Theoretische Mechanik SS 2015

Theoretische Mechanik SS 2015
Prof. Dr. W. Strunz, PD Dr. G. Plunien, Institut für Theoretische Physik, TU Dresden
http://tu-dresden.de/physik/tqo/lehre
Präsenzübung
1. Koordinatensysteme:
Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer Raumkurve ~r(t) im 3-dimensionalen Euklidischen
Raum. Im (ausgezeichneten) Punkt O (Ursprung) sei ein raumfestes Kartesisches Basissy~ i } ≡ {E
~ x, E
~ y, E
~ z } errichtet. Von diesem Bezugssystem aus besitzt der momentane
stem {E
3
X
~ i , und die Orthogona~
~
~
xi E
Positionsvektor die Darstellung ~r(t) = x Ex + y Ey + z Ez =
i=1
~i · E
~ j = δij führt auf das Abstandsquadrat |~r(t)|2 = x2 + y 2 + z 2 .
litätsrelation E
~ i sind beliebige Funktionen der Zeit t.
Die Kartesischen Koordinaten xi = xi (t) = ~r(t) · E
Die Einführung beliebiger krummliniger Koordinaten qj = qj (t) basiert zumeist auf der Angabe von Transformationsgleichungen der Form x
, q2 , q
i = xi (q1
3 ) ≡ xi (qj ) aus denen sich die
∂~r ∂~
r
(normierten) lokalen Basisvektoren gemäß ~ek = ∂qk / ∂qk berechnen. Es gilt also für
3 3
X
X
∂~r ∂~r
dqk =
die Darstellung des infinitesimalen Abstandsvektors: d~r =
∂qk dqk ~ek .
∂qk
k=1
k=1
Wichtige Beispiele sind:
Zylinderkoordinaten: (q1 = ρ, q2 = φ, q3 = z)
Kugelkoordinaten: (q1 = r, q2 = ϑ, q3 = ϕ)
x1 = x = ρ cos(φ)
x2 = y = ρ sin(φ)
x3 = z = z
x1 = x = r sin(ϑ) cos(ϕ)
x2 = y = r sin(ϑ) sin(ϕ)
x3 = z = r cos(ϑ)
a) Berechnen Sie jeweils die lokalen Basisvektoren ~ek und geben Sie die Komponentendarstellung des Ortsvektors ~r(t) bezüglich Zylinder- und Kugelkoordinaten an.
Verifizieren Sie die Linienelemente dℓ2 = |d~r|2 = dρ2 + ρ2 dφ2 + dz 2 bzw.
dℓ2 = |d~r|2 = dr 2 + r 2 dϑ2 + r 2 sin2 (ϑ)dϕ2 .
b) Leiten Sie die Geschwindigkeit ~v (t) und die Beschleunigung ~a(t) bezüglich Kugelkoordinaten her.
2. Bewegung auf Raumkurve:
Ein Massenpunkt bewege sich auf einer Raumkurve ~r(t).
a) Zeigen Sie über die geometrische Bedeutung des Vektorprodukts, dass in einer Zeit dt
die Verbindungslinie (Fahrstrahl) vom Ursprung O zur momentanen Position ~r(t) des
Massenpunktes die Fläche 12 |~r(t) × d~r(t)| überstreicht, d.h. die Flächengeschwindigkeit
durch f (t) = 21 |~r(t) × ~v (t)| gegeben ist.
b) Zeigen Sie, dass der Flächensatz dtd f (t) = f˙(t) = 0 gilt, wenn die Beschleunigung ~a(t) =
~v˙ (t) = ~r¨(t) proportional zu ~r(t) ist.
c) Gegeben sei eine Bahnkurve ~r(t) in Zylinderkoordinaten: ~r(t) = ρ ~eρ + z ~ez . Betrachten Sie
speziell eine Bewegung in der x, y-Ebene mit ρ(t), φ(t) und z(t) = 0 und leiten Sie den
Ausdruck für die Flächengeschwindigkeit f (t) her.
– bitte wenden –
1
3. Drehungen als orthogonale Transformationen:
R
′
Wie betrachten eine aktive Drehung eines Vektors ~a −→ ~a bezüglich eines festgehaltenen
~ i } im 3-dimensionalen Raum. Die Vektorkomponenten a ′ und
Kartesischen Basissystems {E
X i
′
ai sind über die Komponenten (R)ij = Rij der Rotationsmatrix R gemäß ai =
Rij aj
j
verknüpft. Für orthogonale Transformationen gilt die definierende Eigenschaft:
RT = R−1 bzw. in Komponentenschreibweise (RT )ij = (R−1 )ij = (R)ji .
a) Zeigen Sie, dass das Produkt R1 R2 zweier orthogonaler Matrizen R1 und R2 wieder eine
orthogonale Matrix ergibt.
b) Zeigen Sie, dass das Skalarprodukt ~a · ~b zweier Vektoren unter orthogonalen Transformationen eine Invariante darstellt.
c) Überprüfen Sie wesentliche Zusammenhänge aus Teil a) und b) anhand konkreter


cos(ϕ) sin(ϕ) 0
Rotationsmatrizen R(ϕ) =  − sin(ϕ) cos(ϕ) 0 , welche Drehungen um die z-Achse
0
0
1
vermitteln.
4. Transformationsgesetz für Vektorkomponeten:
~ ′ } und {E
~ i }, woWir betrachtenX
zwei gegeneinander verdrehte
Kartesische Basissysteme {E
i
X
′
′
~ . Die Komponenten der Rotationsmatrix R
~ k bzw. E
~i =
~ =
Rki E
Rik E
bei gilt: E
k
i
k
k
~′ ·E
~ j = Rij bzw. E
~i · E
~ ′ = Rji .
erhält man offensichtlich gemäß E
i
j
~ i unter Drehungen
a) Zeigen Sie, dass die Eigenschaft der Orthogonalität der Basisvektoren E
′
′
~i · E
~ j = δij .
erhalten bleibt, d.h. E
P ′ ~′
P
~
b) Zeigen Sie, dass ein Vektor ~a die Komponetendarstellungen ~a =
i ai Ei =
j aj Ej
′
besitzt, wobei sich die Komponenten ai , ai gemäß dem Gesetz
X
X
(1)
a′i =
Rij aj bzw. ai =
Rki a′k transformieren .
j
k
−1
R
~ i −→
~ ′ ) gedreht werden,
Da nicht der Vektor (~a = ~a ′ ) sondern die Basisvektoren (E
E
i
spricht man beim Transformationsgesetz Gl. (1) für die Vektorkomponenten von einer
passiven Drehung.
c) Zeigen Sie, dass aus den Eigenschaften orthogonaler Transformationen die
~ ′ } und {E
~ i } folgt:
Vollständigkeit
derX
Basissysteme {E
i
X
′
′
~i ◦ E
~i = 1 =
~ ◦E
~ (Dyaden).
E
E
i
i
i
i
2