Vorlesung 08 - sigma mathematics logo

Mathematische Logik II
Vorlesung 08
10.05.2005
Dieses Dokument wurde von der Homepage www.sigma-mathematics.de runtergeladen. Es darf zu nichtkommerziellen Zwecken verwendet und frei weitergegeben werden. Jeglicher Mißbrauch ist untersagt. Ich
hafte nicht für eventuelle Schäden, die durch Verwendung dieses Dokuments auftreten. Sollte das Dokument
Fehler enthalten, so melden Sie diese bitte an
[email protected].
1.6
Mächtigkeiten und Kardinalzahlen
Definition. Zwei Mengen x, y sind gleichmächtig (kurz: x ∼ y), wenn eine bijektive Funktion f : x → y existiert.
x y: es existiert injektive Funktion f : x → y
Lemma. Unter ZF gilt:
(a) ∼ ist Äquivalenzrelation auf V .
(b) x ∼ y ⇒ x y ∧ y x.
(c) ist reflexiv und transitiv.
(d) x ⊆ y ⇒ x y.
Umkehrung von (b):
Satz. (Bernstein-Cantor-Schröder)
Unter ZF gilt: x y ∧ y x ⇒ x ∼ y.
Definition. Die Mächtigkeit |x| von einer Menge x ist die kleinste Ordinalzahl α, die gleichmächtig ist zu x.
|x| = min{α ∈ On | α ∼ x}.
Die Klasse der Kardinalzahl ist Cn := {|x| | x ∈ V } = {α ∈ On | |α| = α}.
Lemma.
(a) x ∼ y ⇔ |x| = |y|.
(b) x y ⇔ |x| ≤ |y|.
Beweis.
(a) Klar.
(b) „⇐“: |x| ≤ |y| ⇒ |x| ⊆ |y| ⇒ x y.
∼
∼
∼
„⇒“: f : x ֒→ y injektiv, x → |x|, y → |y|, also fˆ: |x| ֒→ |y| injektiv, also fˆ: |x| → fˆ[|x|] ⊆ |y|.
fˆ[|x|] ist Teilmenge einer Ordinalzahl, damit selbst wohlgeordnet und also isomorph zu einer Ordinalzahl
∼
β. z.z.: β ≤ |y| = α. Die Abbildung g : (β, <) → (fˆ[x], <) ⊆ (|y|, <) = (α, <) ist wohlgeordnet. z.z.:
g : β → α ordnungserhaltend ⇒ β ≤ α. (dies sei für alle β ′ < β bereits bewiesen. g : β → α induziert für
jedes β ′ < β eine ordnungserhaltendende Abbildung g|β ′ : β ′ → g(β ′ ). Nach Induktionsvoraussetzung folgt
β ′ ≤ g(β ′ ) < α. Also β = {β ′ | β ′ < β} ⊆ {β ′ | β ′ < α} und daher β ≤ α.
Beispiel. Alle natürlichen Zahlen und ω sind Kardinalzahlen. ω + 1 ist keine Kardinalzahl, da |ω + 1| = ω.
Definition. x ist endlich genau dann, wenn x ∼ n für ein n ∈ ω. x ist abzählbar genau dann, wenn |x| ≤ ω.
1
www.sigma-mathematics.de/semester5/malo2/vorlesungen/vorlesung08.pdf
2
Satz. (Cantor) Für alle Mengen x gilt |x| < | Pot(x)| (also x ≁ Pot(x)).
Beweis. Keine Funktion f : x → Pot(x) ist surjektiv, da y = {a ∈ x | x ∈
/ f (a)} ∈
/ Bild(f ). Sonst wäre y = f (b)
für ein b ∈ x. Dann gilt b ∈ y ⇔ b ∈
/ f (b) = y. Widerspruch.
Daraus folgt, dass es zu jeder Kardinalzahl κ ∈ Cn ein κ′ ∈ Cn gibt mit κ < κ′ . Da Cn ⊆ On gibt es dann auch
eine kleinste Kardinalzahl größer κ, welche man mit κ+ bezeichnet.
