Lokale Minimierer der Möbius-Energie sind unendlich oft

Lokale Minimierer der Möbius-Energie sind unendlich oft differenzierbar
Philipp Reiter (RWTH Aachen)
Im Jahr 1991 definierte J. O’H [1] für absolutstetige Kurven γ : R/(`Z) → R3 das
Funktional E durch
!
"
1
1
E : γ 7→
−
|γ̇(s)| |γ̇(t)| ds dt,
|γ(s) − γ(t)|2 Dγ (s, t)2
(R/(`Z))2
wobei der Ausdruck Dγ (s, t) den Abstand von γ(s) und γ(t) auf der Kurve γ bezeichnet.
B
Weil dieses Funktional Selbstabstoßung modelliert, hofft
man, durch Minimieren schöne“ Vertreter innerhalb einer
”
γ̃1
gegebenen Knotenklasse zu finden.
Aufgrund der von ihnen entdeckten Invarianz unter MöbiusTransformationen im R3 führten M. F, Z.-X. H,
und Z. W [2] den Namen Möbius-Energie ein und beγ1
wiesen unter anderem, dass jeder lokal minimale Knoten
γ2
(bezüglich einer vorgegebenen Knotenklasse) in C 1,1 liegt.
Dieses Resultat beweisen sie mittels Sphäreninversionen
im R3 wie in der nebenstehenden Zeichnung.
Später skizzierte Z.-X. H [3], wie man ausgehend von der Euler-Lagrange-Gleichung
von E mit geeigneten Pseudodifferentialoperatoren ein Bootstrap-Argument konstruieren und somit obiges Resultat auf C ∞ -Regularität verbessern kann.
Im Vortrag sollen die wesentlichen Ideen dieser beiden Schritte vorgestellt werden, die
ganz unterschiedliche Techniken aus Geometrie und Analysis erfordern.
L
[1] Jun O’Hara. Family of energy functionals of knots. Topology Appl., 48(2):147–161, 1992.
[2] Michael H. Freedman, Zheng-Xu He, and Zhenghan Wang. Möbius energy of knots and unknots.
Ann. of Math. (2), 139(1):1–50, 1994.
[3] Zheng-Xu He. The Euler-Lagrange equation and heat flow for the Möbius energy. Comm. Pure
Appl. Math., 53(4):399–431, 2000.
[4] Philipp Reiter. Knotenenergien. Diploma thesis, Math. Inst. Univ. Bonn, 2004.