Lehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker - Toc - Beck-Shop

Lehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker
Lineare Algebra und Anwendungen
Bearbeitet von
Wolfgang Preuß, Günter Wenisch
1. Auflage 1996. Buch. 328 S. Hardcover
ISBN 978 3 446 18702 3
Format (B x L): 17,2 x 23,5 cm
Gewicht: 686 g
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Inhaltsverzeichnis
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2.3.2
2.4
2.4.1
2.4.2
2.4.3
Einleitung: Was ist Lineare Algebra?“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
”
Drei typische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gegeneinander verschobene Koordinatensysteme und die Normalparabel“
”
Gegeneinander gedrehte Koordinatensysteme und die Normalparabel“ . . .
”
Gegeneinander gedrehte Koordinatensysteme und die Lösungskurven von
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kommentar zu den Beispielen und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Grundbegriffe – Mengen, Abbildungen, Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengenverknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spezielle Mengen, Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 1.1 bis 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relationen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele für Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildungen und einige Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bijektive Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 1.8 bis 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoren im anschaulichen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung und charakteristische Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . .
Punkte, Geraden und Ebenen in Vektordarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung von Abständen, Längen und Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Volumina und senkrechte Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 1.15 bis 1.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reelle Zahlen und Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algebraische Axiome der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfache Folgerungen aus den Axiomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verallgemeinerung: Axiome eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 2.1 bis 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Körper mit den Rechenoperationen der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
Untersuchung der bekannten Zahlbereiche N, Z, Q . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Körper zwischen“ Q und R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
”
Aufgaben 2.5 und 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die komplexen Zahlen als Körpererweiterung von R . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einige Bemerkungen zur Verwendung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
Körpereigenschaften von C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algebraische Struktur der Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 2.7 bis 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
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2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
Restklassen als Beispiele für endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele und Gegenbeispiele für Körpereigenschaften bei Restklassen . . .
Lösen von Gleichungen in Restklassenkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel eines endlichen Körpers, der nicht aus Restklassen besteht . . . . . .
Aufgaben 2.12 bis 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1
Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 3.1 bis 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der n-dimensionale Vektorraum Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 3.7 bis 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 3.13 bis 3.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Austauschsatz von Steinitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgabe 3.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Basis von Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 3.22 bis 3.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungsraum von linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 3.29 bis 3.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 4.1 und 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition und Eigenschaften linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition und einfache Schlußfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Vektorraum L (V,W ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 4.3 bis 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Standardbeispiele linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veranschaulichungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Streckungen S : V → V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagonalisierbare Abbildungen D : V → V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Scherungen T : V → V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Projektionen P : V → V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orthogonale Projektionen, Spiegelungen und Drehungen . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 4.9 bis 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Homomorphiesatz und Folgerungen daraus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Folgerungen aus dem Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 4.13 und 4.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Matrix einer linearen Abbildung bezüglich zweier Basen . . . . . . . . . . .
Aufgaben 4.15 bis 4.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Isomorphismus L (V,W ) → K m×n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verknüpfung linearer Abbildungen und Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . .
Der spezielle Isomorphismus L (V,V ) → K m×m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Transformationsformel für Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 4.19 bis 4.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.4.1
4.4.2
4.5
4.5.1
4.6
4.6.1
4.6.2
4.6.3
8
Inhaltsverzeichnis
4.7
4.7.1
Linearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Der Dualraum eines Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Aufgaben 4.22 und 4.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5
5.1
Unitäre Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 5.1 bis 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Schwarzsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 5.5 bis 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkel, Orthonormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 5.8 bis 5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Abstandsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 5.18 bis 5.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Semibilinearformen und adjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 5.22 bis 5.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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119
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Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Bedeutung der beiden Hauptresultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 6.1 bis 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Invariante Unterräume, Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . .
Definition und Eigenschaften invarianter Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . .
Zerlegung in invariante Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 6.9 bis 6.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das charakteristische Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorbemerkung über Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenwerte und charakteristisches Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 6.18 bis 6.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das erste Hauptresultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formulierung von Hauptresultat 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bemerkungen zu Hauptresultat 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 6.22 bis 6.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenwerte normaler, hermitescher und unitärer Abbildungen . . . . . . . . . .
Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normale, hermitesche und unitäre Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Untersuchung normaler Abbildungen Φ ∈ L (V,V ) und
Hauptresultat 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Folgerungen für hermitesche und unitäre Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 6.25 bis 6.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
147
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178
Algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorbemerkung zu algebraischen Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gruppen und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele für Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isomorphe Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfache Eigenschaften von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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183
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184
185
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191
5.2
5.3
5.4
5.5
6
6.1
6.1.1
6.2
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.3
6.3.1
6.3.2
6.4
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6.4.2
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6.5.2
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6.5.4
7
7.1
7.2
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
179
181
182
Inhaltsverzeichnis
7.2.6
7.3
7.3.1
7.3.2
7.3.3
7.3.4
7.3.5
8
8.1
8.2
8.3
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9.5
10
10.1
10.2
10.3
9
Ordnung von Elementen und Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 7.1 bis 7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ringe – Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Invertierbare und nicht invertierbare Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einsetzungen in Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 7.11 bis 7.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
196
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Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 8.1 bis 8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Simplexalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 8.6 bis 8.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 8.11 bis 8.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
208
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Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundbegriffe ungerichteter Graphen, spezielle Graphen . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 9.1 bis 9.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Planare Graphen, chromatische Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 9.7 bis 9.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kürzeste Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 9.13 bis 9.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Steinerbäume, Minimalgerüste, Greedy-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgabe 9.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paarungen in paaren Graphen, Ungarischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 9.18 bis 9.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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239
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246
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Kryptologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tauschchiffren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 10.1 bis 10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Schieberegister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 10.7 bis 10.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schwer interpretierbare Funktionen, RSA-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben 10.12 bis 10.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269
269
276
276
282
282
290
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326