Serie 3 - D-MATH

MATH, PHYS, CHAB
Prof. Dr. E. Kowalski
Analysis II
FS 2014
Serie 3
1. Sei f : [a, b] → R eine Funktion.
(a) Zeigen Sie, dass es eindeutige reelle Zahlen α, β, γ gibt, sodass die
Funktion
g : [a, b] −→ R
g(x) := αx2 + βx + γ
auf der Menge {a, 12 (a + b), b} dieselben Funktionswerte annimmt wie
f.
(b) Zeigen Sie, dass
Z
b
g(t)dt =
a
1
a+b
(b − a) f (a) + 4f (
) + f (b)
6
2
(c) Beweisen Sie die Regel von Simpson: Zu f ∈ C 4 ([a, b]) gibt es c ∈
[a, b], sodass
Z b
1 b − a 5 (4)
1
a+b
f (t)dt − (b − a) f (a) + 4f (
) + f (b) =
|f (c)|.
6
2
90
2
a
Hinweise:
• Verwenden Sie folgendes Theorem ohne Beweis: Sei P ein Polynom vom Grad n, welches mit f auf n paarweise verschiedenen
Punkten x0 , . . . , xn ∈ [a, b] übereinstimmt. Dann gilt
f (x) − P (x) = (x − x0 ) · · · (x − xn )f [x0 , . . . , xn , x],
wobei der Ausdruck f [y0 , . . . , yn ] rekursiv durch f [y] = f (y) und
f [y0 , . . . , yn ] =
f [y1 , . . . , yn ] − f [y0 , . . . , yn−1 ]
yn − y0
gegeben ist.
• Für Punkte y0 , . . . , yn ∈ [a, b] gibt es η ∈ [a, b] mit
f [y0 , . . . , yn ] =
f (n) (η)
n!
d
• Es gilt dx
f [x0 , x1 , . . . , xn , x] = f [x0 , x1 , . . . , xn , x, x].
• Verwenden Sie den Mittelwertsatz der Integralrechnung: Für eine
reellwertige integrable Funktion ω > 0 auf dem Intervall [a, b]
und h ∈ C 0 ([a, b]) gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit
Z
b
Z
ω(x)h(x)dx = h(ξ)
a
ω(x)dx
a
1
b
• Zeigen Sie, dass w(y) =
gungen
Ry
a
(x − a)(x −
w(a) = w(b) = 0
b+a
2 )(x
− b)dx die Bedin-
w(y) > 0 für a < y < b
erfüllt.
(d) Zeigen Sie, dass nur unter Annahme der Integrierbarkeit von f die
Rb
Rb
Approximation a g(t)dt von a f (t)dt schlecht ausfallen kann.
(e) Zeigen Sie, dass für n ∈ N und f ∈ C 4 ([a, b]) folgende Abschätzung
gilt:
Z
a
b
n−1
n−1
X
X
b−a
Ca,b
(n)
(n) f (t)dt −
(f (a) + f (b) + 2
f (xj ) + 4
f (yj )) 6 4 ,
6n
n
j=1
j=0
(n)
wobei xj
(n)
= a + j b−a
n , yj
Ca,b =
= a + (j + 21 ) b−a
n und
1 b − a 5
sup{|f (4) (t)| : t ∈ [a, b]} < +∞.
90
2
2. Zeigen Sie, dass die folgenden uneigentlichen Integrale existieren:
R +∞
(a) 0 e−αt dt für α > 0
R +∞
2
(b) −∞ e−t dt
R +∞
2
(c) 0 t7901/3 e−t dt
R +∞ max{−x2 +20x+10,1}
dx
(d) 1
x2 +1
3. Berechnen Sie die Länge der folgenden Kurven:
(a) {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [1, 2], y = 18 x4 +
1 1
4 x2 }
(b) {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, π/2], y = 12 (x + sin(x) − tan(x/2))}
(c) {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [π/4, π/3], y =
2
1
2
log sin(2x)}
4. Multiple Choice Aufgaben:
1. Sei f : [a, b] → C integrabel. Gilt dann
(a)
Ja.
(b)
Nein.
Rb
a
Re(f (x))dx = Re
Rb
a
f (x)dx ?
2. Sei f : [a, b] → C eine Funktion, sodass Ref integrabel ist. Folgt dann
auch, dass f integrabel ist?
(a)
Nein.
(b)
Ja.
3. Gelte
Ra
f (x) = 0 für alle a > 0. Folgt dann die Existenz des uneiR +∞
gentlichen Integrals −∞ f (x)dx?
(a)
Ja.
(b)
Nein.
−a
4. Sei f : R → R eine Funktion, sodass
R +∞
dann auch −∞ |f (x)|dx?
(a)
Nein.
(b)
Ja.
R +∞
−∞
f (x)dx existiert. Existiert
5. Seien f, g : R → R Funktionen mit g ≤ f , sodass
R +∞
Existiert dann auch −∞ g(x)dx?
(a)
Ja.
(b)
Nein.
R +∞
−∞
f (x)dx existiert.
Abgabe: Montag, den 17.03.14 in der Übungsstunde oder vorher in den
Fächern.
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