Vorsilben der Maßeinheiten: Piko Giga G 109 Nano Mega M 106 Mikro Kilo k 103 Milli m 10−3 Zenti Dezi p n µ c d 10−12 10−9 10−6 10−2 10−1 Trigometrische Funktionen: sin(x ± y) = sin(x) · cos(y) ± cos(x) · sin(y) cos(x ± y) = cos(x) · cos(y) ∓ sin(x) · sin(y) cos(x) · cos(y) = 21 (cos(x + y) + cos(x + y)) sin(x) · sin(y) = 12 (cos(x + y) − cos(x + y)) sin(x) · cos(y) = 12 (sin(x + y) + sin(x + y)) sin(2 · x) = 2 · sin/x) · cos(x) sin2 (x) + cos2 (x) = 1 (ii) Leitwert Gi bestimmen: I2 R 1 G 2 I1 R2 G1 = = ; = = I1 R2 G 1 I R1 + R2 G 1 + G 2 Spannungsteilerregel: U1 R1 U 2 R2 = ; = U2 R2 U R1 + R2 Netzwerke (K Knoten, Z Zweige): Anzahl unabh. Knotengleichungen: K − 1 Anzahl unabh. Maschengleichungen: Z − (K − 1) vollständiger Baum: So wählen, dass in jeder Masche genau ein gesuchter Strom vorhanden. Kochrezept für MSV: Matrix aufstellen: [R]·[I] = [−U], in [R] stehen auf der Diagonalen (n, n), die Rechenregeln: Summe aller Widerstände der Masche n; An den Reihenschaltung Parallelschaltung restlichen Stellen (a, b), steht das Negative der Bild RS Bild PS gemeinsamen Widerstände der Maschen a und b([R] sym. bei Netzwerk ohne gesteuerte Quellen). In [−U] steht jeweils die negative Spannung in der Masche. ⇒ Berechne Ströme, diese sind häufig 1 = C11 + ... + C1n Cges = C1 + ... + Cn gleich zu den gesuchten Strömen. Cges 1 1 1 + ... + Rges = R1 + ... + Rn = Um die restlichen Ströme zu berechnen reicht Rges R1 Rn 1 1 1 es zu wissen, das die Größe der zufließenden Lges = L1 + ... + Ln = + ... + Lges L1 Ln Ströme in einem Punkt immer gleich der Größe Q = Q1 = ... = Qn Q = Q1 + ... + Qn der abfließenden Ströme ist. U = U1 + ... + Un U = U1 = ... = Un Hilfreich: Cramersche Regel: Sinussatz: ! ! ! b1 U1 a11 a12 = · b2 U2 a21 a22 b a a b1 1 12 11 det det b a sin β sin γ sin α a22 b2 2 21 = = a b c ; U 2 = ⇒ U1 = a a12 a12 a11 11 det det a a Bezeichungen: a22 a22 21 21 Kochrezept für KPV: (1) Spannungsquellen (mit Größe Kürzel Einheit Innenwiederstand Ri ) in Stromquellen umwandeln; Kraft F 1N = 1 kg·m s2 (2) Alle Widerstände in Leitwerte umwandeln; (3) Energie W 1J = 1Nm (k − 1) × (k − 1) Koeff.-matrix aufstellen. (i)In Leistung P 1W = 1 Nm = 1 Js s die Hauptdiagonalelemente uu ist die Summe der Druck p 1Pa = 1 mN2 mit den jeweiligen Knoten verbundenen Leitwerte Ladung Q 1C = 1As anzutragen; (ii) in die übrigen Plätze sind mit neg. Spannung U 1V = 1Ω · A Vorzeichen die jeweiligen Koppelleitwerte einzuWiderstand R 1Ω = 1 VA C tragen. Das Element uv der Matrix enthält den = 1 Kapazität C 1F = 1 As V V Koppelwert der den Knoten u mit dem Knoten v Induktivität L 1H = 1 VAs verbindet. Kontrollmöglichkeit: Koeffizientenmamagn. Fluss Φ 1Wb = 1V s trix ist symmetrisch bzgl. der Hauptdiagonalen; (4) magn. Induktion