Lemma. Sei κ ∈ Cn, κ unendlich. Dann ist κ Limesordinalzahl.
Beweis. Übung.
Cn∞ : Klasse aller unendlichen Kardinalzahlen. Da Cn∞ ⊆ On und Cn∞ nicht nach oben beschränkt ist, ist
Cn∞ eine echte Klasse.
Definition. Sei κ ∈ Cn∞ .
• κ ist Nachfolgerkardinalzahl, wenn κ = λ+ für ein λ ∈ Cn.
• andernfalls ist κ Limeskardinalzahl.
Man beachte, dass auch eine Nachfolgerkardinalzahl eine LimesordinalzahlSist. (Bsp.: ω ist Limeskardinalzahl)
Wir definieren ein Funktional ℵ : On → Cn∞ , ℵ0 := ω, ℵα+1 := ℵ+
α , ℵλ :=
α<λ ℵα (λ Limesordinal).
Satz. Cn∞ = {ℵα | α ∈ On}.
S
Beweis. „⊇“: Zu zeigen ist, dass für Limesordinale λ, ℵλ = α<λ ℵα tatsächlich eine Kardinalzahl ist. Zunächst:
ℵλ Vereinigung einer Menge von Ordinalzahlen und daher selbst eine Ordinalzahl. Zu zeigen: |ℵλ | = ℵλ . „≤“:
klar. „≥“: Sei β ≤ λ: Dann existiert α < λ mit β ∈ ℵα = |ℵα | ≤ |ℵλ |, also β < |ℵλ | und damit ℵλ ⊆ |αλ |.
„ ⊆ “: ω = ℵ0 . Sei κ ∈ Cn∞ , κ > ω.
(a) (∃α ∈ On)ℵα ≥ κ. (Andernfalls ist A = {ℵα | α ∈ On} ⊆ κ, also nach Aussonderungsaxiom eine Menge.
Durch f : α 7→ ℵα ist aber eine Bijektion von On nach A gegeben, so dass nach dem Ersetzungsaxiom On
eine Menge wäre.) Sei nun α = min{β | ℵβ ≥ κ}
(b) κ = ℵα : Sonst gilt für jedes β < α, dass ℵβ < κ < ℵα .
((i)) α = β + 1. Dann ist ℵα = ℵ+
β die kleinste Kardinalzahl > ℵβ . Also unmöglich, dass ℵβ < κ < ℵα .
S
((ii)) α Limeszahl. Dann ist ℵα = β<α ℵβ ≤ κ < ℵα . Widerspruch.
Also ist κ = ℵα und damit der Satz bewiesen.
Kardinalzahlarithmetik: Für κ, λ ∈ Cn:
˙
κ + λ := |κ × {0} ∪ λ × {1}| = |κ∪λ|,
κ · λ := |κ × λ|, κλ := |λκ | := |{f : λ → κ Funktion}|. Für κ, λ ∈ ω haben
diese Operationen die üblichen Eigenschaften.
Lemma.
(a) (Cn, +, 0) kommutative Halbgruppe.
(b) (Cn, ·, 1) kommutative Halbgruppe.
(c) κ ≤ λ ⇒ κ + µ ≤ λ + µ.
(d) κ(λ + µ) = κλ + κµ.
(e) κ ≤ λ ⇒ κ · µ ≤ λ · µ.
(f) 0 · κ = κ · 0 = 0.
(g) κλ+µ = κλ · κµ , κλ·µ = (κλ )µ .
(h) (κ · λ)µ = κµ · λµ .
(i) κ0 = 1, κ1 = κ, 0κ = 0 für κ 6= 0.
Satz. (Hessenberg) Für alle λ ∈ Cn∞ gilt: λ · λ = λ.
Beweis. Z.z.: Für alle Ordinalzahlen α ≥ ω gilt: α × α ∼ α. Für λ ∈ Cn∞ : λ · λ = |λ × λ| = |λ| = λ.