Beweise

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Brückenkurs
Beweise
Anja Haußen
25.09.2015
Brückenkurs, 25.09.2015
Seite 1/23
Inhalt
1
Einführung
2
Sätze
3
Beweise
4
direkter Beweis
Brückenkurs, 25.09.2015
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Einführung
„Die höchste Form des reinen Denkens findet sich in der
Mathematik.“
Platon (427-347 v. Chr.)
„Die Mehrheit bringt der Mathematik Gefühle entgegen, wie sie nach
Aristoteles durch die Tragödie geweckt werden sollen, nämlich Mitleid
und Furcht. Mitleid mit denen, die sich mit der Mathematik plagen
müssen, und Furcht: daß man selbst einmal in diese gefährliche Lage
geraten könne.“
Paul Epstein (1883 - 1966)
Brückenkurs, 25.09.2015
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Einführung
in der Mathematik werden alle Erkenntnisse sehr strukturiert
dargestellt
Fachbücher sind nicht in Prosa geschrieben, bestehen jedoch
bei weitem auch nicht nur aus Formeln
Fachtexte sind untergliedert in Definitionen, Lemmata, Sätze,
...
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Einführung
Definition: Erklärung der mathematischen Bedeutung eines
Begriffs
Satz: eine sehr wichtige wahre und bewiesene Aussage
Lemma: eine wahre und bewiesene Aussage, die zum Beweis
anderer wahrer Aussagen benötigt wird (Hilfssatz)
Beweis: die Begründung warum eine Aussage wahr ist
Axiom: eine grundlegende Voraussetzung über
mathematische Gegebenheiten
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Inhalt
1
Einführung
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Sätze
3
Beweise
4
direkter Beweis
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Sätze
Mathematiker stellen in Sätzen wichtige Aussagen zusammen
Wenn eine Aussage (noch) nicht bewiesen ist, so handelt es
sich um eine Vermutung
Ein Satz muss immer bewiesen sein
Sätze sind überlicherweise in folgender Form geschrieben
es gibt eine Liste von Voraussetzungen
daraus wird eine Schlussfolgerung abgeleitet
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Beispiel
Satz (Satz des Pythagoras)
Wenn D ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und der
Hypotenuse c ist, dann gilt
c 2 = a2 + b 2
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Beispiel
Satz (Satz des Pythagoras)
Wenn D ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und der
Hypotenuse c ist, dann gilt
c 2 = a2 + b 2
Voraussetzungen:
rechtwinkliges Dreieck
Katheten a und b
Hypotenuse c
Schlussfolgerung:
c 2 = a2 + b 2
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Beispiel
Mit dem Beweis des Satzes des Pythagoras wollen wir uns später
beschäftigen, jedoch wollen wir uns ein Beispiel anschauen
C
5
3
A
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4
B
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Beispiel
Mit dem Beweis des Satzes des Pythagoras wollen wir uns später
beschäftigen, jedoch wollen wir uns ein Beispiel anschauen
C
5
3
A
4
B
Die Zahlen 3, 4, 5 sind natürliche Zahlen, welche die Gleichung
c 2 = a2 + b 2 erfüllen. Gibt es noch mehr Tripel? Ja, sogar
unendlich viele, z.B. (5,12,13), (15,20,25), . . .
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Fermat
Satz (Großer Fermatscher Satz)
Wenn die natürliche Zahl n > 2 ist, dann hat die Gleichung
x n + y n = z n keine natürlichen Zahlen x , y , z als Lösungen.
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Fermat
Satz (Großer Fermatscher Satz)
Wenn die natürliche Zahl n > 2 ist, dann hat die Gleichung
x n + y n = z n keine natürlichen Zahlen x , y , z als Lösungen.
Fermat stellte diese Behauptung im 17. Jahrhundert auf,
hatte sie jedoch nie bewiesen
daher war dies kein Satz, sondern eine Vermutung
erst 1995 konnte Andrew Wiles die Vermutung beweisen
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Inhalt
1
Einführung
2
Sätze
3
Beweise
4
direkter Beweis
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Beweise
ein Beweis ist eine überzeugende Erklärung, warum eine
Aussage wahr ist
meist geht man von offensichtlichen Aussagen aus
unter Verwendung von Definitionen, Axiomen und zuvor
bewiesenen Aussagen leitet man neue Aussagen ab, bis man
das gewünschte Resultat erhält
oft ist es hilfreich (insbesondere bei geometrischen Beweisen)
sich den Sachverhalt zu skizzieren
zu vielen Sätzen existieren verschiedene Beweise
wir wollen zunächst den Satz des Pythagoras beweisen
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Satz des Pythagoras
Satz (Satz des Pythagoras)
Wenn D ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und der
Hypotenuse c ist, dann gilt
c 2 = a2 + b 2
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Beweis
Beweis.
a
b
a
c
b
c
.
c
b
.
