Physik I Bachelorstudiengänge

Physik I
Bachelorstudiengänge
Wirtschaftsingenieurwesen Physikalische Technologien,
Technische Orthopädie,
Chemieingenieurwesen & Wirtschaftsingeningenieurwesen Chemietechnik
Prof. Dr. Hans-Christoph Mertins
Die Veranstaltung Physik I besteht aus dem Zusammenspiel der folgenden Komponenten:
Vorlesung: hier hören Sie die Grundlagen der Physik und lernen an Schauexperimenten die wichtigsten Effekte
kennen. Dieses Script stellt den Stoff der Vorlesung dar, wobei die Beispielaufgaben in der Vorlesung
vorgerechnet und von Ihnen nachgetragen werden müssen. Das Script ersetzt nicht den Besuch der Vorlesung,
sondern soll Ihnen die Mitschrift ersparen. Die Vorlesung orientiert sich an den Büchern „Physik“ von Haliday,
Resnick, Walker, VCH-Viley und „Prüfungstrainer Experimentalphysik“ von Mertins, Gilbert, Spektrum
Akademischer Verlag Elsevier. Jeder Abschnitt der Vorlesung wird durch das entsprechende Kapitel des Buches
„Prüfungstrainer Experimentalphysik“ noch einmal in Volltext zusammengefasst und anhand der Prüfungsfragen
können Sie Ihr aktuelles Wissen schon während des Semesters und nicht erst vor der Prüfung testen.
Übung & Hausaufgaben: in den Übungen, den Tutorien und den wöchentlichen Hausaufgaben lernen Sie die
Theorie in die Praxis umzusetzen und berechnen konkrete Anwendungen .
Praktikum: hier lernen Sie, wie das theoretische Wissen an Messgeräten und Maschinen im späteren Berufsalltag zum tragen kommt.
www.fh-muenster.de/physiklabor hier finden Sie alle wichtigen Informationen wie die Lösungen der Hausaufgaben, Praktikumsanleitungen, Formelsammlungen, die Bilder in höherer Auflösung und andere Hinweise.
Physik I für WiIng Phys. Tech / Chemie / WiIng Chemie / Orthopädie
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Inhalt
Geometrische Optik
1. Maßeinheiten
2. Elektromagnetische Wellen
3. Strahlenoptik, Brechung & Reflexion, Dispersion
4. Optische Abbildung
5. Optische Geräte
Mechanik
1. Kinematik
2. Vektoren
3. Dreidimensionale Bewegung
4. Kraft und Bewegung
5. Arbeit, Energie, Leistung, Energieerhaltung
6. Impuls, Stoßprozesse
7. Rotationsbewegungen, Drehmoment, Drehimpuls
8. Fluid-Dynamik
Schwingungen & Wellen
1. Harmonische Schwingung,
2. Erzwungene Schwingung , Dämpfung, Resonanz
3. Wellen
4. Interferenz, Stehende Wellen
Elektrostatik & Dynamik
Wellenoptik
1. Elektrische Ladung, Elektrische Felder
1. Lichtausbreitung
2. Elektrische Felder
2. Interferenz, Beugung am Spalt & Gitter
Spektrometer, Einzelspalt
3. Elektrischer Dipol
3. Laser
4. Elektrisches Potenzial,
5. Kapazität
6. Strom & Widerstand
(Wellenoptik ist nicht klausurrelevant für
7. Magnetfelder, Lorentzkraft
Chemiker / WiIng-Chemie)
8. Induktion
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1. Maßeinheiten
Um einen Vorgang zu verstehen und mitzuteilen, muss man ihn beschreiben und mit etwas
allgemein Bekanntem vergleichen. Dazu sind Maße und Messvorschriften nötig.
1) Vergleich einer Größe mit einem „Normal“ z.B. Länge eines Stabes (Ur-meter)
2) Normal hat eine Einheit, z.B. Meter [m]
3) weltweit gültig, für alle zugänglich
4) unabhängig vom Beobachter u. äußeren Umständen, unveränderlich
5) Verfahren entwickeln, um alle entsprechenden Größen mit dem Normal zu vergleichen
1.1 Internationales Einheitensystem System (SI)
Größe
Einheit
Zeichen
Länge
Meter
m
Zeit
Sekunde
s
Masse
Kilogramm
kg
Bilden Basis für weitere Einheiten, Geschw. [v] = m/s etc.
1971 festgelegt, entsprechen menschlichem Maßstab,
weitere Einheiten später: Temp [K], elektr. Ladung [C]
1.2 Länge
Definition des Meters [m]
Präzision
1792: 1 m = (Entfernung Nordpol – Äquator)/(10.000.000)
1 m = Urmeter, eingraviert in Platin-Iridium Stab (Paris)
?
10-4 m
1960 1 m = 1.650.763,73 fache der Wellenlänge orangen Lichtes von 86Kr
~10-9 m
1983 1 m = Strecke von Licht im Vakuum in 1/299.792.458 s
< 10-9 m
1.3 Zeit
jedes Zeitnormal muß definieren können:
- wann ist ein Ereignis passiert ? Rückdatierung möglich
- über welche Zeitdauer fand ein Ereignis statt
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1.4 Masse
Urkilogramm Platin-Iridium Zylinder (Paris), Kopie weltweit verschickt
Masse des Kohlenstoff 12C-Atoms: m = 12u
u = 1.6605402 x 10-27 kg
1.5 Einheiten umwandeln
multipliziere geschickt mit Umrechnungsfaktor 1
Bsp.
(1 min)/(60 s) = (60 s)/(1 min) = 1
1 min = 60 s, aber 1 ≠ 60 !
Zahl und Einheit gleichzeitig umformen und Einheiten wie Zahlen behandeln.
z.B.
2 min = (2 min)*1 = (2 min)*((60 s)/(1 min)) = 120 s
Bsp.
Pheidippides läuft 490 v.Ch. von Marathon nach Athen und überbringt den Sieg der
Griechen über die Perser. Er läuft mit der Geschwindigkeit 23 Riden/h. 1 Ride = 4
Stadien, 1 Stadion = 6 Plethren, 1 Plethron = 30.8 m.
Frage Wie schnell lief er in m/s ?
Lsg.
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GEOMETRISCHE OPTIK
2 Elektromagnetische Wellen
Licht ist eine elektromagnetische Welle (EM-Welle), wovon nur ein Teil
des Spektrums ist für das menschliche Auge sichtbar ist.
2. 1 Eigenschaften
Elektrisches (E) und magnetisches (B) Feld wechseln periodisch ihre Richtung
Wir betrachten nur die ebene Welle, d.h. keine Krümmung der Front
r r r r
• transversal: E ⊥ c , B ⊥ c , d.h. senkrecht auf Ausbreitungsrichtung
r r
• E⊥B
r
k
• kann sich ohne Medium ausbreiten
• Lichtgeschwindigkeit c = 299 792 459 m/s
• Wellenlänge gibt Farbe bzw. Energie des Lichtes an
sichtbarer Anteil 400 nm < < 700 nm (von blau bis rot)
λ
2. 2 Erzeugung
a) Thermische angeregte Strahlung in schwarzem Körper (siehe Physik II), Sternen, Sonne
b) Quantenmechanisch: Übergang zwischen Energieniveaus in Atomen (siehe Physik II)
c) Beschleunigte elektrische Ladung strahlt EM Wellen ab (Röntgenröhre, Antenne)
Antenne / Mikrowellensender
Energieversorgung
- Oszillierender elektrischer Strom in Antenne
- LC-Schwingkreis und Energieversorgung
- Antenne wird induktiv eingekoppelt
- Details später im Teil Elektrodynamik
2. 3 Polarisation
linear polarisiert
E-Feld schwingt immer in gleicher Ebene
Polarisationsrichtung = E-Feldrichtung
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Hertzscher Dipol
Ist im Prinzip eine Antenne
strahlt linear polarisierte Wellen ab
Strahlt Wellen Quer zur Antenne, aber nie längs der Antenne
Unpolarisiert
viele Wellenzüge mit beliebigen Schwingungsebenen der E-Felder
Vektorielle Aufteilung aller Komponenten in gleiche x- y-Anteile
Sonne, Glühlampe
unpolarisiert, da statistisch emittierte Wellenzüge jeder Polarisation
Polarisationsmessung Beweis, dass Licht transversale EM Welle ist
Polarisationsfilter
Polaroidfolien: Kunststoffe mit parallel angeordneten, langkettigen Molekülen
Prinzip:
Absorption des lin. Pol. Lichtes, wenn E-Feld parallel zu Molekülen
Langes Molekül wirkt wie Hertzscher Dipol, Anregung der Elektronen
Wellen mit E quer zum Molekül werden nicht aborbiert
Nomenklatur: Pol-Filter absorbiert Welle mit E quer zur Polarisationsrichtung des Filters
Exp. Mikrowellensender und Drahtnetz, 2 Polfilter
Polarimeter
Aufbau zur Messung von Effekten mit linear polarisiertem Licht,
Anwendung: Biologie, Chemie, Physik
Lin pol. Licht fällt auf Pol-Filter unter Pol-Winkel
=>
Durchgelassene Komponente
=>
I = Ex2 = E02sin2
θ
θ
Ex = E0sin
θ
Intensität hinter Analysator
Polarisator
Messung: Polarisator & Analysator 90° verdreht => Lichtabsorption
Probe steht in der Mitte, dreht die Polarisation des Lichtes
=> Analysator drehen, bis wieder Lichtauslöschung
=> Drehwinkel: Drehung der Polarisation durch die Probe
Exp. Rohrzuckergehalt bestimmen, Laser + 2 Polfilter
Exp. Flüssigkristallanzeige
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Probe
Analysator
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3 Strahlenoptik
3.1 Reflexion & Brechung
geometrische Optik: Lichtausbreitung wird durch Lichtstrahlen behandelt
Betrachte Übergang zwischen zwei Medien (z.B. Luft / Glas)
Einfallsebene:
definiert durch einfallenden, reflektierten, gebrochenen Strahl
Normale:
senkrecht zur Grenzfläche
Lichtweg:
von Medium 1 nach Medium 2
Reflexion
θ1 = θ1 `
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
Brechung
n1 sin θ 2
=
n2 sin θ1
Snellius-Gesetz
Exp. Reflexion / Brechung am Glasmodell zeigen
Brechungsindex
n1, n2
Materialkonstanten, ohne Einheit; Interpretation als
optische Dichte des Mediums
n=
c
cmat
c:
Lichtgeschwindigleit, im Vakuum / Material
cmat:
Lichtgeschwindigkeit im Material (ist kleiner, da n > 1)
Material
Vakuum
Luft
Quarzglas
Kronglas
Diamant
n (589 nm)
1
1,00029
1,46
1,52
2,42
c (m/s)
3.108
3.108
2,05.108
1,97.108
1,24.108
Brechungsfälle:
sin θ 2 =
n1
sin θ 1
n2
Luft
1)
n1 = n2 => θ 1 = θ 2 keine Brechung
2)
n1 < n2 => θ 1 > θ 2 Brechung zum Lot hin
3)
n1 > n2 => θ 1 < θ 2 Brechung vom Lot weg
Exp. Lichtbrechung / Reflexion Fälle 1), 2), 3) Totalreflexion,
Glas
Glas
Luft
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3.2 Totalreflexion
Lichtübergang vom optisch dichteren ins dünnere Medium (z.B. Wasser (n1) => Luft (n2))
Grenzwinkel θ 1 > θ krit => Totalreflexion, Licht geht nicht vom dünnen ins dichte Medium
n2
sin θ 2
n1
aus
sin θ 1 =
=>
sin θ krit =
n2
n
sin 90° = 2
n1
n1
Wenn Grenzwinkel überschritten wird, d.h θ 1 > θ krit dann Totalreflexion => Licht geht nicht
vom dichten ins dünne Medium
Exp. Totalreflexion, Lichtleiter, Fasern
Führung im Wasserstrahl !
Anwendung:
Lichtleiter in der Medizintechnik, Magenspiegelung,
beachte: Lichtleiter ist außen nicht notwendigerweise verspiegelt !!
Halbleiterlaser: Strahlführung durch Brechungsindexprofil, Datenübertragung
3.3 Dispersion
Lichtfarbe:
definiert durch Wellenlänge des Lichtes
Weißes Licht: Summe aller sichtbaren Komponenten
Dispersion:
„Brechungsindex des Mediums (nicht bei Vakuum)
hängt von der Wellenlänge des Lichtes ab“.
Quarzglas
Exp. chromatische Dispersion am Glasprisma
Dispersion
n( ):
Snells Gesetz
sin θ 2 =
Übergang
Luft n1 = 1 => Glas n2 > 1
λ
n2(blau) > n2(rot)
n1
n
sin θ 1 => θ 2 ~ 1
n2
n2
θ 2 (blau ) < θ 2 (rot )
Anwendung: Prismen-Spektrometer, Materialanalyse
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3.4 Brewster-Polarisatoren
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(Sir D. Brewster 1812)
„Wird Licht unter dem Brewsterwinkel reflektiert, so ist es teilweise polarisiert mit der
Schwingungsrichtung des E-Feldes senkrecht zur Einfallsebene.“
Prinzip: Reflexion = Strahlung der Moleküle wie Hertzscher Dipol
Anregung der Moleküle durch einfallendes E-Feld
Hertzscher Dipol strahlt nicht in Längsrichtung
=>
wenn θ B + θ 2 = 90°
=>
kein E-Feld parallel sondern nur senkrecht zur Einfallsebene
=>
Exp.
sin θ B =
n2
n
n
sin θ 2 = 2 sin(90° − θ B ) = 2 cos θ B
n1
n1
n1
tan θ B =
n2
n1
Polfilter kann Reflexion an Glasplatte auslöschen
Anwendung: Brillen mit Polfilter-Schicht zur Reflexverminderung
n2
Bsp.
Rotes Licht mit =700 nm fällt senkrecht auf rechtwinkliges
λ
Quarzglasprisma mit n = 1,455 (Prisma in Luft).
Frage wie groß darf
Φ
sein, damit an der Seite ac Totalreflexion auftritt?
Lsg.
Frage Was passiert, wenn einfallendes Licht nicht rot sondern weiß ist?
Lsg.
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n1
θ2
θ1
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4 Optische Abbildung
4.1 reelle / virtuelle Bilder
Bildtypen zur Beschreibung von Abbildungsoptiken (Spiegel, Lupe Fernglas, Mikroskop):
a) Reell:
lassen sich wirklich auf einer Fläche (Photoplatte) abbilden
b) virtuell: entstehen durch Verlängerung der Strahlen, die zum Betrachter laufen; sind aber
nicht dort abbildbar, wo sie erscheinen
Exp. Spiegel, Foto hinter dem Spiegelglas nicht möglich
4.2 Ebene Spiegel
Reflexion des Strahls in eine Richtung (keine diffuse Streuung)
G
g
b
B
Bildkonstruktion des leuchtenden Gegenstandes:
Gegenstand: G: Größe (Höhe) ,
Bild
g: Gegenstandsweite
B: Größe des Bildes b: Bildweite
i) betrachte 2 Strahlen eines Objektpunktes, die das Auge erreichen
ii) verlängere reflektierte Strahlen bis zum Schnittpunkt => virtuelles Bild
iii) beachte spezielle Optik, hier ebener Spiegel: -b = g
Spiegelfläche
4.3 Kugelspiegel (sphärisch)
Ausschnitt einer verspiegelten Kugel mit Radius r
Θ
r
Konkav:
Θ
´
nach innen gewölbt zum Krümmungsmittelpunkt C
Brennpunkt: Parallele Strahlen werden in F gebündelt, reell
Brennweite:
f =
1
r
2
Konvex:
nach außen gewölbt
Brennpunkt: F Verlängerung der reflektierten Strahlen hinter dem Spiegel
Brennweite:
1
f =− r
2
neg., virtueller Fokus
Exp. parallele Lichtstrahlen an konkav / konvexem Spiegel reflektieren, Papier in Brenn-
punkt halten, zeigen virtuell / reell
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Opt. Achse
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4.4 Abbildung mit dünnen Linsen
4.4.1 Grundlage
wir betrachten nur dünne Linsen, d.h. Materialdicke klein gegen Brennweite
Sammel-Linse (konvex)
Zerstreuungs-Linse (konkav)
Geometrie
Mitte dicker
Mitte dünner
Brennpunkt
reell
virtuell
Brennweite
f>0
f<0
Linsengleichung:
1 1 1
= +
f b g
Brechkraft
D=
1
f
b: Bildweite, g: Gegenstandsweite
[D] Dioptrien 1dpt = 1/m
Brillengläser: 1 – 5 Dioptrien.
Linsenkombination: D = ∑ D j
(j dicht hinter einander stehende, dünne Linsen)
Brechkraft, nicht Brennweite addieren!
Bildkonstruktion
1) Strahlen parallel zur opt. Achse werden durch Brennpunkt gebrochen
2) Brennpunktstrahl wird parallel zur opt. Achse gebrochen
3) Mittelpunktstrahl wird nicht gebrochen
=> Bildpunkt = Schnittpunkt der Hauptstrahlen
Fälle für Sammellinsen:
a)
2f < g < f
reelles, vergrößertes Bild (siehe Abb.)
b)
g >> f
Bild im Brennpunkt der Linse
c)
g > 2f
verkleinertes, reelles Bild
d)
0<g<f
virtuelles Bild, Linse als Lupe
Exp. optische Bank mit Dia, verschiebbarer Linse u. Schirm um Linsengleichung zu zeigen
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4.4.2 Vergrößerung
Abbildungsmaßstab m
m=
Bildgröße
Gegens tan dsgröße
B
G
m=−
b
g
(ohne Beweis folgt: )
Vorzeichen pos.: Bild aufrecht, neg: Bild steht Kopf
Bild reell => b positiv, virtuell => b negativ
Vergrößerung:
m > 1 , Verkleinerung: m < 1
1 Abbildungsmaßstab:
m=
B
b
=−
G
g
v=
2) Winkelvergrößerung:
Größenverhältnis Bild B / Gegenstand G
ε
ε0
bezogen auf Sehwinkel des menschl. Auges
v>1
v=1
v<1
Gegenstand 25 cm vor dem Auge => v = 1
(Min. Abstand zum Scharfstellen)
Ziel optische Geräte: Sehwinkel vergrößern
ε
Auflösung:
Bsp.
Netzhaut trennt 2 Punkte, wenn Sehwinkel
α
~ 1` = 1/60°
Eine Kamera mit Brennweite 75 mm nimmt eine 1,8 m große, 27 m entfernt stehende
Person auf.
Frage Wie groß ist das Bild der Person?
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5 Optische Geräte
5.1 Lupe
virtuelles Bild
0<g<f
Arbeitsbereich
Winkel ohne Lupe
tan ε 0 ≈ ε 0 =
G
,
25 cm
Winkel mit Lupe
tan ε ≈ ε =
Vergrößerung max.
g=f
Vergrößerung
v=
G
g
=> tan ε ≈ ε =
G
f
ε 25 cm
≈
ε0
f
Bsp. Lupe mit f = 3 cm vergößert
υ
= 8,3 fach
5.2 Mikroskop
Ziel: Beobachtung von kleinen, nahen Gegenständen
Objektiv
fob
Gegenstand
g > fob mit g ≈ f ob
Okular
fok
Bild
B1
Tubuslänge
nahe am Gegenstand
am Auge
reell, vergrößert nahe bei fok
s
Abstand der Fokuspunkte FOb, FOk meist 16 cm
Scharf stellen: s variieren so dass Bild nahe bei fok liegt
Bild
B2
virtuelles Bild des vom Objektiv erzeugten (reellen) Bildes (seitenverkehrt)
B1 s + f ob
s
≈
=
G
g
f ob
Abbildungsmaßstab
m=
Vergrößerung
v=m
(mit s ≈ s + f ob , g ≈ f ob )
s 25 cm
ε
=
ε 0 f ob f ok
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 5.1, Fragen 5.1.1 – 5.1.16,
und Kapitel 5.2 ohne opt. Aktivität, Fragen 5.2.1 – 5.2.2, 5.2.7 – 5.2.9
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MECHANIK
1. Kinematik
Wir betrachten nur einfache, geradlinige Bewegungen. Das bewegte Objekt ist ein punktförmiges Teilchen, oder nur den Schwerpunkt betrachten.
1.1 Ort & Verschiebung
Referenzpunkt:
Nullpunkt auf x-Achse
Verschiebung:
∆x = x2 – x1
Wechsel von Ort x1 nach x2
Richtung:
∆x positiv: x2 > x1
, neg. x2 < x1
Bewegung von x1 => x2 => x1 dann ∆x = 0
berücksichtigt nur Anfang- Endpunkt, nicht die zurückgelegte Strecke
Betrag:
Abstand zwischen x2 und x1
Vektor:
Betrag, Richtung
Bsp.
Frage: welche Paare ergeben neg. Verschiebung (x1, x2): (-2m, 1m), (2m, 0m) => Zeichnen
Lsg
x1 =-2
0
x2=1
x2 =0
x (m)
x1=2
1.2 Geschwindigkeit
1.2.1 Mittlere Geschwindigkeit
Beschreibe Position des Teilchens durch x(t), Ort als Funktion der Zeit t
∆x x 2 − x1
=
∆t
t 2 − t1
Geschwindigkeit
v gem =
Einheit
[v] = m/s
Startzeit t1 = 0,
Mittelwert
Strecke / Zeit
Exp. Laufband, 5 Studenten stoppen Zeit ∆t, die sie braucht von Punkt x1 nach x2.
