Atome, Moleküle, Kondensierte Materie ¨Ubung 3

Atome, Moleküle, Kondensierte Materie
Übung 3
Sommersemester 2011 Universität Bonn
Abgabe bis Do. 28.04.2011 18:00
in die Ablagen neben Raum 262 HISKP
Aufgabe 3.1: Kurzfragen (8 Punkte)
(a) Welche physikalischen Effekte zeigen den Wellen-, welche den Teilchencharakter von Licht?
Nennen Sie je zwei Beispiele.
(b) Informieren Sie sich über den Fotoeffekt. Warum widerspricht das experimentelle Ergebnis
dem klassischen Wellenbild?
(c) Nennen Sie mindestens drei Systeme, die sich auch durch das Bohrsche Atommodell beschreiben lassen.
(d) Warum muss die Wellenfunktion Ψ als Lösung der Schrödinger-Gleichung normierbar sein?
Ist Ψ eindeutig durch die Schrödinger-Gleichung definiert?
(e) Was ist eine Eigenfunktion und wofür braucht man diese in der Quantenmechanik?
(f) Wie wird die Messung eines quantenmechanischen Systems mathematisch beschrieben?
(g) Um welche Eigenschaft quantenmechanischer Systeme geht es in dem folgenden Zitat von
Richard P. Feynman (1965)? Wird diese Eigenschaft in jedem quantenmechanischen System
beobachtet?
“A philosopher once said, ’It is necessary for the very existence of science that the
same conditions always produce the same results.’ Well, they don’t!”
(h) Lebt Schrödingers Katze solange man nicht nachschaut? Begründen Sie in einem Satz.
Aufgabe 3.2: Linienspektren (3 Punkte)
(a) Zu welchen Hauptquantenzahlen n führen die Übergänge der Lyman-, Balmer-, Paschenserie
und in welchen Wellenlängenbereich liegen diese Serien?
(b) Das Positron ist das Antiteilchen zum Elektron mit der Ladung +e und derselben Ruhemasse
me wie das Elektron. Unter Positronium versteht man ein gebundenes Elektron-PositronPaar. Beim Positronium geht man davon aus, dass e− und e+ – analog wie beim Wasserstoffatom - um den gemeinsamen Schwerpunkt kreisen. Berechnen Sie für das Positronium die
Wellenlänge der ersten drei Linien der Lyman-Serie sowie dessen Seriengrenze.
Aufgabe 3.3: Struktur der Schödinger-Gleichung (3 Punkte)
Der sogenannte Separationsansatz für die Schrödinger-Gleichung (SG) ist ein hilfreiches Werkzeug, welches bei der Behandlung des Wasserstoffatoms eine wichtige Rolle spielt. Analog kann die
eindimensionale SG
−h̄ ∂ 2
∂
+ V (x) ψ(x, t)
ih̄ ψ(x, t) =
∂t
2m ∂x2
mit dem Ansatz ψ(x, t) = u(x) · f (t) in zwei getrennte Gleichungen zerlegt werden.
(a) Unter welchen allgemeinen Vorraussetzungen ist ein Separationsansatz möglich?
(b) Separieren Sie die eindimensionale SG in zwei getrennte Gleichungen für t und x und finden
Sie die Lösung f (t).
Aufgabe 3.4: Photon unter Antwort-Zwang (6 Punkte)
Detektor y
z
Detektor x
Eine in der xy-Ebene polarisierte elektromagnetische
Welle E = E0 (cos α, sin α, 0) der Energie h̄ω läuft entlang der z-Achse und passiert ein Nicolsches Prisma
(siehe rechts). Das Prisma zerlegt das Licht in den in
x-Richtung und in y-Richtung polarisierten Teil. Wie
in der Abbildung dargestellt wird der Weg eines einzelnen Photons durch zwei Detektoren nachgewiesen.
Diese messen nur Ereignisse mit Energien E ≥ h̄ω.
Nicolsches Prisma
P
Quantensysteme dieser Art werden beschrieben durch eine Wellenfunktion ψ = i ci φi , wobei φi
Eigenzustände des Systems sind und ci die zugehörigen komplexen Koeffizienten. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System im Zustand φ1 befindet, ist gegeben durch P1 = |c1 |2 .
(a) Was sind die Eigenzustände des Systems physikalisch gesehen?
(b) Stellen Sie die Wellenfunktion ψ auf, welche das obige Quantensystem korrekt beschreibt.
(c) Welches Messergebnis erhält man, wenn nur ein Photen durch das Prisma geschickt wird?
(d) Welches Messergebnis erhält man, wenn man 1000 Photonen durch das Prisma schickt?
(e) Im Fall hoher Photonenströme misst man mit den Photomultipliern gewisse Intensitäten
Ix,y = px,y I0 anstatt einzelner Photonen. Zeigen Sie, dass dies dem klassisch erwarteten
Verhalten eines Polarisators entspricht.