.
.
.
a
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c
a
b
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Beweise
bei einem ordentlichen Beweis gibt es mehr als nur ein paar
Formeln
erklärender Text macht den Beweis verständlicher
insbesondere bei geometrischen Beweisen, sind Skizzen
hilfreich
oft gibt es für einen Satz mehrere verschiedene Beweise
wir wollen uns einen weiteren Beweis für den Satz des
Pythagoras anschauen (dieser stammt von Leonardo da Vinci)
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Beweis 2
a2
b2
b
a
c
c2
Brückenkurs, 25.09.2015
Wir betrachten zunächst das
rechtwinklige Dreieck und
zeichnen jeweils die Quadrate
an die Seitenkanten. Die
Summe der Flächen der zwei
kleinen Quadraten soll nach
dem Satz des Pythagoras der
Fläche des großen Dreieck
entsprechen.
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Beweis 2
a2
b2
b
a
c
c2
Brückenkurs, 25.09.2015
Wir zeichnen zusätzlich unten
an das Quadrat ein Dreieck
an, welches kongruent ist zum
ursprünglichen. Des Weiteren
zeichen wir zwischen den zwei
kleinen Quadraten die Verbindungslinie, so dass wir ein weiteres kongruentes Dreieck erhalten.
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Beweis 2
a2
b2
b
a
c
c2
Brückenkurs, 25.09.2015
Wir betrachten nun die zwei
entstandenen Sechsecke (fett
blau und fett rot). In diese
zeichnen wir noch die Diagonalen ein, dann besteht jedes Sechseck aus zwei Vierecken. Wir sehen nun, dass
die zwei Sechsecke den selben
Flächeninhalt haben müssen,
da je zwei Vierecke kongruent sind. Daher muss die Summe der Flächeninhalte der zwei
kleinen Quadrate gleich dem
Flächeninhalt des großen Quadrats entsprechen.
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Inhalt
1
Einführung
2
Sätze
3
Beweise
4
direkter Beweis
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Beweistechniken
eben haben wir uns 2 verschiedene Beweise des Satzes des
Pythagoras angeschaut, diese haben wir geometrisch gelöst
es gibt verschiedene Beweistechniken
direkter Beweis
Beweis durch Fallunterscheidungen
Widerspruchsbeweis
Vollständige Induktion
Beweis durch Kontraposition
wir wollen uns jetzt noch mit dem direkten Beweis
beschäftigen
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direkter Beweis
geradlinige Beweisführung
Aussage der Form „wenn A, dann B
wir zeigen: aus A folgt A1 , aus A1 folgt A2 , usw.
schließlich zeigen wir aus An folgt B
insgesamt haben wir dann A ⇒ B gezeigt
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Beispiel 1
Satz
Sei n ∈ N. Wenn n ungerade ist, dann ist auch n2 ungerade.
Beweis.
.
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Beispiel 2
Satz
Es seien a, b, c ∈ R mit a 6= 0. Dann gilt
2
ax + bx + c = 0 ⇔ x =
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−b ±
√
b 2 − 4ac
2a
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Beispiel 2
Satz
Es seien a, b, c ∈ R mit a 6= 0. Dann gilt
2
ax + bx + c = 0 ⇔ x =
−b ±
√
b 2 − 4ac
2a
Achtung! Wir haben hier einen Doppelpfeil, dieser ist zu lesen als
„genau dann, wenn“. Hier brauchen wir zwei
√ Beweise, einmal die
−b± b 2 −4ac
2
Hinrichtung: ax + bx + c = 0 ⇒ x =
2a
und zum anderen die
√
2
Rückrichtung: ax 2 + bx + c = 0 ⇐ x = −b± 2ab −4ac .
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Beispiel 2
Beweis.
.
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Beispiel 2
Beweis.
.
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