Vorsilben der Maßeinheiten: Giga G 109 Piko p Mega M 106 Nano n

Vorsilben der Maßeinheiten:
Piko
Giga
G 109
Nano
Mega M 106
Mikro
Kilo
k
103
Milli
m 10−3 Zenti
Dezi
p
n
µ
c
d
10−12
10−9
10−6
10−2
10−1
Trigometrische Funktionen:
sin(x ± y) = sin(x) · cos(y) ± cos(x) · sin(y)
cos(x ± y) = cos(x) · cos(y) ∓ sin(x) · sin(y)
cos(x) · cos(y) = 21 (cos(x + y) + cos(x + y))
sin(x) · sin(y) = 12 (cos(x + y) − cos(x + y))
sin(x) · cos(y) = 12 (sin(x + y) + sin(x + y))
sin(2 · x) = 2 · sin/x) · cos(x)
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
(ii) Leitwert Gi bestimmen:
I2
R 1 G 2 I1
R2
G1
=
=
;
=
=
I1
R2 G 1 I
R1 + R2 G 1 + G 2
Spannungsteilerregel:
U1
R1 U 2
R2
=
;
=
U2
R2 U
R1 + R2
Netzwerke (K Knoten, Z Zweige):
Anzahl unabh. Knotengleichungen: K − 1
Anzahl unabh. Maschengleichungen: Z − (K − 1)
vollständiger Baum: So wählen, dass in jeder
Masche genau ein gesuchter Strom vorhanden.
Kochrezept für MSV: Matrix aufstellen: [R]·[I] =
[−U], in [R] stehen auf der Diagonalen (n, n), die
Rechenregeln:
Summe aller Widerstände der Masche n; An den
Reihenschaltung
Parallelschaltung
restlichen Stellen (a, b), steht das Negative der
Bild RS
Bild PS
gemeinsamen Widerstände der Maschen a und
b([R] sym. bei Netzwerk ohne gesteuerte Quellen).
In [−U] steht jeweils die negative Spannung in der
Masche. ⇒ Berechne Ströme, diese sind häufig
1
= C11 + ... + C1n
Cges = C1 + ... + Cn
gleich zu den gesuchten Strömen.
Cges
1
1
1
+
...
+
Rges = R1 + ... + Rn
=
Um die restlichen Ströme zu berechnen reicht
Rges
R1
Rn
1
1
1
es zu wissen, das die Größe der zufließenden
Lges = L1 + ... + Ln
=
+
...
+
Lges
L1
Ln
Ströme in einem Punkt immer gleich der Größe
Q = Q1 = ... = Qn
Q = Q1 + ... + Qn
der abfließenden Ströme ist.
U = U1 + ... + Un
U = U1 = ... = Un
Hilfreich: Cramersche Regel:
Sinussatz:
!
!
!
b1
U1
a11 a12
=
·
b2
U2
a21 a22
b
a
a
b1 1
12
11
det
det
b
a
sin β
sin γ
sin α
a22 b2 2
21
=
=
a
b
c
; U 2 =
⇒ U1 = a
a12 a12 a11
11
det
det
a
a
Bezeichungen:
a22 a22 21
21
Kochrezept für KPV: (1) Spannungsquellen (mit
Größe
Kürzel Einheit
Innenwiederstand
Ri ) in Stromquellen umwandeln;
Kraft
F
1N = 1 kg·m
s2
(2) Alle Widerstände in Leitwerte umwandeln; (3)
Energie
W
1J = 1Nm
(k − 1) × (k − 1) Koeff.-matrix aufstellen. (i)In
Leistung
P
1W = 1 Nm
= 1 Js
s
die Hauptdiagonalelemente uu ist die Summe der
Druck
p
1Pa = 1 mN2
mit den jeweiligen Knoten verbundenen Leitwerte
Ladung
Q
1C = 1As
anzutragen; (ii) in die übrigen Plätze sind mit neg.
Spannung
U
1V = 1Ω · A
Vorzeichen die jeweiligen Koppelleitwerte einzuWiderstand
R
1Ω = 1 VA
C
tragen. Das Element uv der Matrix enthält den
=
1
Kapazität
C
1F = 1 As
V
V
Koppelwert der den Knoten u mit dem Knoten v
Induktivität
L
1H = 1 VAs
verbindet. Kontrollmöglichkeit: Koeffizientenmamagn. Fluss
Φ
1Wb = 1V s
trix ist symmetrisch bzgl. der Hauptdiagonalen; (4)
magn. Induktion B
1T = 1 mV 2s
Eingeprägte Größen auf die ”rechte Seite” des GLS
Kondensatoren:
(a) [+] wenn eingepr. Strom zum Knoten hinfließt.