B 1T = 1 mV 2s Eingeprägte Größen auf die ”rechte Seite” des GLS Kondensatoren: (a) [+] wenn eingepr. Strom zum Knoten hinfließt. ε0 · εr · A As C = , A = (b)[-] wenn eingepr. Strom zum Knoten wegfließt; , ε0 = 8, 852 · 10−12 (p) Vm d Fläche jeder Platten (bei Kreis z.B. π · r2 ), d = (5) Lösung mit Gauß oder der Cramerschen Regel. Abstand der Platten; U E = , E = Feldstärke im Zwischenraum; Ersatzspannung-, -stromquelle: d Ersatzspannungsquelle: Q , Q = Ladung auf den Platten, U = (i) Ersatzwiderstand berechnen: Spannungquelle C = U durch Kurzschluss ersetzen, von den beiden KlemQuellspannung; Veränderung des Abstandes: ⇒ Ladung bleibt gle- men in die Schaltung reinschauen; (ii) Leerlaufspannung U0 brechnen: U AB = U0 , ε·A ε·A U ich ⇒ · U1 = · U2 ; Iges = , Rges von der Spannungsquelle aus d1 d2 R ges Dielektrikum einfügen: ⇒ Ladung bleibt gleich; berechnen, Sei Ix der durch den zwecklosen 2 W = 21 · QC = 21 · C · U 2 (Energie) Widerstand, dieser ergibt sich aus Iges und den Cersatz Spanungsfestigkeit = · Uges Widerständen mittels Stromteilerregel; Ci Ersatzstromquelle: Kirchhoffsches Gesetz: (i) Kurzschlussstrom IK bestimmen: Klemmen Knotenregel: Σn In = 0 (Spannungs- in kurzschließen ⇒ ein Widerstand Rz zwecklos, U Stromquellen umwandeln, Spannungen gesucht) IK = · R (Rges = Widerstand gesehen von Rges Maschenregel: Σn Un = 0 (Strom- in SpanSpannungquelle aus (ohne Rz ), R = Widerstand nungsquellen umwandeln, Ströme gesucht) R2 , welcher mit Rz und U verbunden geteilt durch Stromteilerregel: Summe R2 plus anderer Widerstand, welcher mit Rz verbunden. Gi = 1 , ⇒ Ri Widerstand (direkt an den Klemmen) hat keinen Einfluss ⇒ U ideale Spannungsquelle ⇒ Ri = 0 2 Leistung: P = U · I = I 2 · R = UR , Leistung maximal ⇒ Ableitung von P gle0 0u ich 0 ( f (x) = u(x) ⇒ f 0 (x) = u v−v v(x) v2 Superpositionsprinzip: Nur bei linearen Bauteilen ⇒ Ideale Spannungquelle wird zu Kurzschluss (gesuchtes Ia berechnen) ⇒ Ideale Stromquelle wird zu Leerlauf (offene Klemmen) (gesuchtes Ib berechnen) Iges = Ia + I − b durchflossene Widerstände Hilfreich: Ix = I · alle ≡ anliegenden Widerstände Teilstrom = Gesamtstrom · Summe gegenüberliegende R Summe alle R in der Masche Umwandeln Strom- ⇔ Spannungsquellen: Ik = U0 Ri = U0Ġi ⇔ U0 = Ik · R i Durchflutungsgesetz: Ein hom. Magnetfeld mit der magn. Flußdichte ~ übt auf ein gerades Leiterstück der Länge l, das B von einem Strom I durchflossen wird, die Kraft ~ aus. F~ = I · (~l · B) ~ eines ∞-langen, Die sogenannte Flußdichte B geradlinigen Leiterdrahtes ist gegeben durch ~ = µ0 · I · ~eΦ B(r) 2πr H ~ s = Bd~ Ampersches Durchflutungsgesetz: S R R 1 ~ ~j=Stromdichte); H ~ = ~ oder µ0 A(s) ~jd A( B µ0 H R R ~ s= ~jd A ~ Hd~ A(s) H ~ s = H · 2π · r