4. ¨Ubungswoche

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4. Übungswoche
Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzeichen (Fortsetzung)
[ 5 ] Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1, 2, 3, 4 und 5 annehmen kann besitze
die folgende unvollständig gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion PX (x):
x
1
2
PX (x)
0.2
0.3
3
4
5
0.2
0.1
a) Bestimmen Sie die fehlende Wahrscheinlichkeit PX (3).
b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FX (t).
c) Berecchnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
i) P (1 < X ≤ 3); P (2 ≤ X < 5); P (2 ≤ X ≤ 3); P (1 < X < 5)
ii) P (X ≥ 2); P (X > 3)
d) Berechnen Sie E(X), E(X 2 ) sowie die Varianz und die Standardabweichung von X.
[ 6 ] Es sei a > 1 eine Konstante. Betrachten Sie die Funktion

 1
1≤x≤a
x
f (x) =
 0
sonst
a) Für welches a ist f (x) eine Dichtefunktion?
b) Bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X < 2); P (X > 2.5) und P (1.5 < X ≤ 2.7).
d) Die folgenden Abbildungen zeigen die Dichte- und die Verteilungsfunktion. Überprüfen Sie
Ihre in c) berechneten Wahrscheinlichkeiten auf graphische Weise mit Hilfe der Verteilungsfunktion und skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeiten als Flächen unterhalb der Dichtefunktion.
2
Verteilungsfunktion
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
F(t)
y = f(x)
Dichtefunktion
1.0
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
0.0
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
x
t
[ 7 ] Die folgende Abbildung zeigt oben die Dichtefunktion und unten die Verteilungsfunktion
einer Zufallsvariablen X.
Dichtefunktion
0.15
f(x)
0.10
0.05
0.00
0
5
10
15
x
20
25
3
Verteilungsfunktion
1.0
0.9
0.8
0.7
F(t)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
5
10
15
20
25
t
Die folgenden Fragen sollen graphisch gelöst werden. Machen Sie sich immer an der Dichtefunktion
deutlich, welche Flächen Sie gerade berechnen bzw. welche Flächen gegeben sind.
a) Wo ungefähr liegt der Schwerpunkt der Dichtefunktion?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu erhalten, die
i) größer als der Schwerpunkt
ii) kleiner als der Schwerpunkt ist?
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
i) P (X ≤ a) für a = 3, 5, 9, 10 und 15.
ii) P (X ≥ b) für b = 2, 4, 8, 10 und 12.
iii) P (X ∈ (a, b]) für (a, b] = (5, 10], (5, 15] und (8, 16].
d) Bestimmen Sie k1 , so dass P (X ≤ k1 ) = α für α = 0.05, 0.10, 0.15 und 0.20.
e) Bestimmen Sie k2 , so dass P (X ≥ k2 ) = α für α = 0.05, 0.10, 0.15 und 0.20.
f) Bestimmen Sie k1 und k2 , so dass P (X ≤ k1 ) = P (X ≥ k2 ) = α/2 für α = 0.05, 0.10 und
0.2. Wie groß ist dann P (k1 ≤ X ≤ k2 )?
4
[ 8 ] Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist im diskreten Fall der Schwerpunkt der (
Wahrscheinlichkeitsfunktion und im stetigen Fall der Schwerpunkt der Dichtefunktion.
)
b) Kann eine diskrete Zufallsvariable mindestens zwei Werte mit positiver Wahrschein- (
lichkeit annehmen, so ist ihre Varianz positiv.
)
c) Ist X eine stetige Zufallsvariable mit Werten im Intervall (0, 1), so gilt dann auch (
E(X) ∈ (0, 1).
)
d) Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen ist die Quadratwurzel aus der Varianz (
und damit ein Maß für die Breite einer Verteilung.
)
e) Für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X gilt E(X) ≥ 0.
(
)
f) Die Varianz einer Zufallsvariablen X ist die erwartete quadratische Abweichung der (
Zufallsvariablen X vom Erwartungswert E(X).