ε0 · εr · A
As
C =
, A = (b)[-] wenn eingepr. Strom zum Knoten wegfließt;
, ε0 = 8, 852 · 10−12 (p) Vm
d
Fläche jeder Platten (bei Kreis z.B. π · r2 ), d = (5) Lösung mit Gauß oder der Cramerschen Regel.
Abstand der Platten;
U
E =
, E = Feldstärke im Zwischenraum; Ersatzspannung-, -stromquelle:
d
Ersatzspannungsquelle:
Q
, Q = Ladung auf den Platten, U = (i) Ersatzwiderstand berechnen: Spannungquelle
C =
U
durch Kurzschluss ersetzen, von den beiden KlemQuellspannung;
Veränderung des Abstandes: ⇒ Ladung bleibt gle- men in die Schaltung reinschauen;
(ii) Leerlaufspannung U0 brechnen: U AB = U0 ,
ε·A
ε·A
U
ich ⇒
· U1 =
· U2 ;
Iges =
, Rges von der Spannungsquelle aus
d1
d2
R
ges
Dielektrikum einfügen: ⇒ Ladung bleibt gleich;
berechnen, Sei Ix der durch den zwecklosen
2
W = 21 · QC = 21 · C · U 2 (Energie)
Widerstand, dieser ergibt sich aus Iges und den
Cersatz
Spanungsfestigkeit
=
·
Uges Widerständen mittels Stromteilerregel;
Ci
Ersatzstromquelle:
Kirchhoffsches Gesetz:
(i) Kurzschlussstrom IK bestimmen: Klemmen
Knotenregel: Σn In
=
0 (Spannungs- in kurzschließen ⇒ ein Widerstand Rz zwecklos,
U
Stromquellen umwandeln, Spannungen gesucht)
IK =
· R (Rges = Widerstand gesehen von
Rges
Maschenregel: Σn Un = 0 (Strom- in SpanSpannungquelle aus (ohne Rz ), R = Widerstand
nungsquellen umwandeln, Ströme gesucht)
R2 , welcher mit Rz und U verbunden geteilt durch
Stromteilerregel:
Summe R2 plus anderer Widerstand, welcher mit
Rz verbunden.
Gi
=
1
, ⇒
Ri
Widerstand (direkt an den Klemmen) hat keinen
Einfluss ⇒ U ideale Spannungsquelle ⇒ Ri = 0
2
Leistung: P = U · I = I 2 · R = UR ,
Leistung maximal ⇒ Ableitung von P gle0
0u
ich 0 ( f (x) = u(x)
⇒ f 0 (x) = u v−v
v(x)
v2
Superpositionsprinzip:
Nur bei linearen
Bauteilen
⇒ Ideale Spannungquelle wird zu Kurzschluss
(gesuchtes Ia berechnen)
⇒ Ideale Stromquelle wird zu Leerlauf (offene
Klemmen) (gesuchtes Ib berechnen)
Iges = Ia + I − b
durchflossene Widerstände
Hilfreich: Ix = I · alle
≡
anliegenden Widerstände
Teilstrom = Gesamtstrom ·
Summe gegenüberliegende R
Summe alle R in der Masche
Umwandeln Strom- ⇔ Spannungsquellen:
Ik
=
U0
Ri
=
U0Ġi
⇔
U0
=
Ik · R i
Durchflutungsgesetz:
Ein hom. Magnetfeld mit der magn. Flußdichte
~ übt auf ein gerades Leiterstück der Länge l, das
B
von einem Strom I durchflossen wird, die Kraft
~ aus.
F~ = I · (~l · B)
~ eines ∞-langen,
Die sogenannte Flußdichte B
geradlinigen Leiterdrahtes ist gegeben durch
~ = µ0 · I · ~eΦ
B(r)
2πr
H
~ s =
Bd~
Ampersches Durchflutungsgesetz:
S
R R
1
~ ~j=Stromdichte); H
~ =
~ oder
µ0 A(s) ~jd A(
B
µ0
H
R R
~ s=
~jd A
~
Hd~
A(s)
H
~ s = H · 2π · r
Es gilt immer (in Bild unten): Hd~
R R
I
~jd A
~ =
· π · r2 ;
0 ≤ r ≤ R :
A(s)
π
·
R R
R R R2
~jd A
~ = I; 0 ≤ r ≤ a :
~jd A
~ = 0;
r≥R:
A(s)
A(s)
R R
I
~jd A
~=
· π · (r2 − a2 );
a≤r≤R:
A(s)
π(R2 − a2 )
Bild Rechts: I =
~= B
H
µr ·µ0
H
~ ~l = HE · 2 · LE + HL · 2 · δ;
Hd
Gravitations- und Coulombwechselwirkung:
m1 m2
Q1 Q2
FG := f ·
und FC := k ·
mit
r2
r2
2
1
FG
Nm
.