Es gilt immer (in Bild unten): Hd~ R R I ~jd A ~ = · π · r2 ; 0 ≤ r ≤ R : A(s) π · R R R R R2 ~jd A ~ = I; 0 ≤ r ≤ a : ~jd A ~ = 0; r≥R: A(s) A(s) R R I ~jd A ~= · π · (r2 − a2 ); a≤r≤R: A(s) π(R2 − a2 ) Bild Rechts: I = ~= B H µr ·µ0 H ~ ~l = HE · 2 · LE + HL · 2 · δ; Hd Gravitations- und Coulombwechselwirkung: m1 m2 Q1 Q2 FG := f · und FC := k · mit r2 r2 2 1 FG Nm . = f := 6, 67 · 10−11 2 und k := kg 4π0 FC 2 f m ≈ 8 · 10−37 . k Q2 Ladung: Q1 = Q2 = Q3 = Q im Vakuum und gleichseitigen Dreieck angeordnet. Bilde Vek→ − → − → − tor von Q1 → Q2 = E 21 , E 23 und E 2 . Dabei → − → − → − E 2 = E 21 + E 23 . Also F2 √ 3/2 = sin30 folgt E2 = 1/2 E21 . √ |E21 | √ Q = Q · ( 3E21 ) = Q · 3 · 4πa 2. Über Sinussatz sin120 |E 2 | Impedanz (Z) & Admittanz (Y) Fequenz: ω = 2 · π · f j 1 =− jωC ωC 1 1 = Admittanz (Leitwert): Y = ,Y , Z R R Zwei der folgenden Werte eintragen und als Gerj 1 ade verbinden: (i) Arbeitspunkt (IC und UCE ), (ii) =− , Y = jωC YL = UB jωL ωL C bei UCE = 0, (iii) IC = 0 und gegebenes U B als RC Auflösen: Admittanz Y(ω) und Impedanz Z(ω) U BE . immer zum Ende hin gruppieren, d.h. a ± j · b. Aus der Grafik ergibt sich I (rechts) und R als B C Imaginärteil möglichst nicht im Nenner, dafür mit Schnittpunkt der Geraden mit x-Achse Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse z∗ komplex konjugierten multiplizieren, d.h. 1z · z∗ (z = a + j · b ⇒ z∗ = a − j · b √ z · z∗ = x2 + y2 , d.h. Betrag ist |z| = zz∗ Reihenschaltung: Impedanzen Z(ω) addieren sich. Parallelschaltung: Admittanzen Y(ω) addieren sich. Z(ω) = 1/Y(ω) Spezialfälle: ω = 0 oder (Beschriftung: Eingangskennlinienfeld)) ω → ∞, dann ω1 bzw. ω nach vorne holen, damit IB in obige Grafik abtragen, Schnittpunkt mit in den Klammern die Werte mit ω multipliziert Kurve bestimmen, daraus ergibt sich U BE . werden (günstig da ω = 0) bzw. die Werte durch Rechnerisch: ist der R über dem Transistor, es gilt ω geteilt werden (günstig da ω → ∞). Konkret: IC · RC + UCE = U B (Masche) - wobei UCE die Spannung entlang des Kollektorwiderstandes ist. Z(ω) = ω1 · · · , dann ω = 0 und Z(ω = 0) = · · · Wie sind R zu wählen, damit Z(ω) unabhängig ⇒ RC = U B − UCE IC von ω wird. Dann muss dies auch in beiden weitere Formeln: Gleichstromverstärkung B: Spezialfällen gelten, damit folgt dann R f all1 = IC ; Verlustleistung: Pverlust = IC · UCE , B = R f all2 = R. IB Setze R in altes Z ein und versuche gleichen Ima- Verhältnis IE ist etwa gleichgroß wie IC . ginärteil in Nenner und Zähler herzuleiten. Für U E = 0V sperrt der Transistor ⇒ Ua = U B ; max. Leistung: Realteil links = Realteil Emitterschaltung rechts (bzgl. der Klemmen) (idem für Imag.) Impedanz: Z R = R, Z L = jωL, Z C = MOSFET Resonanzfrequenz: fr = √1 2π L·C