)
g) Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X kann als Mittelwert von sehr vielen (
Realisationen der Zufallsvariablen X interpretiert werden und damit ist E(X) selbst
eine Zufallsvariable.
)
h) Bezeichnet man mit µ den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X, so gilt immer (
E(X − µ) = 0.
)
i) Der Erwartungswert kann als Schwerpunkt der Verteilungsfunktion interpretiert wer- (
den.
)
j) Die Varianz macht Aussagen über die Breite einer Verteilung.
(
)
k) Jede beliebige reelle Zahl kann als Erwartungswert oder als Varianz einer Zufallsvaria- (
blen auftreten.
)
[ 9 ] Schiefe, Kurtosis, Value at Risk
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Schiefe der Verteilung einer Zufallsvariablen X ist E[(X − µ)4 ].
(
)
(
)
(
)
d) Die Schiefe einer Zufallsvariablen X ist definiert als α3 = E(X − µ)3 , wobei µ = EX (
ist.
)
e) Die Schiefe einer normalverteilten Zufallsvariablen ist 0, da die Dichtefunktion symme- (
trisch um µ = EX ist.
)
f) Die Kurtosis einer normalverteilten Zufallsvariablen ist 1.
(
)
g) Verteilungen von Aktienrenditen sind in der Regel flacher als eine Normalverteilung, (
d.h. die Kurtosis ist kleiner als 3.
)
h) Falls der 95%-Value at Risk einer Tagesrendite −1.87% ist, ist die Fläche unterhalb (
der Dichtefunktion links von −1.87 gleich 5%, d.h. im Durchschnitt ist mein Verlust
nur in 5% der Fälle größer als 1.87%.
)
3
E[(X − µ) ]
.
σ3
c) Falls α3 > 0, ist die Verteilung rechts schief und links steil.
b) Die Schiefe einer Zufallsvariablen ist α3 =
5
Kapitel 5: Diskrete Verteilungen
[ 1 ] Eine Veranstaltung rentiert sich nur, wenn mindestens 50 Personen teilnehmen. Eine Anmeldung wird erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1 annulliert. Wie viele Anmeldungen A müssen mindstens vorhanden sein, wenn die Wahrscheinlichkeit einer Unterbesetzung
nicht größer als 0.10 (0.05, 0.01 bzw. 0.005) sein soll? Folgende Berechnungen wurden mit R
durchgeführt:
round(pbinom(49,55:65,0.9),3)
0.476 0.326 0.207 0.121 0.067 0.034 0.017 0.008 0.003 0.001 0.001
round(pbinom(50,55:65,0.9),3)
0.655 0.493 0.343 0.220 0.131 0.073 0.038 0.019 0.009 0.004 0.002
[ 2 ] Im Internet werden unter https://millionenklick.web.de täglich wie beim Lotto 6 aus 49
Zahlen gezogen. Zusätzlich wird eine Superzahl, d.h. eine der Ziffern 0, 1, 2, . . . 9 gezogen. In den
Ziehungen vom 15.09.2008 -24.09.2008 gab es für die Superzahl die folgenden Ergebnisse. Darunter
sind einige Ereignisse, die man wohl kaum erwarten würde, z.B. dass viermal die Null gezogen
wurde und dabei sogar dreimal direkt nacheinander. Wir wollen in der Aufgabe Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, dass solche ,,seltenen” Ereignisse eintreten können. Stellen Sie sich die Frage: Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis (beginnend mit dem morgigen Tag) wieder
eintritt?
15.09. 16.09. 17.09. 18.09. 19.09. 20.09. 21.09. 22.09. 23.09. 24.09.