5 verschiedene Streckenlängen ausmessen; x(t) auftragen und v berechnen
Messung
Start x1 (m)
Ziel x2 (m)
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∆x = x2–x1(m)
∆t (s)
v (m/s)
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∆x(m)
Strecke
Darstellung
Daten in x(t)-Diagramm eintragen
Deutung
v = Steigung der Geraden x(t)
Anschauung:
Zeit
∆t (s)
Steigung der Geraden in x(t) zwischen Koordinaten (x1, t1) u. (x2, t2)
vgem pos.: Gerade steigt nach rechts
vgem neg.: Gerade fällt nach rechts
Startwert x1 , t1 auf 0 setzen => v =
Praktisch
∆x x 2 − 0 x
=
=
∆t t 2 − 0 t
Bsp. Igel bewegt sich auf geradlinigem Weg von x1 => x2 in der Zeit ∆t
Blitzfotos
4s
3s
0s
In ein Bild zeichnen
Bsp.
mittlere Geschwindigkeit des Igels zwischen Koordinaten
(x1,= -4m, t1 = 1s) u. (x2,= 2m, t2 = 4s)
v gem =
m
∆x x 2 − x1 2m − (−4)m 6m
=
=
=
=2
∆t
t 2 − t1
4s − 1s
3s
s
x
Typische Funktionen
a) x(t) = konst
Teilchen bewegt sich nicht
∆x = 0
t
x
b) x(t) = v t
Teilchen hat konstante Geschwindigkeit
t
c) x(t)
beschleunigt, konstante Geschwindigkeit, stoppt,
x
kehrt um, stoppte
t
Vektor
Betrag und Richtung, z.B. Tachometer mißt nur Betrag
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1.2.2 Momentangeschwindigkeit
Sie fahren mit dem Auto von Münster nach Steinfurt und benötigen für 30 km ½ Stunde, dann
=>
v gem =
∆x 30km
km
1000m
m
=
= 60
= 60
= 16,7
∆t
0,5h
h
3600s
s
2 Wochen später erhalten Sie Post vom Polizeipräsidenten mit Blitzfoto und Rechnung
=>
v = 135 km/h
wie kann das sein?
Frage Geschwindigkeit zur Zeit des Blitzfotos ?
Lsg.
Momentangeschwindigkeit
Mittelwert:
vgem für längeren Zeitraum ∆t
x(m)
1) Mittlere Geschwindigkeit
100
für Zeitraum ∆t = t5 – t1
v gem =
∆x 100 − 0m
m
km
=
= 16,7 = 60
∆t
6 − 0s
s
h
50
für Zeitraum ∆t = t4 – t2
v gem =
m
km
∆x 45 − 18m
= 33,8 = 121
=
s
h
∆t 3,3 − 2,5s
25
t1
=> Geschwindigkeit hängt selbst vom Zeitpunkt ab
t2
t3 t4
0
1
2
3
4
Blitzfoto
2) Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t3 des Blitzfotos
=>
v bei t3 : Zeitraum muss zum Zeitpunkt schrumpfen: ∆t => 0
∆x dx
v = lim
=
∆t →0 ∆t
dt
Momentangeschwindigkeit ist die aktuelle Steigung der Kurve x(t) zur Zeit t, also
mathematisch gesehen die Ableitung der Kurve am Punkt t.
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t5
0
5
6
t (s)
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1.3 Differenzieren
Regeln zum Differenzieren einfacher Funktionen
dx
= 0 denn a hängt nicht von t ab
dt
1)
x(t ) = a = konstant =>
2)
x(t ) = a ⋅ t
=>
dx
=a
dt
3)
x(t ) = t m
=>
dx
= m ⋅ t m−1 , mit m = konstant
dt
4)
x(t ) = e t
=>
dx
= et
dt
5)
x(t ) = ln t
=>
dx 1
=
dt t
6)
x(t ) = sin t =>
dx
= cos t ,
dt
x(t ) = cos t =>
Summenregel:
d
(u (t ) + v(t )) = du + dv
dt
dt dt
Produktregel:
d
(u (t ) ⋅ v(t )) = u dv + v du
dt
dt
dt
Kettenregel:
d
( f (g (t ))) = df ⋅ dg
dt
dg dt
Bsp
Frage Ableitung von x(t ) = 24 + 6t 3
Lsg.
Bsp: Ort x(t)
a)
dx
= − sin t
dt
dx
= 0 + 3 ⋅ 6t 3−1 = 18t 2
dt
Geschwindigkeit v(t)
Aufzug steht,
a) -b) fährt los mit wachsender Geschw. bis zur Maximalgeschw.
c)
bremst am Ziel ab, d) steht
Frage Geschwindigkeit v(t) = ?
Lsg.
a) steht für t = 0s bis 1s, t > 9s: x(t) = konst
=> v = dx/dt = 0
b) t = 3s bis 8s: linearer Weggewinn x(t) = v0*t
=> v = dx/dt = (24m – 4m)/(8s – 3s) = 4 m/s
v ist pos, Gerade x(t) steigt an
17
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1.4.1 Beschleunigung
Rate der Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit
Mittelwert
agem = ∆v / ∆t = (v1 - v2 ) / (t2 – t1)
für geradlinige Bewegung
Momentan.
a = lim (∆v/∆t) = dv/dt
Ableitung v(t) nach t
Deutung
Steigung der Kurve v(t)
∆t → 0
a = dv/dt = d/dt(dx/dt) = d2x/dt2
Einheit [a] = m/s2 , Länge/(Zeit*Zeit)
Vektor
Betrag, Richtung
Vorzeichen
Vorzeichen von a und v gleich => Betrag von v nimmt zu, Teil wird schneller
Vorzeichen von a, v verschieden => Betrag v nimmt ab, Teil wird langsamer
Bsp. Trage Beschleunigung in Bild oben ein
v(t) = konst => a = dv/dt = 0
Beschleunigung dv/dt > 0, Bremsen dv/dt < 0
Beschleunigungsdauer = doppelte Abbremsdauer => aBeschl = ½aBrems
Beschleunigungsgefühl
Figuren in Abb oben eintragen:
Lift fährt nach oben => Beschleunigung = Person nach unten gedrückt, a > 0
Abbremsen => Person hoch gezogen, a < 0
Körper funktioniert wie ein Beschleunigungsmesser, aber nicht als Geschwindigkeitsmesser
Auto v = 50 km/h oder Flugzeug v = 900 km/h nicht unterscheidbar, nur Geschwindigkeitswechsel => Reiz der Achterbahn
18
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1.4.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Sonderfall:
konstante Beschleunigung (Auto Start / Bremsen vor Ampel)
Start: Zeit
t0 = 0
Ort
x(t0) = x0
Geschw.
v(t0) = v0
Beschl.
a = konstant
a = (v – v0)/(t - 0)
=>
v(t) = v0 + a t
v = (x –x0)/(t - 0)
=>
x(t) = x0 +v(t) t
Durchschnitt vgem = ½(v0 + v)
=>
v gem =
zwischen t und t=0
1
(v0 + v0 + at ) = v0 + 1 at
2
2
x(t ) = x0 + v(t )t = x0 + (v0 +
=>
= x0 + v0 t +
1
at )t
2
1 2
at
2
Übersicht: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Gleichung
Fehlende Größe u. Bedeutung
1.
v(t) = v0 + at
x – x0
Verschiebung zum Anfangspunkt
2.
x – x0 = v0*t + ½ at2
v
aktuelle Geschwindigkeit
aus Gl.1. & Gl.2. folgt:
3.
v2 = v02 +2a(x –x0)
t
Zeitpunkt, Dauer
4.
x – x0 = ½(v0 + v)t
a
Beschleunigung
5.
x – x0 = vt - ½ at2
v0
Anfangsgeschwindigkeit (Gl.1 in Gl.2)
Beweis von Gl.3.:
aus 1.=> t = (v-v0)/a
in 2. => x – x0 = v0[(v-v0)/a] + ½ a[(v-v0)/a]2
= v0v/a-v02/a + ½v2/a-vv0/a + ½v02/a
=> 2a(x – x0) = -2v02 + v2 + v02
=> v2 = v02 + 2a(x – x0)
19
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1.4.3 Freier Fall
eine typische konstant beschleunigte Bewegung ist der freie Fall
Exp. Wassertropfen fallen im Takt von ca. 3Hz aus einem Tropf. Stroboskop erzeugt ein
stehendes Bild der Wassertropfen.
∆x
∆x
Beobachtung: Abstand der Wassertropfen ∆x wird größer.
Tab.
Schrittweise ausfüllen
Tropfen, Zeit, Ort
Deutung:
zurückgelegter Weg der Tropfen bei
Blitzfolge
1. Blitz
t1 = 1∆t,
2. Blitz
t2 = 2∆t
Weg
∆x = v0t + ½ at2 ,
=>
∆ x ~ t2
Vergleich unbeschleunigt
Geschwindigkeit
v0 = 0 in unserem Exp.
wächst quadratisch mit der Zeit
a = 0 => ∆x = v0t
v(t) = v0 + at = at
wächst linear mit der Zeit (in Tab eintragen)
Gravitationsbeschleunigung
a = -g = -9.81 m/s2
- konstante Beschleunigung in Erdnähe Richtung Erdmittelpunkt
- Gravitation wird negativ gerechnet (zeigt nach unten)
Exp. a) Fallrohr mit Luft: Papier, Kugel fallen lassen, Kugel fällt schneller – warum?
b) Fallrohr evakuiert: Papier und Kugel fallen gleich schnell
Gilt in Erdnähe: g ist unabhängig von den Eigenschaften des Gegenstandes, sofern kein
Luftwiderstand herrscht.
20
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Bsp.
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Ein Ball wird (entlang einer y-Achse) mit Anfangsgeschwindigkeit v0 = 12 m/s
senkrecht in die Luft geworfen. Der Luftwiderstand sei 0.
v = 0 m/s
Frage Wie lange braucht der Ball bis zur maximalen Höhe?
Lsg.
a = -g
a = -g
v >0
v<0
v nimmt ab
vwächst
Frage Wie hoch ist die maximale Höhe über dem Ausgangspunkt?
Lsg.
Frage Wie lange braucht der Ball um 5 m hoch zu fliegen?
y0 = 0
Lsg.
2 Vektoren
Hilfsmittel zur Darstellung von gerichteten Größen im Ortsraum
Skalar: Betrag ohne Richtung
Bsp.
Masse, Temperatur, Druck, Energie etc.
Vektor: Betrag mit Richtung
Bsp.
Verschieb. ∆x→, Geschw. v→, Beschl a→, Kräfte
z.B. Verschiebung a→ von Ort A nach Ort B
Darstellung: Pfeil
a→
Betrag:  a→ = a = Länge
Vektoren können
B
a→
A
B`
A`
a→
parallel verschoben werden, ohne dass sie sich ändern, denn
Betrag und Richtung bleiben erhalten
21
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2.1 Vektoraddition
Summe der einzelnen Verschiebungen a→ und b→
a→
s→ = a→ + b→
Vektorsumme
b→
s→
ist keine algebraische Summe!
Methode:
Pfeile parallel verschieben, so dass Spitze an Anfang passt
Kommutativgesetz:
s→ = a→ + b→ = b→ + a→
b
a
s→
→
→
s→
a
b
Assoziativgesetz:
s→ = (a→ + b→) +c→ = a→ + (b→ +c→)
a→
b→
b +c
→
a +b
→
s→
Subtraktion:
→
→
→
→
c→
s→ = a→ - b→ = a→ + (-b→)
-b
s
-b→
→
b→
→
a
→
Richtungsumkehr von b→
Darstellung
Vektor geht in die Papierebene hinein
Vektor kommt aus der Papierebene heraus
2.2 Trigonometrische Funktionen
nötig, um Vektorkomponenten zu bestimmen
a) Winkelmaße
voller Kreis = 360o = 2π rad
1 rad = 360ο / 2π = 57,296o
θ
1o = 0,01745 rad
b) Vorzeichen Winkel pos. wenn gegen Uhrzeigersinn
22
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c) Winkelseiten
Hypothenuse h
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g Gegenkathete
θ
a Ankathete
d) Winkelfunktion
sin θ = g/h
cos θ = a/h
tan θ = g/a = sin /cos
θ
θ
e) Inverse trigonom. Funktion, nötig, um zu berechnen
θ
Umkehrfunktion
arcsin(g/h) = ,
θ
arccos(a/h) = ,
arctan(g/a) =
θ
θ
prüfe Ergebnisse, meist gibt der Taschenrechner nur den Wert aus erstem Quadranten
Bsp.
Frage bestimme aus sin θ = 0.5
θ
Lsg.
2.3 Vektorkomponenten
bisher geometrische Addition von Vektoren, besser ist die analytische Addition der Komponenten im rechtwinkligen x-y-Koordinatensystem
y
a→
Projektion des Vektors auf Kordinatenachse
x-Komponente: ax = a cos(θ)
a
θ
ay
→
ay
ax
y-Komponente: ay = a sin(θ)
ax
x
Mit den Vektorkomponenten besitzt man die vollständige Information über den Vektor.
23
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Darstellung von a→ für definiertes Koordinatensystem:
1)
x-y-Komponenten
a→ = (ax, ay)
2)
Betrag
a = (ax2 + ay2)½
& Winkel
2 Angaben
tan(θ) = ay/ax
2 Angaben
Wie baut man nun aber den Vektor korrekt aus den x-y-Komponenten auf?
2.4 Einheitsvektoren
ex→, ey→, ez→
- spannen ein Koordinatensystem im 3-dimensionalen Raum auf
- geben Richtung vor
- stellen eine Basis dar.
ey→
Betrag = 1 = ex→ = ey→ = ez→
ex→
ez→
keine Einheit
Anordnung: rechtshändig
Darstellung beliebiger Vektoren durch Einheitsvektoren und Vektorkomponenten möglich:
a→ = ax ex→ +ay ey→ + az ez→
a→ = (ax , ay , az )
Vektorkomponenten - hängen von Einheitsvektoren ab
- ändern sich z.B. wenn Basissystem gedreht wird
- der Vektor bleibt aber unverändert im Raum
2.5 Vektoren komponentenweise addieren
Wenn Vektorkomponenten bzgl. den Einheitsvektoren bekannt sind, dann kann man die
Vektoren “Achse für Achse” addieren bzw subtrahieren.
→
→
→
r =a +b
rx
ax
bx
ax + bx
= ry = ay + b y = ay + b y
rz
az
bz
az + bz
also: Vektoren sind gleich, wenn ihre entsprechenden Komponenten gleich sind.
24
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Bsp
gegeben
Frage
Lsg:
a→
b→
c→
r→
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= (4,2 m) ex→ - (1,5 m) ey→
= (-1,6 m) ex→ +(2,9 m) ey→
= (-3,7 m) ey→
= a→ + b→ +c→ ist zu berechnen
2.6 Vektormultiplikation
Vektormultiplikationen entsprechen nicht den herkömmlichen Zahlenmultiplikationen.
2.6.1 Multiplikation mit Skalar
Produkt zwischen Vektor und einer Zahl m (Skalar). Es wird komponentenweise multipliziert:
ma→ = m ax ex→ + m ay ey→ + m az ez→
ma→
ma→ = (m ax , m ay , m az )
-1a→
a→
Vektor wird länger (m > 0) oder ändert die Richtung (m = -1), die Orientierung (Winkel)
bleibt aber!
2.6.2 Skalarprodukt
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ergibt eine Zahl (Skalar).
Regen
.
Berechnung: a→ b→ = axbx + ayby + azbz
.
.
a→ b→ = a→ b→cos θ
a→
θ
= a b cos
θ
Projektion von a→ auf b→
a→cos θ
trocken
25
b→
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.
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.
a) a→ b→ = b→ a→ Kommutativgesetz
Es gilt
.
b) a→ b→ = maximal, wenn θ = 0o , bzw. θ = n180o
.
c) a→ b→ = 0, wenn θ = 90o , bzw. θ = 90o + n180o
=> Test ob 2 Vektoren senkrecht zueinander stehen.
Bsp.
Frage Βestimme den Winkel θ zwischen zwei Vektoren.
Lsg.
2.6.3 Kreuzprodukt (Vektorprodukt)
Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren a→ , b→ ergibt einen neuen Vektor c→.
c→ = a→ x b→
Berechnung
a→ x b→ = (aybz - byaz)ex→ + (azbx - bzax)ey→ +(axby - bxay)ez→
c→
Es gilt 1)
c = ab sin θ , θ kleinerer Winkel
2)
c→ senkrecht auf a→ und b→
3)
rechte Hand Regel:
θ
Daumen a→ , Zeigefinger b→ , Mittelfinger c→
b→
a→
Die Anfangspunkte der Vektoren berühren sich
Kreuzprodukt ist
a) maximal, wenn a→ senkrecht auf b→
b) 0, wenn a→ parallel (antiparallel) zu b→
Deutung:
c = c→ Flächeninhalt der von a→ und b→ aufgespannten Fläche und
c→ definiert Lage der Fläche im Raum, da c→ senkrecht auf der Fläche
Beachte
a→ x b→ = -(b→ x a→) wegen rechter-Hand-Regel
26
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3. Bewegung im 3-dimensionalen Raum
neu:
Darstellung beliebiger Bewegungen im Raum möglich.
3.1 Ort & Verschiebung
Ortsvektor:
r→(t) = rx(t) ex→ + ry(t) ey→ + rz(t) ez→
Bewegung:
Zeitabhängigkeit von r→(t) steckt in den Komponenten rx(t), ry(t), rz(t)
Die Einheitsvektoren sind zeitlich konstant
Teilchenbewegung zeigt vom Ursprung (0, 0, 0) zum aktuellen Ort
Verschiebung: ∆r→ = r2→ - r1→
in der Zeit t1 bis t2
= ∆rx ex→ + ∆ry ey→ + ∆rz ez→
Bsp.
Der Ortsvektor eines Teilchens wird gegeben:
Zu Zeit t1: r1→ = (-3m) ex→ + (2m) ey→ + (5m) ez→
Zu Zeit t2: r2→ = (9m) ex→ + (2m) ey→ + (8m) ez→
Frage: Verschiebung ∆r→ in der Zeit von t1 bis t2 ?
Lsg.:
3.2 Geschwindigkeit
Durchschnittsgeschwindigkeit:
v→ = ∆r→/ ∆t
= [∆rx / ∆t ]ex→ + [∆ry / ∆t]ey→ + [∆rz / ∆t]ez→
Merke: a) Zeitabhängigkeit von r→(t) steckt in den Komponenten rx(t), ry(t), rz(t),
Einheitsvektoren (ex→ ey→ ez→) sind zeitlich konstant.
b) Eine 3-dim. Bewegung läßt sich nicht mehr im Ort-Zeit Koordinatensystem
darstellen, da wir keine 4-te Dimension zum Zeichnen besitzen.
Momentangeschwindigkeit:
r
r
r
∆r dr
v = lim
=
∆t →0 ∆t
dt
Ableitung bedeutet: lim ∆t → 0 zur Zeit t1, damit folgt:
27
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1) ∆r→ läuft gegen 0 also läuft r2→ auf r1→ zu
2) die Richtung von v→ = ∆r→/ ∆t nähert sich der Tangente im Punkt r1
3) Durchschnittsgeschwindigkeit nähert sich der Momentangeschwindigkeit
Gilt:
Richtung der Momentangeschwindigkeit eines Teilchens verläuft immer tangential zur
Bahnkurve des Teilchens am momentanen Ort des Teilchens.
v→ = dr→/dt
= [drx /dt ]ex→ + [dry /dt]ey→ + [drz /dt]ez→
= vx ex→ + vy ey→ + vz ez→
mit den Geschwindigkeitskomponenten:
vx = drx/dt,
Vorsicht:
vy = dry/dt,
vz = drz/dt
r
Ortsvektor zeigt vom Koordinatenursprung zum Ortspunkt r (Verschiebung r )
Geschwindigkeitsvektor zeigt die momentane Richtung an
3.3 Beschleunigung
tritt auf bei Änderung der Geschwindigkeit eines Teilchens in der Zeitspanne ∆t:
a) im Betrag und / oder
v
b) in der Richtung von v1→ auf v2→
Durchschnitt a→ = ∆v→/ ∆t
Momentan
∆v
→
1
v
→
→
2
(zwischen Orten r1, r2)
a→ = dv→/dt
= [dvx /dt ]ex→ + [dvy /dt]ey→ + [dvz /dt]ez→
= ax ex→ + ay ey→ + az ez→
ax = dvx/dt,
ay = dvy/dt,
az = dvz/dt
(Beschleunigungskomponenten)
Beschleunigungsvektor a→:
- kein Verschiebungsvektor
- zeigt die Richtung der Beschleunigung an, d.h. Richtung der Geschwindigkeitsänderung
- der Betrag von a→ gibt die Größe der Beschleunigung an
- wenn nur Betragsänderung von v→: dann ist a→ tangential zur Bahn
- wenn nur Richtungsänderung von v→: dann steht a→ senkrecht auf der Bahntangente
28
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4. Kraft
Wenn ein Teilchen seine Geschwindigkeit ändert (Betrag oder Richtung) dann wissen wir,
daß irgendetwas dies bewirkt haben muß. Erste wissenschaftl. Beobachtung der Verbindung
zwischen Kraft und Beschleunigung durch Newton. (1642 – 1727))
Newtonsche Mechanik gilt nicht wenn:
a) Geschwindigkeiten nahe Lichtgeschwindigkeit =>
Relativitätstheorie
b) Mikrokosmos der Atome betrachtet wird =>
Quantenmechanik
4.1. Erstes newtonsches Gesetz (Trägheitsgesetz)
„Ein sich selbst überlassener Körper, auf den keine äußeren Kräfte wirken, bewegt
sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Ändert er seinen Bewegungszustand,
so wird er beschleunigt und es muss eine Kraft auf ihn wirken.“
4.2. Zweites newtonsches Gesetz
Unsere Erfahrung ist, dass eine gegebene Kraft bei verschiedenen Körpern verschiedene
Beträge der Beschleunigung bewirken. Worin unterscheiden sich die Körper?
