/5+3 x1 x2 x3 ∑3 (i · xi) f(x 1,x2,x3) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1

/5+3
Aufgabe 1 Logik
(a) Die BoolescheP
Funktion f : B3 −→ B nimmt genau dann den Wert 1 an, wenn
der Ausdruck 3i=1 (i·xi ) durch 3 teilbar ist (der Ausdruck beschreibt die Summe
der Indizes aller Variablen mit dem Wert 1).
Verwenden Sie die nachfolgende Tabelle zur Beschreibung von f und erzeugen
Sie die zugehörige kanonische KNF und DNF. Vereinfachen Sie beide soweit das
möglich ist!
(b) Welche der nachfolgenden logischen Signaturen ist funktional vollständig und
welche nicht.
Σ1 = { 0 , ⇒ }
Σ2 = { 1 , ⇒ }
Die Unvollständigkeit kann durch Angabe einer nicht realisierbaren Funktion
begründet werden.
a)
x1 x2 x3
Seite 2/9
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
P3
i=1 (i
· xi ) f (x1 , x2 , x3 )
Nachklausur zur Vorlesung Pro Informatik: Logik und Diskrete Mathematik B SoSe 2009
/5+3
Aufgabe 2 Äquivalenzrelationen und Kombinatorik
(a) Sei M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und X = M3 die Menge aller 3-elementigen Teilmengen
von M . Die Äquivalenzrelation ∼ ⊆ X × X ist wie folgt definiert:
{a1 , a2 , a3 } ∼ {b1 , b2 , b3 }
⇐⇒
a1 + a2 + a3 = b 1 + b 2 + b 3
Wieviele Äquivalenzklassen hat die Relation ∼? Geben Sie ein Repräsentantensystem der Relation an und bestimmen Sie die Äquivalenzklassen [{1, 2, 5}]∼
und [{1, 3, 6}]∼
Hinweis: Überlegen Sie welche Summen sich über 3-elementigen Teilmengen
von M ergeben können.
(b) Wieviele Äquivalenzklassen hat die Relation ∼, wenn man die Menge M durch
die Menge aller Zahlen von 1 bis n ersetzt? Begründen Sie, dass es inl diesem
m
Fall mindestens eine Äquivalenzklasse geben muss, in der mindestens n(n−1)
18
Teilmengen von X liegen.
Seite 4/9
Nachklausur zur Vorlesung Pro Informatik: Logik und Diskrete Mathematik B SoSe 2009
/4+4
Aufgabe 3 Graphen
(a) Der Graph Gn habe die Knotenmenge Vn = {1, 2, . . . , n} und alle Kanten {i, j},
für die max(i, j) ≤ 2 · min(i, j) gilt.
Zeichnen Sie den Graphen G9 in das folgende Schema und bilden Sie den BFS–
Baum von G9 mit Startknoten 1 und aufsteigend geordneten Adjazenzlisten.
(b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für die Anzahl der Kanten von Gn
die folgende Formel gilt:
 n2
falls n gerade
 4
|En | =
 n2 −1
falls n ungerade
4
a)
G9
BFS(G9 )
1
2
9
3
4
6
Seite 6/9
5
2
9
8
7
1
8
3
7
4
6
5
Nachklausur zur Vorlesung Pro Informatik: Logik und Diskrete Mathematik B SoSe 2009
Aufgabe 4 Verschiedenes
/3+3+2
(a) Wir betrachten ein Experiment von 6 Münzwürfen (unabhängig und gleichverteilt). Sei A das Ereignis, dass der erste und letzte Münzwurf das gleiche
Ergebnis haben, und B das Ereignis, dass genau fünfmal Zahl geworfen wird.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A und B und untersuchen Sie, ob
diese Ereignisse unabhängig sind.
(b) Zeigen Sie, dass in einem endlichen, gerichteten Graphen, in dem jeder Knoten
mindesten eine ausgehende Kante hat, immer ein gerichteter Kreis existiert.
(c) Wieviele surjektive, n-stellige Boolesche Funktionen gibt es? Geben Sie eine
kurze Begründung an!
Seite 8/9
Nachklausur zur Vorlesung Pro Informatik: Logik und Diskrete Mathematik B SoSe 2009