=
f := 6, 67 · 10−11 2 und k :=
kg
4π0 FC
2
f m
≈ 8 · 10−37 .
k Q2
Ladung: Q1 = Q2 = Q3 = Q im Vakuum und
gleichseitigen Dreieck angeordnet. Bilde Vek→
− →
−
→
−
tor von Q1 → Q2 = E 21 , E 23 und E 2 . Dabei
→
−
→
−
→
−
E 2 = E 21 + E 23 .
Also F2
√
3/2
= sin30 folgt E2 = 1/2
E21 .
√ |E21 |
√
Q
= Q · ( 3E21 ) = Q · 3 · 4πa
2.
Über Sinussatz
sin120
|E 2 |
Impedanz (Z) & Admittanz (Y)
Fequenz: ω = 2 · π · f
j
1
=−
jωC
ωC
1
1
=
Admittanz (Leitwert): Y =
,Y
,
Z R
R Zwei der folgenden Werte eintragen und als Gerj
1
ade verbinden: (i) Arbeitspunkt (IC und UCE ), (ii)
=−
, Y = jωC
YL =
UB
jωL
ωL C
bei UCE = 0, (iii) IC = 0 und gegebenes U B als
RC
Auflösen: Admittanz Y(ω) und Impedanz Z(ω) U
BE .
immer zum Ende hin gruppieren, d.h. a ± j · b. Aus der Grafik ergibt sich I (rechts) und R als
B
C
Imaginärteil möglichst nicht im Nenner, dafür mit Schnittpunkt der Geraden mit x-Achse
Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse
z∗
komplex konjugierten multiplizieren, d.h. 1z · z∗
(z = a + j · b ⇒ z∗ = a − j · b
√
z · z∗ = x2 + y2 , d.h. Betrag ist |z| = zz∗
Reihenschaltung: Impedanzen Z(ω) addieren
sich.
Parallelschaltung: Admittanzen Y(ω) addieren
sich. Z(ω) = 1/Y(ω) Spezialfälle: ω = 0 oder (Beschriftung: Eingangskennlinienfeld))
ω → ∞, dann ω1 bzw. ω nach vorne holen, damit IB in obige Grafik abtragen, Schnittpunkt mit
in den Klammern die Werte mit ω multipliziert Kurve bestimmen, daraus ergibt sich U BE .
werden (günstig da ω = 0) bzw. die Werte durch Rechnerisch: ist der R über dem Transistor, es gilt
ω geteilt werden (günstig da ω → ∞). Konkret: IC · RC + UCE = U B (Masche) - wobei UCE die
Spannung entlang des Kollektorwiderstandes ist.
Z(ω) = ω1 · · · , dann ω = 0 und Z(ω = 0) = · · ·
Wie sind R zu wählen, damit Z(ω) unabhängig ⇒ RC = U B − UCE
IC
von ω wird. Dann muss dies auch in beiden
weitere Formeln: Gleichstromverstärkung B:
Spezialfällen gelten, damit folgt dann R f all1 =
IC
; Verlustleistung: Pverlust = IC · UCE ,
B =
R f all2 = R.
IB
Setze R in altes Z ein und versuche gleichen Ima- Verhältnis
IE ist etwa gleichgroß wie IC .
ginärteil in Nenner und Zähler herzuleiten.
Für U E = 0V sperrt der Transistor ⇒ Ua = U B ;
max.
Leistung: Realteil links = Realteil Emitterschaltung
rechts (bzgl. der Klemmen) (idem für Imag.)
