¨Ubungen zur Mathematischen Logik
Werbung
Prof. Dr. O. Spinas
WS 2015/16
Übungen zur Mathematischen Logik
Blatt 8
Aufgabe 1
Zeigen Sie:
(a) In der Struktur (R, +R , ·R , 0R ) ist die <-Relation definierbar.
(b) In (R, +, 0) ist die <-Relation nicht definierbar.
(c) In (N, 0N , 1N , ·N ) ist die Addition +N , aufgefasst als die dreistellige Relation {mnp :
m +N n = p}, nicht definierbar.
Tipp: Verwenden Sie das Isomorphielemma und einen geeigneten Isomorphismus.
Aufgabe 2
Beweisen Sie Korollar 7.4 aus der Vorlesung (Universelle Sätze sind abwärts absolut,
existenzielle Sätze sind aufwärts absolut).
Aufgabe 3
Definieren Sie ∃!xϕ (gelesen ”Es gibt genau ein x, so dass ϕ”) durch
y
,
∃x ϕ ∧ ∀y ϕ → x ≡ y
x
wobei x und y verschiedene Variablen seien und y ∈
/ var (ϕ). Zeigen Sie, dass für jede
Interpretation J = (A, β) gilt:
J |= ∃!xϕ genau dann, wenn es genau ein a ∈ A gibt mit J xa |= ϕ.
Aufgabe 4
(a) Definieren Sie rekursiv Formeln ϕ>n ∈ LΣ
0 , so dass für jede Σ-Struktur A, A |=
ϕ>n g.d.w. A mindestens n Elemente hat.
G
(b) Finden Sie erfüllbares ϕ ∈ LΣ
0 , wobei ΣG = {R/2}, so dass jede ΣG -Struktur A
mit A |= ϕ unendlichen Träger hat.
Abgabe: Donnerstag, den 14. Januar 2016, 12 Uhr im Schrein.
