Mathematische Logik II - sigma

Mathematische Logik II
Vorlesung 07
04.05.2005
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Satz. Jede Wohlordnung (x, <) ist isomorph zu genau einer Ordinalzahl.
Satz. (Wohlordnungssatz von Zermelo)
Jede Menge hat eine Wohlordnung.
S
Wenn x durch < wohlgeordnet ist, dann kann man auf x eine Auswahlfunktion f : x → V (mit f (z) ∈ z für
jedes nicht-leere z ∈ x) definieren, ohne AC annehmen zu müssen.
ZF + WOSZ |= AC.
Behauptung: ZFC |= WOSZ.
Beweis. Sei x eine Menge und ∗ ∈
/ x, sei g : Pot(x) → x eine Auswahlfunktion. Definiere F : On → x ∪ {∗} mit
(
g(x \ F [β], wenn F [β] ⊂ x, F [β] 6= x,
F (β) =
∗,
sonst.
Genau wie im Beweis, dass jede Wohlordnung zu einer Ordinalzahl isomorph ist folgt, dass ein kleinstes α
∼
existiert mit F (α) = ∗ und also f = F |α : α → x. f transportiert die Wohlordnung von α auf x: für y, z ∈ x
setze: y < z :⇔ f −1 (y) < f −1 (z).
Auf der Basis von ZF ist AC äquivalent zu WOSZ. Ein anderes Beweisprinzip mit dieser Eigenschaft ist das
Lemma von Zorn:
Satz. (Lemma von Zorn)
Sei (x, <) eine partielle Ordnung, in der jede linear geordnete Teilmenge x eine obere Schranke sk ∈ x besitzt.
Dann enthält (x, <) ein maximales Element. (D.h. es existiert ein m ∈ x, so dass kein a ∈ x existiert mit m < a).
Beweis. (mit AC)
Nach AC existiert Auswahlfunktion f auf Pot(x). Dies liefert ein Funktional G : V → x ∪ {∗} (∗ ∈
/ x) mit
(
f ({y ∈ x | ∀u(u ∈ z → u < y)}), wenn z ⊆ x, z durch < linear geordnet,
G(z) =
∗,
sonst.
G ordnet jeder linear geordneten Teilmenge von x, welche eine echte obere Schranke besitzt, eine solche zu.
Nach Rekursionssatz existiert ein Funktional F : On → x ∪ {∗} mit F (α) = G(Bild(F |α )) (F |α ist eine linear
geordnete Teilmenge von x
F (α) echte obere Schranke für F |α ). Wieder folgt, dass F den Wert ∗ annehmen
muss, da sonst F ordnungserhaltende Abbildung von On nach x und On damit eine Menge wäre. Sei α minimal
mit F (α) = ∗. Also ist F [α] linear geordnete Teilmenge von x ohne echte obere Schranke. Sei m obere Schranke
(und damit größtes Element) von F [α]. Dann ist m maximales Element in (x, <).
Übungen: ZF + Zornsches Lemma |= AC.
1
www.sigma-mathematics.de/semester5/malo2/vorlesungen/vorlesung07.pdf
1.6
2
Mächtigkeiten und Kardinalzahlen
Definition. Zwei Mengen x, y sind gleichmächtig (kurz: x ∼ y), wenn eine bijektive Funktion f : x → y existiert.
x y: es existiert injektive Funktion f : x → y
Lemma. Unter ZF gilt:
(a) ∼ ist Äquivalenzrelation auf V .
(b) x ∼ y ⇒ x y ∧ y x.
(c) ist reflexiv und transitiv.
(d) x ⊆ y ⇒ x y.
Umkehrung von (b):
Satz. (Bernstein-Cantor-Schröder)
Unter ZF gilt: x y ∧ y x ⇒ x ∼ y.
Beweis. Es reicht zu zeigen, dass für alle a, b, c gilt:
(∗)
a ⊆ b ⊆ c ∧ a ∼ c → b ∼ c.
Wenn dann f : x → y und g : y → x injektive Funktion sind, dann gilt: (g ◦ f )[x] ⊆ g[y] ⊆ x und x ∼ f [x] ∼
(g ◦ f )[x], also x ∼ (g ◦ f )[x]. Mit a = (g ◦ f )[x], b = g[y], c = x folgt aus (*): g[y] ∼ x. Da g : y → g[y] bijektiv
ist y ∼ g[y] ∼ x.
∼
Sei h : c → a bijektiv. Sei h′ : ω × c → c definiert durch h′ (0, z) = h(z), h′ (n + 1, z) = h(h′ (n, z)). Setze
d := (c \ b) ∪ h′ [ω × (c \ b)]. g : c → b sei nun definiert durch
(
h(u), wenn u ∈ d,
g(u) =
u,
wenn u ∈ c \ d.
Behauptung: g ist bijektiv. g injektiv: g|d und g|c\d sind injektive Funktionen mit disjunkten Bildbereichen. g
surjektiv: Sei v ∈ b:
• v ∈ b \ d ⊆ c \ d ⇒ v = g(v).
• v ∈ b ∩ d ⇒ es gibt u ∈ c \ b mit v = h′ (n, u) = h(u′ ), u′ ∈ d, also v = g(u′ ).
Also g[c] = b, d.h. g ist eine Bijektion von c nach b.
Die Kollektion der ∼-Äquivalenzklassen wäre ein natürlicher Parameter für die Messung von Größen von Mengen.
Problem: ∼-Klassen sind im Allgemeinen keine Mengen: [1]∼ ⊆ {{Vα } | α ∈ On} echte Klasse. Problem wäre
gelöst, wenn man aus jeder ∼-Klasse einen natürlichen Repräsentanten auswählen könnte. Außerdem möchten
wir, dass Mengen vergleichbar sind: x y oder y x. Problem: Wenn wir nur ZF voraussetzen, ist dies im
Allgemeinen nicht der Fall. Mit AC oder WOSZ lösen sich diese Probleme: Jedes x lässt eine Wohlordnung zu
⇒ Bijektion von x auf eine Ordinalzahl α.
Definition. Die Mächtigkeit |x| von einer Menge x ist die kleinste Ordinalzahl α, die gleichmächtig ist zu x.
|x| = min{α ∈ On | α ∼ x}.
Die Klasse der Kardinalzahl ist Cn := {|x| | x ∈ V } = {α ∈ On | |α| = α}.