Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in

Vokabelbuch
In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen und
Ergebnisse aus der Vorlesung korrekt zu formulieren. Für jede richtig gelöste Teilaufgabe
bekommen Sie einen Punkt. Sie können in diesem Teil insgesamt 10 Punkte erwerben.
(1) Formulieren Sie das Unendlichkeitsaxiom
Antwort: Es existiert eine Menge a mit
(a) ∅ ∈ a, und
(b) ∀x : (x ∈ a ⇒ s(x) = x ∪ {x} ∈ a).
(2) Sei (a, ≤) eine geordnete Menge. Wann heißt “≤” Wohlordnung auf a.
Antwort: “≤” heißt Wohlordnung auf a, falls jede nichtleere Teilmenge b ⊆ a ein
Minimum besitzt.
(3) Geben sie die drei kleinsten Ordinalzahlen an.
Antwort: ∅, {∅}, {∅, {∅}} (die Antwort 0, 1, 2 wäre auch OK).
(4) Seinen a und b Mengen. Geben Sie die mengentheoretische Definition einer Abbildung
f : a → b an?
Antwort: Eine Abbildung f : a → b ist eine Menge f ⊆ a × b, so dass zu jedem x ∈ a
genau ein y ∈ b existiert mit (x, y) ∈ f .
(5) Sei a eine Menge. Wie ist die Hartog-Zahl H(a) von a definiert?
Antwort: Es gilt H(a) = {β ∈ On : es existiert eine injektive Abbildung f : β → a}.
(6) Erklären Sie das Prinzip der transfiniten Induktion (im Vorlesungsmanuskript leider
fälschlicher Weise “transitive Induktion” genannt).
Antwort: Für jede Ordinalzahl β sei Eβ eine Aussage. Ferner gelte: E0 ist wahr und
für jede Ordinalzahl α gilt: Ist Eβ wahr für alle β < α, so auch Eα . Dann gilt Eβ für
alle β ∈ On.
Weitere Möglichkeit: Für jede Ordinalzahl β gelte: Eβ ⇒ Eβ+1 und für jede Limeszahl
α gelte: ist Eβ wahr für alle β < α, so gilt auch Eα . Dann gilt Eβ für alle β ∈ On.
(7) Geben Sie alle wahren Implikationen zwischen den folgenden Aussagen an:
(1) Es gilt das Auswahlaxiom.
(2) Es gilt das Zornsche Lemma.
(3) Es gilt der Wohlordnungssatz.
Antwort: Es gilt (1) ⇔ (2) ⇔ (3).
(8) Sei a eine Menge. Wie ist die Kardinalität von a definiert?
Antwort: Die Kardinalität |a| von a ist die kleinste Ordinalzahl α, so dass eine
bijektive Abbildung f : α → a existiert.
(9) Seien α und β Kardinalzahlen. Wie sind die Kardinalzahlen α + β, α · β und αβ definiert?
Antwort: α + β = |α × {0} ∪ β × {1}|, α · β = |α × β| und αβ = | Abb(β, α)|,
wobei Abb(β, α) = {f : β → α : f ist eine Abbildung} und |a| die Kardinalität einer
Menge a bezeichet.
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(10) Was fällt Ihnen zur Aussage “|R| = ℵ1 ” ein?
Antwort: Das ist die Aussage der Continuumshypothese (da |R| = 2N gilt).
Beweisen
In diesem Abschnitt sollen Sie einige Aussagen beweisen. Sie dürfen dazu alle Resultate der
Vorlesung benutzen, sofern dies nicht ausdrücklich ausgeschlossen wird. Für jede vollständig
richtig gelöste Aufgabe erhalten Sie 3 Punkte. Sie können also in diesem Bereich insgesamt 15
Punkte erreichen.
Aufgabe 1. Schreiben Sie eine Formel φ(a, b) auf, die genau dann gilt, wenn b die Potenzmenge von a ist. Verwenden sie hierbei lediglich die Symbole ∧, ∨, ¬, ⇒, ∀, ∃, ∈, a, b, x0 , x1 , x2 , . . . .
Zusätzlich dürfen sie noch Klammern einsetzen um die Formel zu Gliedern.
Beweis: Zunächst gilt ∀x1 (x1 ∈ x0 ⇒ x1 ∈ a) genau dann, wenn x0 eine Teilmenge von a
ist, die gesuchte Formel ist äquivalent zu “Für alle x0 ist x0 in b genau dann, wenn x0 eine
Teilmenge von a ist”. Also erhalten wir
φ(a, b) ≡ ∀x0 (((∀x1 (x1 ∈ x0 ⇒ x1 ∈ a)) ⇒ x0 ∈ b) ∧ (x0 ∈ b ⇒ (∀x1 (x1 ∈ x0 ⇒ x1 ∈ a))))
Aufgabe 2. Sei f : A → B eine Surjektion. Zeigen Sie: Es existiert eine Injektion g : B → A.
Beweis: (O.B.d.A. sind A, B nicht leer) Bezeichne f −1 (b) das Urbild von b unter f . f surjektiv
impliziert A′ := {f −1 (b) ⊆ A | b ∈ B} ist eine nicht-leere Menge nicht-leerer Mengen. Die
Elemente von A′ sind sogar paarweise disjunkt, da f eine Funktion ist. Nach dem Auswahlaxiom
existiert also eine Auswahlfunktion, die für alle b ein ab ∈ f −1 (b) ⊆ A auswählt, dies ist eine
Injektion, da die f −1 (b) paarweise disjunkt sind.
Aufgabe 3. Geben Sie eine Teilmenge der reellen Zahlen an, die ordnungsisomorph zu s(N) =
N + 1 ist und beweisen Sie, dass die von Ihnen angegebene Menge dies wirklich erfüllt.
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| n ∈ N} ∪ 1 ist eine Menge mit den gewünschten
Beweis: Behauptung: A := {1 − n+1
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Eigenschaften. Betrachte hierzu die Abbildung f : N ∪ {N} → definiert durch f (n) = 1 − n+1
für
alle n ∈ N und f (N) = 1, die Abbildung ist eine Surjektion nach Definition von A und injektiv
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und ordnungserhaltend da 1 − n+1
streng monoton steigend in n ist und 1 > 1 − n+1
für alle
n ∈ N gilt. Also ist f ein Ordnungsisomorphismus.
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass On, die Klasse der Ordinalzahlen, keine Menge ist.
Beweis: Nehmen wir an On wäre eine Menge, so ist On eine Ordinalzahl, da transitiv und
Wohlgeordnet durch ∈. Also hätten wir (nach Definition von On) On ∈ On - Widerspruch!
Aufgabe 5. Zeigen Sie: Ist P(a), die Potenzmenge einer Menge a transitiv, so ist auch a
selbst transitiv.
Beweis: b ∈ a ⇒ {b} ∈ P(a) ⇒ {b} ⊆ P(a) ⇒ b ∈ P(a) ⇒ b ⊆ a, wobei wir die Definition der
Potenzmenge, die Vorraussetzung und zuletzt wieder die Definition der Potenzmenge verwenden.