Exp. 2 Bälle werden mit einem Tritt (gleiche Kraft) zur Wand geschossen
=>
Experiment
Beobachtung
Deutung
Trägheit
a) Ball mit Luft gefüllt
große Beschleunigung
Masse klein
klein
b) Ball mit Wasser
kleine Beschleunigung
Masse groß
groß
a ~ 1/m
Beschleunigung ist invers proportional zur Masse m
FOLIE
(1974, John Massis, Belgien zieht 2 Eisbahnwaggons)
Exp. Bleistift steht auf Papierstreifen (am Ende), schnell wegziehen, Stift bleibt stehen
Zweites newtonsches Gesetz
„Die auf einen Körper wirkende Gesamtkraft ist gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung des Körpers.“
r
r
F = ma,
F
m
[F ] = kg 2m = N = Newton
s
Definition der Kraft durch Beschleunigung einer Masse möglich.
29
a
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Masse [m] = kg
-
Intrinsische Eigenschaft des Körpers, erfaßt seine Trägkeit
- Verbindet Beschleunigung und Kraft, die der Körper erfährt
-
Wir spüren Masse eines Körpers nur, wenn wir versuchen ihn zu beschleunigen
Superpositionsprinzip
Kräfte sind Vektorgrößen; wirken mehrere Kräfte, so können diese vektoriell addiert werden
zur resultierenden Kraft:
F→ = Fx ex→ + Fy ey→ + Fz ez→
Fx = max , Fy = may , Fz = maz
Einzelkomponenten sind unabhängig voneinander
Bsp.
Körper auf reibungsfreier Unterlage. Zwei Kräfte ziehen horizontal.
3N
Frage Welche dritte Kraft wirk, wenn a) Körper in Ruhe, b) v = konstant nach links?
Lsg.
4.3 Inertialsystem
„Ein Inertialsystem ist ein System, in dem die newtonschen Gesetze gelten. Es gibt keine
Scheinkräfte.“
Kennzeichen: Inertialsysteme ruhen oder bewegen sich mit v = konstant.
Sind nicht beschleunigt und rotieren nicht!
r
Bsp. Ball wird im LKW fallen gelassen und LKW beginnt zu beschleunigen mit a LKW
1) Bezugssystem Straße, v = 0 (Inertialsystem)
Beobachter sieht Ball senkrecht nach unten fallen
r
LKW fährt unter dem Ball weg mit Beschl. a LKW
r
r
Kraft:
F = mg
2) Bezugssystem beschleunigter LKW (Nicht-Inertialsystem)
Beobachter sieht Ball nach links unten fallen
r
r
r
Kraft:
F = −ma LKW + mg
r
Scheinkraft:
− ma LKW (Trägheitskraft)
30
5N
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Bsp.
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F→2
Puck auf Eisfläche
F→1
Puck hat Masse m = 0,20 kg
x
F→2 = 2N, F→1 = 5N, je parallel zur x-Richtung
Frage Beschleunigung in x-Richtung?
Lsg.
4.4 Gravitationskraft
Massen ziehen sich an . Die Gravitationskraft auf den Körper A (Mond, Rakete, Satellit) wird
durch die Masse eines zweiten Körpers B (Erde) im Abstand r erzeugt, der den ersten zu sich
hin zieht.
A
FA→
mm
F = G 12 2
r
Gravitationsgesetz
G = 6,67x10-11 m3/(kg s2)
g =G
in Erdnähe:
m Erde
m
= 9,81 2
2
rErde
s
F→ = m g→
r
-FB→= FA→
B
m2 = m Erde
m = m1
Gravitationskraft wirkt immer, auch wenn Körper in Ruhe sind.
Gewicht W
Gewicht eines Körpers entspricht der Kraft, die ich aufwenden muss, um den Körper am
freien Fall zu hindern.
Bsp.
Ball übt Kraft von 2 N nach unten aus
Ich übe Kraft von 2 N nach oben aus => Ball ruht
=> Ball wiegt 2N, ist 2N schwer, ein anderer Ball übt 3N aus => dieser ist schwerer
Gewicht W eines Körpers ist der Betrag der Gravitationskraft , die auf den Körper wirkt:
W = mg
Beachte:
i) Gewicht ist nicht gleich Masse, ist keine intrinsische Eigenschaft
31
m2
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Bsp. auf Erde: m= 1kg, => Gewicht WE = 1kg*9,81m/s2 = 98,1 N
WM = 1kg*1,7m/s2 = 17 N
auf Mond: m= 1kg, =>
ii) Gewicht darf man nur messen, wenn keine zusätzliche Beschleunigung auf den
Körper senkrecht zum Erdboden wirkt, z.B. Personenwaage benutzen im Zimmer,
Zug, aber nicht im beschleunigten Fahrstuhl.
Exp: Körper (Masse m) hängt am Faden, gleicher Faden hängt am Körper nach unten
i) lansam ziehen am unteren Faden mit Fz
=> reißt oberhalb des Körpers
F = mg + Fz
m
ii) schnell ziehen am unteren Faden
=> reißt unterhalb des Körpers
Trägheit des Körpers trennt oben / unten
oben wirkt
mg, unten wirkt Fz > mg
4.5.1 Normalkraft N
Wenn ein Körper nach unten gegen eine Oberfläche drückt, so verformt sich diese und wirkt
auf den Körper mit der Normalkraft N entgegen.
N→
r
r
N = mg
F→ = mg→
4.5.2 Zugspannung T
Wenn eine Kraft F →über eine Schnur auf einen Körper übertragen wird, dann wirkt eine
Zugspanung T → auf die Schnur
Ideale Schur: masselos, dehnt sich nicht
ist nur eine Verbindung zum Körper
T→
T→
4.6 Drittes newtonsches Gesetz (actio = reactio)
Wenn zwei Körper miteinander wechselwirken, dann besitzen die Kräfte, welche die Körper
aufeinander ausüben, denselben Betrag aber entgegengesetzte Richtung.
Kraft Buch => Kiste F →BK
Buch
Kiste
Kraft Kiste => Buch F →KB
Gilt:
F →BK = - F →KB
F →KB
Kräfte bilden ein Kraft – Gegenkraft – Paar
32
F →BK
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Exp. Kräfte auf hängenden Block
28o
Mit Federn aufbauen
T1
Bsp.
Block mB = 15 kg
47o
mK
Knoten
T2
T3
Knoten mK = 0 kg
Frage: Zugspannung T in den Seilen ?
Block mB
Lsg:
4.7 Reibung
Reibung ist unvermeidbar, aber auch unverzichtbar. Ein Auto verbraucht ca. 20% des
Benzin`s um Reibung zu überwinden, aber ohne Reibung würden die Räder durchdrehen, man
könnte sich nicht fortbewegen, so wie auf dem Eis.
Exp. Block liegt auf einer horizontalen Tischplatte und wird mit von 0 ansteigender Kraft in
x-Richtung gezogen. Federkraftmesser zeigt wirkende Kraft.
Trage Kraft über der Zeit auf.
N→
f→
ReibungsF→
F
Kraft f→
fs
fk
a→
mg→
Zeit
Block löst sich
33
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4.7.1 Eigenschaften der Reibung
Haftreibung
bewegt sich der Körper bei Kraftanwendung (horizontal) nicht, so heben sich Haftreibung f→S
und die parallel zur Oberfläche wirkende Kraft F→x und auf, d.h.
f→S = - F→x
Maximalbetrag von f→S = - F→x berechnet sich aus
fSmax = µS N
µS: statischer Haftreibungskoeffizient
N: Normalkraft
- Mikroskopische Berührungsfläche ca. 10-4 der totalen Fläche
- Haftreibung durch Kaltverschweißung der berührenden Flächenteile und durch „Anheben“
Gleitreibung
Beginnt der Körper zu gleiten, so verringert sich die Reibungskraft auf den Wert
fk = µk N
µk : kinetischer Reibungskoeffizient
µk < µS
Beachte:
- die Normalkraft N stellt ein Maß für den Andruck des Körpers auf die Fläche dar.
- f→ immer parallel zur Oberfläche und N→ immer senkrecht zur Oberfläche
- Koeffizienten µ sind dimensionslos, gelten zwischen 2 Flächen z.B. µS: zwischen Ei &
Teflonpfanne = 0.04, zwischen Bergschuh & Fels = 1,2
Bsp.
ABS-System Bremsweg kürzer, da fs > fk und Kurvenfahrt bei Bremsvorgang möglich
Bsp.
Ein Kind zieht einen mit der Masse m = 75 kg beladenen Schlitten mit konstanter
Geschwindigkeit über horizontale Eisfläche. Gleitreibungskoeffizient zwischen Kufen & Eis
µk = 0,10, Seil im Winkel von 42o.
y
Frage Kraft (Zugspannung) des Seils auf Schlitten?
Lsg.
N
fk
Fg
34
42o
T
x
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Frage Zugspannung wird über 91 N vergrößert. Wie verhält sich der Betrag von fk→?
Lsg
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 1.1, Fragen 1.1.1 – 1.1.15
4.8 Gleichförmige Kreisbewegung
bedeutet:
a) Bahn des Teilchens ist ein Kreis
b) Betrag der Geschwindigkeit v→ ist konstant
c) Richtung von v→ zeigt immer tangential zur Kreisbahn
4.8.1 Zentripetalbeschleunigung
(1)
a→ = a = v2 / r,
(2)
a→ zeigt immer auf Kreismittelpunkt
r = Radius
4.8.2 Zentripetalkraft
Eine Zentripetalkraft beschleunigt einen Körper auf eine Kreisbahn, indem sie
nur die Richtung seiner Geschwindigkeit, nicht aber den Betrag ändert.
F = mv2/r
Betrag der Zentripetalkraft
35
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4.8.3 Zentrifugalkraft:
Ist eine Trägkheitskraft (Fliehkraft), resultiert aus drittem Newton`schen Gesetz
F-Zentrifugal
actio = reactio und ist der Zentripetalkraft entgegengesetzt.
Exp. a) Fliehkraftregler
F-Zentripetal
b) Erdabplattung
c) fliegende Kugeln in rotierender Schiene, Kugelhöhe ist unabh. von der Masse
d9 Zentrifuge
Bsp. Auto fährt durch Kurve:
Zentripetalkraft: Reibung zwischen Reifen und Straße zwingt das Auto auf die Kreisbahn
Zentrifugalkraft: Fahrer rutscht zur Seite (Trägheit), weil Reibung zwischen Sitz / Fahrer für
notwendige Zentripetalkraft zu gering => rutscht bis an Autowand
Zentripetalkraft: Wand drückt auf Fahrer, zwingt ihn auf den Kreis
Bsp.
Auto der Masse 1300 kg fährt in Kurve mit Radius r = 15 m und Reibung
k
= 1,1.
Frage wie schnell darf es maximal durch die Kurve fahren, ohne wegzurutschen?
Lsg
Frage wohin bewegt sich das Auto, wenn die Bodenhaftung verloren geht?
Lsg
5 Arbeit & Energie
Die Newton`schen Gesetze ermöglichen uns die Analyse beliebiger Bewegungen. Oft ist die
Analyse aber kompliziert und man kennt nicht alle Details der Bewegung, z.B. Berg-Talfart.
Eine effektive Technik ist die Betrachtung der Energie dieses Systems. Sie läßt sich auf chemische oder biologische Funktionen ausdehnen.
36
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5.1 Kinetische Energie
Ein Objekt der Masse m und Geschwindigkeit v besitzt die kinetische Energie K
EKin = ½ mv2
EKin
[EKin] = kg*m2/s2 = 1J, Joule
m
v→
Die kinetische Energie ist eine skalare Eigenschaft eines bewegten Körpers.
5.2 Arbeit W
wenn eine Kraft auf das Objekt wirkt, so dass es beschleunigt (gebremst) wird, so verändert
sich seine kinetische Energie. Die Kraft hat dann Arbeit an diesem Objekt verrichtet.
- Arbeit ist übertragene Energie
- skalare Größe wie die Energie
- Einheit [W] = [EKin] = Joule
Beachte:
i) Energie wird zu / abgeführt, ohne dass Materie zu / abgeführt wird.
ii) alltäglicher Arbeitsbegriff beinhaltet jede Form der mentalen, körperlichen Anstrengung,
ist aber meist nicht Arbeit im physikalischen Sinn. Bsp. gegen eine Hauswand drücken kostet
Arbeit, man wird müde, aber es wird keine Energie auf die Wand übertragen, da sie sich nicht
bewegt => physikalisch keine Arbeit.
5.3 Arbeit & kinetische Energie
Ring gleitet reibungsfrei über einen Draht
Konstante Kraft beschleunigt Ring entlang x-Richtung
v0→
F→
v→
φ
Fx = max
Fx
x1
von Anfangsgeschwindigkeit v0 nach v über Strecke d
v2 = v02 + 2axd
(aus Kapitel 1.4.2)
=>
a = (v2 - v02 )/2d
=>
Fx = m(v2 - v02 )/2d
=>
Fxd = ½ mv12 – ½ mv02
Endenergie
Energietransfer, Anfangsenergie
durch Kraft
verursacht
37
d→
x
x2
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W = Fcosφ d (mit Fx = F cosφ)
.
W = F→ d→
(Skalarprodukt)
Arbeit W berechnet sich nur aus der Kraft entlang des Weges der Verschiebung d.
Beschleunigungsarbeit ist als kinetische Energie in der Masse gespeichert.
Vorzeichen:
i) W > 0 wenn F→ Komponente in Richtung der Verschiebung d→ besitzt
Objekt gewinnt Energie
ii) W < 0 wenn F→ Komponente entgegen der Verschiebung d→ besitzt
Objekt gibt Energie ab
iii) W = 0 wenn F→ senkrecht auf d→
Bsp.
F→
Auto rollt über Straße, Motor ist aus
y
d→
Wind bläst mit konstanter Kraft
x
F→ = 2N ex→ - 6N ey→ dagegen
Frage Arbeit des Windes am Auto auf der Strecke d→ = -3m ex→ + 0 ey→
Lsg.
5.4 Arbeit durch Gravitationskraft
Tomate wird mit Anfangsgeschwindigkeit v0 nach oben geworfen
=>
EKin-0 = ½ mv02
d→
v
Gravitation bremst auf der Strecke (Verschiebung) d→ ab
=>
.
W = mg→ d→
= mg d cosφ
mg
von Gravitation verrichtete Arbeit
38
v0
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φ = 180o => W = mgd(-1) => W < 0 : Energie der Tomate wird abgeführt
Aufwärts:
Tomate wird langsamer
φ = 0o =>
Abwärts:
W = mgd(1)
=> W > 0 : Energie wird der Tomate zugeführt
Tomate wird schneller
Bsp: zwei identische Bälle werden über unterschiedliche Rampen auf gleiche Höhe gezogen.
Frage Bei welcher Rampe wird mehr Arbeit verrichtet?
45o
30o
g
d
Lsg.
5.5 Arbeit durch konstante und veränderliche Kräfte
Fall 1: Kraft F(x) = konstant über dem Weg x
F(x)
→. →
W=F
→
x = Fd, mit F parallel x
→
W
Interpretation: Fläche unter Kurve F(x)
0
d
x
Fall 2: Kraft-Betrag F(x) ändert sich mit dem Ort F(x)
aber Richtung konstant und F zeitlich konstant
W = Fläche unter der Kurve F(x)
W
W = Integral über F(x) (kommt später in Mathe)
39
x
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5.6 Federkraft
Dehnt oder staucht man eine Feder um Strecke d, so wirkt eine entgegen gesetzte Kraft mit
F→ = -kd→
Hook`sches Gesetz
k = Federkonstante
Exp. 1) Block an Feder, ziehen / stauchen
Arbeit durch Federkraft
Feder wird um Strecke d gestaucht oder gedehnt
W = Fläche unter der Kurve F(x)
1 r r 1
W = F • d = F d da Kraft und Weg parallel
2
2
1
W = kd 2
2
E Feder =
1 2
kd
2
F
W
mit F = kd , Dreiecksfläche
d
Federenergie ist gespeicherte Dehnungsarbeit
5.7 Leistung P
Ein Bauunternehmer möchte Dachziegel vom LKW auf das Dach eines Hauses befördern.
Dazu benutzt er eine Seilwinde, welche die nötige Kraft zum Heben der Ziegel aufbringt. Wir
können die Arbeit der Seilwinde bestimmen. Wichtiger für den Unternehmer ist aber die Rate,
also Arbeit pro Zeit, d.h. ob er 5 min. oder 5 Tage benötigt.
P = ∆W/∆t
durchschnittliche Leistung = Arbeit pro Zeit
P = dW/dt
momentane Leistung
[P] = J/s = W
Watt (James Watt)
1 PS = 735 W
Pferdestärken
Deutung: ∆W = P∆t
P
Arbeit = Leistung x Zeit
1 Kilowattstunde = 1 kW x h
W
= 1000 W x 3600s
= 3,60 MJ
t
(Mega-Joule)
W
Interpretation:
Leistung = Ableitung der Arbeit nach der Zeit
Leistung ist die Rate, mit der die angelegte Kraft Arbeit verrichtet.
40
t
x
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Leistung & Kraft
P = dW/dt = (F cosθ dx)/dt (wenn F, zeitlich konstant, dann)
θ
= F cosθ v
.
=>
P = F→ v→
Bsp.
ein Klotz ist am Seil befestigt und bewegt sich in gleichförmiger Kreisbewegung
(Skalarprodukt)
Frage Wie groß ist die von der Kraft bewirkte Leistung auf den Klotz?
Lsg.
v
F
5.8 Energie-Erhaltung
5.8.1 Potenzielle Energie Epot
System:
Teilchen bewegt sich im Kraftfeld von x1 nach x2
Ziel:
Energieerhaltungssatz so aufstellen, dass Umwandlung von kinetischer in
gespeicherter, potenzieller Energie des Systems möglich wird
Ziel
Geht, wenn
potenzielle Energie definieren
r
Kraft F ( x) zeitlich konstant, und Prozesse umkehrbar (reversibel)
geht nicht, wenn Energie in Reibungswärme gewandelt und verloren wird
Dann
Arbeit W = ∆Epot = Änderung der potenziellen Energie des Systems
W = ∆E pot = E pot ( x 2 ) − E pot ( x1 )
Arbeit hängt nur von Anfangs (x1) und Endpunkt (x2) ab, nicht aber vom Weg,
der von x1 nach x2 führt
5.8.2 Potenzielle Energie der Gravitation
System: Ball – Erde: Gravitation verrichtet Arbeit am Ball auf dem vertikalen Weg y1 => y2,
Die potenzielle Energie ändert sich um:
∆ Epot = mg(y2 – y1) = mg ∆y
y2
Epot (y) = mg y
∆y
Referenzpunkt y1 = 0, y2 = y
y1
mg
41
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Die potenzielle Energie Epot (y) des Systems Teilchen – Erde hängt nur von der vertikalen
Position (Höhe y) des Teilchens relativ zum Referenzpunkt y1 = 0 ab, nicht
von der horizontalen Position.
3
y
2
=> Arbeit unabhängig vom Weg (1), (2), (3)
1
5.8.3 Elastische potenzielle Energie
Ziehen oder Stauchen der Feder ändert ihre elastische potenzielle Energie Epot = EFeder um:
Epot (x) = ½ kx2
Referenzpunkt: Feder entspannt bei x = 0
5.8.4 Energieerhaltung am Pendel
Exp. kleines Pendel schwingt über Stop hinaus
Qualitative Diskussion der Energieumwandlung
oben:
Ekin = 0, Epot = max
Gravitationskraft beschleunigt
Weg nach unten:
Ekin wächst, Epot nimmt ab
unten:
Ekin = maximal, Epot = 0
Weg nach oben:
Ekin nimmt ab, Epot nimmt zu, Gravitationskraft bremst ab
5.8.5 Energie-Erhaltungssatz
Wenn gilt:
1) System ist abgeschlossen
2) Umwandlung der Energieformen durch reversible Prozesse
=>
Dann ist die mechanische Energie eines Systems eine Erhaltungsgröße:
Emech = Ekin + Epot = konstant
Also
Emech-1 = Ekin-1 + Epot 1, Emech-2 = Ekin-2 + Epot 2
=>
∆Emech = ∆Ekin + ∆ Epot = 0
Ist die mechanische Energie eine Erhaltungsgröße, so kann man Ekin & Epot zu allen Zeiten
verbinden, ohne die dazwischen liegende Bewegung u. Kräfte zu berücksichtigen.
