Inhaltsverzeichnis - Wiley-VCH
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Inhaltsverzeichnis Einführung Über dieses Buch Wofür die Wirtschaftsmathematik gut ist Konventionen in diesem Buch Wie Sie dieses Buch nutzen können Törichte Annahmen über den Leser Wie dieses Buch aufgebaut ist Teil I: Arithmetik – die Magie der Mathematik Teil II: Gleichungen – die Kunst der Mathematik Teil III: Vektoren – die Faszination der Mathematik Teil IV: Grenzwerte – die Ränder der Mathematik Teil V: Differentiale – die Analyse der Mathematik Teil VI: Integrale – die Flächen der Mathematik Teil VII: Mengenlehre – der Urknall der Mathematik Teil VIII: Der Top-Ten-Teil Zusatzmaterialien im Internet Symbole, die in diesem Buch verwendet werden Wie es weitergeht 17 17 18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 21 22 22 22 23 Teil I Arithmetik – die Magie der Mathematik 25 Kapitel 1 Plus, minus, mal und geteilt – die Basis der Mathematik 27 Auch hier brauchen Sie zuerst Gesetze Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz Was sind das neutrale und das inverse Element? Jede Operation hat auch eine Gegenoperation Klammer auf und Klammer zu und schon wird vieles einfacher Eine Handvoll S von Schreiber 27 27 28 29 31 31 32 33 Kapitel 2 Auch die Brüche sind Freunde 37 Wie sieht die Welt der Brüche aus? Mit Brüchen können Sie auch rechnen Multiplizieren von Brüchen Addieren oder Subtrahieren von Brüchen Division von Brüchen Wofür braucht man den Kehrwert? Der Doppelbruch sieht schlimmer aus, als er ist 37 38 39 40 40 41 42 9 Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler für Dummies Kapitel 3 Potenzen vereinfachen die Welt Der Unterschied zwischen Potenz und Exponential Gesetze müssen Sie nicht lernen, sondern herleiten können Hierarchiepyramide nach Schreiber – Potenzen Die verschiedenen Arten der Exponenten Natürliche Zahlen Negative ganze Zahlen Rationale Zahlen Potenzen grafisch darstellen Kapitel 4 Summen potenzieren? Die erste und zweite binomische Formel begreifen Wie können Sie das dritte Binom effektiv nutzen? Wurzeln entfernen Konjugiert komplexe Zahl Bei Exponenten größer als zwei hilft nur das pascalsche Dreieck Kapitel 5 Von einem exponentiellen Wachstum träumt doch jede(r) Was heißt exponentielles Wachstum/Gefälle? Wenn es steigt Wenn es fällt Exponentielle Funktionen zeichnen Sie betrachten die e-Funktion Kapitel 6 Nach einem Exponenten auflösen Den Logarithmus berechnen können Gesetze müssen Sie auch hier nicht lernen, sondern herleiten können Hierarchiepyramide nach Schreiber – Logarithmen Die Basis des Logarithmus bestimmt den Term Die unterschiedlichen Graphen genauer betrachten Wie kann der Logarithmus ganz einfach neutralisiert werden? 45 45 46 46 48 48 50 50 52 55 55 56 57 59 60 65 65 66 67 68 70 73 73 74 74 76 77 80 Kapitel 7 Sinus und Cosinus auf der Suche nach dem Einheitskreis 83 Alles begann am rechtwinkligen Dreieck Warum ist Pi dasselbe wie 360 Grad? Den Einheitskreis verstehen lernen Was sagen Ihnen Tangens und Cotangens? Was machen Sie, wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist? Sinussatz Cosinussatz 83 85 86 90 91 92 93 10 Inhaltsverzeichnis Teil II Gleichungen – die Kunst der Mathematik 95 Kapitel 8 Gleichungen mit einer Variablen – »fast« zu trivial für Sie 97 Methode für eine lineare Gleichung Wie wird eine lineare Gleichung interpretiert? Eine quadratische Gleichung: Was ist das? Quadratische Ergänzung p–q-Formel/Mitternachtsformel Satz von Vieta Ist eine biquadratische Gleichung schwer? Die Polynomdivision ist auch nur eine ganz normale Division 97 99 100 103 105 107 108 109 Kapitel 9 Nicht alles, was größer ist, muss auch größer sein 113 Eine Ungleichung verstehen Was bedeutet eine Ungleichung grafisch? Die Lösungsmethode FREPL hilft Ihnen beim Lösen von Ungleichungen Betragsungleichung Bruchungleichung Nicht jedes Ergebnis muss auch Lösung sein 113 114 118 119 121 123 Kapitel 10 Zwei Unbekannte / zwei Gleichungen – auch keine Herausforderung! 