5
0
4
0
0
0
9
3
4
7
a) Wie groß ist für jede der Ziffern 0, 1, 2, . . . , 9 die Wahrscheinlichkeit, dass sie in einer Ziehung
gezogen wird.
b) Die folgenden Ereignisse sind alle eingetreten. Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit,
dass dieses Ereignis in den nächsten 10 Ziehungen (beginnend mit dem morgigen Tag) wieder
eintritt.
i) Die Null ist in 10 Ziehungen 4-mal gezogen worden.
ii) Die Eins ist überhaupt nicht gezogen worden.
iii) Die Vier ist 2-mal gezogen worden.
iv) Die Drei ist einmal gezogen worden.
c) Auch die folgenden Ereignisse sind eingetreten:
i) Die Null ist 3-mal nach einander gezogen worden. (siehe 18.09.-20.09.) Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass beginnend mit dem morgigen Tag dreimal nach einander die
Null gezogen wird?
ii) Unter den ersten 6 Ziehungen war 4-mal die Null. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass in den nächsten 6 Ziehungen (beginnend mit dem morgigen Tag) wieder genau
4-mal die Null gezogen wird?
6
iii) Die Drei und die Vier sind nacheinander gezogen worden. (siehe 22.09.-23.09.) Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis (beginnend mit dem morgigen
Tag) wieder eintritt?
iv) Die Drei, die Vier und die Sieben sind nacheinander gezogen worden. (siehe 22.09.24.09.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis (beginnend mit dem
morgigen Tag) wieder eintritt?
v) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass (beginnend mit dem morgigen Tag) nach
einander die Eins, die Zwei und die Drei gezogen werden?
d) Wie groß ist der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung für die Anzahl
der Nullen in 10 Ziehungen.
[ 3 ] Bei der Korrektur der Mathe-Klausur am 19.02.2009 stehen Süßigkeiten auf dem Tisch.
Als der Dozent sich ein Teilchen nehmen will, stellt er fest, dass sein Favorit, ein in rotem Papier
eingewickeltes Marzipan eines bekannten deutschen Süßwarenherstellers, noch genau einmal neben
5 anderen Teilen in der Schale liegt. Am Abfallhaufen ist zu sehen, dass bereits 14 Teile vorher
entnommen wurden. Darunter war kein rotes Marzipanteilchen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses rote Teilchen nach 14 Entnahmen noch da ist, wenn man davon ausgeht, dass
alle Teilnehmenden ihre Teile zufällig entnehmen, ohne irgendwelche Präferenzen für bestimmte
Süßigkeiten zu haben?
a) Welche Verteilung ist geeignet, um diese Frage zu beantworten?
b) Geben Sie alle Parameter dieser Verteilung an.
c) Schreiben Sie die Formel zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit auf und berechnen Sie
die Wahrscheinlichkeit.
d) Wie kann man diese Wahrscheinlichkeit mit R berechnen?
[ 4 ] Bernoulli-Verteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Bernoulli-Verteilung ist eine diskrete Verteilung mit nur zwei möglichen Werten.
(
)
b) Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung.
(
)
c) Für die Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter π gilt E(X) = Var(X) = π.
(
)
1 gilt immer: (
)
e) Für die Verteilungsfunktion F (t) einer Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen X mit Pa- (
rameter π gilt: F (t) = P (X = 0) = 1 − π für 0 ≤ t < 1.
)
d) Für die Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter 0
E(X) > Var(X) = π(1 − π).
<
π
<
7
[ 5 ] Binomialverteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Ist X ∼ b(10, π)-verteilt, so kann X nur die Werte 0, 1, 2, . . . , 10 annehmen.
(
)
b) Eine binomialverteilte Zufallsvariable kann als Anzahl der Erfolge in n unabhängigen (
Bernoulli-Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit π aufgefasst werden.
)
c) Für die Anzahl X der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen gilt immer 0 < (
X < n.
)
d) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung mit den Parametern n und (
π = 0.5 ist symmetrisch.
)
e) Für große n und nicht zu kleine bzw. nicht zu große π ähnelt die Wahrscheinlichkeits- (
funktion der Binomialverteilung der Dichtefunktion einer Normalverteilung.
)
f) Die Dichtefunktion der in d) angesprochenen Normalverteilung hat die Parameter µ = (
σ 2 = nπ.
)
g) Der Erwartungswert der Binomialverteilung ist nπ, die Varianz ist n(1 − π).
(
)
h) Die Anzahl der Erfolge in n abhängigen oder unabhängigen Versuchen ist stets b(n, π) (
verteilt.
)