Automaten und Formale Sprachen, WS05 ¨Ubungsblatt 1

K
TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TTI, FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Prof. Dr. (USA) M. Dietzfelbinger, Dr. E. Hübel
Automaten und Formale Sprachen, WS05
Übungsblatt 1
für die 42.Woche 2005
Aufgabe 1 (Formale Beschreibung von Sprachen)
1. Geben Sie für die folgenden Objekte“ ein Alphabet Σ und eine formale und möglichst kurze Beschreibung
”
einer Sprache an, die genau aus ihnen besteht.
Geben Sie jeweils drei Wörter an, die zu der Sprache gehören.
(a) Alle Binärdarstellungen von natürlichen Zahlen.
(b) Alle Wörter über dem Alphabet {A, . . . , Z}, die nur aus Vokalen bestehen.
(c) Endliche, aufsteigend sortierte Folgen von Zahlen zwischen 1 und 10000.
(d) Endliche Folgen von Euro/Cent-Münzen, deren Gesamtsumme größer oder gleich 2 e ist.
(e) Alle Wörter über dem Alphabet {0, 1}, die nur aus den Buchstaben 0 und 1 bestehen, mit einer 1
beginnen, einer 0 enden und in denen sich zwei aufeinanderfolgende Buchstaben stets unterscheiden.
(f) Alle Wörter über dem Alphabet {0, 1}, die entweder mit einer 1 beginnen, oder mindestens eine 1
besitzen, oder mit einer 0 enden und eine durch 2 teilbare Länge haben.
(g) Alle Wörter über dem Alphabet {a, b, c}, die höchstens k a0 s und höchstens k b0 s besitzen.
(h) Alle Wörter über dem Alphabet {a, b}, die genau 2 a0 s oder genau 2 b0 s besitzen.
(i) Alle Wörter über dem Alphabet {a, b}, die genau 2 a0 s und genau 2 b0 s besitzen.
2. Sind folgende Mengen Sprachen? Falls Ja, geben Sie ein geeignetes Alphabet an.
N, m teilt n}.
(b) {0 1 | m, n ∈ N, m teilt n}.
(c) {bin(m)#bin(n) | m, n ∈ N, m teilt n}.
(a) {(m, n) | m, n ∈
m n
Aufgabe 2 (Informale Beschreibung von Sprachen)
Beschreiben Sie die folgenden Sprachen informal (in natürlicher Sprache).
Geben Sie jeweils drei Wörter an, die zu der Sprache gehören.
n
o
Pl
(a) L = a1 . . . al ∈ {0, 1}∗ | i=1 ai = 4
(b) L = L1 L2 mit
(
L1 =
∗
a1 . . . al ∈ {0, 1} |
l
X
i=1
(c) L = {001, 010, 100}∗
(d) L = ({10} ∪ {0})∗ {1}
(e) L = {{10}∗ ∪ {0}∗ }{1}
(f) L = {w ∈ {0, 1}∗ | (w)2 ist Primzahl}
(g) L = {w ∈ {0, 1}∗ | |w| ist Primzahl}
(h) L = {w ∈ {a, b}∗ | |w|a ist Primzahl}
)
ai = 2
(
und L2 =
∗
a1 . . . al ∈ {0, 1} |
l
X
i=1
)
ai = 3
2
Automaten und Formale Sprachen, WS05
Übungsblatt 1
Aufgabe 3 (Operationen über Sprachen)
1. Betrachten Sie die folgenden Sprachen Li ⊆ {a, b}∗ :
L1 = {an b2n | n ≥ 0}
L3 = {a2n | n ≥ 0}
L2 = {bn a2n | n ≥ 0}
L4 = {an | n ist prim}
Geben Sie explizite Darstellungen für die folgenden Sprachen an. Benutzen Sie dabei möglichst einfache
Darstellungen.
Geben Sie jeweils drei Wörter an, die zu der Sprache gehören.
(a) L1 L2
(d) L3
(b) L2 ∪ L3
(e)
(c) L2 ∩ L3
(f) L23
L3
(g) L4 − L3
2
2. Gegeben ist L ⊆ Σ∗ . Gilt L+ = L∗ − {ε}? Begründen Sie Ihre Antwort.
(h) L∗4
(i) L∗4