42
Epot (y) = mgy
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5.8.6 Energieerhaltung bei Federkräften
Exp. Luftkissenbahn, Wagen zwischen 2 Federn gespannt, schwingt um die Nullposition,
F
Potenzielle Energie
Epot = ½ kx2
Kinetische Energie
Ekin = ½ mv2
Gesamtenergie
Emech = Ekin + Epot = konstant
v
F
0
x
Epot
Emech
Epot
Ekin
x
5.8.7 Energieerhaltung & abgeschlossene Systeme
„Die Gesamtenergie Emech eines abgeschlossenene Systems kann sich nicht verändern.
Emech = Ekin + Epot-elas + Epot-grav + Etherm + Eint
Lösungsstrategie zur Energieerhaltung:
- welche Objekte gehören zum System ?
- sind die Prozesse umkehrbar (reversibel), d.h. gibt es keine Reibung, Strömungswiderstand ?
- ist das System abgeschlossen?
- was sind Anfangs- und Endzustand des Systems ?
- was ist der Referenzpunkt der potenziellen Energie?
Bsp.
Bunjeespringerin, m = 61 kg, Höhe über Fluß 45 m
Seil L = 25 m (entspannt), erfüllt Hook`sches Gesetz mit k = 160 N/m
L
Frage: Abstand ihrer Füße vom Wasser, wenn sie am tiefsten Punkt ankommt?
Lsg
d
h
43
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Zusammenfassung: Prüfungstrainer, Kapitel 1.2, Fragem 1.2.1 – 1.2.11
6 Impuls
6.1 Ein Teilchen
Ein Teilchen mit der Masse m und Geschwindigkeit v hat den Impuls:
p→ = m v→ , p→ immer parallel zu v→
was ist die zeitliche Änderung des Impulses?
dp d
dv
= mv = m
= ma ,
dt dt
dt
r dpr
=> F =
dt
wenn Masse m = konstant
Zweites Newton`sches Axiom
Wenn eine Kraft auf das Teilchen Wirkt, ändert sich sein Impuls.
6.2 Impulserhaltung
Betrachte System aus n Teilchen, die untereinander in Wechselwirkung treten können und
äußere Krafteinwirkung erfahren können. Der Gesamtimpuls des Systems ist:
P→ = p1→ + p2→ + ...... + pn→
= m1 v1→ + m2 v2→ + ......... + mn vn→
44
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„Wirkt keine äußere Kraft auf ein geschlossenes & isoliertes Teilchensystem und ist die Teilchenzahl (Gesamtmasse) konstant, dann ist auch der Gesamtimpuls konstant“
r
P = kons tan t
d.h. Pi→ = Pf→
Beweis
=>
Anfangsimpuls i) gleich Endimpuls f) (i: initial, f: final)
wenn keine äußere Kraft vorhanden ist
r
r dP
⇒ P = konstant
0=F =
dt
Beachte: 1) innerer Kräfte zwischen den Teilchen eines System ändern zwar die einzelnen
Impulse pi, nicht aber den Gesamtimpuls P.
2) Bei Rechnung wird Impulserhaltung komponentenweise betrachtet.
Bsp.
Weltraumtransporter sprengt Lastmodul ab
vi
Bewegen sich geradlinig auf die Sonne zu
Gesamtmasse M, Lastmodul m = 0,2 M
vLM
vRT
Anfangsgeschwindigkeit: vi= 2100 km/h relativ zur Sonne
Nach Abtrennung: Transporter ist um 500 km/h schneller als das Lastmodul
Frage: Wie schnell ist der Raumtransporter relativ zur Sonne?
Lsg.
6.3 Stoßprozesse
FOLIE
Man beobachtet nur Verformungen als Folge des Stoßes, der Prozess selbst läuft zu schnell
ab. Fast alles Wissen über Elementarteilchen (Kerne, Protonen, Quarks) hat man aus Stoßprozessen gewonnen. Die Spielregeln der Stoßprozesse sind Energie- & Impulserhaltungssatz.
Hier nur geschlossene & isolierte Systeme (kein Massenaustausch, keine äußere Kraft)
45
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6.3.1 Inelastischer Stoß
Exp. Tischtennisball, Golfball, Knete auf den Boden fallen lassen.
Inelastischer Stoß:
Die kinetische Energie der Teilchen ändert sich (wird meist reduziert
und in andere Formen überführt). Benutze nur Impulserhaltung
Alle Bewegungen laufen entlang einer Achse, betrachte nur Komponenten
Impulserhaltung
=>
Bsp:
Pi→ = Pf→
p1i + p2i = p1f + p2f
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
Endgeschwindigkeiten sind berechenbar
Körper haften nach Stoß mit ruhendem Objekt zusammen, z.B. Torwart fliegt mit dem
Ball in das Tor, besitzen hinterher gemeinsame Geschwindigkeit v
=>
=>
m1v1i + m2 *0 = (m1 + m2)v
v = v1i * m1 / (m1 + m2)
v < v1i da Impuls auf größere Masse verteilt wird
Exp. Luftkissenbahn a) Stoß gleicher Massen elastisch, b) Stoß gleicher Massen inelastisch
6.3.2 Elastische Stöße
dieses Kapitel freiwillig für Interessierte
Stoß mit ruhendem Objekt
Exp. Pendelgestell:
1 Kugel schwingt gegen die linke Seite, rechts hebt sich 1 Kugel
2 Kugeln stoßen links => 2 Kugeln heben sich rechts
„Beim elastischen Stoß bleibt die gesamte kinetische Energie des Systems erhalten,
die kinetische Energie der einzelnen Teilchen kann sich ändern.“
Bei elastischen Stößen nutzt man immer Energie- & Impulserhaltung!
Frage Warum ruht die erste Kugel (Billiard) ?
46
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Lsg.
a) Impulserhaltung
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m1v1i + m2 0 = m1v1f + m2v2f
v1i→
b) Energieerhaltung ½ m1v1i2 = ½ m1v1f2 + ½ m2v2f2
v2i→ = 0
m1
m2
v1f→
aus a) =>
aus b) =>
m1/m2 * (v1i - v1f ) = v2f
m1(v1i + v1f )(v1i - v1f ) = m2v2f2
v2f ersetzen
m1(v1i + v1f )(v1i - v1f ) = m2 [m1/m2 * (v1i - v1f )] 2 (aus a)
=>
m1(v1i + v1f ) = m12/m2 * (v1i - v1f )
=>
m2(v1i + v1f ) = m1(v1i - v1f )
=>
v1f = v1i (m1 - m2 ) /(m1 + m2)
v2f→
(Bin. Formel)
Kugel 1
aus a) =>
v1f = 1/m1 * (m1v1i - m2v2f )
in b) setzen
m12v1i2 = m1m2 v2f2 + (m1v1i )2- 2m1m2 v1iv2f + (m2v2f )2
=>
0 = m1m2 v2f - 2m1m2 v1i + m22v2f
; durch v2f teilen
=>
v2f = 2m1v1i / (m1+ m2 )
Kugel 2
Spezialfälle:
1) Gleiche Massen
m1 = m2 => v1f = 0, v2f = v1i
unser Experiment, Billiard
2) schweres Ziel
m2 >> m1 => v1f ≈ - v1i , v2f ≈ v1i*2m1/m2
Perle gegen Kanonenkugel
3) schweres Geschoß m1 > m2 => v1f ≈ v1i , v2f ≈ 2v1i
Faktor 2 in 2) durch Richtungsumkehr des leichten Balls v => -v, in 3) von v = 0 => 2v
Bsp.
Zwei Schlittschuläufer stoßen zusammen und halten sich fest
y
(inelastischer Stoß)
Paul
mP = 83 kg, viP = 6,2 km/h in x-Richtung
mP
Barbara mB = 55 kg, viB = 7,8 km/h in y-Richtung
Frage: Geschw. des Paares nach Zusammenstoß ?
θ
(mB + mP)
x
S
Lsg:
mB
System ist abgeschlossen (kein Massenverlust) und isoliert (keine Reibung)
mPvPi→ + mBvBi→ = (mP + mB)vf→
x-Achse
mPvPi + mB 0 = (mP + mB)vf cosθ
y-Achse
mP 0 + mBvBi = (mP + mB)vf sinθ
=>
tanθ = mBvBi / mPvPi = 0,834
=>
θ = 39,8o
47
vf→ = gemeinsame Geschw.
Gl. durcheinander teilen da 2 Unbekannte
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aus y-Richtung => vf = mBvBi /(mP + mB)sinθ = 4,86 km/h
Frage wie läuft der Schwerpunkt vor / nach dem Stoß ?
Lsg.
keine äußere Kraft, also vS identisch vor / nach dem Stoß
=>
Umgekehrtes Billiardproblem
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 1.3, Fragen 1.3.1 – 1.3.7
7. Rotation
Alle Bewegungsformen lassen sich aus Translations- und Rotationsbewegungen aufbauen.
Wir betrachten hier nur starrer Körper mit fester Drehachse (keine Bowlingkugel).
Beschreibung: Translationsbewegung ist eindeutig beschrieben durch Ort x(t)
=>
Rotationsbewegung ist eindeutig beschrieben durch Winkel θ(t)
Drehachse
7.1 Drehwinkel
Körper
θ = s/r
wenn θ klein
[θ] = rad
Bogenmaß
θ
r
360o = 2π rad
s
θ
θ < 0 im Urzeigersinn
s
θ > 0 gegen Urzeigersinn
Beschreibung gilt nicht nur für einen Punkt des starren Körpers, sondern für alle Punkte!
Beachte: Winkel müssen immer in rad angegeben werden, auch wenn die Bezeichnung rad
meist nicht mitgeschrieben wird.
7.2 Winkelgeschwindigkeit
ω = dθ/dt
θ2 zu t2
dθ
[ω] = rad / s, Umdrehungen / min
1U/min = 2 /60s
π
7.3 Winkelbeschleunigung
α = dω/dt = d2θ/dt2
[α] = rad / s2
48
θ1 zu t1
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Bsp.
Drehende Scheibe
sei:
θ (t ) = −1 − 0,6t + 0.25t 2 ,
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[t] = s, [ ] = rad
θ
Frage: Zeichne (t) für -3s < t < 6s und Bezugslinien
θ
Lsg.
Frage: Winkelgeschwindigkeit als Funktion der Zeit
Lsg.
7.4 Rotation bei konstanter Winkelbeschleunigung
Rotationen bei konstanter Winkelbeschleunigung lassen sich analog den Gleichungen von
Translationsbewegungen mit konstanter Beschleunigung ausdrücken.
1
Translations-
Unbekannte
v(t) = v0 + at
x – x0
2
ω
ω (t) = ω0 + αt
θ - θ0 = ω0 t + ½αt
.
Lernen!
2
2
x – x0 = v0t + ½ at
3
v2 = v02 +2a(x –x0)
t
t
ω2 (t) = ω02 + 2α(θ - θ0)
4
x – x0 = ½(v0 + v)t
a
α
θ - θ0 = ½ (ω0 + ω) t
5
x – x0 = vt - ½ at2
v0
ω0
θ - θ0 = ωt – ½ αt2
Bsp
Frage: können obige Gleichungen angewendet werden auf:
Lsg
v
θ - θ0
Rotations-Gleichung
herleiten
θ(t) = -5t3 + 27t2 – 4,
θ(t) = -5t2 + 27t +1,
nein, denn α = θ2(t)/dt2 = -15t + 54
ja, denn θ2(t)/dt2 = -10 = konstant
7.5.1 Rotation & Translation
Bei Rotation eines starren Körpers um eine Drehachse legen alle Punkte den selben Winkel
pro Zeiteinheit zurück. Die zurückgelegte Strecke, Geschwindigkeit steigt aber mit dem Umfang also mit dem Abstand vom Zentrum (Drehachse). Beispiel Karussell
Exp. rotierende Scheibe mit Klötzen
Bei Anstieg von ω rutschen zuerst die äußeren Klötze
1) Bezugssystem Raum 2) Bezugssystem Scheibe, Kamera dreht mit
49
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Gesucht: Zusammenhang zwischen Rotations- und Translationsgrößen.
r r r
dθ , ω , α
Rotation & Vektoren
Größe
Vektorrichtung
Orientierung
Geschwindigkeit ω→
Drehachse
rechte Hand Regel
Beschleunigung α→
Drehachse
rechte Hand Regel
Winkel nur kleines dθ →
Drehachse
Drehachse
rechte Hand regel
r
d
θ
s
Problem: Für große Winkel ist θ kein Vektor, denn das Kommutativgesetz gilt nicht bei Addition der Drehwinkel. Die Reihenfolge der Rotationen ist wichtig!
Ort
Punkt
r
r
r
r = r (cos θ e x + sin θ e y )
Kreisbogen
dr→ = r1→ - r2→
dr→ = dθ→ × r→
Betrag
dr = d r
θ
r = Radius
dθ→ in Richtung der Drehachse, nur kleines dθ→
r
r
Bezeichnung in Büchern oft s = dr
Geschwindigkeit
Vektor
v→ = dr→/dt = ω→ × r→
Betrag
v= r
ω
(ohne Beweis)
ω konstant für alle Punkte des Körpers, aber v nimmt mit
Abstand von der Drehachse zu.
Beschleunigung
Vektor
a→ = dv→/dt = d/dt(ω→ × r→)
Skalar
a = (dω/dt)r + ω(dr/dt)
(Produktregel)
= (dω/dt) r + ω (r dθ/dt)
a = α r + ω2r
a = tangentiale + radiale Beschleunigung
atangential Proportional Geschwindigkeitsänderung
aradial
tritt auch bei konstanter Geschwindigkeit auf
mit
ω
= v/r => ω2r = v2/r Zentripetalbeschleunigung
50
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Bsp.
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Astronaut soll Linearbeschleunigung von 11 g aushalten. Dazu trainiert er in einer mit
konstanter Geschwindigkeit rotierenden Zentrifuge mit Radius 15 m.
Frage Winkelgeschwindigkeit der Zentrifuge?
Lsg
Frage wie groß ist die tangetiale Beschleunigung, wenn Zentrifuge in 20 s auf Null abbremst
Lsg.
7.6 Kinetische Rotations-Energie
Exp. a) 2 Dosen leer/voll rollen die Schräge hinunter Worin unterscheiden sich die Dosen?
b) Ring + Holzrolle mit identischer Masse
Problem: Ein rotierendes Kreissägeblatt besitzt offensichtlich kinetische Energie. Wie groß ist
diese? Bekannte Form E = ½ mv2 für das Sägeblatt als Ganzes, d.h. Betrachtung des Schwerpunktes hilft nicht weiter, denn vSchwerpunkt = 0.
Lsg. betrachte jeden Massenpunkt mi des Sägeblatts mit individueller Geschwindigkeit vi
Ekin = Σ ½ mivi2
vi = ωri
individuelle Geschw. vi abhängig vom Abstand zur Drehachse,
Winkelgeschw. ω ist aber für alle Punkte gleich
Ekin = Σ ½ mi (ωri)2 = ½ Σ miri2 ω2
ERot = ½ I ω2
(ähnliche Form wie Ekin = ½ mi v2)
Trägheitsmoment:
I = Σ miri2
gibt die Massenverteilung bzgl. einer Drehachse an
[I] = kgm2
51
r
m
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Translationsbewegung:
Ekin ~ träge Masse m
Rotationsbewegung:
Ekin ~ Trägheitsmoment I
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Je kleiner das Trägheitsmoment, desto leichter läßt sich ein Körper drehen
Drehachse a
Bsp. Trägheitsmoment einer Stange
Ia > Ib
ra
Drehachse b
rb
Bsp. Frage Ordne die Trägkeitsmomente nach ihrer Größe
1m
Lsg
36 kg
2m
9 kg
3m
4 kg
Drehachse
7.7 Trägheitsmoment
Die Berechnung des Trägheitsmomentes eines
beliebigen Körpers ist nicht trivial. Man muss
über alle einzelnen Punkte summieren, also das
Integral I = ∫ ri2dm bilden. Meist nutzt man
Tabellierte Werte.
Exp. a) Buch dreht erst um Achse mit höchstem Trägheitsmoment I. Buch ändert die Dreh-
Achse, rotiert später um Achse mit kleinstem Moment I (Energieminimierung).
a) Messung Trägheitsmoment aus Praktikum, schwingender Aluklotz
7.8 Drehmoment
Warum ist die Türklinke möglichst weit vom Scharnier der Tür entfern? In welche Richtung
muß ich ziehen, um die Tür am leichtesten zu öffnen?
F→
T→ = r→ × F→
T = r F sin θ
F sin θ
θ
[T] = Nm, nicht mit Arbeit verwechseln!
r→
nur Kraftkomponente senkrecht auf r→ bewirkt Drehmoment
52
.
T = Drehachse
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Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Hebelarm: Komponente von r→ , die senkrecht auf F→ steht
T→ senkrecht auf r→ und F→
T→ Fläche, von F→, r→ aufgespannt
Idee: Die Lage der Drehachse wird durch die Kraft und ihre
Orientierung zum Hebelarm festgelegt.
Das Drehmoment spielt für die Rotation die gleiche Rolle, wie die Kraft für die
Linearbewegung.
Das resultierende Drehmoment ist die Summe der einzelnen Drehmomente.
Bsp.
Ordne die Drehmomente nach ihrer Größe
(alle Kräfte sind betragsmäßig gleich)
Lsg
Exp. Drehmomentenschlüssel, Balkenwaage
Bsp. Hebelgesetz
m1
T1→ + T2→ = 0
=>
r1→
N
r2→
m2
F1→
r1→ × F1→= - r2→ × F2→
F1+F2
Wie muss man einen Körper stützen, auf dessen Massenpunkte mi die Schwerkraft wirkt?
sei
Fges→ = Σ mig→ = 0
=>
T1ges→ = Σ mi r1→ × g→ = -g→ × Σ mi r1→ = 0
=>
Σ mi r1→ = 0 =>
Ursprung der Vektoren muß im Schwerpunkt liegen.
7.9 Zweites Newton`sches Axiom für die Rotation
Kraft zieht Masse m auf Kreisbahn mit Radius r, Teilchen rotiert um
Drehachse, aber wie wird die Massehen beschleunigt?
Nur tangentiale Kraftkomponente wirkt
53
F2→
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Ft = Fsin θ = mat
mit
T = (F sinθ) r
=>
T = mat r
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
at: lineare Tangentialbeschleunigung
mit at = α r,
α: Winkelbeschleunigung
= m(αr) r = mr2 α
=>
T=Iα
(α im Bogenmaß)
Das Drehmoment ergibt sich aus Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung. Vergleiche
mit linearer Bewegung F = ma.
Bsp. Scheibe mit M = 2,5 kg, r = 20 cm, einheitliche Dicke
M
r
Horizontale Drehachse, masseloses Seil hält Block m = 1,2 kg
FS
Frage a) Beschleunigung des fallenden Blocks
FS
b) Seilkraft FS
m
c) Winkelbeschleunigung ω
mg
Lsg
Exp. Kugel rollt durch Looping
Fz
Bsp.
h
Frage a) v am tiefsten Punkt des Loopings ?
R
Frage b) aus welcher Höhe h muß die Kugel starten,
damit sie den Looping durchlaufen kann?
54
2R
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7.10 Arbeit und Leistung
Welche Areit dW ist nötig, um eine Masse mit der Kraft F eine kleine Strecke dr auf dem
Kreis zu bewegen, bzw. um einen kleinen Winkel d zu drehen?
θ
.
dW = F→ dr→ ,
.
dr→ als Kreissegment
.
dW = F→ (dθ→ × r→) = (r→ × F→) dθ→
=>
.
W = ∫ T→ dθ→
Vertauschung im Spatprodukt
F
r2
dr
r1
T→ = (r→ × F→)
Die gesamte Arbeit ist dann die Summe der Teilarbeiten.
Leistung
P = dW/dt
=>
P=
((
(
=>
) )
r
d r r
r × F ⋅ dθ
dt
wenn Kreisradius r und F konstant, dann
T
d ,d
θ
ω
)
 r r d r
P = r×F ⋅ θ 
dt 

r r
P = T ⋅ω
F ideal
Arbeit, Leistung sind maximal, wenn T paralel zur Drehachse
F ungünstig
55
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Übersicht Translation
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Rotation
feste Richtung
feste Achse
Winkel
.
θ
Ort
x
Geschwindigkeit
v = dx/dt
ω = dθ/dt
Beschleunigung
a = dv/dt
α = dω/dt
Masse
m
Trägheitsmoment
Kraft
F = ma
Drehmoment
Arbeit
dW = F→ dx→
dW = T→ dθ→
Kin. Energie
Ekin = ½ mv2
Ekin = ½ Iω2
Leistung (F konst)
P = F→ v→
.
