
L12 = {an bn | n ∈ N}
L5 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = |w|b = |w|c }
L13 = {ab}+
L6 = {b, c}∗ {a}{b, c}∗ {a}{b, c}∗
L14 = {b, c}∗
L7 = L1 ∩ {w ∈ Σ∗ | |w|b = |w|c }
L15 = Σ∗ {a}Σ∗
L8 = L1 ∩ {a}∗ {b}∗
L16 = {a}{ba}∗ {b}
(3) Sei Σ ein beliebiges Alphabet. Zeigen Sie, dass Σ∗ abzählbar ist.
(4) Im Folgenden sind vier Grammatiken durch die Liste ihrer Produktionen gegeben. Dabei ist
S jeweils die Startvariable, S, A und B sind Variablen und a und b sind Terminale.
G1 :
S → AA | ε,
A → B,
B→b
G2 :
S → aA,
A → aA | ε,
B → bA
G3 :
S → AB | ε,
G4 :
S → aAS | ε,
A → S | AA | a,
B→b
aA → aaB,
aB → ab
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben für jedes i ∈ {1, 2, 3, 4}.
(a) Nennen Sie zwei Wörter, die in L(Gi ) liegen. Geben Sie für beide Wörter jeweils eine
Ableitung in Gi an.
(b) Geben Sie an, welche der folgenden Eigenschaften Gi besitzt: kontextsensitiv, kontextfrei
und rechtslinear.
(5) Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben:
(a) Sei G die kontextfreie Grammatik mit Startvariable S und den folgenden Produktionen:
S → aAC
A → Bb
B → aA | ε
C → CC | c
Welche Sprache wird von G erzeugt? Konstruieren Sie mittels des Verfahrens aus dem
Beweis des Lemmas auf Folie 49 eine kontextsensitive Grammatik G0 mit L(G) = L(G0 ).
(b) Seien Σ = {0, 1} und w = a1 a2 . . . an ein Wort mit n ∈ N und ai ∈ Σ für alle 1 ≤ i ≤ n.
Mit wR bezeichnen wir im Folgenden das Spiegelwort an an−1 . . . a1 von w. Geben Sie eine
kontextfreie Grammatik G über dem Alphabet Γ = Σ ∪ {#} an, so dass gilt:
L(G) = {v#w ∈ Σ∗ {#}Σ∗ | wR ist Präfix von v}
(6) Sei Gi = (Vi , Σ, Si , Pi ) eine kontextfreie Grammatik für i ∈ {1, 2}. Konstruieren Sie Grammatiken G∪ , G• und G∗ , so dass gilt:
L(G∪ ) = L(G1 ) ∪ L(G2 )
L(G• ) = L(G1 ) · L(G2 )
L(G∗ ) = L(G1 )∗
Begründen Sie jeweils kurz informal, warum Ihre Grammatik die korrekte Sprache erzeugt.
Aufgaben zum Selbststudium (nicht bewertet)
(7) Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben:
(a) Es seien Σ ein Alphabet und L ⊆ Σ∗ eine Sprache. Zeigen Sie, dass L∗ = (L∗ )2 gilt. Gilt
die Gleichung auch, wenn man den Kleene-Stern ∗ durch + ersetzt?
(b) Geben Sie ein Alphabet Σ und Sprachen K0 , K1 , K2 , . . . ⊆ Σ∗ an, so dass für jedes n ∈ N
die Sprache Kn n-elementig ist und Kn2 möglichst wenige Wörter enthält.
(c) Geben Sie ein Alphabet Σ und Sprachen L0 , L1 , L2 , . . . ⊆ Σ∗ an, so dass für jedes n ∈ N
die Sprache Ln n-elementig ist und L2n möglichst viele Wörter enthält.
(8) Geben Sie einen Algorithmus an, der, bei Eingabe einer kontextfreien Grammatik G, die Menge
aller nilpotenten Variablen von G ausgibt. Wenden Sie Ihren Algorithmus anschließend auf die
folgende Grammatik mit Startvariable S an:
S → AC
A → aA | C
B → Cb | BB
C → AB | ε
(9) Geben Sie eine kontextfreie Grammatik G über dem Alphabet Σ = {a, b} an, so dass gilt:
L(G) = {w ∈ Σ∗ | |w|a = |w|b }
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