Beweise
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Brückenkurs Beweise Anja Haußen 25.09.2015 Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 1/23 Inhalt 1 Einführung 2 Sätze 3 Beweise 4 direkter Beweis Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 2/23 Einführung „Die höchste Form des reinen Denkens findet sich in der Mathematik.“ Platon (427-347 v. Chr.) „Die Mehrheit bringt der Mathematik Gefühle entgegen, wie sie nach Aristoteles durch die Tragödie geweckt werden sollen, nämlich Mitleid und Furcht. Mitleid mit denen, die sich mit der Mathematik plagen müssen, und Furcht: daß man selbst einmal in diese gefährliche Lage geraten könne.“ Paul Epstein (1883 - 1966) Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 3/23 Einführung in der Mathematik werden alle Erkenntnisse sehr strukturiert dargestellt Fachbücher sind nicht in Prosa geschrieben, bestehen jedoch bei weitem auch nicht nur aus Formeln Fachtexte sind untergliedert in Definitionen, Lemmata, Sätze, ... Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 4/23 Einführung Definition: Erklärung der mathematischen Bedeutung eines Begriffs Satz: eine sehr wichtige wahre und bewiesene Aussage Lemma: eine wahre und bewiesene Aussage, die zum Beweis anderer wahrer Aussagen benötigt wird (Hilfssatz) Beweis: die Begründung warum eine Aussage wahr ist Axiom: eine grundlegende Voraussetzung über mathematische Gegebenheiten Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 5/23 Inhalt 1 Einführung 2 Sätze 3 Beweise 4 direkter Beweis Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 6/23 Sätze Mathematiker stellen in Sätzen wichtige Aussagen zusammen Wenn eine Aussage (noch) nicht bewiesen ist, so handelt es sich um eine Vermutung Ein Satz muss immer bewiesen sein Sätze sind überlicherweise in folgender Form geschrieben es gibt eine Liste von Voraussetzungen daraus wird eine Schlussfolgerung abgeleitet Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 7/23 Beispiel Satz (Satz des Pythagoras) Wenn D ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und der Hypotenuse c ist, dann gilt c 2 = a2 + b 2 Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 8/23 Beispiel Satz (Satz des Pythagoras) Wenn D ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und der Hypotenuse c ist, dann gilt c 2 = a2 + b 2 Voraussetzungen: rechtwinkliges Dreieck Katheten a und b Hypotenuse c Schlussfolgerung: c 2 = a2 + b 2 Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 8/23 Beispiel Mit dem Beweis des Satzes des Pythagoras wollen wir uns später beschäftigen, jedoch wollen wir uns ein Beispiel anschauen C 5 3 A Brückenkurs, 25.09.2015 4 B Seite 9/23 Beispiel Mit dem Beweis des Satzes des Pythagoras wollen wir uns später beschäftigen, jedoch wollen wir uns ein Beispiel anschauen C 5 3 A 4 B Die Zahlen 3, 4, 5 sind natürliche Zahlen, welche die Gleichung c 2 = a2 + b 2 erfüllen. Gibt es noch mehr Tripel? Ja, sogar unendlich viele, z.B. (5,12,13), (15,20,25), . . . Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 9/23 Fermat Satz (Großer Fermatscher Satz) Wenn die natürliche Zahl n > 2 ist, dann hat die Gleichung x n + y n = z n keine natürlichen Zahlen x , y , z als Lösungen. Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 10/23 Fermat Satz (Großer Fermatscher Satz) Wenn die natürliche Zahl n > 2 ist, dann hat die Gleichung x n + y n = z n keine natürlichen Zahlen x , y , z als Lösungen. Fermat stellte diese Behauptung im 17. Jahrhundert auf, hatte sie jedoch nie bewiesen daher war dies kein Satz, sondern eine Vermutung erst 1995 konnte Andrew Wiles die Vermutung beweisen Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 10/23 Inhalt 1 Einführung 2 Sätze 3 Beweise 4 direkter Beweis Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 11/23 Beweise ein Beweis ist eine überzeugende Erklärung, warum eine Aussage wahr ist