ergebnisse technische mechanik iii-iv - mv.uni

E RGEBNISSE
T ECHNISCHE M ECHANIK III-IV
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
SS 11, 02.08.2011
1. Aufgabe:
(TM III:
MV, BI)
A
D
C
B
ω0
E
O
y
r
x
r
Ein Kinderfahrzeug wird durch die Vertikalbewegung der geführten Stange AB angetrieben.
Diese ist mit dem momentan horizontalen Balken BCD verbunden, welcher über die Koppel
DE, die Kurbel EO und somit die Hinterräder mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω0
antreibt.
a) Skizzieren Sie in der Aufgabenstellung für die dargestellte Lage die Geschwindigkeitsvektoren in den Punkten A und E. Markieren Sie zusätzlich den Momentanpol der Koppel DE auf einem der Hilfsgitterpunkte. Lösungen die nicht auf einem Hilfsgitterpunkt
liegen, werden nicht gewertet.
Berechnen Sie für die dargestellte Lage:
b) die Geschwindigkeit ~vE und die Beschleunigung ~aE des Punktes E;
c) die Geschwindigkeit ~vD des Punktes D sowie die Winkelgeschwindigkeiten ω
~ DE der
Koppel DE und ~ωBCD des Balkens BCD;
d) die Winkelbeschleunigung ~ω˙ DE der Koppel DE.
Gegeben:
r, ω0 .
a) Geschwindigkeitsvektoren in A und E skizzieren,
Momentanpol der Koppel DE einzeichnen
A
B
Π1
y
z