.
I
T=Iα
.
(T konst.)
.
P = T → ω→
7.11.1 Drehimpuls eines Teilchens
Analog zum Impuls p→ der Translation gibt es den Drehimpuls L→ der Rotation
L→ = (r→ × p→)
L = r mv sinθ
[L] = kg m2/s
Konstruktion:
rechte Hand-Regel, Bezugspunkt notwendig
L→ senkrecht auf der Rotationsebene
2tes Newton`sches Axiom
T→ =dL→ / dt
(ohne Beweis)
Die Vektorsumme aller Drehmomente, die auf ein Teilchen wirken, ist gleich der
zeitlichen Änderungsrate des Drehimpulses.
56
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7.11.2 Drehimpuls eines starren Körpers
L
risinθ
Alle Teilchen des starren Körpers drehen um die selbe Drehachse mit gleicher
Winkelgeschwindigkeit, aber unterschiedlichen Geschwindigkeiten v und
mi
pi
unterschiedlichem L, je nach Abstand zur Drehachse. Gesucht ist nun das
ri
L des gesamten Körpers bzgl. seiner Drehachse.
Lösung:
θ
summiere die Drehimpulse Li aller Massenelemente mi
L = Σ Li = Σ (ri sinθ mi vi)
= Σ [(ri sinθ) mi ω (ri sinθ)] , Komponenten senkrecht zur Achse: ri sinθ
mit Σ( ri sinθ) 2 mi Trägheitsmoment bzgl. Rotationsachse
L=ωI
Bsp. Scheibe, Ring, Kugel mit gleicher Masse und Radius werden tangential über gleiche Zeit
dt mit gleicher Kraft aus der Ruhe um zentrale Drehachse beschleunigt.
Frage Ordne nach
a) Drehimpuls L,
b) Winkelgeschw. ω
Scheibe
Ring
Kugel
F
Lsg.
7.11.3 Drehimpulserhaltung
Wirkt auf das System kein äußeres Drehmoment T→, so ist der Drehimpuls konstant:
dL→/dt = T→ = 0
=>
r
L = konstant
Was bedeutet die Drehimulserhaltung praktisch?
Exp. Person auf Drehstuhl ändert den Abstand der Hanteln vom Körper => ω ändert sich
Es wirkt kein äußeres Drehmoment, also gilt der Drehimpulserhaltungssatz.
57
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r
r groß => I = Σ miri2 groß
r klein => I = Σ miri2 klein
Drehimpulserhaltung: L = konstant
=> ω = L / I klein
=>
Bsp.
ω
=> ω = L / I groß
ändert sich mit der Massenverteilung über das Trägheitsmoment
Pyroette beim Eistanz oder Salto beim Turmsprung
L→
- Beim Absprung erzeugt der Springer einen Drehimpuls.
- Nach Absprung: System isoliert, wirken keine Drehmomente => Drehimpulserhaltung
- Zieht er Beine, Arme an, so verkleinert sich I => dreht sich schneller (Salto)
Exp. Person sitzt auf Drehstul (in Ruhe) und hält drehendes Rad in der Hand. Achsen von
Stuhl / Rad sind parallel. Dann dreht er das Fahrrad um 180o. Damit beginnt der Stuhl
sich zu drehen. Am Trägheitsmoment hat sich nichts geändert, was ist passiert?
Frage Warum dreht sich die Person auf dem Stuhl?
Lsg:
System: Rad + Person betrachten
Drehimpulserhaltungssatz gilt, da kein äußeres Drehmoment wirkt (Reibung = 0)
LRad-i + LPers-i = LRad-f + LPers-f = konstant
LRad-i + 0 = -LRad-i + LPers-f => 2LRad-i = LPers-f
2ωRad-i IRad = IPers ωPers-f
LPers
LRad-i
Trägheitsmomente konstant
ωPers = (2 IRad /IPers) ωRad-i
Frage Wie schnell dreht sich die Person?
Lsg.
58
-LRad-i
Beginn
Ende
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Übersicht
Translation
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Rotation
Kraft
F→
Drehmoment T→ = r→ × F→
Impuls
p→
Drehimpuls
L→ = r→ × p→
Impuls
P→ = Mv S →
Drehimpuls
L→ = Iω→ , für starren Körper
2.newt. Axiom
F→ = dP→/dt
T→ = dL→/dt
Erhaltungssatz
P→ = konstant
L→ = konstant (isoliert, abgeschl.)
Anwendung:
a) Stabilisierung freier Bewegung, z.B. Diskuswerfen
Exp. Kreisel
b) künstlicher Horizont im Flugzeug
c) Schiffsstabilisator: Kreisel mit senkrechter Achse verhindert Schlingern
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 1.4 -1.5, Fragen 1.4.1-9, 1.5.1-8
8 Fluid-Dynamik
8.1 Druck und Dichte
Fluide sind Substanzen, die strömen können, wie Flüssigkeiten, Gase. Daher Beschreibung
nicht durch Masse / Kraft sondern durch Dichte und Druck.
Dichte
Druck
ρ = m/V
für homogenes Medium
[ρ] = kg/m3
Skalar
Druck des Fluids bewirkt eine Kraft F auf den Kolben der Fläche A
p = F→/A Skalar ohne Richtungsabhängigkeit
[p] = N/m2 = Pa (Pascal)
Atmosphärendruck 1 atm = 1,013 bar = 1,013 *105 Pa = 760 Torr
Merkhilfe: Bleistiftdruck der Spitze größer als der der Rückseite
Anwendung: Druckmessung durch Messung der Kraft auf
Feder Im Federmanometer
59
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Bsp.
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Frage: Welche Masse hat die Luft in einem Zimmer der Größe 3,5m x 4,2m x 2,4 m
bei Atmosphärendruck p = 1,013 bar?
Lsg.
Exp. Magdeburger Halbkugel (1654, Otto von Guericke).
Wenn man der Luft einen Druck zuordnen kann, dann muss sie auch eine Druckkraft bewirken. Kiste Wasser hängt an evakuierte Kugel.
Kräfte auf Kugel: F = pA, Radius r = 5 cm => F = 1,013 *105 Pa * π(0,05m)2 = 796 N
8.2 Hydrostatischer Druck in ruhenden Fluiden
Erfahrung: Taucher: Wasserdruck nimmt mit steigender Wassertiefe zu
Bergsteiger: Luftdruck nimmt mit steigender Höhe ab
Gesucht: Druck als Funktion der Tiefe in Becken mit ruhendem Wasser, d.h. Gleichgewicht
Betrachte zylinderförmiges Wasservolumen
V = A(y1 – y2)
y
Wasser
y1
Luft
A
y2
p
p1
p2
Kräfte auf Testvolumen:
F1 = p1 A
durch Wasser oberhalb des Zylinders
F2: = p2 A
durch Wasser unterhalb des Zylinders
mg = ρA(y1 – y2)g
F1 mg F2
Gravitation auf Wasser im Zylinder, A(y1 – y2) = Verdrängung
F2 = F1 + mg
=>
p2 = p1 +ρ(y1 – y2)g
(A gekürzt)
Wasserdruck in Tiefe h
Wasseroberfläche bei y1 = 0, Luftdruck an Wasseroberfläche p1 = p0
=>
p = p0 + ρgh
=>
Der Druck an einem Punkt in einem Fluid im statischen Gleichgewicht hängt nur von
der Tiefe des Punktes ab, aber nicht von den Abmessungen des Behälters.
60
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Bsp. Alle Behälter sind mit Öl gefüllt. Ordne nach Größe des Drucks auf der Bodenfläche
h
Bsp.
Für alle, die Omas Weihnachtsgeld beim Tauchen im roten Meer verprassen: Ein Anfänger im
Scuba-Tauchen nimmt in einer Tiefe h aus dem Atemgerät ausreichend Luft zu sich um seine
Lungen so weit zu füllen wie es geht. Dann schwimmt er nach oben an die Wasseroberfläche
aber hört nicht auf seinen Lehrer und atmet nicht aus. Oben angekommen wirkt ein
Druckunterschied zwischen Luft und Lunge von 9,3 kPa. Aus welcher Tiefe ist er gestartet?
Lsg.
=>
p = p0 + ρgh
Druck in Tiefe h auf Lunge und Blut
p0
Luftdruck an Oberfläche
∆p = p - p0 = ρgh
Überdruck der Lunge nach aussen & gegenüber Blut
h = ∆p/ ρg = 9300 Pa/(998kg/m3 9,81m/s2) = 0,95 m
=>
Problem: Lungen reißen und Luft wird in`s Blut gepresst, Luft wandert zum Herzen.
Anwendung: Quecksilberbarometer
Glasröhre mit Hg gefüllt, kopfüber in Hg-Bad gestellt, Hg fließt in`s Bad,
=> oberer Raum Vakuum (Hg-Dampf ist vernachlässigbar)
gesucht: Abhängigkeit Hg-Säulenhöhe von Luftdruck p0
p2 = 0
=>
p1 = p2 +ρgh
(Formel aus 8.2)
y2
mit
y1 = 0, p1 = p0
(Luftdruck)
y2 = h
p0
p1
y2 = h, p2 = 0
=>
p0 = ρgh
Hg
y1 = 0
Druck abh. von Temp über ρ(T), Ort auf der Erde über g
Hg-Höhe in mm entspricht dem Druck in Torr, wenn T = 0oC, g = 9,80665m/s2
61
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8.3 Pascalsches Prinzip
Eine Druckänderung in einem abgeschlossenen inkompressiblen Fluid wird unvermindert auf
jeden Teil des Fluids sowie die Wände abgegeben.
p = pext +ρgh
=>
∆p = pext
Druckänderung für Punkt in konstanter Tiefe h nur möglich,
wenn sich der externe Druck ändert
Exp. Wagenheber, Hydraulikpresse
Anwendung: Hydraulik-Presse
F1
F2
Kräfte: Druck auf beide Flächen ist gleich groß
A1
=>
∆p = F1 /A1 = F2/A2
A2
d1
Öl
=>
F2 = F1 *A2 /A1
Kräfte und Flächen verhalten sich invers
Arbeit: Hebelbewegungen verdrängen das selbe Volumen
V = d1A1 = d2A2
=>
d2 = d1 A1 /A2
=>
W = F2d2 = (F1 *A2 /A1) (d1 A1 /A2) = F1d1
Kleine Kraft, die auf langem Weg wirkt, wird umgewandelt in große Kraft, die auf kleinem
Weg wirkt. Verhalten folgt direkt aus der Energieerhaltung, d.h. Kraft x Weg = konstant.
8.4 Archimedisches Prinzip
Exp. a) Masse hängt in Luft an Federwaage, b) Masse wird in Wasser gehängt => F sinkt
F = mg
FAuf
mg
mg
Prinzip:
„Die Auftriebskraft auf einen schwimmenden Körper entspricht dem Gewicht
des verdrängten Fluids.“
Der Auftrieb beruht auf dem mit steigender Wassertiefe ansteigenden Druck.
62
d2
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Auftriebskraft
A) gewichtslose, mit Wassermasse mF gefüllte, in Wasser schwebende Tüte, befindet sich im
statischen Gleichgewicht
=>
FA
Kräftegleichgewicht mFg→ = FA→
Umgebungsasser übt Druck-Kräfte auf das Wasser in der Tüte aus
Summe der horizontalen Kräfte = 0
Summe der vertikalen Kräfte = FA→ nach oben gerichtet, da untere Kräfte größer als oberen
B)
selbe Tüte gefüllt mit Sand:
Tüte verdrängt selbe Menge Wasser => selbe Auftriebskraft
aber größeres Gewicht
=>
mSg > FA
=> Sand sinkt
C)
selbe Tüte gefüllt mit Holzsägespänen:
=>
mHg < FA
=> Holz steigt auf
Generell:
Die Auftriebskraft auf einen Gegenstand in einem Fluid hat den Betrag mFg→ = FA→ ,
Auftrieb, wenn mFg > mKörperg, also wenn
m Körper
m Fluid
=
ρ Körper ⋅V ρ Körper
=
<1
ρ Fluid ⋅ V
ρ Fluid
Exp. 1 Kartesischer Taucher, vorführen, danach beschreiben lassen, pext geändert
Exp. 2 Auftrieb einer luftgefüllten Glaskugel an Waage entfällt im Vakuum,
Bsp.
Sie wetten einen schweren Stein heben zu können. Zeigen Sie das unter Wasser, dann
hilft Ihnen der Auftrieb.
Anwendung: Aräometer zur Dichtebestimmung von Flüssigkeiten. Gerät
sinkt so weit ein, bis Auftriebskraft = Schwerkraft im Gleichgewicht, also bei
mg =
ρ
FluidVg
63
mFg
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8.5 Strömung idealer Fluide
wir betrachten nur die Strömung vereinfachter, idealer Fluide unter folgenden Annahmen:
1) Laminar:
gleichmäßige Strömung, in festem Punkt ist die Geschwindigkeit konstant
(ruhiger Fluß: laminar, Stromschnellen: turbulent)
2) Inkompressibel:
Dichte des Fluids überall konstant
3) Nichtviskos:
ohne Energieverlust,
4) Wirbelfrei:
kein Energieverlust, rotationsfrei
(Teilchen in der Strömung dreht sich nicht um
seinen Schwerpunkt)
Stromlinien
- Stromlinien beschreiben den Weg eines kleinen Fluidelements in der Strömung
- können durch Tracer sichtbar gemacht werden
- Geschwindigkeit tangenial zur Bahnkurve
- schneiden sich nie, sonst gäbe es an einem Punkt verschiedene Geschw.
8.6 Kontinuitätsgleichung
Beobachtung: die Geschwindigkeit des aus einem Gartenschlauch austretenden Wasserstrahls
kann man erhöhen, wenn man das Schlauchende zudrückt, d.h. den Querschnitt verkleinert.
Fluid strömt in Zeit ∆t durch verengtes Rohr
gilt: eintretendes = austretendes Volumen (da inkomressibel)
∆x2 = v2 ∆t
strömendes Volumen: ∆V = A1 v1 ∆t = A2 v2 ∆t
=>
A1 v1 = A2 v2
∆x1 = v1 ∆t
Kontinuitätsgleichung
Flußröhre
Kontinuitätsgleichung gilt auch für imaginäre Flußröhre, d.h. Rand wird nur durch Stromlinien gebildet. Möglich, da Stromlinien sich nicht kreuzen können.
Volumenflussrate
RV = Av = konstant [RV] = m3/s
Massenflussrate
RM = ρRV = ρAv = konstant [RM] = kg/s
64
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8.7 Bernoulli-Gleichung
Zusammenhang zwischen Druck und Geschwindigkeit. Bildet Grundlagen der Luftfahrt.
identisches Volumen strömt von links nach rechts durch Röhre mit variblen Querschnitt
Dann gilt:
p1 +
=> p +
mit
(D. Bernoulli, ~ 1700)
1
1
ρ v12 + ρ g y1 = p 2 + ρ v 22 + ρ g y 2 = p 0 = kons tan t
2
2
1
ρ v 2 + ρ g y = p 0 = kons tan t
2
v: Fließgeschwindigkeit
p: statischer Druck in Fluid
½ρv2: Staudruck
ρgy: hydrostatischer Druck (abh. von Fluidtiefe)
p0 = konst.:
Luftdruck über der Flüssigkeit, d.h.
Gesamtdruck, der entsteht, wenn v = 0 u. wenn y = 0)
wenn y = konst: => p1 + ½ρv12 = p2 + ½ρv22 = p0
d.h.
wenn die Geschw. bzw. Staudruck ½ρv2 eines Volumenelements in einer
horizontalen Stromline zunimmt, muss der statische Druck p abnehmen.
Exp. konisches Rohr hinter Windmaschine mit Drucksensoren längs der Stömungsachse
Kleiner Querschnitt => hohe Geschw. => kleiner Druck (Unterdruck)
p1 < p2
Exp. Tragflächenprofil im Windkanal
Interpretation:
Stromliniendichte groß: v groß => p klein
p2
∆p
Luft läuft oben schneller als unten wegen Wirbelbildung an Hinterkante (kompliziert)
Bsp.
Laminare Strömung fließt nach rechts
Ordne, beginnend mit dem größten:
a) Volumenrate
b) Geschw. v
c) Wasserdruck
65
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Anwendung: Venturi-Rohr
Gesucht
Strömungsgeschwindigkeit
Gemessen
Druckdifferenz weites / enges Rohr
Formel
aus Bernoulli + Kontinuitätsgleichung folgt
v1 = …… selber rechnen
v = Ballgeschwindigkeit
Exp. Magnuseffekt
Fliegender und rotierender Ball beschreibt eine gekrümmte Bahn
Ursache:
Balloberfläche ist rauh und nimmt Luftschicht mit
vLuftschicht =
ω
r
F
Ball
v1 > v2
p1 < p2
=>
v1 = v + vL , v2 = v - vL
=>
Unterdruck ∆p = p1 – p2 => Kraft F = ∆pA
Hydrodynamisches Paradoxon
Ausströmendes Fluid mit hoger Geschw. v erzeugt Unterdruck
z.B. Durchzug => Tür knallt zu, Staudruck öffnet die Tür
F
Exp. zwischen zwei gewölbten Flächen durchpusten => Unterdruck zieht sie zusammen
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 1.6, Fragen 1.6.1-1.6.14
66
vLuftschicht
v2
p2
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SCHWINGUNGEN & WELLEN
1. Schwingungen
Fast alles schwingt, d.h. der Zustand ändert sich periodisch mit der Zeit wie in Kreisbewegung. Bsp. Uhr, Kolben im Automotor, wippende Boote auf dem Wasser
1.1 Harmonische Schwingung
die einfachste Schwingung ist die harmonische Schwingung
Exp. physikalisches Pendel, Federpendel, Torsionspendel, Wagen zwischen 2 Federn auf
Luftkissenbahn, Ball, Stimmgabel
Frequenz:
f = Anzahl der Schwingungen pro Sekunde
[f] = 1 Hertz = 1 Hz = 1 Schwingung / s = 1 s-1
Periode:
Schwingunsdauer für vollständigen Durchlauf
T=1/f
Bewegung:
x(t):
[T] = s
x(t) = x0 cos(ωt + ϕ)
Auslenkung, Ort
ändert sich mit Zeit t
ωt + ϕ:
Phase
x0
Amplitude, maximale Auslenkung
ω= 2πf
Kreisfrequenz
ϕ:
Phasenkonstante / Verschiebung
Kreisfrequenz ω
Konstant
Frequenz f
Alter Ort muss nach voller Periode T wieder erreicht werden
x(t) = x(t + T)
x0 cosωt = x0 cosω(t + T)
cos-Funktion wiederholt sich nach voller Umdrehung, wenn
Argument um 2π zunimmt, d.h. Periode T entspricht 2 der Kreisbewegung
π
=>
ω(t + T) = ωt + 2π
=>
ωT = 2π
=>
ω = 2π/Τ = 2πf
beachte: ϕ immer in rad, ω in 1 / s
67
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Bsp.
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Teilchen führt harmonische Schwingung aus und befindet sich zur Zeit t = 0 bei –x0.
Frage Wo befindet es sich zur Zeit t = 2T ? t = ½T, t = ¾T ?
Lsg
Exp. 2 identische Feder-Masse Systeme schwingen phasenverschoben
Geschwindigkeit
v(t) = dx(t)/dt
= d/dt[x0 cos(ωt + ϕ)]
= - x0 ω sin(ωt + ϕ)
v(t) = v0 sin(ωt + ϕ)] mit v0 = - x0 ω
Beschleunigung
a(t) = dv(t)/dt
= d/dt[- x0 ω sin(ωt + ϕ)]
= - x0 ω2 cos(ωt + ϕ)
a(t) = a0 cos(ωt + ϕ) mit a0 = - x0 ω2
a(t) = - ω2 x(t)
Harmonische Schwingung heißt:
also, Beschleunigung ist proportional zur Auslenkung und immer zur Ruhelage gerichtet
1.2 Harmonischer Oszillator
Federkraft
F = -kx
Beschleunig.
F = ma
=>
F = -kx
m
ma + kx = 0
x (m)
aktueller Ort x(t)
DGL
d 2x k
+ x=0
dt 2 m
Lösung:
x(t ) = x0 cos(ω 0 t + ϕ )
Lsg. in DGL − x0ω 02 cos(ω 0 + ϕ ) +
=>
ω0 = k m
0
(Differentialgleichung)
Lsg. ist Funktion, die jederzeit die DGL erfüllt
k
x0 cos(ω 0 + ϕ ) = 0
m
Eigenfrequenz, charakterist. für System, unabh. von Amplitude
68
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Harmonischer, linearer Oszillator, da F ~ x (nicht ~ x2, √x,..)
Generell: jedes oszillierende System hat etwas „Rücktreibendes“ (k) und etwas „Träges“ (m).
Bsp.
Ein Astronaut will im schwerelosen Weltraum seine Masse mA ermitteln.
Frage: Wie macht er das? Federwaage funktioniert nicht!
Lsg.
Frage: Maximalauslenkung sei 8 cm nach 0,2s. Gebe Schwingungsgleichung an.
Lsg.
Frage: zeichne x(t)
Lsg
Frage Maximale Geschwindigkeit des Astronauten und wo tritt sie auf?
