Lösungen 6. - math.uni

Einführung in die Topologie - Sommer 2012
Lösungen 6.
(1) Sei X ein kompakter Hausdorffraum und seien A, B ⊂ X disjunkte abgeschlossene
Teilmengen. Wir suchen disjunkte offene Umgebungen um A und B. Wir legen
ein a ∈ A fest. Für alle b ∈ B gibt es Umgebungen Ub um b und Vb um a mit
Ub ∩ Vb = ∅. Wir betrachten die Überdeckung
[
B⊂
Ub ,
b∈B
die eine endliche Teilüberdeckung erhält, weil eine abgeschlossene Teilmenge B
eines kompakten Hausdorffraums kompakt ist. Sei
n
[
B⊂
Ubi =: Ba
i=1
diese Teilüberdeckung. Wir setzen
Va =
n
\
Vbi ,
i=0
sodass
(Va ∩ B) ⊂ (Va ∩ Ba ) = ∅.
Wir betrachten dann die Überdeckung
[
A⊂
Va ,
a∈A
und die entsprechende endliche Teilüberdeckung
m
[
A⊂
Vaj .
j=1
Die offene Umgebung
B⊂
m
\
Baj
j=1
erfüllt dann:
m
[
!
Vaj
m
\
∩
j=1
j=1
Das bedeutet, dass X normal ist.
1
!
Baj
= ∅.
2
Als nächstes sei (X, d) ein metrischer Raum und seien A, B ⊂ X disjunkte
abgeschlossene Teilmengen. Betrachte die Abbildung
f : X → [0, 1]
x 7→
dist(x, B)
.
dist(x, A) + dist(x, B)
Wir müssen zeigen, dass
dist(x, A) + dist(x, B) 6= 0
für alle x ∈ X: Gäbe es ein x ∈ X mit
dist(x, A) = dist(x, B) = 0,
würden wir zwei Folgen
(bn )n∈N ⊂ B und (an )n∈N ⊂ A
finden, die
lim d(x, bn ) = 0 = lim d(x, an )
n→∞
n→∞
erfüllen würden. Insbesondere würde x den Grenzwert von (bn )n∈N und (an )n∈N
sein. Da B und A abgeschlossen sind, erreichen wir den Widerspruch
x ∈ (A ∩ B) = ∅.
Dann ist f wohldefiniert und stetig (Übung 1 Blatt 1). Folglich
A ⊂ f −1 ((1/2, 1]) =: U
B ⊂ f −1 ([0, 1/2)) =: V,
wobei U und V disjunkte offene Teilmengen sind.
Schließlich geben wir ein Beispiel eines Raums, der normal aber nicht Hausdorff
ist. Es genügt den Raum
X := {0, 1}
mit der Topolgie
τ := {∅, X}
zu betrachten.
3
(2) ⇒: Sei K ⊂ X eine kompakte Umgebung, sodass P ri (K) kompakt ist, weil die
Projektionen P ri stetig sind. Anderseits ist
P ri (K) 6= Xi
nur für endlich viele Indizes, weil K eine offene Teilmenge bzgl. der Produkttopologie enthält. Es folgt, dass nur endlich viele Räume
Xi1 , ..., Xin
nicht kompakt sein können. Diese Räume müssen mindest lokalkompakt sein: für
alle a ∈ Xij ist P rij (V ) eine kompakte Umgebung von a, wobei V eine kompakte
Umgebung um ein beliebiges x ∈ X mit xij = a ist.
⇐: Seien Xi1 , ..., Xin die nicht kompakten Koordinaten des Produktes X. Gegeben
x ∈ X, finden wir kompakte Umgebungen Uij ⊂ Xij um xij . Das Produkt
n
Y
Uij ×
j=1
Y
Xi
i6=ij
ist eine kompakte Umgebung um x.
(3) (a) Sei
e := (0, ..., 0, 1) ∈ S n−1 ⊂ Dn ⊂ Rn .
Wir definieren
ϕ : Dn \ {e} → H ∼
= Rn−1 × [0, 1)
durch die Fortsetzung der stereografische Projektion ϕ|S n−1 \{e} : Ein Radius
zwischen e und x ∈ S n−1 \ {e} bilde auf
{ϕ(x)} × [0, 1)
ab. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass ϕ eine Homöomorphismus Dn → H +
induziert (vgl. Proposition 6.3 des Skripts.)
(b) Wir versehen die Räume Z, Z \ {0} und
{0} ∪ {1/n|n ∈ Z \ {0}}
mit der von R induzierten Topologie. Die Räume Z und Z\{0} sind homöomorph,
denn sie sind diskret und sie haben dieselbe Kardinalität. Insbesondere sind
Z+ und (Z \ {0})+ homöomorph. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass
ψ : (Z \ {0})+ → {0} ∪ {1/n|n ∈ Z \ {0}}
0,
n = ∞;
n 7→
1/n, n 6= ∞,
4
ein Homöomorphismus ist (vgl. Proposition 6.3 des Skripts.)
(4) Sei (fn )n∈N ⊂ B eine Folge in B, sodass für alle v ∈ V
sup |fn (v)| ≤ 1
kvk≤1
für alle n ∈ N. Für alle c ∈ C gilt dann |fn (c/kck)| ≤ 1 und
fn (c) ∈ [−kck, kck] ,
was eine Folge in
Y
[−kck, kck]
c∈C
definiert. Da dieses Produkt folgenkompakt ist, gibt es eine Teilfolge
(fnk )k∈N ⊂ (fn )∈N ,
sodass für alle c ∈ C die Folge
(fnk (c))k∈N ⊂ R
konvergiert. Wir bezeichnen ihren Grenzwert mit f (c). Seien nun c, d ∈ C. Wir
rechnen aus:
|f (c) − f (d)| ≤ |f (c) + fnk (c)| + |fnk (c − d)| + |fnk (d) − f (d)|
≤ |f (c) + fnk (c)| + kfnk k∗ kc − dk + |fnk (d) − f (d)|
k→∞
≤ |f (c) + fnk (c)| + kc − dk + |fnk (d) − f (d)| −→ kc − dk
Insbesondere ist
f (v) := lim f (ci )
i→∞
wohldefiniert, wobei
(ci )i∈N ⊂ C
eine Folge ist, die gegen v ∈ V konvergiert. Wir haben eine abbildung f : V → R
definiert, die gleichmäßig stetig ist, wegen der ungleichung hier oben. Das bedeutet,
dass wir die Limes vertauschen können, sodass (fnk )k∈N gegen f konvergiert:
lim fnk (v) = lim lim fnk (ci )
k→∞
k→∞ i→∞
= lim lim fnk (ci )
i→∞
k→∞
= lim f (ci )
i→∞
= f (v)
Schließlich liegt f in B, weil f den Grenzwert einer Folge in B ist.