Impedanz: Z R = R, Z L = jωL, Z C =
MOSFET
Resonanzfrequenz:
fr
=
√1
2π L·C
Messbereichserweiterung:
Strommesser:
R1 +R2 +R3
⇔
R1 +R2 +R3 +R M
R1 +R2 +R3 =
·R M ⇔ R1 +R2 +R3 = IC1 ·R M
I M −1
R1 +R2
R1 +R2
B: IM = IB · R1 +R2 +R3 +RM = IB · 2·RM (1) A:
IM = IA · R1 +R2R+R1 3 +RM ⇒ R1 = IIMA · 2 · R M , aus
(1) ⇒ R2 = IIM · 2R M − R1 ⇒ R3 = R M − R1 − R2
Wahl von R1 , R2 , R3 ?: C: IM = IC ·
IM
IC −I M
B
Spannungsmesser:
Wahl von R1 , R2 , R3 ?: A: kein Vorwiderstand
notwendig, B:Uein − U M = Uein · R1 +R2R1
⇔
+R3 +R4
−U M
· R1 + R2 + R3 + R4 , C:
R1 = UeinUein
R1 +R2
Uein − U M = R1 +R2 +R3 +R4 · Uein =⇒ R2 = ...,
1 +R2 +R3
= 0 ⇒
D: Uein − U M − Uein · R1R+R
2 +R3 +R4
R3 = ... ⇒ R4 = R M − R1 − R2 − R3
Abgleichbedingung Brücke:
U B − U DS − ID · RL = 0
ID = 0 ⇒ U B = U DS
U DS = 0 ⇒ U B = IB ·
RL U Q = U DS 1 = UGS 2
Diode
I: Knotenregel liefert I1 = IQ + IB . Maschenregel
R1
R2
liefert U1 +U B −U BE = 0 = (IQ + IB )·R1 +U B −U BE
=
⇒ IQ = 0
R
R4
3
U B − U BE
.
⇒ R1 =
Stern-/Dreiecktransformation:
IQ + I B
U BE
II: Maschenregel: −IQ ·R2 + U BE = 0 ⇒ R2 =
IQ
weitere Formeln zu dieser Schaltung: U B =
UC + UCE = IC · RC + UCE , U BE = IQ · R2 , U B =
R12 · R13
R10 =
; R12 = R10 + R20 +
R1 · I1 + U BE
R12 + R13 + R23
Emitterschaltung
R10 · R20
RDreieck
symmetrisch:
RS tern
=
R30
3
Beispiele:
Ersatzzweipol:
Um die Arbeitspunkte zu bestimmen, brechnen wir
die Widerstandsgerade. R und U0 gegeben. Dann
IK = UR0 . Dies als Gerade auf die gegebene Grafik
abgetragen ergibt einen Schnittpunkt der uns den
Arbeitspunkte (bestehend aus U und I) liefert.
Unter Verwendung der Methode der Ersatzspannungsquelle sollen die neuen Arbeitspunkte der
R1
Schaltung bestimmt werden: U ∗ = U0 · R+R
= 1V
1
∗
10
∗
und R = R//R1 = 3 Ω. Dann IK = UR∗
auf Grafik übertragen ergibt AP mit U und I.
Verstärkerschaltung
npn (Pfeil geht raus)
Grafisch:
Formeln: I: U B = Ua + IC · RC , II: U E =
U BE + IB · R B ,
U B = UCE + IC · RC , Ua = U B − B · RC ·
U AB
R2
U AB = U −
, IAB =
U E − U BE
R2 · R1
R1 + R2
, UCE = 0 ⇒ IC = URCB ; IC = 0 ⇒
Rr +
RB
R
2 + R1
U B = UCE ; Pvmax = UCE · IC (+U BE · IB )
magnetischer Fluss:
Ortskurven:
Inversregeln: (i) Gerade durch den Ursprung →
Gerade durch den Ursprung, (ii) Gerade nicht
durch den Ursprung → Kreis durch den Ursprung,
(iii) Kreis durch den Ursprung → Gerade nicht
durch den Ursprung
pnp (Pfeil geht rein)
Y(ω) =
1
jωL
+
1
R
Leiter 2, durch den Strom I2 fließt, übt auf Leiter 1
~ 2);
folgende Kraft aus: F~21 = I1 · (~l × B
~l ⊥ B
~ 2 ⇒ F21 = I1 · l · B2
µ0 · l ~
µ0
· I2 ; F21 = I1 · I2 ·
; F21 =
B2 =
2πa
2πa
µ0 · l
; F12 =
− F~21 ”actio=reactio”; F12 = I1 · I2 ·
2πa
I1 · I2
· µ0 · l
F21 = F =
2πa
Anziehung: parallele Ströme; Abstoßung: antiparallele Ströme
1V As
1A2
; 1N =
F = 2 · 10−7 N = µ0 · 1
m·
2π1
m
m
1
−7 V As
−7 V s
µ0 = 4π · 10
; µ0 = 4π · 10
·
m
Am
A2