Lsg.
Bsp. Sie sollen auf einem Mikrochip 100 ng einer Substanz aufdampfen
Frage wie messen Sie solch eine kleine Masse?
Lsg.
69
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1.3 Energie der Schwingung
Die potenzielle Energie eines linearen Oszillators hängt allein vom Zustand der Feder ab
Epot = ½ kx2
= ½ k x02cos2(ωt +ϕ)
Beachte cos2A = (cosA)2 aber cosA2 = cos(A2)
Die kin. Energie hängt allein vom Zustand der Masse, also von der Geschwindigkeit ab
Ekin = ½ mv2
(der Reihe nach zeichnen)
= ½ m x02ω2 sin2(ωt +ϕ)
mit ω = (k/m)½
= ½ x02 k sin2(ωt +ϕ)
Gesamtenergie
E = Ekin + Epot
= ½ k x02 [cos2(ωt +ϕ) + sin2(ωt +ϕ)]
mit cos2(α) + sin2(α) = 1
E = ½ k x02
beachte
Ort:
-x0 < x(t) < x0
Energie:
0 < E(t) < E0
(immer positiv)
Linearen Oszillator: - Rücktreibendes Element (Feder) speichert die potenzielle Energie,
- träges Element (Masse) speichert die kinetische Energie
-kx(t)
v(t)
2. Erzwungene Schwingung
m
2.1 Dämpfung
-bv(t)
Exp. gedämpfte Schwingung
0
x(t)
x (m)
Ort zur Zeit t
Schwingung : periodische Wandlung von kin. in pot. Energie
Dämpfung:
Reibung verbraucht Energie, die der Schwingung entzogen wird
Bild:
Masse schwingt nach rechts, wird aber gebremst durch Reibung und Feder
Feder
F = -kx
Reibungskraft
FR = -bv
(gilt nur für langsame Bewegung)
b , [b] = kg/s
Reibungskoeffizient
Kräftegleichung
=>
ma = -bv - kx
m(d2x/dt2) + b(dx/dt) + kx = 0
70
mit Dämpfung δ = b/2m
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(d2x/dt2) + 2δ(dx/dt) + (k/m) x = 0
=> DGL
x(t) = x0 . exp{-δt}. cos(ω´t + ϕ)
Lsg:
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Amplitude
.
Schwingung
k
− δ 2 = ω 02 − δ 2
m
ω′ =
Funktion des Ortes x(t) des Teilchens
Eigen-Frequenz bei Dämpfung
Neu bei Dämpfung:
Amplitude x0 exp{-δt} fällt exponentiell mit Zeit t
Eigenfrequenz ω´< ω0
Periode
Abklingzeit:
Verhältnis:
(kleiner Effekt)
T´= 2 /ω´
π
τ
= 1/δ => x(1/δ) = x0/e ≈ 0,37x0
x(t)/x(t +T`) = exp{-δT} = konstant
typischer Test ob exp-Funktion (siehe Praktikum)
Dämpfungsfälle gegeben durch ω `= k m − δ 2
1) Schwingfall: δ 2 < k m => ω` > 0
2) aperiodischer Grenzfall: δ 2 = k m => ω = 0
3) Kriechfall: δ 2 > k m => ω imaginär
Gesamtenergie nimmt mit der Zeit exponentiell ab
=>
E(t) = ½ k x(t)2 = ½ k x02 e-2δt
nimmt schneller ab als Amplitude, da E ~ x2
P = dE/dt = -2δ E(t)
Verlustleistung
Bsp: Frage Wie sollte das Federsystem eines Motorrades ausgelegt sein?
Lsg
71
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2.2 Resonanz
Energieverlust der gedämpften Schwingung kann durch Energiezufuhr von außen kompensiert werden, wenn sie im richtigen Takt erfolgt, also bei erzwungener Schwingung. Eine
Schaukel muss im richtigen Takt angestoßen werden, dann genügen auch kleine Amplituden.
Neu:
zwei schwingende Systeme a) Schaukel mit eigener Kreisfrequenz ω´
b) äußere anregende Kraft Fa mit Kreisfrequenz ωa
=>
m(d2x/dt2) + b(dx/dt) + kx
Beschleunigung
=>
Reibungskraft
= Facos(ωa t)
Rückstellkraft
Kräftegleichung
Externe
Kraft
Bewegungsgleichung beschreibt die Schwingung
(d2x/dt2) + 2δ(dx/dt) + (k/m) x = Fa/m cos(ωa t)
Lsg:
(Differentialgleichung)
x(t) = x0 cos(ωat - ϕ)
Ort des Teilchens für t >> 1/δ
x0 = Fa/[m2(ω02 - ωa2)2 + b2ωa2]½
Amplitude
ω0 = (k/m)½
Eigenfrequenz ohne Dämpfung
ω´= (ω02 - δ2)½
Eigenfrequenz mit Dämpfung
ϕ = arctan{2δωa /(ω02 - ωa2)}
Phasenverschiebung System zu Anregung
Neu: - System schwingt nicht mit Eigenfrequenz ω0 sondern mit externer Frequenz ωa ,
- System und externe Anregung schwingen phasenverschoben, abh. von (ω02 - ωa2)
- Amplitude hängt stark von (ω02 - ωa2) ab, ist maximal bei ω0
72
≈
ωa (Resonanz)
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Exakte Position des Resonanzmaximums folgt aus
gilt:
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
dx0
= 0 zu ω res = ω 02 − 2δ 2
dω a
ω res < ω 02 − δ 2 , d.h. etwas kleiner als Eigenfrequenz für gedämpfte Schwingung
Für uns reicht näherungsweise: ωres ≈ ω0
Halbwertsbreite
Aus der Halbwertsbreite der Amplitudenkurve lässt sich die
Dämpfung ermitteln
∆ω
ω0
=
1/√2
b
ω0 m
⇒ ∆ω = 2δ
3. Wellen
Wellen übertragen Information und Energie auch ohne Massentransport.
Wellentypen a) Mechanische Wellen (Seil, Schall, Wasser)
b) Elektromagnetische Wellen (Funk, Licht, Röntgen) kein Medium notwendig
c) Wahrscheinlichkeitswellen (Elektronen, Protonen, Photonen)
3.1 Wellenprinzip
Die Störung eines deformierbaren Mediums (Seil, Luft) breitet sich im Medium aus. Diesen
zeitl. und räuml. veränderlichen Zustand bezeichnet man generell als Welle.
Exp. Seil / Feder durch Hörsaal spannen und Wellen anregen, Impuls läuft über das Seil
Wellenberg
y
Exp. Wellenmaschine
c
Seil
x
Wellental
A)
Transversale Welle: Auslenkung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
B)
Longitudinale Welle: Auslenkung in Ausbreitungsrichtung (Schallwellen, Physik II)
Exp. Feder in Längsrichtung anregen
Beachte: nur die Welle (Störung) breitet sich aus, nicht das Material selbst !
73
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3.2 Wellenlänge & Frequenz
y(x,t)=sin(kx -ω t)
Welle
Schwingung eines Seilelementes am Ort x zur Zeit t
Fots zu Zeiten:
Ausbreitungsrichtung
t1 = 2,0 s
1,0
y(x, t) = y0 sin(kx - t)
t2 = 3,3 s
ω
t3 = 4,6 s
0,5
Auslenkung y
Auslenkung = Amplitude x Schwingungsterm
max. Auslenkung aus Gleichgewicht
Amplitude
y0
Phase
kx – t Argument der Sinusfunktion
0,0
-0,5
ω
-1,0
Wellenlänge λ
wächst linear mit t für festen Ort x
0
1
2
3
4
5
6
7
Ort x
Wellenlänge
räumlicher Abstand zwischen zwei Wiederholungen der Wellenformen
λ
Bestimmung Zeit festhalten und Foto der räumlichen Auslenkung machen
k=2 /
Wellenzahl
[k] = rad/m
λ
π
Bestimmung: feste Zeit z.B. t = 0 wählen und Periodizität nutzen
=>
y(x, t = 0) = y(x + , t = 0)
λ
y0sin(kx) = y0 sin(kx +k )
λ
=>
Argumente des sin müssen gleich sein
k =2
λ
π
Periode
T
zeitlicher Abstand zwischen zwei Wiederholungen der Wellenfront
Bestimmung: Film drehen an festem Ort (Stab im Wasser bei x = 0)
Kreisfrequ.
ω
= 2 /T
[ ] = rad/s
ω
π
Bestimmung: festen Ort, z.B. x = 0 wählen und Periodizität ausnutze
=>
y(0, t) = y(0, t + T)
y
-y0 sin( t) = -y0 sin( t + T)
ω
=>
Frequenz
ω
ω
y0
ω
t
T=2
T
π
f = 1/T = /2
ω
π
beachte: ist nicht die Wellenform !
Die Frequenz einer Welle ist die Schwingungsfrequenz eines beliebigen Seilelementes, wie
beim harmonischen Oszillator. Alle Seilelemente haben die gleiche Frequenz
74
8
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1 3
Bsp.
2
Momentaufnahmen von Wellen mit Phasen:
x
a) 2x-4t, b) 4x-8t, c) 8x-16t.
Frage Welche Phase entspricht welcher Welle ? 1-c, 2-a, 3-b
Lsg.
3.3.1 Phasengeschwindigkeit der Welle
Wellenflächen: Flächen einer Welle, die mit gleicher Phase (kx - t) schwingen
ω
Kugelwellen:
punktförmige Anregung breitet sich in alle Richtungen gleichartig aus
Ebene Wellen: Anregung der Kugelwelle liegt im Unendlichen
Exp. Wasserwanne & Kreiswellen
Mit welcher Geschwindigkeit breitet sich die Wellenfläche (Störung) aus?
Wellenfront
=>
y(x,t) = y0 sin(kx - t) = konstant
ω
kx – t = kons. Phase
dx
c
ω
x, t
ändern sich gleichermaßen
x
d/dt((kx - t) = d/dt(kons.)
ω
=0
=>
k dx/dt -
=>
c = dx/dt = /k
Bsp.
Gl. nach t ableiten
ω
c: Phasengeschwindigkeit der Welle (nicht Teilchengeschwin.)
ω
c = λf
mit
c = λ/T
Welle bewegt sich in einer Schwingungsperiode um ihre Wellenlänge
ω
= 2 /T, k = 2 /λ
π
π
Welle läuft ein Seil entlang mit
y(x, t) = 0,0327 sin(72,1 x – 2,72 t)
Frage Amplitude der Welle?
Lsg.
Frage Wellenlänge, Periode, Frequenz der Welle?
Lsg.
Frage Phasengeschwindigkeit der Welle?
Lsg.
75
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Frage Auslenkung der Welle am Ort x1 = 22,5 cm und Zeit t1 = 18,9 s ?
Lsg.
4. Interferenz von Wellen
4.1 Superpositionsprinzip
Zwei Wellen y1(x, t) und y2(x, t) breiten sich gleichzeitig auf dem selben Seil (Medium) aus
=>
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)
(Superpositionsprinzip)
Die Überlagerung von Wellen entspricht algebraischen Summe der einzelnen Wellen
und ergibt eine resultierende Welle.
y1(x, t)
=>
y2(x, t)
Überlappende Wellen beeinflussen
x
sich bei ihrer Ausbreitung nicht.
y(x, t)
4.2 Einfache Interferenz
zwei identische Wellen y1(x, t) = y2(x, t) breiten sich in gleiche Richtung aus
y1(x, t) = y0 sin (kx - t)
ω
y2(x, t) = y0 sin (kx - t + ϕ)
einziger Unterschied: Phasenkonstante ϕ
ω
Was passiert bei der Überlagerung (Interferenz) gleicher Wellen?
y(x, t) = y0sin (kx - t) + y0sin (kx – t + ϕ)
ω
ω
mit sinα + sinβ = 2 cos ½ (α - β) sin½(α + β) folgt
=>
y(x, t) = [2 y0 cos ½ϕ] * sin (kx – t + ½ϕ)
ω
Auslenkung
=>
Amplitude
Schwingungsterm
Überlagerung ist eine Sinus-Welle y(x, t) mit:
1) Phasenkonst.
½ϕ
2) Amplitude 2y0cos½ϕ
stark abhängig von der Phase ϕ der beiden Wellen !
76
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Fall a) ϕ = 0 beide Wellen in Phase
=>
y(x, t) = 2 y0 * sin (kx – t)
ω
doppelte Amplitude, konstruktive Interferenz
Fall b) ϕ = 180 beide Wellen außer Phase
=>
y(x, t) = 0 da cos (½ *180) = 0
immer & überall Null, destruktive Interferenz
Phasendifferenz und Gangunterschied ∆
Der Gangunterschied ist die Phasendifferenz von zwei gleichen Wellen gemessen in der Wel-
lenlänge λ
Welle wiederholt sich exakt: ϕ = 2π
∆=λ
Interferenz konstruktiv:
ϕ = 0, 2π, 4π, ... n(2π)
∆ = 0, λ, 2λ, 3λ, .... nλ
Interferenz destruktiv
ϕ = π, 3π, ... (2n+1)π
∆ = ½λ, 3/2 λ, ... (2n+1)/2λ
Exp. Interferenz in Wasserwanne mit zwei Wellenzentren
Exp. 2 Folien mit Kreisen auf Overheadprojektor
Bsp.
2 Wellen mit folgenden Gangunterschieden überlagern sich
∆= 0,2 , 0,45 , 0,6 ,
λ
λ
λ
0,8
λ
Ordne die resultierende Amplitude nach der Größe
4.3 Stehende Wellen
was passiert bei einem eingespannten, räumlich begrenztem Seil, wenn sich 2 sinusförmige
Wellen in entgegen gesetzte Richtung ausbreiten? Es bildet sich eine stehende Welle aus!
Exp. 1) Gitarrensaite, 2) stehende Welle am langen gespannten Seil
Ton der schwingenden Gitarrensaite = Resonanzfrequenz der stehenden Welle
Exp. FOLIE 17-17 oder Film über stehende Welle
77
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Bei stehenden Wellen:
- schwingendes Medium ist räumlich begrenzt
- Schwingungs-Knoten: Ort x, wo Seil immer in Ruhe ist
- Schwingungsbäuche:
Ort x, wo Seil mit max. Amplitude schwingt
- Knoten bzw. Bäuche stehen, sie wandern nicht in x-Richtung, nur Bewegung in y-Richtung
Berechnung: Überlagerung entgegen laufender Wellen:
y1(x, t) = y0 sin (kx - t)
ω
y2(x, t) = y0 sin (kx + t)
ω
y`(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)
=>
y`(x, t) = 2 y0 sin (kx) * cos t
ω
Auslenkung
Amplitude
(mit sinα + sinβ = 2 cos ½ (α - β) sin½(α + β))
Schwingungsterm
Neu - Ort x und Zeit t sind entkoppelt
- Amplitude 2y0sin(kx) hängt vom Ort x ab, (laufende Wellen hat für alle x gleiches y0)
y`
Knoten:
sin(kx) = 0
Knoten
Bauch
2y0`
=>
kx = n ,
=>
x = n /2, Abstand benachbarter Knoten = /2
π
Bauch
n = 0, 1, 2, 3, …..
x
λ
λ
λ
/2
λ
Bäuche:
sin(kx) = 1
=>
kx = (n + ½ ) ,
=>
x = (n + ½ )( /2)
π
n = 0, 1, 2, 3, ……
λ
Abstand benachbarter Bäuche: ½
λ
4.4 Resonanz stehender Wellen
oben haben wir stehende Wellen betrachtet, aber unter welchen Bedingungen bildet sich überhaupt eine stehende Welle aus?
Betrachte: zwischen 2 Wände eingespanntes Seil wird periodisch angeregt
Anregung der Welle läuft zur Wand, wird reflektiert läuft zurück, reflektiert usw.
Interferenz aller gegenläufigen Wellen ergibt resultierende Welle
=>
nur bei bestimmten Resonanzfrequenzen bildet sich eine stehende Wellen aus!
L
78
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Bedingung für Resonanz / stehend Welle
Schwingungs-Knoten an Befestigungspunkten
L = /2
λ
1 Bauch: einfachster Fall
=>
L= /2
λ
2 Bäuche: zweite Wellenform
=>
L=
3 Bäuche: dritte Form
=>
L = (3/2)
L = 2 /2
λ
λ
λ
L = 3 /2
λ
stehende Wellen bilden sich aus, wenn:
Wellenlänge:
= 2L/n,
λ
n = 1, 2, 3, …..
Frequenz:
f = c/ = nc/(2L), n = 1, 2, 3, ….
Bezeichnung
n = 1: Grundschwingung (1. Harmonische)
λ
n = 2: erste Oberschwingung (2. Harmonische) usw.
Beachte:
Wellenlänge hängt nur von Seillänge L ab
Frequenz (Ton) hängt von der Seillänge & Wellengeschwindigkeit c ab
Exp.
Gitarrensaite stimmen heißt Spannung ändern, d.h. Geschwindigkeit c ändern
c=
f =
Exp.
FS
µ
c
λ
=
FS: Spannungskraft,
: lineare Dichte der Saite
FS n
=> f ~ FS
µ 2L
Stehende Welle auf Pauke
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 2.1 – 2.2, Fragen 2.1.1-11, 2.2.1-3, 2.2.5-7
79
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Elektrostatik & Dynamik
Die Bedeutung der Elektrizität für unser Leben wurde überdeutlich, als das elektrische Netz
von New York für einen Tag ausfiel. Stellen Sie sich Ihren Haushalt ohne Strom vor!
Erste Berichte der Griechen: geriebener Bernstein (gr. Elektron) zieht Strohhalme an. Es gibt
Gestein (Magnetit), das Eisen anzieht. 1820 beobachtet Oerstedt erstmals den Zusammenhang zwischen elektrischen Strömen und Magnetismus. Seit dem arbeitete man an der Vereinheitlichung beider Gebiete, vor allem Michael Faraday und James Clerk Maxwell.
1.1 Elektrische Ladung q
Sie ist eine intrinsische Materialeigenschaft aber keine Substanz, ebenso wenig wie die Masse
a)
b)
c)
Es gibt 2 Ladungen: Positive Ladung (+q), Negative Ladung (-q)
Neutraler Körper:
Q = (+q) + (-q) = 0
Geladener Körper:
Q = (+q1) + (-q2) ≠ 0
also gleich viel pos. wie neg. Ladung
also Ladungsungleichgewicht
Ladung ist quantisiert:
Elementarladung
e = 1.6x10-19 C
Ladungsmenge
Q = ne, n = ±1, ±2, ±3, …. Aber nie q = 3,8e !
Elektronenladung (Einheit Coulomb)
Ladung ist eine Erhaltungsgröße, wie Energie, Impuls, Drehimpuls
Man kann Ladung nicht einzeln vernichten oder erzeugen
d)
Nur trennen:
Ionisation H => H+ + e-
Kraftwirkung:
Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab,
Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an.
Exp. Glasstab aufladen, Elektroskop, Kraftwirkung gleicher Ladungen, drehbarer Stab
Selbst aufladen, Haare abstehen lassen
Tischtennisbälle (Graphitüberzug) stoßen sich ab
Generator & Funkenentladung, Gasflamme mit Funken entzünden
80
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1.2 Influenz & Elektrische Leitung
Exp. Influenz: 2 kontaktierte Kugeln werden in E-Feld gebracht – Ladungsverschiebung –
Kugeln trennen = Ladungstrennung. Man kann mit jeder Kugel ein Elektroskop laden
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
-
+
+
q=0
-
-
-
+
-
Exp. Wasserstrahl mit aufgeladenem Glasstab ablenken
Influenz und Polarisation hält den Ballon
-
+
+
+
+
+
Polarisation
+++++-
Exp. Luftballon laden und an Tafel / Wand kleben
+
+
+
++- ++ + +
+- +
+
++ +
+-
Polarisation: Verzerrung der Ladungsverteilung im neutralen Körper
durch externe elektrische Kraft
1.3 Leitung
Je nach Material sind Elektronen nur locker an Rumpf gebunden und quasi frei beweglich
=>
elektrischer Leiter
=>
pos. Ionen bleiben fest, neg. Elektronen tragen Strom
Isolator:
Elektronen sind fest an Atomrumpf gebunden, nicht beweglich
Halbleiter:
zwischen Isolator & Leiter, Leitung bei höherer Temperatur
Supraleiter:
elektrische Leitung ohne Stromverlust, d.h. Widerstand ist nicht nur klein
sondern Null! Leitung durch Cooper-Paare (gekoppelte Elektronen)
1.4 Coulombsches Gesetz
Zwei kleine Teilchen stehen im Abstand r und tragen die Ladungen q1 und q2. Dann
wirkt zwischen ihnen die abstoßende / anziehende elektrostatische Kraft
F=
ε
0
1
r
q1 q 2
4πε 0
r
2
= 8,85 10-12 C2/(Nm2)
Dielektrizitätskonstante
-F
+q1
+q2
F
-F
-q1
-q2
F
Das Gesetz gilt makroskopisch & im atomaren Bereich!