Messbereichserweiterung: Strommesser: R1 +R2 +R3 ⇔ R1 +R2 +R3 +R M R1 +R2 +R3 = ·R M ⇔ R1 +R2 +R3 = IC1 ·R M I M −1 R1 +R2 R1 +R2 B: IM = IB · R1 +R2 +R3 +RM = IB · 2·RM (1) A: IM = IA · R1 +R2R+R1 3 +RM ⇒ R1 = IIMA · 2 · R M , aus (1) ⇒ R2 = IIM · 2R M − R1 ⇒ R3 = R M − R1 − R2 Wahl von R1 , R2 , R3 ?: C: IM = IC · IM IC −I M B Spannungsmesser: Wahl von R1 , R2 , R3 ?: A: kein Vorwiderstand notwendig, B:Uein − U M = Uein · R1 +R2R1 ⇔ +R3 +R4 −U M · R1 + R2 + R3 + R4 , C: R1 = UeinUein R1 +R2 Uein − U M = R1 +R2 +R3 +R4 · Uein =⇒ R2 = ..., 1 +R2 +R3 = 0 ⇒ D: Uein − U M − Uein · R1R+R 2 +R3 +R4 R3 = ... ⇒ R4 = R M − R1 − R2 − R3 Abgleichbedingung Brücke: U B − U DS − ID · RL = 0 ID = 0 ⇒ U B = U DS U DS = 0 ⇒ U B = IB · RL U Q = U DS 1 = UGS 2 Diode I: Knotenregel liefert I1 = IQ + IB . Maschenregel R1 R2 liefert U1 +U B −U BE = 0 = (IQ + IB )·R1 +U B −U BE = ⇒ IQ = 0 R R4 3 U B − U BE . ⇒ R1 = Stern-/Dreiecktransformation: IQ + I B U BE II: Maschenregel: −IQ ·R2 + U BE = 0 ⇒ R2 = IQ weitere Formeln zu dieser Schaltung: U B = UC + UCE = IC · RC + UCE , U BE = IQ · R2 , U B = R12 · R13 R10 = ; R12 = R10 + R20 + R1 · I1 + U BE R12 + R13 + R23 Emitterschaltung R10 · R20 RDreieck symmetrisch: RS tern = R30 3 Beispiele: Ersatzzweipol: Um die Arbeitspunkte zu bestimmen, brechnen wir die Widerstandsgerade. R und U0 gegeben. Dann IK = UR0 . Dies als Gerade auf die gegebene Grafik abgetragen ergibt einen Schnittpunkt der uns den Arbeitspunkte (bestehend aus U und I) liefert. Unter Verwendung der Methode der Ersatzspannungsquelle sollen die neuen Arbeitspunkte der R1 Schaltung bestimmt werden: U ∗ = U0 · R+R = 1V 1 ∗ 10 ∗ und R = R//R1 = 3 Ω. Dann IK = UR∗ auf Grafik übertragen ergibt AP mit U und I. Verstärkerschaltung npn (Pfeil geht raus) Grafisch: Formeln: I: U B = Ua + IC · RC , II: U E = U BE + IB · R B , U B = UCE + IC · RC , Ua = U B − B · RC · U AB R2 U AB = U − , IAB = U E − U BE R2 · R1 R1 + R2 , UCE = 0 ⇒ IC = URCB ; IC = 0 ⇒ Rr + RB R 2 + R1 U B = UCE ; Pvmax = UCE · IC (+U BE · IB ) magnetischer Fluss: Ortskurven: Inversregeln: (i) Gerade durch den Ursprung → Gerade durch den Ursprung, (ii) Gerade nicht durch den Ursprung → Kreis durch den Ursprung, (iii) Kreis durch den Ursprung → Gerade nicht durch den Ursprung pnp (Pfeil geht rein) Y(ω) = 1 jωL + 1 R Leiter 2, durch den Strom I2 fließt, übt auf Leiter 1 ~ 2); folgende Kraft aus: F~21 = I1 · (~l × B ~l ⊥ B ~ 2 ⇒ F21 = I1 · l · B2 µ0 · l ~ µ0 · I2 ; F21 = I1 · I2 · ; F21 = B2 = 2πa 2πa µ0 · l ; F12 = − F~21 ”actio=reactio”; F12 = I1 · I2 · 2πa I1 · I2 · µ0 · l F21 = F = 2πa Anziehung: parallele Ströme; Abstoßung: antiparallele Ströme 1V As 1A2 ; 1N = F = 2 · 10−7 N = µ0 · 1 m· 2π1 m m 1 −7 V As −7 V s µ0 = 4π · 10 ; µ0 = 4π · 10 · m Am A2