Mathematische Logik II - sigma

Mathematische Logik II
Vorlesung 05
26.04.2005
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Ordinalzahlen:
x ∈ On :⇔ x transitive Menge, welche durch ∈ linear geordnet ist.
Beispiel: alle natürlichen Zahlen, ω, ω ∪ {ω}, . . .
α 7→ α ∪ {α} =: α + 1.
• On selbst wird durch ∈ linear geordnet.
• α ∈ On ⇒ α = {β ∈ On | β < α}.
• On ist eine echte Klasse (keine Menge).
Lemma. Jede nicht-leere Teilklasse von Ordinalzahlen besitzt ein kleinstes Element, d.h. On ist durch <
wohlgeordnet.
Beweis. Sei X ⊆ On nicht leer. Dann existiert α ∈ X. Sei y = {β ∈ α | β ∈ X}. Wenn y = ∅, dann ist α das
kleinste Element von X. Wenn y 6= ∅, dann besitzt y ein kleinstes Element β0 , da ∈ Wohlordnung auf α ist. β0
ist kleinstes Element in X: Sei β ∈ X. Wenn β ∈ α, dann β ∈ y und also β0 ≤ β, wenn β ∈
/ α, dann α ∈ β und
also β0 < β.
Transfinite Induktion über Ordinalzahlen:
Für jede Teilklasse X ⊆ On gilt: Wenn für alle α ∈ On gilt:
(∀β < α)(β ∈ X) → α ∈ X,
dann ist X = On.
Anders formuliert: Für alle X ⊆ On:
(∀α ∈ On)(α ⊆ X → α ∈ X) → (∀α ∈ On)α ∈ X.
(Wenn ¬(∀α ∈ On)(α ∈ X), dann existiert eine kleinste Ordinalzahl α′ ∈
/ X. Aber dann gilt auch ¬((∀β <
α′ )(β ∈ X) → α′ ∈ X).)
Andere Formulierung des Induktionsprinzips: Wenn für X ⊆ On:
• 0 ∈ X,
• (∀α ∈ On)(α ∈ X → α + 1 ∈ X),
• für alle Limes-Ordinale λ gilt (∀β ∈ λ)(β ∈ X → λ ∈ X),
dann ist X = On.
Um zu zeigen, dass eine Eigenschaft ϕ(x) auf alle Ordinalzahlen zutrifft (d.h. X := {α ∈ On | ϕ(α)} = On)
haben wir zwei Strategien:
1
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2
(a) Betrachte eine beliebige Ordinalzahl α und nimm an, dass ϕ(β) für alle β < α gilt. Zeige, dass dann auch
ϕ(α) gilt.
(b) Zeige:
• ϕ(0),
• wenn ϕ(α), dann auch ϕ(α + 1),
• für jede Limeszahl λ gilt: Wenn ϕ(α) für alle α ∈ λ, dann auch ϕ(λ).
Mit beiden Strategien folgt X = On.
Klasse: {x | ϕ(x, y1 , . . . , yn )}. Ein Funktional F : A → V ist eine funktionale Klasse von Paaren aus A × V , d.h.
für alle Mengen x ∈ A existiert genau eine Menge y mit (x, y) ∈ F .
Das Ersetzungsaxiom besagt: Wenn a eine Menge ist und F : V → V ein Funktional, dann ist F [a] = {F (x) |
x ∈ a} wieder eine Menge.
Satz. (Rekursionssatz für ZFC)
Zu jedem Funktional G : V → V gibt es genau ein Funktional F : On → V , so dass für alle α ∈ On: F (α) =
G(F |α ). (F |α : α → V , so dass (F |α )(x) = F (x) für alle x ∈ α.)
Beweis. (analog zum Rekursionstheorem für ω)
Für alle β ∈ On gibt es genau ein Funktional f : β → V , so dass für alle α ∈ β: (*) f (α) = G(f |α ).
Eindeutigkeit: Wenn ein anderes solches f ′ : β → V existiert, dann existiert ein kleinstes α ∈ β mit f (α) 6= f ′ (α).
Dann gilt aber f |α = f ′ |α und daher f (α) = G(f |α ) = G(f ′ |α ) = f ′ (α), Widerspruch.
Existenz: Per Induktion über β.
• β = 0. Setze f = ∅.
• β = β ′ + 1. Wähle f ′ : β ′ → V , das (*) erfüllt und setze f : f ′ ∪ {(β ′ , G(f ′ ))}.
• β ist Limeszahl. Nach Ersetzungsaxiom ist X = {f ′ : β ′ → V | β ′ < β, f ′ erfüllt
(*)} eine Menge, da die
S
f ′ durch die β ′ eindeutig bestimmt sind. Aus dem gleichen Grund ist f = X eine Funktion.
S
Setze nun F := {f : β → V | β ∈ On, f erfüllt (*)}.
Das Rekursionsschema wird oft so angewendet, dass für das zu definierende Funktional F : On → V folgendes
vorgegeben wird:
• F (0).
• Eine Vorschrift, wie F (α + 1) aus F (α) bestimmt wird.
• Eine Vorschrift, wie für Limeszahlen λ der Wert F (λ) aus den F (α) für α < λ bestimmt wird.
1.4
Die von Neumann-Hierarchie
Die von Neumann-Hierarchie (Vα )α∈On ist durch Rekursion auf On wie folgt definiert:
• V0 := ∅.
• Vα+1 = Pot(Vα ).
• für Limeszahlen λ: Vλ =
S
α<λ
Vα .
Die Existenz und Eindeutigkeit des Funktionals F : On → V mit F (α) = Vα folgt aus dem Rekursionssatz.
(Sei nämlich G : V → V das Funktional mit


Pot(f (α)),
falls f : α + 1 → V,
S
G(f ) =
{f (α) | α ∈ λ)}, falls f : λ → V, λ Limeszahl,


∅,
sonst.
Dann ist Vα := F (α) = G(F |α ).)
Die Vα definieren eine kumulative Hierarchie von Mengen.
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Lemma. Für alle α, β ∈ On gilt:
(a) Vα ist transitiv.
(b) Wenn β < α, dann ist Vβ ∈ Vα und Vβ ⊆ Vα .
Satz. Vα ∩ On = α. Speziell: α ∈ Vα+1 .
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