Vorlesung 10b Mehrstufige Zufallsexperimente

Vorlesung 10b
Mehrstufige Zufallsexperimente
Teil 2
1
Zur Erinnerung:
Die Gewichte der gemeinsamen Verteilung von diskreten
Zufallsvariablen X, Y sind von der Form
ν(a1, a2) = ν1(a1)P (a1, a2).
Dabei ist ν1 die Verteilung von X
und P (a1, .) die Übergangsverteilung
(die Verteilung von Y gegeben X = a1.)
2
(X, Y ) habe die Verteilungsgewichte
ν(a1, a2) = ν1(a1)P (a1, a2).
Die Verteilungsgewichte von Y sind dann
ν2(a2) =
X
ν(a1, a2)
a1∈S1
=
X
ν1(a1) P (a1, a2).
a1∈S1
3
Spezialfall: P (a1, .) hängt nicht von a1 ab:
Dann folgt aus
ν2(a2) =
X
ν1(a1) P (a1, a2),
a1∈S1
dass
P (a1, a2) ≡ ν2(a2).
Genau in dem Fall sind also X und Y unabhängig.
4
Seien nun X und Y reellwertige Zufallsvariable.
X habe Dichte f1(x) dx
und gegeben X = x habe Y die Dichte gx(y) dy
(y−x)2
1
e− 2 )
( z. B. gx(y) := √
2π
Die gemeinsame Dichte von X und Y ist dann
f1(x) dx gx(y) dy,
und die Dichte von Y ist f2(y) dy mit
(∗)
f2(y) :=
Z
f1(x) gx(y) dx.
R
5
Beispiel:
X habe Dichte f1(x) dx,
Z habe Dichte h(z) dz und sei unabhängig von X.
Eine Möglichkeit, Y := X + Z in zwei Stufen zu erzeugen:
Erst kommt das X, und bedingt unter X = x
hat Y die “um x verschobene” Dichte von Z:
gx(y) dy = h(y − x) dy.
Die gemeinsame Dichte von X und Y ist
f1(x) dx h(y − x) dy.
Die Dichte von Y ist (siehe (∗)):
f2(y) =
Z
R
f1(x) h(y − x) dx.
6
Beispiel:
X und Z seien unabhängig und Exp(1)-verteilt.
Berechne die Dichte von Y = X + Z.
Das passt in den eben beschriebenen Rahmen mit
f1(x) = 1R+ (x) e−x,
f2(y) =
=
Für y ≥ 0 ist
Z
R
Z y
−x −(y−x)
0
e
e
h(z) = 1R+ (z)e−z .
f1(x)h(y − x) dx
dx =
Z y
−y
0
e
dx = ye−y ,
für y < 0 ist f2(y) = 0.
7
Weiterfürung des Beispiels:
X1, X2, X3 unabhängig und Exp(1)-verteilt.
Y := X
+ X2} + X
3
|{z}
| 1 {z
:=X
Z y
0
xe−xe−(y−x) dx = e
:=Z
y 2 −y
x dx = e .
0
2
Z y
−y
Also hat Y die Dichte f (y) dy
y 2 −y
mit f (y) = 1R+(y) e .
2
8
Fazit (mit Induktion): Die Summe von n unabhängigen
Exp(1)-verteilten Zufallsvariablen hat Dichte
xn−1 −x
1R+(x)
e
(n − 1)!
Definition:
Sei s > 0. Eine R+-wertige Zufallsvariable X mit Dichte
Z ∞
1 s−1 −x
x
e dx,
Γ(s) :=
xs−1e−x dx,
0
Γ(s)
heißt Gamma(s)-verteilt.
Die Funktion s 7→ Γ(s) ist die so genannte Gammafunktion.
Für diese gilt insbesondere (s.o.):
Γ(n) = (n − 1)!, n = 1, 2, . . . 9