0
b) ~vE =  ω0 r 
0


−ω02 r
~aE =  0 
0
3
ω0
10
ω0
ωDE =
10


−3
ω0 r 
9
~vD =
10
0
d) ω̇DE = −
21 2
ω̇
100 0
ω0
E
O
x

c) ωBCD =
D
C
r
2. Aufgabe:
(TM III:
MV, BI)
111
000
000
111
000
111
000
111
0000000000000000
1111111111111111
00000000
11111111
000
111
0000000000000000
1111111111111111
00000000
11111111
000
111
0000000000000000
1111111111111111
00000000
11111111
000
111
0000000000000000
1111111111111111
11111111111111111
00000000000000000
x
m
µ
g
M
r
r
m
α
Ein dünnwandiger Hohlzylinder und ein Vollzylinder (Masse jeweils m, Radius jeweils r) liegen wie skizziert auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α) und befinden sich anfangs in
Ruhe. Der Reibungskoeffizient an der Berührstelle der beiden Zylinder beträgt µ und am unteren Zylinder greift wie abgebildet ein Moment M an. Ab einem bestimmten Wert M0 des
Moments setzen sich die Zylinder in Bewegung und rollen die schiefe Ebene hinauf.
a) Ermitteln Sie die Beschleunigung ẍ des Vollzylinders.
b) Bei welchem Wert M = M0 setzen sich die Zylinder in Bewegung?
Gegeben:
m , r , g , α , µ , M.
a) ẍ =
b)
2(1 − µ)
4g sin α
M−
m r (7 + µ)
(7 + µ)
M0 =
2mg sin α
1−µ
3. Aufgabe:
(TM III:
MV, BI)
g
C
m2
m1
B
v0
A
l
l
4
l
An einem in A gelenkig gelagerten masselosen horizontalen Stab ist die Punktmasse m1
befestigt. Durch die Drehbewegung des Stabes um den Punkt A stößt (Stoßzahl e) die Punktmasse m1 gegen einen horizontalen Balken BC der Masse m2 , welcher in Punkt B gelenkig
gelagert ist und im Punkt C auf einer Ebene aufliegt. Die Anfangsgeschwindigkeit der Punktmasse ist v0 .
Bestimmen Sie:
a) die Geschwindigkeit der Punktmasse m1 unmittelbar vor und unmittelbar nach dem Stoß,
sowie die Winkelgeschwindigkeit des Stabes BC unmittelbar nach dem Stoß,
b) den Energieverlust ∆E während des Stoßes,
c) die Winkelgeschwindigkeit des Stabes BC, in der skizzierten aufrechten Lage.
d) Wie groß muss die Anfangsgeschwindigkeit v0 mindestens sein, damit der Stab BC die
aufrechte Lage erreicht?
Gegeben:
m1 = 2m, m2 = m, l, v0 =
√
3
gl, e = , g.
4
9 vA0
5l
3vA0
v̄A =
5
a) ω̄B =
mvA2 0
10
r
6 g
=
25 l
r
b) △E =
c) ω̄B2
d) v0 = vA0 =
25
gl
27
4. Aufgabe:
(TM IV: MV, BI)
A
ϕ
z
g
h
13a, m
13a, m
x(t)
M = 4m
m∗ = 2m
10a
Die skizzierte Schaukel besteht aus zwei gleichen starren Stangen (jeweils Länge 13a, Masse m) und einem ebenfalls starren Balken (Länge 10a, Masse M). Die Schaukel wird durch
eine Masse m∗ , die sich gemäß x(t) = x̂ sin(Ωt) auf dem Balken bewegt, angetrieben.
a) Berechnen Sie für die Schaukel ohne die Antriebsmasse m∗ :
– die Schwerpunktskoordinate zS ,
– das Massenträgheitsmoment ΘA bezüglich des Lagers A.
b) Ermitteln Sie die Bewegungsgleichung des Systems in der Koordinate ϕ. Linearisieren
Sie die Differentialgleichung um die Gleichgewichtslage ϕ = 0. Es gelte x̂ ≪ h.
c) Berechnen Sie die Resonanzfrequenz Ωres des Systems.
Gegeben:
a, m, M = 4m, m∗ = 2m, g, Ω.
a) zS = 10 a
ΘA = 722 ma2
b) 1010ma2 + 2mx̂2 sin2 (Ωt) ϕ̈ + 84mga sin ϕ = −2mg x̂ sin(Ωt) cos ϕ
Linearisierung:
ϕ̈ +
1 g x̂
42 g
ϕ=−
sin(Ωt)
505 a2
{z a}
|505
=ω 2
c) Ωres = ω =
r
42 g
505 a
5. Aufgabe:
(TM IV: MV, BI)
y′
g
m
x′
y
α
x
Der skizzierte Wagen fährt zunächst mit konstanter Geschwindigkeit auf ebener Strecke. Als
der Fahrer bemerkt, dass ein loses Gepäckstück (Masse m) die Windschutzscheibe hinunter
rutscht, bremst er den Wagen mit konstanter Verzögerung a ab.
Wie groß darf a höchstens sein, damit das Gepäckstück nicht von der Windschutzscheibe
abhebt?
Gegeben: m, g, α.
a≤
g
tan α
6. Aufgabe:
(TM IV: MV, BI)
x2
x1
M, R
M, R
c
11
00
00
11
11
00
00
11
g
l
ϕ
m
Zwei homogene Walzen (M, R) sind durch eine Feder c miteinander verbunden. Im Schwerpunkt der zweiten Walze ist ein mathematisches Pendel (m, l) angebracht. Die Walzen rollen
ohne zu gleiten.
Bestimmen Sie:
a) die kinetische und die potentielle Energie des Systems in Abhängigkeit der gegebenen
Koordinaten x1 , x2 und ϕ;
b) die Lagrange Funktion L;
c) das Differentialgleichungsystem mit Hilfe der Lagrange Gleichungen zweiter Art;
d) das linearisierte Differentialgleichungsystem für kleine Winkelausschläge ϕ;
e) die Eigenfrequenz des Systems für m = 0.
Gegeben: m, M, l, R, c, g.
a) Kinetische Energie
1
3
T = M ẋ21 + ẋ22 + m ẋ22 + 2 ẋ2 ϕ̇ l cos ϕ + ϕ̇2 l2
4
2
Potentiale Energie
1
Π = c (x2 − x1 )2 + m g l (1 − cos ϕ)
2
1
1
3
b) L = M ẋ21 + ẋ22 + m ẋ22 + 2 ẋ2 ϕ̇ l cos ϕ + ϕ̇2 l2 − c (x2 − x1 )2 −m g l (1 − cos ϕ)
4
2
2
c) Bewegungsgleichungen
3
M ẍ1 − c (x2 − x1 ) = 0
2
3
M + m ẍ2 + m l ϕ̈ cos ϕ − m lϕ̇2 sin ϕ + c (x2 − x1 ) = 0
2
m l ẍ2 cos ϕ − m l ẋ2 ϕ̇ sin ϕ + m ϕ̈ l2 + m g l sin ϕ + m ẋ2 ϕ̇ l sin ϕ = 0
d) Linearisierung
3
M ẍ1 − c (x2 − x1 ) = 0
2
3
M + m ẍ2 + m l ϕ̈ + c (x2 − x1 ) = 0
2
m ẍ2 + m l ϕ̈ + m g ϕ = 0
r
4 c
e) ω =
3M