Brückenkurs - Beweisverfahren

Brückenkurs
Beweisverfahren
Anja Hauÿen
26.09.2012
Anja Hauÿen ()
Brückenkurs
26.09.2012
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Inhaltsverzeichnis
1
Einführung
2
direkter Beweis
3
indirekter Beweis
4
Vollständige Induktion
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Die Mehrheit bringt der Mathematik Gefühle entgegen, wie sie nach
Aristoteles durch die Tragödie geweckt werden sollen, nämlich Mitleid und
Furcht. Mitleid mit denen, die sich mit der Mathematik plagen müssen,
und Furcht: daÿ man selbst einmal in diese gefährliche Lage geraten könne.
Paul Epstein (1883 - 1966)
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Direkter Beweis
Wir gehen von einer wahren Voraussetzung A aus und schlieÿen durch
Umformen oder Folgern auf die Richtigkeit der Aussage B .
Mathematisch ausgedrückt
A
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⇒B
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Beispiel 1
Satz
Die Summe zweier gerader ganzer Zahlen ist wieder gerade.
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Beispiel 1
Satz
Die Summe zweier gerader ganzer Zahlen ist wieder gerade.
Beweis.
Wir betrachten zwei gerade Zahlen m und n.
Da die Zahlen gerade sind, sind sie durch 2 teilbar, d.h. 2|m und 2|n.
Wir können also auch schreiben: m = 2k und n = 2l für k , l ∈ Z
Nun addieren wir die Zahlen: m + n = 2k + 2l = 2(k + l )
Das Ergebnis ist wieder durch 2 teilbar, die Aussage stimmt also.
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Beispiel 2
Satz
Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl n ist ungerade.
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Beispiel 2
Satz
Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl n ist ungerade.
Beweis.
ist eine ungerade natürliche Zahl, das heiÿt wir können auch sagen:
n = 2k + 1 für k ∈ N
2
2
2
2
n = (2k + 1) = 4k + 4k + 1 = 2(2k + 2k ) +1
n
|
{z
gerade
}
Das Ergebnis ist also wieder eine ungerade Zahl.
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Indirekter Beweis
Beim indirekten Beweis gehen wir einfach vom Gegenteil aus und versuchen
die Beweisführung zu einem Widerspruch zu bringen.
Da der Beweisgang legitim und logisch war, muss die Annahme falsch
gewesen sein, also folgt die Behauptung des Satzes.
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Beispiel 1
Satz
√
Die Zahl
2 ist irrational.
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Beispiel 1
Satz
√
Die Zahl
Beweis.
2 ist irrational.
√
Annahme:
2 ist rational.
√
√
Wenn 2 rational ist, so können wir auch schreiben 2 = , für p , q ∈ Z.
Dabei sollen p und q schon gekürzt sein, also insbesondere teilerfremd.
√
2
2 = ⇔ 2 = 2 ⇔ 2q 2 = p 2
Das bedeutet, dass p 2 eine gerade Zahl sein muss, was wiederum heiÿt,
dass p gerade ist. D.h. wir können schreiben p = 2n
Einsetzen: 2q 2 = (2n)2 = 4n2 ⇔ q 2 = 2n2
Das bedeutet, dass q 2 und damit auch q gerade ist.
p und q sind gerade, das heiÿt beide haben den Teiler 2. Das steht aber im Widerspruch zu der Annahme p und q seien
teilerfremd.
p
q
p
p
q
q
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Beispiel 2
Satz
Es gibt unendlich viele Primzahlen
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Beispiel 2
Satz
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Beweis.
Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen.
Das heiÿt wir können alle Primzahlen in einer endlichen Menge angeben
P = {p1 , p2 , p3 , . . . p }.
Wir konstruieren: n = p1 · p2 · . . . · p + 1 und p sei ein Primteiler von n.
Wir sehen, dass p von allen p verschieden sein muss, denn sonst würde p
sowohl p1 · p2 · . . . · p als auch n teilen und somit auch die 1, das kann
jedoch nicht sein. r
r
i
r
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Vollständige Induktion
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Die Vollständige Induktion besteht aus:
1
2
Induktionsanfang: Zuerst wird bewiesen: A(n) gilt für n = n0 ∈ N
Induktionsschritt: Unter der Voraussetzung, das A(n) wahr ist, muss
gezeigt werden, das dann auch A(n + 1) wahr ist
1
2
3
Induktionsvoraussetzung: A(n) ist gültig
Induktionsbehauptung: Dann gilt auch A(n + 1)
Induktionsbeweis
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Beispiel 1
Satz
2
Die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen ist n .
n
P
k
=1
(2k − 1) = n2
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Beispiel 1
Satz
2
Die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen ist n .
n
P
k
=1
(2k − 1) = n2
Beweis.
Induktionsanfang für n = 1:
1
P
k
(2k − 1) = 2 − 1 = 1 = 12
=1
Induktionsschritt:
P
Induktionsvoraussetzung:
(2k − 1) = n2 gilt
n
Induktionsbehauptung:
Induktionsbeweis:
+1
P
n
k
=1
(2k − 1) =
n
X
(2k − 1) +2(n + 1) − 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
|k =1 {z
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Pk =1 n+1
k = 1
(2k − 1) = (n + 1)2 gilt
n2
}
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Beispiel 2
Satz
Für n
∈N
ist
3 − 3 ist stets durch 6 teilbar.
n
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Beispiel 2
Satz
Für n
∈N
ist
3 − 3 ist stets durch 6 teilbar.
n
Proof.
IA: n = 1: 31 − 3 = 0 ist durch 6 teilbar
IV: 6 | 3 − 3
IB: 6 | 3 +1 − 3
Beweis:
n
n
3
n
+1
− 3 = 3 · 3n − 3
= 2 · 3n + 3n − 3
= 2| · 3{z
· 3n−}1 +
durch
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6 tb.
Brückenkurs
durch
n
− 3}
|3 {z
6 tb. nach IV
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Socken
Behauptung:
In einen Koer passen beliebig viele Paare Socken.
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Socken
Behauptung:
In einen Koer passen beliebig viele Paare Socken.
Beweis durch vollständige Induktion
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Socken
Behauptung:
In einen Koer passen beliebig viele Paare Socken.
Beweis durch vollständige Induktion
IA:
Ein paar Socken passt denitiv rein.
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Socken
Behauptung:
In einen Koer passen beliebig viele Paare Socken.
Beweis durch vollständige Induktion
IA:
Ein paar Socken passt denitiv rein.
IS: Es benden sich bereits n -Paar Socken im Koer. Ein Paar Socken
passt immer noch rein, das ist eine allgemeingültige Erfahrung. Also sind
nun (n + 1)-Paar Socken im Koer.
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