Schlußfolgern über Nicht-Wissen Schlußfolgern über Nicht

Schlußfolgern über Nicht-Wissen
Schlußfolgern über Nicht-Wissen
Vorgehensweise zum Problemlösen mittels Logik:
Schlußfolgern in der klassischen Logik. Beispiele:
• Gegeben:
1. Ausgangspunkt.
Ein System der realen Welt und eine Frage dazu.
α = {γ, γ → β}
Schlußregel: Modus Ponens.
2. Modellbildung.
Abstraktion des Systems (; Modell) und der Frage.
γ ∧ (γ → β) |
3. Formalisierung.
Beschreibung von Modell und Frage als Formel α bzw. β.
4. Schlußfolgern bzw. Inferenz.
• Gegeben:
β
α = {γ ∧ ¬δ, γ ∧ ¬δ → β}
Schlußregel: Modus Ponens.
(a) Überprüfung ob α |= β gilt.
(b) Bestimmung möglicher Folgerungen β 0 aus α.
γ ∧ ¬δ ∧ (γ ∧ ¬δ → β) |
• Gegeben:
β
α = {γ ∧ δ, γ ∧ δ → β}
Bemerkungen:
Schlußregel: Modus Ponens.
• Nach dem Schlußfolgerungsprozeß weiß man α ∧ β bzw. α ∪ β.
• Das klassische Schlußfolgern basiert auf unserem Wissen über die Dinge.
γ ∧ δ ∧ (γ ∧ δ → β) |
β
• Beim klassischen Schlußfolgern nimmt unser Wissen immer weiter zu: Je
mehr man weiß bzw. je “größer” α ist, um so mehr kann man folgern.
Bemerkungen:
Fragen:
• Kann man auch über Nicht-Wissen schlußfolgern?
• Die Mengenschreibweise bei den Formeln steht für eine logische
UND-Verknüpfung.
• Muß beim Schlußfolgern das Wissen immer zunehmen?
• Schlußfolgern über Nicht-Wissen erfordert besondere Ableitungsprinzipien.
• Die zwei wichtigsten Ansätze hierzu sind Negation-as-Failure und das
logische Schließen mittels Defaults (Default-Logik).
c
Stein/Lettmann
2004
1 Non-Monotonicity
Schlußfolgern über Nicht-Wissen
Schlußfolgern über Nicht-Wissen
1. Negation-as-Failure.
Gegeben:
c
Stein/Lettmann
2004
2 Non-Monotonicity
2. Default-Logik.
α = {γ, γ ∧ ¬δ → β}
Gegeben:
Ableitungsprinzip: |naf ≡ Modus Ponens + Negation-as-Failure
[Doyle/McDermott 1980]
α = {γ, γ ∧ M δ → β}
Ableitungsprinzip: |def ault ≡ Modus Ponens + Default
γ ∧ (γ ∧ ¬δ → β) |naf β
γ ∧ (γ ∧ M δ → β) |def ault β
Schreibweise:
Mδ
β
Bemerkungen:
Bemerkungen:
• Läßt sich eine Formel δ nicht aus α ableiten∗ , so darf unter Vorbehalt ihr
Gegenteil, ¬δ, konjunktiv zu α hinzugenommen werden. Aus semantischer
Sicht ist dies gleichbedeutend damit, daß ¬δ vorläufig als wahr
angenommen wird.
Idee: Closed-World-Assumption. “Alles, was gilt, ist ableitbar.” bzw. “Was
nicht ableitbar ist, das gilt auch nicht.”
• Durch Negation-as-Failure wird α (unter Vorbehalt, auf Basis aktuellen
Wissens) so modifiziert, daß der Modus Ponens bzw. Resolution anwendbar
wird (vgl. vorherige Folie zur klassischen Logik).
• Dieses Ableitungsprinzip findet in der Programmiersprache Prolog
Verwendung, wobei statt des Modus Ponens das Resolutionsverfahren
eingesetzt wird.
Idee: “Solange kein Widerspruch bei der Annahme eines Sachverhalts
auftritt, gehe von seiner Gültigkeit aus.” M δ ≡ “it is consistent to assume δ.”
• Das “M ” (Modality) bei der Default-Logik kennzeichnet einen logischen Fakt,
der defaultmäßig als vorhanden angesehen wird bzw. für den der Wert
“wahr” angenommen wird. Dadurch wird α (unter Vorbehalt, auf Basis
aktuellen Wissens) so modifiziert, daß der Modus Ponens anwendbar wird
(vgl. vorherige Folie zur klassischen Logik).
(∗) Der Ableitungsprozeß in der Defalut-Logik ist üblicherweise datengetrieben,
also Forward-Chaining.
(∗) Bei Negation-as-Failure in Prolog wird versucht, δ mittels
Backward-Chaining abzuleiten.
