Quantenmechanik - Institut für Theoretische Physik
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Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik
01.06.2017
Prof. Dr. Harald Engel
Benjamin Lingnau, Jan Totz, Maria Zeitz, Manuel Katzer, Willy Knorr
7. Übungsblatt – Theoretische Physik II: Quantenmechanik
Abgabe: Bis Montag 19.06.2017 12:00 im Briefkasten am Hintereingang des ER-Gebäudes
Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden sehr ausführliche Kommentare zum Vorgehen erwartet. Dafür gibt es auch Punkte! Bitte das Deckblatt von der Homepage verwenden! Die Abgabe
erfolgt in Dreiergruppen.
Aufgabe 17 (3 Punkte): Drehimpulsoperator
In der Vorlesung wurde der Drehimpulsoperator L̂i = εijk x̂j p̂k eingeführt. Beweisen Sie die folgenden Aussagen!
(i) [L̂i , L̂j ] = i}εijk L̂k ,
(Hinweis:
εijk εimn = δjm δkn − δjn δkm .)
2
(ii) [L̂ , L̂j ] = 0 .
Aufgabe 18 (6 Punkte): Pauli’sche Spin-Matritzen
Betrachten Sie ein Teilchen mit Spin j = 1/2.
(a) Stellen Sie Operatoren Ŝ2 , Ŝx , Ŝy , Ŝz , Ŝ± als Matritzen dar.
(b) Bestimmen Sie die gemeinsamen Eigenvektoren von Ŝ2 , Ŝx .
(c) Bestimmen Sie die Kommutatorrelationen [Ŝi , Ŝj ] und [Ŝi , Ŝ2 ] explizit in Matrixdarstellung.
(d) Für j = 1/2 kann der Spinoperator auch über die sogenannten Pauli’schen Spinmatritzen σ
dargestellt werden, wobei Ŝi = ~2 σi . Weisen Sie nach, dass σi2 = 1 und σi σj + σj σi = 0 für
i 6= j wobei 1 die Einheitsmatrix ist.
Aufgabe 19 (6 Punkte): Der Bahndrehimpuls in der Quantenmechanik
Der Operator des Bahndrehimpulses ergibt sich durch Quantisierung des klassischen Drehimpulses,
L = r × p → L̂ = r̂ × p̂.
(1)
(a) Verwenden Sie die Ortsdarstellung für r̂ und p̂ und zeigen Sie, dass die Komponenten des
Operators des Bahndrehimpulses in Kugelkoordinaten durch
cos ϑ cos ϕ L̂x = −i~ − sin ϕ ∂ϑ −
∂ϕ ,
sin ϑ
cos ϑ sin ϕ L̂y = −i~ cos ϕ ∂ϑ −
∂ϕ und
sin ϑ
L̂z = −i~ ∂ϕ
(2)
(3)
(4)
gegeben sind. Stellen Sie dazu zunächst die Ableitungen in kartesischen Koordinaten durch
die Ableitungen in Kugelkoordianten dar.
Hinweis: Die Koordinatentransformation ist durch die Jacobi-Matrix
sin ϑ cos ϕ
sin ϑ sin ϕ
cos ϑ
∂(r, ϑ, ϕ)
cos ϑ cos ϕ/r
cos ϑ sin ϕ/r − sin ϑ/r
=
∂(x, y, z)
− sin ϕ/(r sin ϑ) cos ϕ/(r sin ϑ)
0
bestimmt.
1
(5)
7. Übung SoSe17
(b) Benutzen Sie die Ergebnisse aus Aufgabenteil (a) um L̂2x , L̂2y , L̂2z und daraus das Quadrat
des Bahndrehimpulses
2
2
L̂ = −~
1
1
∂ϑ sin ϑ ∂ϑ +
∂2
sin ϑ
sin2 ϑ ϕ
(6)
zu bestimmen.
Bonus: Betrachten Sie nun die beiden Wellenfunktionen
r
ψ1 (r) = N1 R1 (r)
15 2
x + ar2 − y 2 und ψ2 (r) = N2 R2 (r)
8π
r
3
x − iy , mit a ∈ R. (7)
8π
Die Konstanten N1 und N2 sind so gewählt, dass die Wellenfunktionen auf eins normiert sind.
(c) Sind diese Funktionen Eigenfunktionen von L̂z und L̂2 ? Wenn ja, bestimmen Sie die Eigenwerte. Benutzen Sie dazu die explizite Darstellung des Drehimpulsoperators im Ortsraum
aus den Aufgabenteilen (a) und (b).
(d) Berechnen Sie schließlich die Erwartungswerte von L̂z und L̂2 in diesen beiden Zuständen.
Für diesen Aufgabenteil können Sie verwenden, dass die Kugelflächenfunktionen Eigenfunktionen von L̂2 und L̂z sind. Hinweis: Es ist sehr hilfreich den Winkelanteil der Wellenfunktionen ψn (r) durch Kugelflächenfunktionen darzustellen.
Aufgabe 20 (5 Punkte): Kugelflächenfunktionen
Die Eigenfunktionen der Bahndrehimpulsoperatoren L̂2 und L̂z in Ortsdarstellung sind gerade die
Kugelflächenfunktionen
r
Ylm (θ, ϕ) =
2l + 1
4π
s
(l − m)! m
P (cos θ)eimϕ
(l + m)! l
mit den zugeordneten Legendre-Polynomen
Plm (x) =
(−1)m
dl+m 2
2 m
2
(x − 1)l .
(1
−
x
)
2l l!
dxl+m
Visualisieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte der möglichen Eigenfunktionen |lmi des
Drehimpulsoperators für l ∈ {0, 1}. Plotten Sie außerdem die px und py -Orbitale, die durch
1
px = √ |1 -1i − |1 1i
2
i
py = √ |1 -1i + |1 1i
2
gegeben sind.
Hinweis: Benutzen Sie in Mathematica den Befehl SphericalPlot3D. Die Kugelflächenfunktionen Ylm (θ, φ) sind durch SphericalHarmonicY[l,m,θ,φ] gegeben. Das auf der Webseite der
Vorlesung zur Verfügung gestelle Applet kann ebenso verwendet werden.
2
Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik
01.06.2017
Prof. Dr. Harald Engel
Benjamin Lingnau, Jan Totz, Maria Zeitz, Manuel Katzer, Willy Knorr
Vorlesung:
• Dienstag 8:30 Uhr – 10:00 Uhr im EW 202.
• Mittwoch 8:30 Uhr – 10:00 Uhr im EW 202.
Webseite:
• Details zur Vorlesung, Vorlesungsmitschrift und aktuelle Informationen sowie Sprechzeiten auf der TU Webseite unter
www.tu-berlin.de/?qm17
Scheinkriterien: •
Mindestens 50% der Übungspunkte.
• Bestandene Klausur.
Bemerkung: Bei den Übungsaufgaben werden nur Originalabgaben akzeptiert. Keine Kopien
oder elektronischen Abgaben. Bei Programmieraufgaben ist verwendeter Code ausgedruckt mit
abzugeben.
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