+q1
F
-F
-q2
Superpositionsprinzip
Für n geladene Teilchen überlagern sich die Kräfte unabhängig
voneinander wie Vektoren
F
→
= F12 + F13 + F14 + ….. + F1n
→
1res
→
→
→
F14 : Kraft auf Teilchen 1, ausgehend von Teilchen 4
→
81
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Gleichverteilung:
Bringt man Ladung auf eine elektrisch leitende Fläche, so verteilt sie sich homogen.
(die Ladung stößt sich gegenseitig ab, bis sich maximaler Abstand einstellt)
2 Elektrische Felder
Es wirken Kräfte zwischen zwei elektrischen Ladungen, aber woher weiß Ladung q1 von Ladung q2 ? Wie kann die Kraft wirken, obwohl sich die Teilchen nicht berühren? Wer vermittelt die Kraft? Idee: die elektrische Ladung q1 baut ein elektrisches Feld auf, das am Punkt P
im Raum eine elektrische Kraft auf eine andere Ladung bewirkt.
y
2.1.1 Skalares Feld: z.B. Temperaturfeld im Raum
40
42
45
55
55
Jedem Punkt (x, y) des Raumes wird eine
Temperatur zugeordnet
35
35
35
38
38
30
30
25
25
25
20
20
20
20
20
18
15
15
15
12
T hoch an Heizung, T klein am Fenster
x
2.1.2 Vektorfeld: z.B. Gravitationsfeld
y
P
Erdnähe
jedem Punkt P (x, y) des Raumes wird ein Vektor
│
│
g (x, y) zugeordnet, Pfeillänge = g
→
g
→
→
Kraft auf Masse m im Gravitationsfeld:
F (x,y) = mg (x,y) = mg , da g = konstant
→
→
x
→
2.1.3 Gravitations-Kraftfeld
wird erzeugt durch Masse
y
mE= Erde, m = Satellit im Abstand r
F =G
m mE
r2
Gm E
g =
r2
=mg
r1
r2
Kraft auf Satelliten
2
x
Pfeillänge = Kraftbetrag, Kräfte zeigen radial zum Erdmittelpunkt an jedem Punkt (x, y)
2.1.4 Feldmessung
Messung der Kraftwirkung des Feldes auf eine kleine Probemasse
Probemasse m << mE
beeinflusst Gravitationsfeld der Erde nicht, kann g-Feld testen
82
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2.1.5 Elektrisches Feld E
r
r
F = q0 E
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→
Kraftwirkung auf Probeladung q0 durch Feld E übermittelt
Vektorfeld
E-Feld existiert auch ohne Probeladung q0
Probeladung
q0 ist so klein, dass sie das E-Feld nicht stört, testet E-Feld aus
2.2 Elektrische Feldlinien
- Elektrische Felder werden erzeugt durch Ladungen
- Feldlinien beginnen bei positiver Ladung und enden bei negativer Ladung
- beschreiben die elektrische Kraftverteilung im Raum
- sind nur ein Modell, sie existieren nicht wirklich
- Die Tangente an der Feldlinie gibt die Richtung des Feldes
- Dichte der Feldlinien ist proportional zur Feldstärke
- Feldlinien kreuzen sich nie
2.2.1 E-Feld einer Punktladung
E-Feld der Punktladung q wird getestet durch dessen Kraft auf Probeladung q0 mit q0 << q
F=
Kraftbetrag
1
q q0
4πε 0
r2
y
r = (x2 + y2)½
E=
Feld
Eigenschaften:
F
1 q
=
q 0 4πε 0 r 2
y
x
x
E maximal im Ladungszentrum bei r = 0
→
E zeigt radial nach außen
→
E fällt mit Abstand wie 1/r2
Das Feld E, das sich aus vielen Punktladungen qi aufbaut, ist die Summe der Einzelfelder Ei
Kraft
F = F1 + F2 + …. + Fi + …
Feld
E = F1 /q0 + F2/q0 + …. + Fi/q0 + …
→
→
→
→
(vektorielle Addition)
→
= E1 + E2 + …. + Ei + …
→
2.2.2 zwei gleiche (pos) Punktladungen
Feldlinien enden bei neg. Ladungen im Unendlichen
Rotationssymmetrisch um Achse durch die beiden Ladungen
(Äquipotenziallinien: siehe Kapitel 4.4)
83
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2.2.3 Geladene, nichtleitende Platte
E -Feld-Rechnungen möglich bei:
Feldlinien sind senkrecht auf der Platte
http://www.pk-applets.de/phy/efeld/efeld.html
Exp. E-Feldlinien sichtbar machen durch Fasern in Öl im E-Feld
2.2.4 Punktladung im E-Feld
Die elektrostatische Kraft F auf ein geladenes Teilchen im E-Feld ist
r
r
F = qE
q pos. => F parallel E, q neg. => F antiparallel E (bei Elektronen)
Bsp. Tintenstrahldrucker
- Tintentropfen werden mit Ladung q belegt
- fliegen in konstantes E-Feld, werden abgelenkt, je nach q
y
- Druckmuster steuert Ladung q der Tropfen
++++++++
F
qE
Frage: Ablenkung y des Tropfens als Funktion der Ladung ?
x=L
---------
Lsg.
Exp. 1) Braunsche Röhre, Ablenkung von Elektronen im E-Feld
2) Oszilloskop
3) Leuchtstoffröhre neben Teslatrafo, Elektronenanregung ohne Kontakt durch E-Feld
84
x
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3.1 Elektrischer Dipol
wichtig für Atome, Antenne, Abstrahlcharakteristik , Optik
berechne:
E-Feld im Punkt P auf der Ladungsachse
Abstand z von Ladungszentrum
Ladungen q(+), q(-) erzeugen je ein E-Feld
q
E = E(+) - E(-) =
4πε r
2
0 +
−
q
4πε 0 r−2
= ……..
=
qd
2πε 0 z 3
r
r
p
E=
2πε 0 z 3
Dipolmoment:
E
für Punkt auf der Dipolachse
r
r
p = qd
Gibt Orientierung des Dipols (Achse) an,
Richtung von neg. zu pos. Ladung
Feldmessung ergibt nur p, nicht aber q oder d isoliert
Merke Punktladung: E ~ 1/z2
Dipol
E ~ 1/z3 , da Dipolladungen sich gegenseitig schwächen
3.2. Dipol im E-Feld
Dipol misst die Orientierung des E-Feldes, stellt sich wie eine Kompassnadel ein. Wichtig für
Bindung von Molekülen an Oberflächen (Katalyse),
x
Orientierung von Atomen im Festkörper
+
Typ. Beispiel ist Wasser im E-Feld
x sin
p
θ
-
Homogenes Feld
nur Drehmoment T um Schwerpunkt
Keine Kraft, da Dipolgesamtladung q = 0
Drehmoment
T = Fx sin + F(d – x) sin = Fd sin
Dipolmoment
p = qd
Kraft
F = qE
=>
=>
θ
θ
(mit T = Fdsinθ )
θ
T
T = pEsin
r r r
T = p×E
θ
Merke: Punktladung wird im E-Feld verschoben, Dipol wird im homogenen E-Feld gedreht
85
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Exp. polarisierte Fasern in Öl richten sich im externen E-Feld aus (Drehung der Dipole)
Anwendung: Dipole der Flüssigkristalle werden im E-Feld ausgerichtet, absorbieren polari-
siertes Licht. Durch Anlegen/Abschalten eines E-Feldes wird es hell/dunkel
4. Elektrische Spannung & Potenzial
Welche Arbeit hat die elektrische Kraft an dem geladenen Tropfen im elektrischen Feld des
Tintenstrahldruckers geleistet? Die Betrachtung erfolgt analog zum Verschieben einer Masse
im Gravitationsfeld der Erde.
4.1 Mechanische Verschiebe-Arbeit
Masse m soll auf einen Berg gebracht werden
g
y
y2
Bewegung durch Gravitationsfeld
r r
Arbeit
dW = F • dr
Weg (a)
W = ∑ dW = mg ( y 2 − y1 ) = mg h
dr
y (Höhe)
Potenzialdifferenz
h = y 2 − y1
h
y1
nur Streckenanteil parallel zu g ist relevant
Potenzial
(b)
x1
x2
x
ist proportional zur Arbeit !
Äquipotenziallinien: Höhenlinien, y = konstant
Arbeit
ist unabh. vom Weg, gleiche Arbeit für Wege a) , b),
abh. nur von Höhendifferenz (y2 – y1), also Differenz in g-Richtung
pot. Energie
Epot = mgh Energie der Masse, gewonnen durch Anheben im g-Feld
4.2 Elektrische Verschiebe-Arbeit
Ladung q wird durch ein konstantes elektrisches Feld bewegt, Integraldarstellung umgehen!
r
r
r
r
y
-q
E
Weg
dr = (dx, dy ) = dxe x + dye y
y1
r r
r r
dW = F • dr = qE • dr
Arbeit
Nur Weg dx parallel zu E ist relevant
=>
Arbeit
+
_
y2
x1
W = qE(x2 – x1)
x2
x
ist unabhängig vom Weg,
pot. Energie Eel = W, Energie der Ladung, gewonnen durch Verschieben im E-Kraftfeld
86
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4.3 Elektrische Spannung
Ziel:
Berechnung der Arbeit beim Bewegen der Ladung q im E-Feld um Weg dr
r r
dW = qE • dr
r r
Zweckmäßig: Trennung von Ladung q und Eigenschaft des Feldes E • dr
Definiere
Definiere
Definiere
Elektrisches Potenzial
r
Φ(r ) = − E • r
(hier Spezialfall für E = konstant)
Potenzialdifferenz zwischen den Punkten r1 und r2:
r r
Φ(r2 ) − Φ (r1 ) = − E • (r2 − r1 )
r r
Spannung als Potenzialdifferenz zwischen 2 Punkten (r2 , r1 )
U = Φ(r2 ) − Φ(r1 ) ,
[U] = Volt = J/C
Dann lässt sich die Arbeit zur Verschiebung der Ladung zwischen den Punkten berechnen, zu:
Arbeit
W = qU
(daher die Einheit der Spannung J/C)
-unabhängig vom Weg, nur abh. von Spannung U zwischen Punkten r1 und r2
- Spannung U spielt für E-Feld gleiche Rolle wie Höhe h im g-Feld
- es ist meist einfacher mit Spannung U als mit E-Feld (Vektor) zu rechnen
beachte: nur Spannung zwischen zwei Punkten macht Sinn, so wie Strom durch eine Leitung
4.4 Äquipotenzialflächen
wie kann man eine Ladung q durch ein E-Feld bewegen, ohne dass sie Energie gewinnt oder
verliert, bzw. ohne Arbeit an ihr zu verrichten?
r r
r r
r
r
Arbeit
0 = dW = F • dr = qE • dr => Weg dr muss senkrecht auf E sein
r
W = q(Φ (r2 ) − Φ(r1 ) ) = 0
=>
Potenzial Φ(r ) = kons tan t
Äquipotenzialflächen sind
- Flächen im Raum mit konstantem Potenzial (r)
Φ
- stehen immer senkrecht auf dem E-Feld
- je dichter sie liegen, desto größer ist das E-Feld
Homogenes E-Feld
Punktladung
87
zwei Punktladungen
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4.5 Berechnung des E-Feldes aus Potenzial (r)
r
r
wenn 3-dimensionales Potenzial Φ(r ) mit r = ( x, y, z ) bekannt, dann kann man ÄquipotenzΦ
ialflächen zeichnen und senkrecht dazu das E-Feld eintragen. Welchen Betrag hat aber das EFeld? Dazu muss man das Potenzial nach dem Ort r, also den Koordinaten (x, y, z) ableiten.
Für den einfachen, eindimensionalen Fall erhalten wir aus:
Potenzial
dΦ ( x) = − E • dx
E-Feld
E = − d Φ / dx
Bsp.
E-Feld ist die räumliche Änderungsrate des Potenzials
Zwei gegenüberliegende Metallplatten (Plattenkondensator)
im Abstand d und mit der Spannung U zwischen den Platten
E=
dΦ Φ 2 − Φ 1 U
=
=
dx
x 2 − x1
d
q+ von x1 = 0 nach x2 = d bringen kostet Arbeit
q+ bei x2 los lassen: potentielle Energie wird frei
4.6 Potenzial eines (isolierten) Leiters
a) Eine Überschussladung verteilt sich auf einem Leiter gleichmäßig über die Oberfläche.
b) Alle Punkte auf dem Körper und auch in seinem Inneren haben gleiches Potenzial.
Bew. Wenn Ladung gleichmäßig verteilt ist, wirken keine elektrischen Kräfte, also E = 0
=>
Φ 2 − Φ 1 = − E ( x 2 − x1 ) = 0 also
Φ
1
=
Φ
2
für alle Orte x
Anwendung: Faraday Käfig (Abschirmung)
Prinzip: neutraler geschlossener Leiter (Metallkäfig, Kugel) wird in ein E-Feld gebracht. Das
äußere E-Feld verschiebt die Ladung (Influenz) so, dass ein Gegenfeld im Inneren herrscht,
das das äußere Feld kompensiert.
Exp. Neonröhre gegen Funksender abschirmen
88
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4.7 E-Felder an Spitzen
Spitze
An Metall-Spitzen bilden sich sehr hohe elektrische Feldstärken
E=−
dΦ
dx
E
q
Radius dx der Spitze klein machen => E steigt
=> Entladungserscheinungen in Luft (Mast eines Segelschiffs, bei Gewitteranzug)
=> Feldemissionsmikroskop: Elektronen können leichter austreten, Flachbildschirm
Exp. Überschlag an Spitze - Platte, an Kugel – Platte
Zusammenfassung Prüfungstrainer Kapitel 4.1, Fragen 4.1.1-5, 4.1.7, 4.1.10-11
5 Kapazität
Mechanische Energie lässt sich speichern durch Federkompression, Gasdruck, Anheben von
Masse im Gravitationsfeld. Elektrische Energie lässt sich durch Laden eines Kondensators
speichern. Im Computer speichern Mikrokondensatoren Information in Form von Ladung.
5.1 Kondensator
Definition:
Ein Kondensator besitzt zwei voneinander
isolierte Leiter beliebiger Form.
┤
├
Zeichen:
(Ursprung Plattenkondensator)
Ladung:
Q+, Q- betragsmäßig gleich, befindet sich je auf den beiden Platten
Spannung:
U zwischen den Platten
Kapazität:
C=
Q
U
[C] = F = C/V Farad
(Faraday)
Maß für Fassungsvermögen der Ladung q bei gegebener Spannung zwischen Platten
Kapazität ist nur abh. von der Bauform des Kondensators
Unterschied: Kondensator / Batterie
Batterie hält Spannung aufrecht wenn Strom fließt, elektrochem. Prozess wie Pumpe
Kondensator lässt die gespeicherte Ladung fließen, Spannung fällt dann auf U = 0
Kapazität
C=
q ε0 A
=
U
d
nur abh. von Bauart, d.h. Fläche A, Abstand d
89
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Bsp.
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Plattenkondensator wird mit Batteriespannung U geladen, dann Batterie abgeklemmt
und Plattenabstand d verkleinert.
Frage Wie ändert sich die Spannung U zwischen den Platten?
Lsg.
Exp. 1) Plattenkondensator mit variablem Plattenabstand d
2) Drehkondensator mit variabler Fläche A
3) Zylinderkondensator aus Alu / Kunststofffolie selbst rollen, Prinzip zeigen
4) Kapazitive Schalter einer PC-Tastatur
5.2 Energie des Kondensators
Wird ein ungeladenen Kondensator aufladen, so muss dazu Ladung in kleinen Portionen von
einer Platte zur anderen wandern, wobei sich ein E-Feld aufbaut, gegen das der Ladungstransfer statt findet. Mit wachsender Ladung wächst auch die Gegenkraft. Die geleistete Arbeit wird als potenzielle Energie gespeichert und kann in einer Entladung abgerufen werden.
Gesamtladung Q = ∑ dq
Ladungselement
dq
Arbeit pro Element
dW = Udq =
q
dq
C
Q+
dq
U
Q-
Mit jeder neuen Ladung dq steigt aber die Spannung U und damit
die zu leistende Gesamtarbeit
1
W = UQ
2
(Dreiecksfläche)
mit C=Q/U folgt für die gespeicherte potenzielle elektrische Energie
=>
E el =
1 Q2
2 C
=>
E el =
1
CU 2
2
Exp. Blitzlampe, Kondensator laden und über Lamettafaden entladen
Bsp.
Elektroschocktherapie im Krankenwagen ohne Anschluß an`s Stromnetz: im Kondensator gespeicherte Energie fließt durch die Brust von Elektrode zu Elektrode.
Frage Leistung der Kondensatorentladung?
Lsg.
90
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5.3 Energiedichte
Wo steckt die Energie, d.h. wer hat sie gespeichert? Betrachte 2 geladene, getrennte Platten
der Fläche A und Abstand d mit dem Zwischenraum V = Ad
Energiedichte ρ el =
E el 1 2 CU 2
=
V
dA
=>
1 U 
ρ el = ε 0  
2 d
=>
ρ el = ε 0 E 2
2
mit
1
2
C=
ε0A
d
mit E = U/d
„Die elektrische Energie eines Kondensators ist im E-Feld zwischen den Platten gespeichert.“
=>
deshalb existieren elektromagnetische Wellen (Licht), Energie breitet sich im Raum
aus, Materie als Energieträger ist nicht nötig, das Feld selbst trägt die Energie.
5.4 Dielektrika
Dielektrika sind elektrisch nicht leitende Materialien, wie z.B. Kunststoffe.
Exp. Plattenkondensator mit Q aufladen und Spannung U messen Spannungs-
quelle abtrennen, Q = konstant, Dielektrische Platte einbringen, U fällt
=>
U = Q/C
=>
C=
=>
ε
ε0A
d
=> Kapazität muss vergrößert worden sein
ε
= C / Cvac
ε
ε
=>
: Dielektrizitätskonstante des Materials
= 1 für Vakuum, Luft, > 1 für Dielektrika
ε
Ist der Kondensators vollständig mit dem Dielektrikum gefüllt (isolierendes Material),
so muss in allen elektrostatischen Gleichungen
ε
0
durch
ε
0
ε
ersetzt werden.
Fall 1: Spannungsquelle abgetrennt, Q = konstant, Einbringen des Dielektrikums schwächt
das E-Feld:
E = U/d = Q/(Cd) = Q/ (
ε
0
ε
A)
Wo bleibt die Energie? Dielektrikum wird in den Kondensator
91
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gezogen und Ladungen werden im Dielektrikum verschoben
bzw. werden die Dipole gedreht.
Fall 2: Spannungsquelle angeschaltet lassen, so dass U = konstant
E = U/d = konstant aber Q steigt
E = U/d = Q/(Cd) = Q/ (
ε
0
ε
A) und die gespeicherte Energie steigt
Q2
1
2
E el = CU =
2
2C
Exp. Batterie ab, dielektrisches Flüssigkeit wird zwischen Kondensatorplatten gezogen
Deutung:
1) System minimiert Energie Eel=Q2/2C, also wenn Q = konst. muss C steigen
2) Polarisation des Dielektrikums, Ladungen werden vom E-Feld angezogen
5.5 Piezoeffekt
a) Dielektrikum drücken => Atome verschieben => E-Feld entsteht
b) E-Feld an Dielektrikum anlegen => Ladungs- & Atomeverschiebung im Kristall
Materialien: typischerweise Isolatoren mit einer Kristallachse (siehe Physik II)
(Quarz, Bariumtitanat, Perowskite, Ferroelektrika)
Funktion:
a) Stauchung / Dehnung des Kristalls in Achsrichtung um kleine Länge ∆x
bezogen auf Kristalllänge x ändert das E-Feld
b) Spannung in Kristallachsenrichtung anlegen und Kristall staucht / dehnt sich
E =δ
∆x
, oder U = ∆x ,
x
δ
δ
~ 1010 V/m
piezoelektrischer Koeffizient
Anwendung: Schwingquarz in Resonanz, Quarzuhr, Ultraschallsender, Raster-Mikroskop
Justage im Nanometerbereich, Montage von Molekülen möglich
Zusammenfassung: Prüfungstrainer, Kapitel 4.2, Fragen 4.2.1-6, 4.2.8
92
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6 Elektrischer Strom
6.1 Strom
Strom I ist der effektiver Ladungstransport q in einer Zeit t durch eine Fläche A
dq
dt
Strom
I=
Ladung
Q = I ⋅t
[I] = C/s = A
(Ampere)
wenn I = konstant
Technische Stromrichtung: von Plus nach Minus (beachte: e- laufen entgegengesetzt)
Stromdichte
Strom I pro durchflossene Fläche A
I
A
Stromdichte
j=
Strom
I = j⋅A
wenn j = konstant
6.2 Widerstand
Potenzialdifferenz U am Leiter erzeugt E-Feld und damit Strom I, Leiter bildet Widerstand R
R=U/I
[R] = V/A =
I=U/R
hoher Widerstand drückt den Strom
R
(Ohm)
U +
-
I
Widerstand eines bestimmten Bauteils
Spezifischer Widerstand als Materialeigenschaft
ρ
[ρ ] =
R=ρ
V /m V
= m=Ωm
A / m2 A
Fläche A
L
A
I
L
Material
Silber
Kupfer
-8
ρ
-8
( m) 1,62x10
1,69x10
Leiter
Leitfähigkeit σ =
Eisen
-8
9,68x10
Si-p-dotiert Si (rein) Quarz
2,8x10-3
Halbleiter
1
ρ
93
2,5x103
1016
Isolator
R
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1
betrachte
σ
=>
=ρ=R
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A U A U L E
,
=
=
=
L I L I A
j
r
r
j =σ E
das E-Feld treibt den Strom an
Ohmscher Widerstand
Def.
