Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I
Mitschrift zur Vorlesung vom 25.11.2004
Abschluss einer Relation
– Man hat eine Menge A
– Relation R auf A.
A
{1, 2, 3}
Relation
R auf A
n
o
(1, 1)(1, 2)(1, 3)(3, 1)(3, 2)(2, 3)
↓
Die
transitiv
n Relation ist nicht
o
(2, 2)(2, 1)(3, 3) 6∈ R
Welche ist die kleinste Obermenge R? , so dass R? transitiv wird (R? ⊆ A × A
und R ⊆ R? )?
? sind die Paare, die die Relation erweitern und die Relation transitiv machen.
1m
?
m
-2 @
@
I
@@
@@
@@
R
@
@
- 3m
Man nennt dies den transitiven Abschluss
Aufbau des Zahlensystems
Wenn man ein Zahlensystem definiert, definiert man zunächst die natürlichen
Zahlen. Mit Hilfe der Mengenlehre.
Natürliche Zahlen:
0 = ∅ keine Menge
1 = 0+ = {∅} → leere
n Menge,
o die die Null (leere Menge) enthält.
2 = 1+ = {0, 1} = ∅, {∅}
n
o
3 = 2+ = {0, 1, 2} = ∅, {∅}, {{∅}}
..
..
.
.
+
n = n ∪ {n}
Beispiel: 0+ = 0 ∪ {0} = ∅ ∪ {∅} = {∅}
Diese Definition gibt uns eine Halbordnung bei den Zahlen N
1<2
weil 1 ∈ 2
+
n < n weil n ∈ n+
n ∈ (n ∪ {n})
Sie gibt uns die Größenverhältnisse an.
Unendlichkeit
Wir wollen unendliche Zahlen definieren. Dafür brauchen wir das
Axiom der Unendlichkeit:
Es existiert eine Menge M , mit 0 ∈ M und immer wenn u ∈ M ⇒ u+ ∈ M .
Definition: N ist die kleinste Menge, die das Axiom der Unendlichkeit erfüllt.
Peano Axiome für die natürlichen Zahlen
I) 0 ∈ N (abgeleitet aus dem Axiom für Unendlichkeit).
II Wenn n ∈ N ⇒ n+ ∈ N (auch aus dem Axiom für Unendlichkeit
abgeleitet).
III n+ 6= 0∀n ∈ N (abgeleitet aus der Definition der Zahlensysteme n+ =
n ∪ {n})
IV n, m ∈ N, n+ = m+ ⇒ n = m
V Induktionsprinzip
Anwendung der Peano Axiome für N.
II
I
z }| {
0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7
×
III α
IV β
Axiome sind Annahmen, aus denen man Sätze ableiten kann.
Induktionsprinzip
Für S ⊇ N, falls 0 ∈ S und n ∈ S ⇒ n+ ∈ S, dann ist S = N. Mit diesem
Prinzip kann man Induktionsbeweise durchführen.
0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7
↑
↑
0 ist in S
immer wenn n ∈ S ⇒ n+ ∈ S
Peano (Italiener) hat diese Notation der modernen Mathematik eingeführt.
Wir definieren die Addition
+:N×N→N
+(a, b) → c
Die Addition bearbeitet Paare von Zahlen.
a ∈ N, b ∈ N → c ∈ N
Vereinbarung der Notation
a + b = c | n+ = S(n) (Nachfolger von n)
Definition der Addition:
Def. 1: a + 0 = a
∀a ∈ N
Def. 2: a + S(b) = S(a + b)∀a, b ∈ N
↑ ist die rekursive Definition der Addition
Beweise:
0 + a = a?
∀a ∈ N Stimmt das?
Beweis per Induktion:
S ist die Menge aller a ∈ N für die 0 + a = a
0 ∈ S?
Testen: a = 0
0 + 0 = 0Stimmt das?
|| wegen Def. 1
0 = 0was zu beweisen war
Induktionsannahme
n ∈ S 0+n=n
zu beweisen ist:
0 + S(n) = S(n)
|| per Def. 2
S(0 + n)
|| Induktionsannahme
S(n) = S(n) was zu beweisen war
⇒S=N
zu beweisen: Die Addition ist assoziativ, d. h.
(a + b) + c = a + (b + c)
Idee: Testen wir die Gleichung für c = 0
?
(a + b) + 0 = a + (b + 0)
Def.1 ||
|| Def.2
a+b
= a+b
Stimmt!
Induktion:
Für c = 0 stimmt die Gleichung (a + b) + c = a + (b + c)
Induktionsannahme für ein c ∈ N
(a + b) + c 6= a + (b + c)
zu beweisen
per Def. 2
(a + b) + S(c)
||
S ((a + b) + c)
per Ind.
annahme
||
=
a + (b + S(c)) ∀a, b ∈ N
||
per Def.2
a + S(b + c)
||
per Def.2
S (a + (b + c))
S(a + (b + c)) == S(a + (b + c))
D.h. immer wenn die Assoziativität für c gilt, gilt auch für S(c)
→ Die Assoziativität gilt ∀a, b, c ∈ N
Beweise:
QED.
?
S(b) + a = S( )
Per Induktion über a
A) Zuerst a = 0
?
per Def.1
S(b) + 0 = S(b + 0)
||
||
S(b)
==
S(b)
per Def.1
B) Induktionsannahme für a ∈ N
S(b) + a = S(b + a)
zu beweisen
per Def.2
S(b) + S(a) = S(b + S(a))
||
per Def.2
S(S(b) + a)
||
Induktionsannahme
S(S(b + a)) == S(S(b + a)
d.h. S(b) + a = S(b + a)
∀a, b ∈ N
QED
Beweise: die Addition ist kommutativ, d.h.
a+b=b+a
Induktion über b.
A) Teste b = 0.
∀a, b ∈ N
a+0 = 0+a
||
||
a
==
a
B) Allgemeiner Fall
IA
a+b=b+a für ∀a ∈ N, b ∈ N
Man muss zeigen
a + S(b) = S(b) + a
Def.2
||
||
gerade bewiesen
S(a + b)
S(b + a)
IA
||
||
S(b + a) = S(b + a)