meist geht man von offensichtlichen Aussagen aus unter Verwendung von Definitionen, Axiomen und zuvor bewiesenen Aussagen leitet man neue Aussagen ab, bis man das gewünschte Resultat erhält oft ist es hilfreich (insbesondere bei geometrischen Beweisen) sich den Sachverhalt zu skizzieren zu vielen Sätzen existieren verschiedene Beweise wir wollen zunächst den Satz des Pythagoras beweisen Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 12/23 Satz des Pythagoras Satz (Satz des Pythagoras) Wenn D ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und der Hypotenuse c ist, dann gilt c 2 = a2 + b 2 Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 13/23 Beweis Beweis. a b a c b c . c b . . . . a Brückenkurs, 25.09.2015 c a b Seite 14/23 Beweise bei einem ordentlichen Beweis gibt es mehr als nur ein paar Formeln erklärender Text macht den Beweis verständlicher insbesondere bei geometrischen Beweisen, sind Skizzen hilfreich oft gibt es für einen Satz mehrere verschiedene Beweise wir wollen uns einen weiteren Beweis für den Satz des Pythagoras anschauen (dieser stammt von Leonardo da Vinci) Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 15/23 Beweis 2 a2 b2 b a c c2 Brückenkurs, 25.09.2015 Wir betrachten zunächst das rechtwinklige Dreieck und zeichnen jeweils die Quadrate an die Seitenkanten. Die Summe der Flächen der zwei kleinen Quadraten soll nach dem Satz des Pythagoras der Fläche des großen Dreieck entsprechen. Seite 16/23 Beweis 2 a2 b2 b a c c2 Brückenkurs, 25.09.2015 Wir zeichnen zusätzlich unten an das Quadrat ein Dreieck an, welches kongruent ist zum ursprünglichen. Des Weiteren zeichen wir zwischen den zwei kleinen Quadraten die Verbindungslinie, so dass wir ein weiteres kongruentes Dreieck erhalten. Seite 16/23 Beweis 2 a2 b2 b a c c2 Brückenkurs, 25.09.2015 Wir betrachten nun die zwei entstandenen Sechsecke (fett blau und fett rot). In diese zeichnen wir noch die Diagonalen ein, dann besteht jedes Sechseck aus zwei Vierecken. Wir sehen nun, dass die zwei Sechsecke den selben Flächeninhalt haben müssen, da je zwei Vierecke kongruent sind. Daher muss die Summe der Flächeninhalte der zwei kleinen Quadrate gleich dem Flächeninhalt des großen Quadrats entsprechen. Seite 16/23 Inhalt 1 Einführung 2 Sätze 3 Beweise 4 direkter Beweis Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 17/23 Beweistechniken eben haben wir uns 2 verschiedene Beweise des Satzes des Pythagoras angeschaut, diese haben wir geometrisch gelöst es gibt verschiedene Beweistechniken direkter Beweis Beweis durch Fallunterscheidungen Widerspruchsbeweis Vollständige Induktion Beweis durch Kontraposition wir wollen uns jetzt noch mit dem direkten Beweis beschäftigen Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 18/23 direkter Beweis geradlinige Beweisführung Aussage der Form „wenn A, dann B wir zeigen: aus A folgt A1 , aus A1 folgt A2 , usw. schließlich zeigen wir aus An folgt B insgesamt haben wir dann A ⇒ B gezeigt Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 19/23 Beispiel 1 Satz Sei n ∈ N. Wenn n ungerade ist, dann ist auch n2 ungerade. Beweis. . Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 20/23 Beispiel 2 Satz Es seien a, b, c ∈ R mit a 6= 0. Dann gilt 2 ax + bx + c = 0 ⇔ x = Brückenkurs, 25.09.2015 −b ± √ b 2 − 4ac 2a Seite 21/23 Beispiel 2 Satz Es seien a, b, c ∈ R mit a 6= 0. Dann gilt 2 ax + bx + c = 0 ⇔ x = −b ± √ b 2 − 4ac 2a Achtung! Wir haben hier einen Doppelpfeil, dieser ist zu lesen als „genau dann, wenn“. Hier brauchen wir zwei √ Beweise, einmal die −b± b 2 −4ac 2 Hinrichtung: ax + bx + c = 0 ⇒ x = 2a und zum anderen die √ 2 Rückrichtung: ax 2 + bx + c = 0 ⇐ x = −b± 2ab −4ac . Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 21/23 Beispiel 2 Beweis. . Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 22/23 Beispiel 2 Beweis. . Brückenkurs, 25.09.2015 Seite 23/23