„Ein ohmscher Widerstand ist unabhängig von Betrag und Polarität der angelegten
Spannung, d.h. R = U/I gilt unabhängig von Strom & Spannung.“
Test: Strom-Spannungskennlinie I(U) gibt den Typ des Leiters an (T konstant halten)
Ohmscher
nicht-ohmscher Widerstand
Beachte: die moderne Mikroelektronik basiert hauptsächlich auf elektronischen Bauelemen-
ten, die nicht dem ohmschen Gesetz gehorchen !
6.3 Elektrische Leistung
Verbraucher (Motor, Lampe, Toaster) sitzt in einem Stromkreis
dEel = dq U = Idt U
transportierte Ladung x Potenzialdifferenz
dE el
= IU
dt
umgewandelte Leistung am Verbraucher
P=
[P] = AV
=
C J
=W
s C
Exp: Stromkette -Fe-Cu-Fe-Cu-Fe-
mit R=U/I folgt P=RI2 und mit I = konstant => Draht ist heiß bei großem R
6.4 Stromkreise
Eine Spannungsquelle hält die Potenzialdifferenz (Spannung U) aufrecht und liefert somit die
Energie, die nötig ist um einen Strom laufen zu lassen.
94
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Maschenregel Die Summe aller Potenzialänderungen beim Durch-
laufen eines geschlossenen Weges in einem Stromkreis (Masche) ist
Null. (Folge der Energieerhaltung)
U0 = U1 + U2
(I ist identisch für beide Widerstände)
6.4.1 Reihenschaltung von Widerständen
Reihenschaltung heißt: es gibt nur einen Weg für den Stromfluß.
Durch jeden Widerstand fließt der gleiche Strom.
Die Potenzialdifferenzen der Einzelwiderstände summieren sich zu U.
Gesucht:
Ersatzwiderstand R
Lsg.
Maschenregel anwenden
U = IR1 + IR2 + IR3
U
U
=
R1 + R2 + R3 R
=>
I=
=>
R = ∑ Ri
6.4.2 Parallelschaltung
Über allen Widerständen besteht die selbe Potenzialdifferenz.
Der Gesamtstrom ist die Summe der Einzelströme.
I1 =U/R1, I2 = U/R2, I3 = U/R3
I = I1 + I2 + I3 = U (1/R1 + 1/R2 +1/R3)
I = U/R
=>
n
1
1
=∑
R i =1 Ri
Ersatzwiderstand
Zusammenfassung Prüfungstrainer Kapitel 4.3, Fragen 4.3.1-6, 4.3.10-13
95
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7 Magnetfelder
Nutzung:
Elektromotoren, Permanent- & Elektromagnete, magn. Datenspeicher,
Medizin: Kernspintomographen
Alle Materialien reagieren auf magnetische Kräfte, aber nur wenige sind permanent magnetisch (Fe, Co, Ni, seltene Erden Gd,… ). Erklärung des Magnetismus in Permanentmagneten
nur durch Quantenmechanik möglich (Physik II)
Exp. Stabmagnet, Nord-Südpol, Elektromagnet
7.1 Magnetische Flussdichte & Lorentzkraft
„Die magnetische Flussdichte B wird über die Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung q
mit der Geschwindigkeit v definiert“
Lorentzkraft
r
r r
FL = qv × B
q
F
F senkrecht zu B und zu v
v
Rechte-Hand-Regel UVW
Flussdichte
Typ. Werte:
B
T = N/(A m), 1 T = 104 Gauß
B
[B] = T (Tesla)
B
oft als Magnetfeldstärke bezeichnet
Erdfeld 10-4T = 1 Gauß,
Elektromagnet 1T,
Supraleitende Magnete 5-10 T, Neutronenstern 108 T
Exp. Braunsche Röhre + Magnet
Lorentz-Schaukel, umpolen –> Richtungswechsel, Strom parallel zu B –> kein Effekt
Magnetische Feldlinien
Da ein Magnet über seine Kraftwirkung definiert wird, macht es Sinn ein B-Feld zu definieren
r
B : Tangente an B-Feldlinie, Feldrichtung: Nord => Süd
r
B ~ Feldliniendichte
es gibt nur magn. Dipole, keine Monopole wie in Elektrostatik!
Ungleichnamige Pole ziehen sich an, gleichnamige stoßen sich ab
Exp. Feldlinien sichtbar machen
96
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Frage Warum richten sich Eisenspäne im B-Feld aus?
Lsg.
7.2 Ladungen auf Kreisbahnen & Massenspektrometer
r
Generell gilt für ein Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn:
r
r
- Zentrifugalkraft FZ = − F ist im Gleichgewicht mit einer anderen Kraft F
r
v
- Betrag F konstant
- Kraft-Richtung immer zum Kreismittelpunkt
Bsp.
Hammerwerfer
Satellit um Erde
Ladung im B-Feld
FZ
F
r
r
FZ = − FS Seilspannkraft,
r
r
FZ = − Fg Gravitationskraft
r
r
FZ = − FL Lorentzkraft
Ladung q tritt mit Geschw. v senkrecht in ein homogenes B-Feld
FZ =
mv 2
r
FL = qvB
=>
r=
m v
q B
Zentripetalkraft, betragsgleich mit Zentrifugalkraft
Lorentzkraft
Kreisradius
Exp. Wehneltzylinder, e/m-Versuch aus Praktikum
Massenspektrometer
Werden eingesetzt, um unbekannte Substanzen zu bestimmen, z.B. die Elemente eines unbekannten Gasgemisches. Dazu werden die Atome / Moleküle ionisiert, in ein homogenes Magnetfeld geschossen und die Ablenkung gemessen
Bsp.
q = +1,6x10-19 C
einfach ionisierte Atome
U = 1000 V
Beschleunigungsspannung
B = 80 mT
B-Feld senkrecht zu v
r = 0,8127 m
Detektion: Fotoplatte
Frage welche Masse haben die Ionen und welches Material ist es?
Lsg.
97
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7.3 Magnetische Kraft auf stomdurchflossenen Leiter
gerader Draht der Länge L senkrecht im homogenen B-Feld
L
vD
r
r r
F = qv × B
q = It = I
Ladung
Lorentzkraft
=>
F = ILB sin α
mit Geschwindigkeit vD
α
= Winkel B zum Draht
Kraft auf stromdurchflossenen Draht
Anwendung Elektromotor
T
Drahtschleife im B-Feld eines Permanentmagneten
FL
- Kräfte an kurzer Seite zeigen in Richtung
=>
T = ILB
=>
T = ILB b sin θ
I
I
- Kräfte an Längsseite erzeugen Drehmoment
F = ILB
Leiterschleife
B
L
der Drehachse, erzeugen kein Drehmoment
=>
b
θ
FL
Drehachse
Hebelarm: ½bsin
θ
b
sin θ
2
pro Längsseite
(T = F x r)
für beide Seiten
für ebene Spule mit N Windungen und A = Lb = Fläche der Spule
=>
T = ( N I A) B sin θ
Gilt für jede ebene Spule im homogenen B-Feld, unabhängig von ihrer Form! Im Elektromotor wird der Strom nach ½ Umdrehung umgepolt damit er in die gleiche Richtung weiterdreht.
Exp. 1) Elektromotor, Batterie mit Drahtschleife + Magnet, 2) Spulenzeigerinstrument
98
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7.4 Hall-Effekt
=>
(Hall 1879, Quanten-Hall-Effekt, v. Klitzing 1985 Nobelpreis)
vD
Elektronendriftgeschw.
FL = evDB
Ablenkung => baut E-Feld auf
U = Ed
Hallspannung durch Ladungsverschiebung
eE = evDB
Gleichgewicht der Kräfte
mit
vD = j/ne = I/(neA)
=>
n=
BI
eU A d
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Ladungsträgerdichte
Messgerät für Magnetfelder B =
ne A d
U
I
(Messung der Hallspannung U)
7.5 Magnetfelder von Strömen
Bisher haben wir gesagt, Kräfte auf Ströme im Magnetfeld sind Lorentzkräfte. Man kann aber
auch sagen, dass Ströme Magnetfelder erzeugen, die mit anderen Magnetfeldern in
Wechselwirkung treten, so wie zwei Stabmagneten.
Exp. Stromdurchflossener Leiter über Kompassnadel, Nadel wird ausgelenkt
Exp. B-Feldlinien um unendlich langen geraden Leiter, Kompassnadel
7.5.1 Magnetfeld des geraden Leiters
=>
Kreisförmige Feldlinien um den Draht als Zentrum
=>
Rechte-Hand-Regel: Zeigt der Daumen in Stromrichtung dann zeigen
die Finger in Richtung des erzeugten magnetischen B-Feldes.
=>
B=
0
µ0 I
2π R
im Abstand R senkrecht zum Leiter
= 1,26 x10-6 Tm/A
Permeabilitätskonstant
7.5.2 Magnetfeld einer Spule
innen: B-Felder addieren sich, B groß, nahezu homogen
Rechte-Hand-Regel: Finger in Stromrichtung
=>
Daumen in Feldrichtung
außen: B-Felder löschen sich nahezu aus, inhomogen
gegeben:
Spule mit Länge l >> Radius r
99
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gesucht:
r
∑B
i
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Vektorsumme der Felder aller Windungen
i
=>
B = µ0 I
N
l
(n = N/l = Windungsdichte)
Exp. Magnetfeld einer Spule mit Eisenspänen auf Overheadprojektor sichtbar machen
Magnetfeld mit Hallsonde ausmessen
7.6 Magnetfeld in Materie
Materie verändert das Magnetfeld;
Ursache: Spins der Atome (siehe Quantenphysik nächstes Semseter)
Phänomenologische Beschreibung durch
µ
Permeabilitätskonstante (ohne Einheit), Vakuum
Praktisch:
µ 0 durch µ 0 µ ersetzen
Typische Werte
Ferromagnete: Eisen, Co, Ni, seltene Erden µ = 10 − 10000
=1
Paramagnete: fast alle anderen Elemente µ = 10 −6
Diamagnet:
Bsp.
Bismut, Edelgase µ = −10 −6
Laborspule 2000 Windungen, 20 cm lang, 5 cm Durchmesser, Kupferdraht r = 0,3mm
Frage Welcher Strom ist nötig, um B = 200 mT zu erzeugen?
Lsg.
Frage Welche Wärmeleistung wird in der Spule erzeugt?
Lsg
Frage Welcher Strom ist nötig, wenn Eisenkern mit µ = 20 die Spule ganz ausfüllt?
Lsg
100
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Frage Wärmeleistung?
Lsg.
Frage Betriebskosten der Spule für 24 h Einsatz bei 0,35 €/kWh ?
Lsg
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 4.4 + 4.5, Fragen 4.4.1-12, 4.5.1-3
8 Induktion
Bisher war das Magnetfeld zeitlich konstant. Was passiert aber, wenn das Magnetfeld sich
zeitlich ändert?
Exp. Änderung des Magnetfeldes durch eine Leiterschleife
i) Strom tritt auf bei Relativbewegung Magnet
Schleife
ii) schnelle Bewegung => großer Strom
iii) Magnetfeld umpolen => Strom ändert sein Vorzeichen
=>
Prozess: Strom bzw. Spannung wird induziert
Ia
Exp. zwei gegenüberliegende Schleifen, berühren sich nicht
Schleife a) Strom fließt aufgrund UBat, Ia = UBat /R => B-Feld
Ib
Schleife b) Strom Ib wird induziert nur wenn Ia sich ändert (an / aus)
Wenn Ia konstant => Ib = 0
Frage: Strom / Spannungsinduktion tritt auf bei Änderungen – was ändert sich genau?
101
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8.1 Faradaysches Induktionsgesetz
Strom / Spannung wird induziert, wenn die Zahl der Magnetfeldlinien durch die Schleife sich
zeitlich ändert. Wie wird das berechnet?
r r
Φ B = B • A Magnetischer Fluss durch Fläche A
= Tm2 = Wb = Weber (W.E. Weber 1804 – 1891)
r
r
Φ B maximal wenn B parallel zu A
r
r
Φ B = 0 wenn B senkrecht zu A
[
Φ
B]
„Die in einer Leiterschleife induzierte Spannung Ui ist gleich der zeitlichen Änderung
des Flusses durch die Schleife.“
Induzierte Spannung: U i = −
dΦ B
,
dt
U i = −N
dΦ B
dt
für Spule mit N Windungen
Flussänderung dΦ B dt ist möglich durch:
i) Magnetfeldstärke B ändern
ii) Fläche A ändern
iii) Winkel zwischen Fläche / Magnetfeld ändern
Exp. zu ii)
Bsp.
Praktikumsversuch, zu iii) Dynamo
1) lange Zylinderspule : n1 = N/h = 200/cm = 2.104 /m , I1 = 1,5A, r1 = 16 mm
2) Testspule: N2 = 130, r2 = 10,5 mm im Zentrum der Spule-1
Spule 2
Spule 1
I1 ändert sich mit konst. Geschw. in 25 ms auf 0A
Frage welche Spannung U2 wird in Spule2 induziert?
B,
Lsg.
Φ
B
U2
B
Bsp.
Magnetfeld durch Leiterschleife, B(t) ändert sich
t
Wie läuft die induzierte Spannung Ui(t) ?
Ui
t
102
Physik I für WiIng Phys. Tech / Chemie / WiIng Chemie / Orthopädie
8.2 Lenzsche Regel
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
(H.F.E. Lenz 1804 – 1865)
„Ein induzierter Strom ist so gerichtet, dass das von ihm erzeugte B-Feld der
Änderung des magnetischen Flusses entgegenwirkt.“
(Trägheitsprinzip, Energieerhaltung)
v
Exp. Abstoßung eines Alu-Ringes durch Stromanschaltung
Beobachtung: Spulenstrom ISp anschalten => Ring wird abgestoßen
Ursache: ISp steigt => BSp in Spule steigt => d
B/dt
Φ
> 0 => Ui = -d
Φ
BSpule
B/dt
Bi-Ring
Induzierte Spannung
=> -Ii => -Bi im Ring, Richtung entgegen dem B-Feld der Spule
nach Lenzscher Regel soll ansteigendes Feld kompensiert werden
=> entgegen gerichtete B-Felder stoßen sich ab => Ring wird abgestoßen
b) Spulenstrom abschalten => Ring wird angezogen
c) Strom fließt konstant in der Spule, keine Induktion, Ring bleibt auf Stab
d
Φ
B/dt
= 0 => Ui =0 => Ii = 0 => Bi = 0 im Ring
Beachte: Ein veränderliches Magnetfeld induziert immer
ringförmige E-Felder - auch wenn keine Materie existiert.
Die Leiterschleife erlaubt nur die Spannungsmessung. Induktion der E-Felder ist Grundlage für elektromagn. Wellen.
E-Gitarre
Exp. Gitarre an Oszilloskop
Akustik-Gitarre: Ton durch akustische Resonanz des Klangkörpers mit schwingender Saite
E-Gitarre:
kein Resonanzkörper, Frequenz der schwingenden Saite wird direkt erfasst u.
an Verstärker weitergegeben
Prinzip:
Permanentmagnet in Spule erzeugt B-Feld in Stahl-Saite
Saite schwingt mit Frequenz f als eigener Magnet
B-Permanent +
=>
Fluss durch Spule:
=>
Flußänderung in der Spule mit Frequenz f
=>
Induktion Ui = -d
Φ
Φ
B/dt
Φ
B-Saite
in Spule mit Saiten-Frequenz f
Frage: Die Saite der E-Gitarre reißt und wird durch die Nylonsaite einer akustischen Gitarre
ersetzt. Wie ändert sich der Ton dadurch?
103
Physik I für WiIng Phys. Tech / Chemie / WiIng Chemie / Orthopädie
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
8.3 Wirbelströme & Energietransfer
Exp. Wirbelstrombremse mit Metallplatte
a) geschlossener Platte: Warum bremst die Platte im B-Feld, obwohl unmagnetisch?
b) geschlitzter Platte: warum ist die Bremswirkung reduziert?
Deutungsmodell: Leiterschleife wird durch ein B-Feld gezogen, so dass
Ui =
dΦ B
≠ 0 => Ii
dt
Strom fließt durch Schleife (im B-Feld)
=> Lorentz-Kraft überwinden, um Schleife mit Geschw. v zu ziehen
=> Arbeit & Energieverbrauch
Wo steckt die Energie? => Ii wird am Widerstand der Leiterschleife R in Wärme gewandelt
Beweis
P = Fv
Φ
B
Leistung um Schleife zu ziehen, hier F und v parallel
= BA = BLx
Ui = −
Lx: von B durchsetzte Fläche
dΦ B
d
= − BLx = − BLv
dt
dt
v=dx/dt: Geschw. der Schleife
U i BLv
=
R
R
r
r r
F = Ii L × B
Kraft auf Leiter
F2 + F3 = 0,
bleibt nur F = F1 = IiLB sin90°
Ii =
R: Widerstand der Leitung
=>
B 2 L2 v
F=
R
=>
B 2 L2 v 2
 BLv 
P=Fv=
= 
I i2 R
 R= {
R
R
1424
3 elektr . Leistung
2
mechan. Leistung
Anwendung:
- Wirbelstrombremse in Eisenbahn, Induktionskochfelder
- Wirbelstromtachometer: rotierender Permanentmagnet in Metallzylinder
- Zerstörungsfreie Prüfung von Metallen auf feine Risse, Wirbelströme ererzeugen B-Felder, abh. vom Widerstand R im Material = Maß für Risse
Exp. Magnete fallen durch Metallrohr, geschlitztes Metallrohr, Kunststoffrohr.
Unterschiedliche Fallzeiten, Vergleiche auch Fallzeiten: Magnet, Metallstück
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Physik I für WiIng Phys. Tech / Chemie / WiIng Chemie / Orthopädie
Deutung:
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
Wirbelströme im Rohr bremsen indem sie Magnetfeld erzeugen, das dem des
fallenden Magneten entgegengesetzt ist
8.7 Transformator
Windungen Primärspule: NP , Sekundärspule NS
Eisenkern führt den Fluss durch beide Spulen mit
Φ
P
=
Φ
S
Prinzip: Primärspule P läuft mit Wechselstrom => erzeugt Wechsel B-Feld
=>
dΦ S dΦ P
=
dt
dt
=>
U S = −N S
=>
US NS
=
UP NP
Fluss ändert sich zeitlich, also gibt es Induktion in beiden Spulen
dΦ
,
dt
U P = −N P
dΦ
dt
=> Spannungs-Verstärkung: Sekundärspule mit NS >> NP
Idealer Transformator: kein Energieverlust, d.h. auch idealer Leistungstransfer
PP = UPIP = USIS = PS
=>
IS UP NP
=
=
IP US NS
=> Stromverstärkung: Primärspule große Wicklungszahl NP >> NS
Anwendung: - Spannung transformieren, Stromverstärkung,
- kontaktloser Leistungstransfer zur Aufladung von Akkus, Rasierer
Exp. Nagel schmelzen: Stromverstärkung: Windungszahl der Primärspule NP >> NS
Hochspannung erzeugen im Hörnerblitzableiter: Sekundärspule NS >> NP
8.6 Induktivität L und Selbstinduktion
- Kondensator wird durch Kapazität C charakterisiert, beschreibt E-Feld im Kondensator
- Spule durch Induktivität L charakterisiert, erfasst Magnetfeld in der Spule
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Physik I für WiIng Phys. Tech / Chemie / WiIng Chemie / Orthopädie
L=
NΦ B
,
I
[L] = Tm2/A = H = Henry
N: Spulenwindungen,
Prof. Dr. H.-Ch. Mertins
(J.Henry, 1797 – 1878, USA)
I: Spulenstrom,
Φ
B:
Fluss durch Spule
Zylinderspule
N
B
Φ
B=
=>
L=
= (nl)(BA)
n = N/l Windung / Länge, Länge l >> Durchmesser
0In
B Feldstärke im Inneren der Spule
NΦ B (nl )( µ 0 In) A
=
I
I
L = µ 0 n 2 lA
nur bauart-abhängig (wie Kondensator)
Spule mit Kern: L = µ µ 0 n 2 lA
Exp. Glühbirne im RL-Kreis: Verzögertes Aufleuchten bei An- / Nachleuten bei Abschalten
Deutung: Eine induzierte Spannung entsteht in jeder Spule, in der sich der Strom ändert.
mit
N
=>
Ui = −
Φ
B
= LI
dNΦ B
dI
= −L
dt
dt
also: nicht Strom, sondern Stromänderung ist wichtig
Richtung der Induktionsspannung folgt aus Lentz`scher Regel: Induktion wirkt der Ursache
entgegen, Ui erzeugt Ii, der versucht der Strom-Änderung dI/dt entgegen zu wirken
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 4.6, Fragen 4.6.1-5, 4.6.7, 4.6.10
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