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Zentrifugalregler
(rotierendes Bezugssystem ξ,ψ,ζ ; Rotationsachse ζ)
ζ
ψ
ξ
r
ϕ
r
m1
m1
r
r
m2
ω
Schwerpunktsatz (Masse m1)
rotierendes Bezugssystem
F1
r r
r r
m1˙˙r1 = F − m1 ( ac + a f )
ϕ
Fξ
äußere Kräfte (Masse m1)
r
F = (−Fξ , −( F1 + F2 ) sin φ, ( F1 − F2 ) cos φ − m1g)
F2
m1g
Ortsvektor (Masse m1)
r
r1 = (0, r sin φ, −r cos φ)
Geschwindigkeit (Masse m1)
r
r˙1 = (0, rφ˙ cos φ, rφ˙ sin φ)
Relativbeschleunigung (Masse m1)
r
˙˙ cos φ − rφ˙ 2 sin φ, rφ
˙˙ sin φ + rφ˙ 2 cos φ)
˙˙r1 = (0, rφ
[email protected]
Coriolisbeschleunigung (Masse m1)
r
ac = (−2ωrφ˙ cos φ, 0, 0)
Führungsbeschleunigung (Masse m1)
r
˙ , −rω 2 sin φ, 0)
a f = (−r sin φω
Bewegungsgleichungen (Masse m1) im rotierenden System (ξ,ψ,ζ)
0 = Fξ + 2 m1ωrφ˙ cos φ + m1ω˙ r sin φ
(1)
˙˙ cos φ − rφ˙ 2 sin φ) = −( F + F ) sin φ + m rω 2 sin φ
m1 ( rφ
1
2
1
(2)
m1 ( r˙˙
φ sin φ + rφ˙ 2 cos φ) = ( F1 − F2 ) cos φ − m1g
(3)
Gleichung (2)cosφ + Gleichung (3)sinφ
m1r˙˙
φ = (−2 F2 + m1rω 2 ) sin φ cos φ − m1g sin φ
(4)
Ortsvektor (Masse m2)
r
r2 = (0, 0, −2 r cos φ)
Geschwindigkeit (Masse m2)
r
r˙2 = (0, 0, 2 rφ˙ sin φ)
Beschleunigung (Masse m2)
r
˙˙ sin φ + 2 rφ˙ 2 cos φ)
˙˙r2 = (0, 0, 2 rφ
[email protected]
Bewegungsgleichung (Masse m2)
r r
r r
r2 ω ⇒ ac = a f = 0
F2
˙˙ sin φ + φ˙ 2 cos φ) = −m2 g + 2 F2 cos φ
2 m2 r( φ
F2
ϕ
Schnittkraft F2
F2 =
m2
(g + 2rφ˙˙ sin φ + 2rφ˙ 2 cos φ)
2 cos φ
m2g
Einsetzen von F2 in Gleichung (4)
[
]
˙˙ = −m sin φ g + 2 r( φ
˙˙ sin φ + φ˙ 2 cos φ) − m sin φ( rω 2 cos φ − g)
m1rφ
2
1
Stationärer Gleichgewichtszustand φ˙ = 0,
cos φ =
(m1 + m2 )g
m1rω 2
˙˙ = 0
φ
Gleichgewicht
0 ≤ cos φ ≤ 1
ω2 ≥
m1 + m2
g
m1r
Regelbereich des Zentrifugalreglers
[email protected]