125 Was suchen Sie grafisch gesehen? Lösungen suchen und effektiv bestimmen Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren Das Eliminationsverfahren nach Gauß kann immer helfen Die Mannigfaltigkeit beschreibt die Lösungsmenge 125 127 127 128 128 130 132 Teil III Vektoren – die Faszination der Mathematik 135 Kapitel 11 Früher war alles flach, heute ist es mehrdimensional 137 Was ist eigentlich ein Vektor? Mit Vektoren rechnen Skalares Produkt Inneres Produkt (Skalarprodukt) Äußeres Produkt (Vektorprodukt) 137 140 141 141 142 11 Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler für Dummies Die Länge und den Winkel von Vektoren berechnen Der euklidische Vektorraum Beweis und Interpretation der linearen (Un-)Abhängigkeit Basis Span und Dimension Die Basis transformieren Kapitel 12 Punkt, Gerade und Ebene – alles, was Spaß macht Was wird für eine Gerade/Ebene gebraucht? Ortsvektor Richtungsvektor Eine Gerade besteht aus zwei Vektoren Für eine Ebene benötigen Sie drei Vektoren Der Stellungsvektor – der senkrechte Nagel einer Ebene Die Definition einer Ebene verstehen Parameterform Parameterfreie Darstellung Ein Wechsel zwischen den Darstellungen Kapitel 13 Punkt, Gerade und Ebene – geht da noch was? Liegt der Punkt auf der Geraden oder Ebene? Wie liegen denn zwei Geraden zueinander? Schneidend Windschief Parallel Identisch Der Entscheidungsbaum der Lagerelationen Was passiert zwischen einer Geraden und einer Ebene? Wie können zwei Ebenen zueinander liegen? Parallelität Identität Schnittgerade Dann sollten Sie mal auf Abstand gehen Punkt – Gerade Punkt – Ebene Gerade – Gerade Gerade/Ebene – Ebene 12 144 149 151 153 154 154 157 157 157 158 160 161 162 164 164 165 166 169 169 171 172 173 174 175 176 177 179 179 180 181 182 183 184 184 187 Inhaltsverzeichnis Teil IV Grenzwerte – die Ränder der Mathematik 191 Kapitel 14 Der Limes – mehr als nur ein Schutzwall der Römer 193 Was ist ein Grenzwert? Nur an bestimmten Stellen lohnt sich die Grenzwertbetrachtung Spezielle Grenzwerte kennenlernen Was passiert bei »null dividiert durch null«? Kürzen des Linearfaktors Erweiterung mittels des dritten Binoms Regel von L'Hospital Null mal unendlich kann so ziemlich alles sein Die Faustregel der Grenzwertbetrachtung hilft beim Rechnen Die sieben Schritte der Grenzwertberechnung 193 195 198 200 201 202 203 204 205 206 Kapitel 15 Asymptoten – die grafische Interpretation von Grenzen 209 Formen der Annäherungsgraphen erkennen und verstehen Waagerechte Asymptoten Senkrechte Asymptoten Diagonale Asymptoten Die Ersatzfunktion erzeugt die behebbaren Lücken Techniken für Asymptoten und Lücken Grafische Darstellung der Ergebnisse 209 210 211 212 213 215 217 Kapitel 16 Stetigkeit/Differenzierbarkeit – die Interpretation des Limes 221 Ein Graph ohne Sprünge ist stetig Eine Funktion ohne Ecken ist differenzierbar Was versteht man unter einer gesplitteten Funktion? 