3 Non-Monotonicity
• Läßt sich eine Formel ¬δ nicht aus α ableiten∗ , so darf unter Vorbehalt ihr
Gegenteil, δ, konjunktiv zu α hinzugenommen werden. Aus semantischer
Sicht ist dies gleichbedeutend damit, daß δ als wahr angenommen wird.
c
Stein/Lettmann
2004
4 Non-Monotonicity
c
Stein/Lettmann
2004
Schlußfolgern über Nicht-Wissen
Schlußfolgern über Nicht-Wissen
Beobachtung:
α = {C, (C → B), ((B ∧ ¬D) → E)}
Beispiel:
Eine Besonderheit bei Schlußfolgern über Nicht-Wissen ist, daß
bei Zunahme des Wissens über die Welt das folgerbare Wissen
abnehmen kann: α wird größer, die Menge β der Folgerungen aus
α jedoch kleiner.
|β| = Anzahl der
Folgerungen
|β| = Anzahl der
Folgerungen
|α| = Wissen
über die Welt
Klassische, monotone Situation
Ableitungsprinzip: |naf ≡ Modus Ponens + Negation-as-Failure
β = {E}. Gilt α |naf β ?
Frage:
Zeitpunkt
t1
t2
t02
Weltwissen
D ist unbekannt
D ist wahr
¬D ist wahr
Folgerungen
B, E
B
B, E
|α| = Wissen
über die Welt
Nicht-monotone Situation
Bemerkungen:
Bemerkung:
• Kommt man von der Situation zum Zeitpunkt t1 in die Situation zum
Zeitpunkt t2 , so darf unter der Annahme der Closed-World-Assumption E
nicht in der Menge der abgeleiteten Fakten sein, denn E kann in dieser
Situation nicht gefolgert werden.
Üblich in diesem Zusammenhang ist der Begriff des nicht-monotonen
Schließens.
• Die Mengenschreibweise bei den Formeln steht für eine logische
UND-Verknüpfung.
Frage: Wie operationalisiert man nicht-monotones Schließen?
c
Stein/Lettmann
2004
5 Non-Monotonicity
Schlußfolgern über Nicht-Wissen
Schlußfolgern über Nicht-Wissen
Es gibt zwei prinzipielle Möglichkeiten, um Schlußfolgern über
Nicht-Wissen (nicht-monotones Schließen) zu operationalisieren:
(a) Jedes Mal, wenn sich das Weltwissen ändert, werden alle
Folgerungen (abgeleitete Fakten) gelöscht und der
Inferenzprozeß von vorne gestartet:
|β| = Anzahl der
Folgerungen
|αt1 |
|β| = Anzahl der
Folgerungen
|αt2 |
|α| = Umfang
d. Weltwissens
|αt1 |
c
Stein/Lettmann
2004
6 Non-Monotonicity
Viele Modelle (z. B. in der Diagnose) lassen eine Aufteilung in
folgende Mengen zu:
• R, universelle Formeln über die Welt (Regeln).
• Pt, aktuelles Faktenwissen über die Welt zum Zeitpunkt t
(Prämissen).
∪P.
• |{z}
Ft , Folgerungen aus R
| {z t}
α
β
|αt2 |
|α| = Umfang
d. Weltwissens
Es gelte P1 ⊂ P2. Die beiden Konzepte zur Operationalisierung des
nicht-monotonen Schließens lassen sich wie folgt illustrieren:
R ∪ P1
(b) Die Menge der Folgerungen (ableitbaren Fakten) wird
inkrementell konsistent bzgl. der Schlußregel gehalten:
a
t2 :
|β| = Anzahl der
Folgerungen
R ∪ P2
⊥
|β| = Anzahl der
Folgerungen
⊥
t1 :
R ∪ P1 ∪ F1
b ∪ P2 \ P1
R ∪ P2 ∪ F2
Truth-Maintenance
|αt1 |
|αt2 |
|α| = Umfang
d. Weltwissens
|αt1 |
|αt2 |
|α| = Umfang
d. Weltwissens
Bemerkung:
Mit P1 ⊂ P2 gilt unmittelbar F1 ⊆ F2 für die monotone Situation. Für die
nicht-monotone Situation läßt sich keine Aussage über die Relation zwischen F1
und F2 machen.
Bemerkung:
Systeme, die dabei helfen, einen nicht-montonen Schlußfolgerungsprozeß
nachzubilden, heißen Truth-Maintenance-Systeme (TMS) oder auch
Reason-Maintenance-Systeme (RMS). Zwei wichtige Vertreter sind das
Justification-based TMS und das Assumption-based TMS.
7 Non-Monotonicity
c
Stein/Lettmann
2004
8 Non-Monotonicity
c
Stein
2000-2004