¨Ubungsblatt 5

Grundlagen der Logik in der Informatik
WS 2016
Übungsblatt 5
Abgabe der Lösungen: Tutorium in der Woche 28.11.-2.12.
Aufgabe 1
Beweis durch Fallunterscheidung (Präsenzaufgabe)
Beweis durch Fallunterscheidung ist eine Beweisstrategie, die man zusammenfassend wie folgt
beschreiben kann: Um einen Satz φ zu beweisen, reicht es aus, ein ψ zu finden, so dass sowohl
ψ als auch ¬ψ (jeweils für sich genommen natürlich) φ implizieren.
1. Zeigen Sie, dass der Beweis durch Fallunterscheidung ein gültiges Prinzip des FitchKalküls ist. Führen Sie zu diesem Zweck eine neue Fitch-Regel ein, die den Beweis durch
Fallunterscheidung implementiert, und zeigen Sie, dass diese im Fitch-Kalkül herleitbar
ist.
2. Implementieren Sie das Fallunterscheidungsprinzip in Coq. Konkret gesagt, vervollständigen Sie den folgenden Coq-Beweis.
1
Require Import Classical_Prop .
(* NNPP *)
2
3
4
5
6
7
8
9
Section F al l _ Un t e rs c h ei d u ng .
(* Anfang des Namensraums *)
Variables x y : Prop .
(* Lokale Variablen *)
Lemma FU : ( x -> y ) /\ ( ~ x -> y ) -> y .
Proof .
(* Beweis hier einf ü gen *)
Qed .
End F a ll _ U nt e r sc h e id u n g .
(* Ende des Namensraums *)
3. Beweisen Sie das Gödel-Dummett-Axiom (A → B)∨(B → A) mithilfe des Fallunterscheidungsprinzips.
Aufgabe 2
Fitch mit Disjunktion
(6 Punkte)
Disjunktion ist bekanntermaßen durch Konjunktion und Negation definiert. Formeln, die Disjunktionen enthalten, kann man dementsprechend in zwei Schritten beweisen: zunächst ∨ durch
∧ und ¬ ersetzen, danach den Fitch-Kalkül verwenden. In der Vorlesung wurden ohne Herleitung Disjunktionsregeln
2 Punkte
4 Punkte
φ
(∨I1 )
φ∨ψ
ψ
(∨I2 )
φ∨ψ
φ
..
.
ψ
..
.
ξ
ξ
ξ
φ∨ψ
(∨E)
GLoIn, WS 2016
eingeführt. Leiten Sie die neuen Regeln her.
Aufgabe 3
Äquivalenzen in Coq
(9 Punkte)
Formalisieren Sie die Beweise der folgenden Äquivalenzen in Coq.
1. (φ → ψ) ∨ φ und (ψ → φ) ∨ ψ;
3 Punkte
2. (φ ∧ ψ) → ξ und (φ → ξ) ∨ (¬ξ → ¬ψ);
3 Punkte
3. (φ ∧ (ψ → ξ)) → ψ und (φ ∧ (ψ → ¬ξ)) → ψ.
3 Punkte
Dabei dürfen Sie ausschließlich die Taktiken intro, apply, exact, assumption, split, left,
right, contradiction, destruct und assert benutzen. Sie dürfen das Lemma aus Aufgabe 1
in Anspruch nehmen. Dieses lässt sich wie folgt aufrufen:
apply FU with (x:=ψ).
(wobei ψ eine geeignete aussagenlogische Formel ist); Dadurch wird das aktuelle Ziel φ mit der
Konjunktion (ψ → φ) ∧ (¬ψ → φ) ersetzt.
Aufgabe 4
Wenn Schweine fliegen könnten
(5 Punkte)
Beweisen Sie in Coq, dass unter der Annahme, dass Schweine
fliegen können, die Herleitung von Aufgabe 5, Übungsblatt 1
logisch stichhaltig ist. Der Coq-Beweis muss die gleichen Bedingungen wie bei Aufgabe 3 erfüllen.
Bonusaufgabe: Maximal konsistente
Mengen
(3 Punkte)
Wie Sie sich aus der Vorlesung erinnern, ist der zentrale
Schritt im Beweis der Vollständigkeit des natürlichen Schließens der Beweis des Lindenbaumlemmas, d.h. der Tatsache,
dass jede konsistente Menge zu einer maximal konsistenten
Menge erweitert werden kann.
Sei A = {Ai | i ∈ N} die Menge der Atome, und sei Φ die Formelmenge {Ai ↔ Ai+1 | i ∈ N}.
1. Beweisen Sie, dass Φ konsistent ist. Nutzen Sie dafür den Korrektheitsatz aus der Vorlesung.
2. Beweisen Sie, dass es genau zwei maximal konsistente Mengen gibt, die Φ erweitern.
Hinweis: Sie dürfen die Resultate der Vorlesung verwenden, insbesondere das Hintikka-Lemma.
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