221 224 226 Teil V Differentiale – die Analyse der Mathematik 229 Kapitel 17 Die Bildung von Ableitungen ist keine Hexerei 231 Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten Für reine Potenzterme ableiten nach Schema F Handelt es sich um ein Produkt, gilt die Produktregel Handelt es sich um einen Quotienten, gilt die Quotientenregel Die Welt besteht aus Kettenregeln Potenzfunktionen 231 234 235 235 237 238 13 Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler für Dummies Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Was tun, wenn die Funktion stark verschachtelt ist? Wie gehen Sie mit einer Funktionenschar um? Kapitel 18 Die Ableitungen beschreiben die wesentlichen Punkte einer Funktion Für was wird die erste Ableitung genutzt? Extremstellen Tangentengleichung Was sagt Ihnen die zweite Ableitung? Wendestellen Klassifizierung der Extremstellen Extremwertprobleme verstehen und lösen Bestimmung einer Funktion aufgrund von markanten Punkten Kapitel 19 Die Funktion mittels Kurvendiskussion begreifen Mit sieben Schritten eine Funktion analysieren Wie können Sie aufgrund eines Graphen die Funktion bestimmen? Kapitel 20 Sinus/Cosinus – Funktionen modulieren und verschieben Wie funktionieren die Additionstheoreme? In der Waagerechten und in der Senkrechten verschieben Phasenverschiebung Wertebereichsverschiebung Den Sinus/Cosinus strecken oder stauchen Amplitudenmodulation Periodenvariation Skizzieren von trigonometrischen Funktionen 239 241 243 244 246 251 251 252 254 255 255 257 259 262 265 265 270 273 273 274 274 275 276 277 277 278 Teil VI Integrale – die Flächen der Mathematik 283 Kapitel 21 Die Stammfunktion ist nichts anderes als die »Aufleitung« 285 Zusammenhänge zwischen Integranden- und Stammfunktion Worin unterscheiden sich die Integrale? Die Stammfunktion bilden und verstehen Potenzterme A3-Verfahren 285 286 288 288 289 14 Inhaltsverzeichnis Partielle Integration Integration mittels Substitution Der sichere Weg zum Integral 292 296 298 Kapitel 22 Egal welche Fläche, es ist immer ein Integral 301 Das sollten Sie generell über Flächen wissen Die Fläche innerhalb von definierten Grenzen bestimmen Wie groß ist die Fläche … … zwischen Funktion und x-Achse … zwischen zwei Funktionen Welche Grenzen müssen Sie wählen, um eine gegebene Fläche zu bekommen? 301 303 305 305 306 308 Teil VII Mengenlehre – der Urknall der Mathematik 311 Kapitel 23 Mengenlehre begreifen, um die Mathematik zu verstehen 313 Aus was besteht denn eigentlich eine Menge? Mengen einfach definieren und darstellen Eigenschaften Venn-Diagramm Aufzählungen Keine Angst vor den Beziehungen Teilmenge Durchschnittsmenge Vereinigungsmenge Negation Welche Arten von Symmetrie kann eine Struktur haben? Wofür Gesetze so alles gut sind Klasseneinteilungen klar erzeugen und beweisen Zahlenmengen machen die Welt verständlich 313 315 316 317 318 318 318 320 320 321 321 322 324 325 Kapitel 24 Wer behauptet, aus negativen Zahlen gebe es keine Wurzeln, der lügt 329 Die komplexe Zahl passt in die bisherige Zahlenwelt Die besondere Rolle des Imaginärteils Was gehört denn sonst noch so zu einer komplexen Zahl? Darstellungsmöglichkeiten einer komplexen Zahl Jetzt müssen Sie nur noch mit den neuen Zahlen rechnen 329 331 332 334 334 15 Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler für Dummies Teil VIII Der Top-Ten-Teil 337 Kapitel 25 Zehn Schritte die Ihre Effektivität steigern 339 Verstehen Sie die Sprache? Haben Sie auch genug trainiert? Eine Aufgabe ist kein Problem, sondern eine Herausforderung! Wissen Sie auch, wo was steht? Was haben Sie und was suchen Sie? Gut geschätzt ist halb gewonnen Der Funktionsgraph hilft Ihnen Kleine Schritte führen sicher zum Ziel Nutzen Sie meine neuen Methoden! Hinterfragen Sie Ihre Ergebnisse! 339 339 340 341 341 342 342 342 343 343 Anhang A: Lösungen 345 Stichwortverzeichnis 397 16
