ubungen zur physik ii und einf¨uhrung in die theoretische physik ii1

ÜBUNGEN ZUR
PHYSIK II UND EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK II1
SOMMERSEMESTER 2009
– BLATT 5 –
Daniela Pfannkuche, Jörg Rossbach, Wilfried Wurth
Besprechung am
Abgabe am
13./14. 5. 09
!! 27./28. 5. 09 !!
Aufgabe 21: Bewegung freier Elektronen
(2 Punkte)
Durch einen Kupferdraht der Länge l = 0.5m und der Querschnittsfläche a = 2.0mm2 fließt ein
konstanter Strom I = 0.1A. Schätzen Sie die Zeit ab, die ein Elektron benötigt, um von einem Ende
des Drahts zum anderen Ende zu gelangen.
(Hinweis: Jedes Kupferatom (Massendichte ρCu = 8.93g cm−3 , Molmasse MCu = 63.54g Mol−1 ) trägt
ein freies Elektron zum Strom bei.)
Aufgabe 22: Kabelschaden
(3 Punkte)
1mm2 ,
Ein 6km langes, in der Erde verlegtes Kupferkabel (Querschnitt des Innenleiters
spezifischer
−8
Widerstand ρCu = 1.8 · 10 Ωm) hat einen Isolationsfehler. Da man es nicht auf der ganzen Länge
ausgraben will, stellt man durch zwei Messungen an den beiden Enden den Widerstand zwischen
Innenleiter und Erde fest (R1 = 80Ω und R2 = 90Ω). Bestimmen Sie daraus den Ort des Isolationsfehlers und dessen Widerstand. (Der Widerstand zwischen beliebig weit voneinander entfernten geerdeten
Punkten sei vernachlässigbar klein).
Aufgabe 23: Batterie
(2 Punkte)
Eine Batterie erzeugt 40.8V, wenn aus ihr 7.40A gezogen werden und 44.5V, wenn 2.20A gezogen
werden.
Wie groß ist die Quellspannung ohne Last und der Innenwiderstand der Batterie?
Aufgabe 24: Widerstand
(3 Punkte)
Sie haben eine Batterie, ein Strommessgerät und ein Spannungsmessgerät und sollen damit einen
unbekannten Widerstand bestimmen. Geben Sie eine sinnvolle Schaltung an und berechnen Sie den
Widerstand aus den gemessenen Größen unter Einbeziehung des Widerstands der Messgeräte. Was
müssen Sie berücksichtigen, damit der Messfehler möglichst klein wird?
Aufgabe 252 : Gauss’sches Gesetz einmal umgekehrt
(4 Punkte)
Das elektrische Potential einer Ladungsverteilung sei
ϕ(~r) = A
exp(−λr)
r
mit konstantem A und λ.
~ r), die Ladungsdichte ρ(~r) und die Gesamtladung der
(a) Bestimmen Sie das elektrische Feld E(~
Ladungsverteilung.
1
Im Internet unter www.physik.uni-hamburg.de/institute/AGWurth/lectures.html
(b) Überprüfen Sie ihr Ergebnis mit Hilfe des Gauss’schen Gesetzes: Stimmt der elektrische Fluss
durch eine Kugeloberfläche mit Radius R mit der eingeschlossenen Ladung überein? Betrachten
Sie die Fälle R → 0 und R → ∞. Diskutieren Sie das Ergebnis.
Aufgabe 262 : Divergenz von rn~er
(2 Punkte)
Bestimmen Sie die Divergenz des Vektorfeldes
1
~v = ~er .
r
(a) Berechnen Sie die Divergenz zunächst direkt.
(b) Überprüfen Sie ihr Ergebnis mit Hilfe des Gauss’schen Satzes. Hat die Divergenz des Vektorfeldes
am Koordinatenursprung einen Beitrag in Form einer δ-Distribution?
(c) Wie lautet die allgemeine Formes für die Divergenz eines Vektorfeldes der Form
~v = rn~er
mit n ∈ Z ?
Aufgabe 272 : Modifikation des Coulomb-Gesetzes
(4 Punkte)
Stellen Sie sich vor, bei neuen und hochpräzisen Messungen habe sich herausgestellt, dass das CoulombGesetz fehlerhaft ist und dass die tatsächliche Kraft zwischen zwei Punktladungen durch
1 q1 q2 r −r/λ
F~ =
1
+
e
~er
4π0 r2
λ
gegeben ist. Hierbei kennzeichnet ~r den Abstandsvektor zwischen den beiden Punktladungen und λ ist
eine neue Naturkonstante. (Die Dimension von λ ist die einer Länge und der Betrag ist so groß – etwa
halb so groß wie der Radius des bekannten Universums –, dass die Korrekturen zum Coulomb-Gesetz
extrem klein sind.) Im Folgenden sollen Sie die daraus resultierenden Änderungen der Gesetze der
Elektrostatik formulieren. Das Superpositionsgesetz soll weiter uneingeschränkt gelten.
(a) Welche Formel beschreibt nun das elektrische Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ?
(b) Besitzt dieses elektrische Feld ein Potential? (Hier ist keine Rechnung erforderlich, nur eine
überzeugende Begründung.)
(c) Bestimmen Sie das Potential einer Punktladung q. Benutzen Sie den Nullpunkt des Potentials
im Unendlichen als Referenzpunkt.
(d) Zeigen Sie, dass für eine Punktladung im Koordinatenursprung
I
Z
1
~ · df~ + 1
E
ϕdV = q
2
λ V
ε0
∂V
gilt, wobei das Volumen V eine beliebige um die Ladung zentrierte Kugel ist.
(e) Zeigen Sie, dass dieses Ergebnis für eine beliebige Ladungsverteilung zu
Z
I
1
1
~
~
E · df + 2
ϕdV = QV
λ
ε
0
V
∂V
verallgemeinert werden kann, wobei Qv die in V eingeschlossene Ladung bezeichnet. (Dies ist
die Verallgemeinerung des integralen Gauss’schen Gesetzes in der neuen Elektrostatik.)
(f) In welcher differentiellen Form kann die Gesetze der neuen Elektrostatik formulieren? (Wie lässt
sich ρ als Funktion von ϕ ausdrücken, d.h. wie lautet die modifizierte Poisson-Gleichung? Wie
lautet das modifizierte 1. Maxwell’sche Gesetz (Gauss’sches Gesetz) in differentieller Form? Wie
~ und ϕ?)
ist der differentielle Zusammenhang zwischen E
2
Diese Aufgaben sind für Studierende des Lehramts der Primar- und Sekundarstufe I nicht obligatorisch.